第2章　三角恒等变换 单元测试（含答案）2025-2026学年湘教版数学必修第二册

第2章三角恒等变换一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.sin140°cos10°+cos40°sin350°=()A.12 B.-12 C.32 D2.函数y=sin3x+cos3x的最小正周期是()A.6π B.2π C.2π3 D3.已知sinα+2cosαsinα-2cosα=5,则cos2αA.-25 B.3 C.-3 D.4.sinπ12-cosπ12的值等于(A.-22 B.22 C.-62 5.已知锐角α,β满足cosα=35,cos(α+β)=-513,则cos(2π-β)的值为(A.3365 B.-3365 C.5465 D6.已知sin2α=13,则cos2(α-π4)=(A.-13 B.13 C.-23 7.已知sin(α+2β)=34,cosβ=13,α,β为锐角,则sin(α+β)的值为(A.37-22C.37+22128.设sin20°=m,cos20°=n,化简tan10°+11-A.mn B.-C.nm D.-二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列四个等式中正确的是()A.tan25°+tan35°+3tan25°tan35°=3 B.1C.cos2π8-sin2πD.1sin10°10.已知sinθ+cosθ=15,θ∈(0,π),则(A.sinθcosθ=-1225 B.sinθ-cosθ=C.sinθ-cosθ=75 D.tanθ=-11.已知α,β∈(0,π),sinα+π6=513,cos(β-π3)=4A.-3365 B.-6365 C.3365 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知cosα=35,α∈(0,π2),则cos(π3+α)=13.函数y=cosx+cosx+π3的最小值是,最大值是14.已知tan(α+β)=23,tanβ-π4=-2,则tanα+π4=,tan(α+四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知0<α<π2<β<π,tanα+π4=-2,sin(1)求sinα(2)求sin(α+2β)的值.16.(15分)(1)求值:sin50°(1+3tan10°);(2)已知tanθ=-34,求1+sinθcosθ-cos2θ的值17.(15分)在△ABC中,sinAcosA=sinBcosB,且A≠B.(1)求证:A+B=π2(2)求sinA+sinB的取值范围;(3)若(sinAsinB)x=sinA+sinB,试确定实数x的取值范围.18.(17分)如图,三个全等的矩形相接,且AB=a,AD=b.(1)若b=2a,求tan(α+β)的值;(2)已知α+β=γ,求ba的值19.(17分)已知向量a=(cosα,5sinβ+2sinα),b=(sinα,5cosβ-2cosα),且a∥b.(1)求cos(α+β)的值;(2)若α,β∈0,π2,且tanα=13,求2α

参考答案1.A依题意,原式=sin40°cos10°-cos40°sin10°=sin(40°-10°)=sin30°=12,故选A2.C由y=sin3x+cos3x,得y=2(22sin3x+22cos3x)=2可知该函数的最小正周期T=2π|ω|3.D因为sinα+2cosαsinα-解得tanα=3,cos2α+12sin2α=cos2α4.Asinπ12-cosπ12=2sin(π12−π4)=-25.A∵α,β为锐角,cosα=35,cos(α+β)=-513,∴sinα=45,sin(α+β)∴cos(2π-β)=cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-513×36.Dcos2α-π4=1+cos2α-π所以cos2α-π4=7.D因为sin(α+2β)=34,cosβ=13,α,β为锐角,又cos2β=2cos2β-1=-7所以α+2β大于90°.由同角三角函数关系,可得cos(α+2β)=-74,sinβ=2所以sin(α+β)=sin[(α+2β)-β]=sin(α+2β)cosβ-cos(α+2β)sinβ=34×13--74×228.A因为sin20°=m,cos20°=n,所以tan10°+11-9.AD对A:tan60°=tan(25°+35°)=tan25°故tan25°+tan35°+3tan25°tan35°=3,故正确;对B:116sin50°+对C:cos2π8-sin2π8=cosπ4对D:1sin10°−3cos10°=10.ACD因为sinθ+cosθ=15所以(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=125即sinθcosθ=-1225,所以A正确所以(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=4925因为θ∈(0,π),所以sinθ>0,cosθ<0,即sinθ-cosθ>0,所以sinθ-cosθ=75,所以B错误,C正确联立sin解得sinθ=45,cosθ=-3所以tanθ=-43.所以D正确11.CD∵cosβ-∴cosβ-π3=cosβ+∵α,β∈(0,π),∴α+π6∈π6,7π6,β+π6又sinα+π6∴α+π6∈5π6∴cosα+π6=-1213,cos∴sin(α-β)=sin[(α+π6)-(β+π6)]=sin(α+π6)cos(β+π6)-cos(α+π6)sin(β+π6)12.3-4310因为cosα=35,所以sinα=45所以cos(π3+α)=cosπ3cosα-sinπ3sinα13.-33(方法一)y=cosx+cosxcosπ3-sinxsinπ3=32cosx-32sinx=3(32cos当cosx+π6=-1时,ymin当cosx+π6=1时,ymax(方法二)y=cos(x+π3)-π3+cos(x+π3)=cos(x+π3)cosπ3=32cos(x+π3)+32sin(x+π3)=3[32cos(x+π3)+12sin(x+π3)]=3cos(所以-3≤y≤3.14.-8311tanα+π4=tan[(α+β)-β-πtanβ-π4=tanβ-tan(α+2β)=tan(15.解(1)因为tanα+π所以tanα=3,所以sinα(2)因为tanα=3,0<α<π2所以cos2α=11+ta所以cosα=1010因为π2<β<π,sinβ=22,所以β=所以sin(α+2β)=sinα+3π2=-cos16.解(1)sin50°(1+3tan10°)=sin50°(1+3×sin10°cos10°)=sin(2)∵tanθ=-34∴1+sinθcosθ-cos2θ=1+sinθcosθ-(1-2sin2θ)=sinθ17.(1)证明因为sinAcosA=sinBcosB,所以sin2A=sin2B,解得2A=2B或2A+2B=π,即A=B,或A+B=π2又A≠B,所以A+B=π2(2)解由(1)可知A+B=π2故sinA+sinB=sinA+sinπ2-A=sinA+cosA=2由题可知0<A<π2,所以π4<A+所以1<2sinA+故sinA+sinB的取值范围是(1,2].(3)解由题意可知sinAsinB≠0,所以x=sinA设sinA+cosA=t∈(1,2],则t2=1+2sinAcosA,故sinAcosA=t2-12,代入得x=t故实数x的取值范围为[22,+∞).18.解(1)若b=2a,则tanα=23,tanβ=所以tan(α+β)=tanα+tanβ(2)由题图可得,tanα=b3a,tanβ=b2a,tan因为α+β=γ,所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-即b3a+b2a1-b3所以ba的值为119.解(1)因为a∥b,所以cosα(5cosβ-2cosα)-sinα(5sinβ+2sinα)=0,所以5(cosαcosβ-sinαsinβ)=2(sin2α+cos2α)=2,所以5c