2026届上海复旦大学附中高考数学模拟试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026届复旦附中高三毕业考数学试卷一、填空题1．已知集合，集合，则______．2．抛物线的准线方程是__________．3．不等式的解集为______．4．已知角的终边经过点，则______．5．已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为___________．6．若，则的展开式中含项的系数为__________.7．若为常数，且函数是奇函数，则的值为__________．8．已知复数是实系数一元二次方程的两个根，若，则的最小值为_____.9．平面上五点满足，，，，则的值为_____．10．已知点为平面直角坐标系内的圆上的动点，定点，现将坐标平面沿轴折成的二面角，使点翻折至，则两点间距离的最大值是______．11．如图，要在A和D两地之间修建一条笔直的隧道．现从B地和C地测量得：，，，．若B、C的直线距离为5.8公里，则隧道长为____________公里．（结果精确到0.1公里）12．已知函数的定义域为，值域，且对任意正整数，有．则符合条件的函数的个数为______．二、单选题13．已知，则下列结论中不正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则14．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点，任取，存在不全为0的实数，使得已知，则的充分条件是（

）A． B．C． D．15．已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（

）A．且 B．且 C．且 D．且16．设函数定义域为，且对任意，不等式恒成立，设a、，定义．现给出如下两个命题：①若是周期函数，则对于任意实数，函数是周期函数；②函数存在正整数周期，当且仅当函数存在正整数周期；下列选项中正确的是（

