2025重庆中考数学第23题训练一

2025重庆中考数学第23题训练一一、题型概览与核心能力要求中考数学第23题，通常定位为几何综合题，具有一定的综合性与区分度。这类题目往往以三角形、四边形为基本载体，融合了全等三角形、相似三角形、等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等核心几何图形的性质与判定，同时渗透方程思想、转化思想、数形结合思想等重要的数学思想方法。其核心能力要求包括：1.图形信息的提取与加工能力：能准确识别图形中的基本元素（边、角、特殊点）及其关系，从复杂图形中分解出基本图形。2.逻辑推理能力：能运用已知条件和几何图形的性质，进行严谨的逻辑推理，得出结论。3.规范表达能力：能清晰、有条理地书写证明过程或解题步骤，做到因果明确，论据充分。4.辅助线的添加与运用能力：能根据题目的条件和结论，合理添加辅助线，构造所需的基本图形，架起已知与未知之间的桥梁。二、解题策略与思维路径面对此类几何综合题，建议遵循以下解题策略与思维路径：1.审题标注，明确目标：*仔细阅读题目，将所有已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等）在图形上用不同符号进行标注，使条件直观化。*明确题目要求，是求证某个结论，还是进行计算（如线段长度、角度大小、图形面积等），或是判断图形的形状、位置关系等。2.联想性质，搭建桥梁：*从已知条件出发，联想与之相关的几何图形的性质定理。例如，看到中点，可联想到中线、中位线、直角三角形斜边中线性质、中心对称等；看到角平分线，可联想到角平分线的性质定理与判定定理、轴对称等。*从结论（或待求量）出发，逆向思考：要得到这个结论，需要什么条件？这些条件如何从已知条件中获得？是否需要构造新的图形或关系？3.尝试构造，转化问题：*当直接证明或计算有困难时，考虑添加辅助线。辅助线是解决几何问题的“金钥匙”，其目的是将分散的条件集中起来，将复杂图形分解为基本图形，或将未知问题转化为已知问题。*常见的辅助线添加方法有：连线（如连接两点构成三角形或四边形）、延长（如延长线段交于一点构造三角形）、作平行线、作垂线、截取或延长线段构造相等关系、构造全等或相似三角形等。4.规范书写，有理有据：*在推理过程中，每一步都要有依据，不能想当然。论据可以是已知条件、已学过的定义、公理、定理等。*书写证明过程时，要条理清晰，层次分明，“∵”（因为）、“∴”（所以）的使用要准确，逻辑关系要严密。对于计算题，要写出必要的推理步骤和计算公式。三、典型例题精析与点评（以下例题为模拟2025重庆中考数学第23题难度与风格的几何综合题）例题：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，且BE=EC，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接OF。（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若∠AFC=∠DBC，试判断四边形ABFC的形状，并说明理由。(1)证明：审题标注：平行四边形ABCD（对边平行且相等，对角线互相平分），BE=EC（E为BC中点），AE延长交DC延长线于F。目标：证△ABE≌△FCE。思路分析：要证两个三角形全等，已知一组边BE=EC（中点定义）。观察图形，∠AEB与∠FEC是对顶角，故∠AEB=∠FEC。还缺一个条件，通常是角或边。由于ABCD是平行四边形，AB∥DC，所以∠BAE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。这样，AAS条件就具备了。规范书写：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC。∴∠BAE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。∵E是BC的中点（已知BE=EC），∴BE=CE。在△ABE和△FCE中，∠BAE=∠CFE，∠AEB=∠FEC（对顶角相等），BE=CE，∴△ABE≌△FCE（AAS）。(2)解：四边形ABFC是矩形。审题标注：在（1）的基础上，新增条件∠AFC=∠DBC。目标：判断四边形ABFC的形状。思路分析：由（1）的全等可得到AB=FC。又因为AB∥FC（平行四边形性质，DC是AB的对边，F在DC延长线上），所以四边形ABFC一组对边平行且相等，可先判断其为平行四边形。要进一步判断其形状（矩形、菱形、正方形），需看是否有特殊角或特殊边关系。已知∠AFC=∠DBC，结合平行四边形的性质及已证结论进行转化。规范书写：四边形ABFC是矩形。理由如下：由（1）△ABE≌△FCE，得AB=FC。∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC。又∵F在DC的延长线上，∴AB∥FC。∴四边形ABFC是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO=1/2BD（平行四边形对角线互相平分）。由（1）△ABE≌△FCE，得AE=FE（全等三角形对应边相等），即点E为AF中点。在△AFC中，O为AC中点（平行四边形对角线互相平分），E为AF中点，∴OE是△AFC的中位线，∴OE∥FC，OE=1/2FC。∵∠AFC=∠DBC，又∵∠DBC=∠BFC（OE∥FC，内错角相等，此处原∠DBC，因OE∥FC，∠OEB=∠BFC，而∠OEB=∠DBC（因为OB=OD，E为BC中点，OE是△BCD的中位线吗？哦，前面已证OE是△AFC中位线，OE∥FC，所以∠OEB=∠FCB。或者换个思路：因为四边形ABFC是平行四边形，所以BF∥AC，所以∠DBC=∠BCO。又∠AFC=∠FBC（因为BF∥AC，∠AFC=∠FAC；或者由ABFC是平行四边形，∠AFC=∠ABF？这里需要更清晰的推导。）（更优路径）∵四边形ABFC是平行四边形，∴BF∥AC。