2023-2024学年湖南省部分学校高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年湖南省部分学校高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）从200道题中随机选m道，若某道题被选中的概率为0.04，则m＝（）A．4 B．8 C．10 D．122．（5分）若在复平面内，复数1﹣2z所对应的点为（5，﹣6），则z的实部与虚部的差为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣53．（5分）已知点O，A，B，C在同一平面内，CA→=2BAA．23OB→+13OC→ 4．（5分）已知集合M＝{1，2，3}，N＝{x∈Z||x﹣2|≤a}，若x∈M是x∈N的充要条件，则整数a＝（）A．4 B．3 C．2 D．15．（5分）从1，2，3，4这四个数字中任意取出两个不同的数字，设取出的两数字之和为m，则m2﹣9m+18＜0的概率为（）A．23 B．12 C．136．（5分）已知在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且△ABC为等边三角形，则二面角S﹣AB﹣C的正切值为（）A．32 B．2 C．3 7．（5分）如图所示，P，Q是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象与直线y=22的两个交点，且点P在y轴上，若|PQ|＝πA．4π B．7π2 C．3π D．28．（5分）已知函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R），若不等式f（x）＜3x﹣2的解集为（0，4），则不等式f(x)xA．[﹣1，0）∪（0，2] B．（﹣∞，﹣2]∪（0，1] C．[﹣1，0）∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）若数据1，5，0，10，8，9，11，12，2，17的第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数分别为m，k，n，平均数为x，则（）A．m＝2 B．n＝10 C．2x＞m+n （多选）10．（6分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的始边均与x轴的非负半轴重合，终边分别经过点A（2，1），B（﹣1，2），则（）A．tan2β=−43 B．sinα+cosβC．cos（α﹣β）＝0 D．α+β是第三象限角（多选）11．（6分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点及动点P都在球O的球面上，AB=AC=2，BC=AAA．AC⊥BB1 B．球O的半径为2 C．三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积为16+82D．点P到平面ABC的距离的取值范围是[0，2+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知复数z1＝1+2i，z2＝i，则z1−13．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长均为2，E，F分别是棱A1B1，A1C1的中点，则几何体EF﹣CBB1C1的体积为．14．（5分）已知函数f(x)=ax2−1，x＞0ax−1，x⩽0(a＜0)，若存在唯一的x＞0，使得f（x）＝﹣f（﹣x），则当﹣1＜f（四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1＝A1D1，CD1＝CB1．（1）若E是棱BC的中点，过点E作平面α，使得平面α∥平面B1CD1，在图中画出平面α截平行六面体所得的截面；（不需写出作法和证明过程）（2）证明：平面B1CD1⊥平面ACC1A1．16．（15分）现有一批零件，一质检员从中随机抽取200件进行合格性检验，实际尺寸x与标准尺寸x0的差值为Δx，现对Δx进行整理，分组区间为[﹣0.25，﹣0.15），[﹣0.15，﹣0.05），[﹣0.05，0.05]，（0.05，0.15]，（0.15，0.25]，得到如图所示的频率分布直方图．规定：|Δx|≤0.05的为优质品，0.05＜|Δx|≤0.15的为合格品，|Δx|＞0.15的为劣质品．（1）求a的值，并计算Δx的平均值；（每组数据用该组所在区间的中点值作代表）（2）估计该批零件中优质品、合格品、劣质品的数量之比；（3）质检部门规定：若抽检的零件中劣质品数量不超过15件，则这批零件通过抽检，否则，不能通过抽检．问：这批零件能否通过抽检？17．（15分）一个质地均匀的正方体的1个面为黄色，2个面为绿色，3个面为红色．连续抛掷该正方体3次，观察落地时朝上的面的颜色．（1）求第1次、第2次、第3次朝上的面的颜色依次为红色、绿色、黄色的概率；（2）求朝上的面的颜色恰有2次相同的概率．18．（17分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为255a（1）求sinA的值；（2）若c＝22，求a及cos（2A+B）的值．19．（17分）已知函数f（x），g（x）满足f（x）+2g（x）＝2﹣x，其中f（x）为偶函数，g（x）为奇函数．（1）求f（x），g（x）的解析式；（2）求函数t（x）＝2x+2[f（x）﹣g（x）﹣1]的值域；（3）设a＞1，若对任意的x1∈[﹣4，4]，都存在x2∈[﹣2，﹣1]，使得loga[2f(