）A．①②都是真命题 B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题三、解答题17．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，，点O是AB的中点．(1)求证：；(2)求直线CP与平面POD所成角的大小．18．已知.(1)当时，求不等式的解集；(2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围.19．混养不仅能够提高水产养殖的收益，还可以降低单一放养的病害风险，提高养殖效益．某鱼塘中有A、B两种鱼苗．为了调查这两种鱼苗的所占比例，设计了如下方案：①在该鱼塘中捕捉50条鱼苗，统计其中鱼苗A的数目，以此作为一次试验的结果；②在每一次试验结束后将鱼苗放回鱼塘，重复进行这个试验n次（其中），记第i次试验中鱼苗A的数目为随机变量；③记随机变量，利用的期望和方差进行估算，设该鱼塘中鱼苗A的数目为M，鱼苗B的数目为N，其中，每一次试验都相互独立．(1)在第一次试验中，若捕捉的50条鱼苗中鱼苗A的数目有20条，记录员逐个不放回的记录鱼苗的种类，求第一次记录的是鱼苗A的条件下，第二次记录的仍是鱼苗A的概率；(2)请提出一个合理假设，使得服从二项分布：______________________________．记的实际取值分别为，平均值和方差分别记为、，已知其方差．请用和分别代替和，估算和．（参考公式：，）20．已知椭圆，点为坐标原点，椭圆的右顶点为，左右焦点分别为、，点为椭圆在轴上方的一动点.(1)求椭圆的焦距与的周长；(2)若，求点到轴的距离；(3)过点作斜率为的直线交轴正半轴于点，点位于椭圆内.直线与椭圆交于、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围.21．设，对于定义域为D的函数与，，若函数是区间D上的单调函数，则称与在区间D上满足“性质”．(1)设，，，若与在区间D上满足“性质”，求t的取值范围；(2)设，，，．若与在区间D上满足“性质”，求的取值范围；(3)设，若对任意s、t，函数与在上都满足“性质”．求证：存在不全为零的实数A、B，使得函数为常值函数．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．【详解】因为集合，集合，所以．2．【详解】因为准线方程是,所以抛物线的准线方程是3．【详解】原不等式等价于，即，解得，所求解集为．4．##【详解】因角的终边经过点，则该点到原点的距离，于是得，所以．5．3【分析】先求出曲线的导数，再利用导数的几何意义求出处切线的斜率，最后利用平行直线斜率相等求出实数．【详解】，求导得，曲线在处的切线斜率，曲线在处的切线与直线即平行，．故答案为：3．6．-220【详解】因为，所以，的展开式中含项的系数为.7．【分析】由函数为奇函数可得，结合对数的运算性质可得a得值，再验证即可.【详解】是奇函数，，即，，即，，展开整理得，要使等式恒成立，则有，即，解得．当时，，由，得，解得或，即定义域为或，定义域关于原点对称，且满足，成立．故答案为：-1.8．【分析】分一元二次方程的判别式大于等于0与小于0，两种情况讨论，利用实系数一元二次方程的虚根成对的性质，计算可求得的最小值.【详解】若一元二次方程的判别式大于等于0，则方程有两个实数根，即为实数，由，则，此时，若一元二次方程的判别式小于0，则为两虚数根，设、又因为，所以，所以，所以当时，.综上所述：的最小值为.故答案为：.9．3【分析】设，，得到，，则，再代入值计算即可．【详解】设，，则，，，．故答案为：3．10．7【分析】当与位于同一半圆时，可知当三点共线时取得最小值，当位于时，取得最大值；当与分别在两个半平面中时，作出二面角的平面角及在平面上的投影点，设，利用勾股定理和三角恒等变换知识，结合三角函数值域求法可求得所处的范围；综合两种情况可得结果.【详解】由圆的方程知，圆的半径为，当与位于同一半圆时，作出该半圆所在的平面图，如下图所示，，当且仅当三点共线时取等号，当位于图中处时，取得最小值；又当位于图中处时，取得最大值；当与分别在两个半平面中时，作平面，垂足为，作轴，垂足为，连接，则三点共线，设为延长线上的点，则即为翻折后的二面角的平面角，，，，，，；为圆右半圆上的点，可设，，，，其中，，，当，即时，，则；又，，即；可得两点间的距离的取值范围为.综上所述，两点间距离的最大值是.11．【分析】设，在，，中利用正弦定理，可求，进而可求.【详解】由题意：.设，则.在中，即.在中，.在中，，即.将以上三式相乘，得：，从而有：，所以：.所以.在中，，,所以.在中，.故答案为：12．178【分析】记中满足，都有的函数个数为，设中满足的个数为，满足的个数为．推导出，，结合，，求出答案.【详解】记满足题设条件的，定义域为的函数的个数为.显然，当时，（按，排序）：；当时，，于是当时，则；当时，则；当时，则；从而设中满足的个数为，满足的个数为．此时有，，且．整理上式得，，，所以，，，，，，．13．A【详解】对于A，因为，由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数，不等式方向不变，，故A错.对于B，因为函数在上单调递增，，所以，故B正确对于C，已知且，说明，那么，不等式两边同除以，不等式方向不变，所以，故C正确.对于D，已知，所以，因为函数在上单调递增，所以，故D正确.14．C【分析】由题意知这三个向量共面，这意味着集合中所有点均在同一个过原点的平面上,已知点，本题即寻找一个点，当时，由点和点确定的过原点的平面不包含点.【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当，无法推出，故B错误；由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则当，能推出，故C正确；由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故D错误；故选：C.15．C【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答.【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可，当时，，，而，，因此在上的最小值，在上的最小值，A可能；当时，，，因此在上的最小值，在上的最小值，B可能；当时，，，因此在上的最小值，在上的最小值，D可能；对于C，若，则，若，则区间的长度，并且且，即且与矛盾，所以C不可能.故选：C【点睛】结论点睛：闭区间上的连续函数既有最大值，又有最小值.16．D【详解】对于①，取，，则，因为和的正周期分别为和，而是无理数，则有，所以不是周期函数，①错误；对于②，若，其中，，可得；若，其中，即，整理得，令，则，则，其中，下证恒成立.假设存在，，考虑，因为，所以当足够大时，有，这与矛盾，所以即恒成立，故函数存在正整数周期，②正确，综上，①是假命题，②是真命题．17．(1)因，点O是AB的中点，则，因平面平面ABCD，且平面平面，平面PAB，故平面ABCD，又平面ABCD，故．(2)【分析】（1）由且点O是AB的中点得到，由面面垂直的性质得到平面ABCD，利用线面垂直的定义得到．（2）利用空间向量求解，求出平面POD的一个法向量，设直线CP与平面POD所成角为，利用向量的数量积公式得到，通过计算得到直线CP与平面POD所成角的大小．【详解】（1）略（2）如图，取CD中点E，连接OE，由（1）知平面ABCD，因为为的中点，为的中点，，可得，因，故，则可分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系．又，，，，则，，，于是，，，，设平面POD的一个法向量为，则，故可取，设直线CP与平面POD所成角为，则，即直线CP与平面POD所成角的大小为．18．(1)(2)【分析】（1）根据对数函数的单调性可求不等式的解；（2）将对数型方程转化为只有一个正根，就结合判别式的符号分类讨论后可得实数的取值范围.【详解】（1）当时，，因为，所以，即，解得，所以所求解集为；（2）因为，由，得只有一个正根，若，满足题意；当时，若，解是，此时方程仅有一个实根为，满足题意；若，即，此时方程的两根之积为，所以方程两根只能异号，所以，可得，此时方程只有一个正根，满足题意；综上，或，所以实数的取值范围是：.19．(1)(2)假设：鱼塘里的鱼足够多（答案不唯一，符合题意即可），，【分析】（1）设相应事件，求，，结合条件概率公式运算求解；（2）根据二项分布的特征填空，根据二项分布的期望和方差公式结合题意列式求解即可.【详解】（1）设事件M：“第一次记录的是鱼苗A”，事件N：“第二次记录的是鱼苗A”，由题意可得：，，所以.（2）假设：鱼塘里的鱼足够多，此时，则的均值，的方差，所以，解得或，又因为，则，所以，．20．(1)焦距为2，的周长8；(2)；(3).【分析】（1）求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆定义求解.（2）由（1）求出点坐标，设出点坐标，再利用数量积的坐标表示列式求解.（3）设直线的方程为，求出范围，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出，再利用对勾函数单调性求出范围.【详解】（1）椭圆的长短半轴长分别为，则半焦距，所以椭圆的焦距，的周长.（2）由（1）得，设，则，即，，由，得，整理得，而，解得，，点，所以点到轴的距离为.（3）设直线的方程为，因为直线与轴正半轴相交，故，则，由点在轴正半轴上，且位于椭圆内，得，即，由，消去得，，设，则，，，，因此，令，，而，令，则，函数在上单调递增，，因此，，则，所以的取值范围是.21．(1)；(2)；(3)若函数为常值函数，取；同理，若函数是常值函数，取；因此，以下考虑函数与都不为常值函数的情况．分别取和，可以得到函数与，不妨设函数与都是增函数（否则，若函数为减函数，将替换为）．由于函数与都不为常值函数，因此存在，使得且，令，其中．首先证明：对任意都有．反证法：假设存在使得，其中且，不妨设，取，，对于函数，则，，因此，，与是单调函数矛盾．同理可以证明对任意都有，因此，对任意，，所以为常值函数，取，则A、B不全为零，且为常值函数．得证.【分析】（1）先求出，根据单调可得对称轴的位置关系，故