∴∠DBC=∠BCO（两直线平行，内错角相等）。∵∠AFC=∠DBC（已知），∴∠AFC=∠BCO。∵AB∥FC，∴∠BAC=∠FCA（两直线平行，内错角相等）。在△AFC中，∠AFC+∠FCA+∠FAC=180°。在△BOC中，∠BCO+∠BOC+∠OBC=180°。但可能更直接的是：∵∠AFC=∠BCO，且∠BCO=∠FAC（因为BF∥AC，∠FAC=∠AFB；而∠AFB=∠AFC？不，F、C、D共线，∠AFC是△AFC的一个内角。）（调整思路）∵四边形ABFC是平行四边形，∴AF∥BC，BF∥AC。∴∠AFC=∠FCB（两直线平行，内错角相等，AF∥BC，AF与FC、BC相交）。又∵∠AFC=∠DBC（已知），∴∠FCB=∠DBC。∴OB=OC（等角对等边）。∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2OB。∴AC=BD。∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。（此结论对本题判断ABFC形状是否有用？）不，我们要判断的是ABFC。回到ABFC，它是平行四边形。要证它是矩形，需证一个角是直角或对角线相等。∵OB=OC，∠OBC=∠OCB，又∵∠FCB=∠DBC=∠OCB，∴∠FCB=∠OCB，即CB平分∠FCO。（换个突破口）由△ABE≌△FCE得AB=FC，AB∥FC，∴ABFC是平行四边形。要证其为矩形，可证AF=BC或有一个内角为90°。∵∠AFC=∠DBC，∠DBC=∠ADB（AD∥BC，内错角相等）。或者，考虑AF与BC的关系。在平行四边形ABFC中，AF=BC则为矩形。∵∠AFC=∠DBC，∠FBC=∠FCB（已证∠FCB=∠DBC=∠AFC，而∠FBC=∠AFC？因为AF∥BC，∠AFB=∠FBC；而∠AFB与∠AFC是同一个角吗？F在DC延长线上，B在A的右侧，AF是从A到F，BF是从B到F。AF∥BC，所以∠AFB=∠FBC（内错角）。而∠AFC就是∠AFB（F、C、D共线，C在F和D之间）。所以∠AFC=∠FBC。又已知∠AFC=∠DBC，所以∠FBC=∠DBC。即BD平分∠FBC。（关键一步）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD。由（1）AE=EF，∴OE是△AFD的中位线？不，O是AC中点，E是BC中点，AE交DC延长线于F。或许更简单的是，在平行四边形ABFC中，∠AFC=∠ABC（因为AB∥FC，∠ABC+∠BCF=180°，∠AFC+∠BCF=180°？不，AB∥FC，同旁内角互补，∠ABF+∠BFC=180°。）（回到已知∠AFC=∠DBC，且∠DBC=∠ADB=∠FBC（因为AD∥BC，AF∥BC，所以AD∥AF？不可能，A、D、F不共线。）（重新梳理，利用OB=OC）∵∠FCB=∠DBC（已证），∴△OBC中，OB=OC（等角对等边）。∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2OB，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），∴∠ABC=90°。∵AB∥FC，∴∠ABC+∠BCF=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠BCF=180°-∠ABC=180°-90°=90°。∵四边形ABFC是平行四边形，且有一个角∠BCF是直角，∴四边形ABFC是矩形。点评：本题第（1）问相对基础，主要考察平行四边形性质、对顶角相等以及全等三角形的判定（AAS），属于送分题，旨在引导学生入门。第（2）问则有一定的综合性，需要在第（1）问的基础上，先判定四边形ABFC为平行四边形，再结合新的角相等条件，通过等角对等边、平行四边形性质等知识进行角的转化和边的关系推导，最终得出有一个角是直角的平行四边形是矩形的结论。解题过程中，需要学生具备较强的观察能力、联想能力和逻辑推理能力，辅助线（虽然本题未直接添加，但OE的中位线作用是隐含的思考桥梁）的意识也很重要。书写时，务必保证每一步推理都有依据，层次清晰。四、针对性训练与拓展思考练习题：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AB边上一点（不与A、B重合），连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE。（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若AD=BF，试判断△BEF的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB=4√2，求CF的长。提示与思考方向：*对于（1），旋转90°意味着CD=CE且∠DCE=90°，结合已知AC=BC，∠ACB=90°，寻找SAS全等的条件。*对于（2），在（1）全等的基础上，可得到AD=BE，结合AD=BF，可得BE=BF。再判断角的关系，∠EBF是否为特殊角？可利用等腰直角三角形的性质（如∠ABC=45°）以及全等三角形对应角相等进行推导。*对于（3），要求CF的长，需结合（2）的结论，设未知数，利用等腰直角三角形的边长关系（如AB=4√2，可求AC、BC的长）以及线段间的和差关系（如BF=AD，BC=BF+FC=AD+FC），在Rt△ABC或其他直角三角形中运用勾股定理建立方程求解。解题反思与总结：*做完题目后，回顾整个解题过程，思考：关键的突破口是什么？哪些知识点的综合运用起到了决定性作用？是否有更简洁的解法？*对于辅助线的添加，要总结其规律和常见情形，理解“为什么这么做”比“怎么做”更重要。*规范书写是几何证明题得分的关键，平时练习就要严格要求，养成良好习惯。五、总结与备考建议中考数学第23题作为几何综合题，是对学生初中阶段几何知识掌握程度和逻辑推理能力的综合考查。要想在这类题目上取得好成绩，需要：1.夯实基础，烂熟于心：熟练掌握所有基本几何图形（三角形、四边形）