2023-2024学年湖南省部分学校高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）从200道题中随机选m道，若某道题被选中的概率为0.04，则m＝（）A．4 B．8 C．10 D．12【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】B【分析】根据古典概率计算公式计算即可．【解答】解：由题意，从200道题中随机选m道，某道题被选中的概率为0.04，根据古典概率计算公式得m200=0.04，即故选：B．2．（5分）若在复平面内，复数1﹣2z所对应的点为（5，﹣6），则z的实部与虚部的差为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣5【考点】复数对应复平面中的点；复数的实部与虚部．【答案】D【分析】根据点对应的复数进行复数运算再根据实部及虚部运算即可．【解答】解：∵1﹣2z＝5﹣6i，即z＝﹣2+3i，∴实部为﹣2，虚部为3，实部与虚部的差为﹣2﹣3＝﹣5．故选：D．3．（5分）已知点O，A，B，C在同一平面内，CA→=2BAA．23OB→+13OC→ 【考点】平面向量的加减混合运算．【答案】C【分析】根据向量的线性运算即可求解．【解答】解：由CA→=2BA故OA→故选：C．4．（5分）已知集合M＝{1，2，3}，N＝{x∈Z||x﹣2|≤a}，若x∈M是x∈N的充要条件，则整数a＝（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】集合的包含关系的应用．【答案】D【分析】解绝对值不等式，根据x∈M是x∈N的充要条件，得到不等式，解得1≤a＜2，得到答案．【解答】解：|x﹣2|≤a⇒2﹣a≤x≤a+2，由于x∈M是x∈N的充要条件，M＝{1，2，3}，所以0＜2−a≤13≤2+a＜4，解得1≤a故整数a＝1．故选：D．5．（5分）从1，2，3，4这四个数字中任意取出两个不同的数字，设取出的两数字之和为m，则m2﹣9m+18＜0的概率为（）A．23 B．12 C．13【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】B【分析】求出3＜m＜6，再写出所有情况和满足题意的情况，最后利用古典概型公式即可．【解答】解：由m2﹣9m+18＜0，可得3＜m＜6．从1，2，3，4这四个数字中任意取出两个不同的数字，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种不同的结果，取出的两数字之和m满足3＜m＜6对应的结果有（1，3），（1，4），（2，3）共3种，所以所求概率为36故选：B．6．（5分）已知在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且△ABC为等边三角形，则二面角S﹣AB﹣C的正切值为（）A．32 B．2 C．3 【考点】二面角的平面角及求法．【答案】B【分析】根据题意可得三角形全等，即可求解长度关系，根据等腰可得∠SMC即为二面角S﹣AB﹣C的平面角，即可利用三角形边角关系求解．【解答】解：由SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC以及AB＝BC＝AC可得△SAC≅△SBC，△SAC≅△SAB，故SC＝SA＝SB，进而可得AB=2SA，不妨设取AB中点M，连接MS，MC，故MS⊥AB，MC⊥AB，故∠SMC即为二面角S﹣AB﹣C的平面角，由于SB⊥SC，SA⊥SC，SA∩AB＝S，SA，SB⊂平面SAB，故SC⊥平面SAB，SM⊂平面SAB，故SC⊥SM，tan∠SMC=SC故选：B．7．（5分）如图所示，P，Q是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象与直线y=22的两个交点，且点P在y轴上，若|PQ|＝πA．4π B．7π2 C．3π D．2【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性．【答案】A【分析】由题意可得P，Q的坐标，再根据P，Q在函数图象上，即可代入求解可得ω的表达式，结合周期的关系即可求解．【解答】解：由题意可得P(0，22)，Q(π，故f(0)=sinφ=22，|φ|＜又f(x)=sin(ωπ+π4)=所以ωπ+π4=由于12T＞|PQ|⇒πω＞π，故0＜ω故选：A．8．（5分）已知函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R），若不等式f（x）＜3x﹣2的解集为（0，4），则不等式f(x)xA．[﹣1，0）∪（0，2] B．（﹣∞，﹣2]∪（0，1] C．[﹣1，0）∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）【考点】由一元二次不等式的解求参数；分式不等式．【答案】C【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系结合韦达定理即可求出b=−1c=−2【解答】解：∵不等式f（x）＜3x﹣2的解集为（0，4），∴x2+（b﹣3）x+c+2＝0的两实数根分别为x＝0和x＝4，∴16+4b−12+c+2=0c+2=0，解得b=−1∴f（x）＝（x+1）（x﹣2），令f（x）≥0，解得x≥2或x≤﹣1，则f（x）≤0，解得﹣1≤x≤2，由f(x)x可得x＞0f(x)≥0或x＜0f(x)≤0，即x＞0x≥2或x≤−1则所求解集为[﹣1，0）∪[2，+∞）．故选：C．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）若数据1，5，0，10，8，9，11，12，2，17的第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数分别为m，k，n，平均数为x，则（）A．m＝2 B．n＝10 C．2x＞m+n 【考点】百分位数；平均数．【答案】AC【分析】根据百分位数和平均数的计算，即可结合选项逐一求解．【解答】解：将1，5，0，10，8，9，11，12，2，17从小到大排列为：0，1，2，5，8，9，10，11，12，17，因为10×25%＝2.5，故第25百分位数2，故m＝2，因为10×50%＝5，故第50百分位数为8+92=8.5，即因为10×75%＝7.5，故第75百分位数为11，即n＝11．平均数为x=2x由上可得AC正确，BD错误．故选：AC．（多选）10．（6分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的始边均与x轴的非负半轴重合，终边分别经过点A（2，1），B（﹣1，2），则（）A．tan2β=−43 B．sinα+cosβC．cos（α﹣β）＝0 D．α+β是第三象限角【考点】任意角的三角函数的定义．【答案】BC【分析】根据三角函数定义即可求出tanβ＝﹣2，再利用二倍角的正切公式即可判断A；直接代入计算好的sinα，cosβ即可判断B；利用两角差的余弦公式即可判断C；分别计算出sin（α+β），cos（α+β）的符号即可判断D．【解答】解：由题可知sinα=5对于A，tanβ＝﹣2，所以tan2β=2tanβ1−tan对于B，sinα+cosβ=55−对于C，cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=255对于D，因为sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ=5cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=2所以α+β是第二象限角，故D错误．故选：BC．（多选）11．（6分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点及动点P都在球O的球面上，AB=AC=2，BC=AAA．AC⊥BB1 B．球O的半径为2 C．三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积为16+82D．点P到平面ABC的距离的取值范围是[0，2+【考点】空间中点到平面的距离；棱柱的侧面积和表面积；球的表面积．【答案】ABD【分析】由直三棱柱概念知A正确，由直三棱柱和球的对称性可确定球心位置，构造直角三角形可求出球的半径知B正确，计算直三棱柱各个面之和可得表面积知C错误，点P到平面ABC的距离的最小值为0，最大值为球心到面ABC的距离与R之和，计算可得D正确．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的为直三棱柱，∴BB1⊥底面ABC，又AC⊂底面ABC，∴AC⊥BB1，故A正确；由AB=AC=2，BC=22知底面ABC是等腰直角三角形，取BC的中点为H则H为底面ABC的外心，设直三棱柱外接球的球心为O，则点O位于BCC1B1的中心，连接OH，OC，则OH⊥CH，由题意，OH=CH=2，则R2＝OH2+CH2＝2+2＝4，即R＝2．故B三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积为：S=12×2×2×2+2×2动点P在球O的球面上，则当点P与A，B，C重合时，点P到平面ABC的距离取得最小值为0，点P到平面ABC的距离的最大值为R+OH=2+2，点P到平面ABC的距离的取值范围是[0，2+2]故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知复数z1＝1+2i，z2＝i，则z1−【考点】复数的除法运算．【答案】1﹣i．【分析】利用复数除法法则计算出答案．【解答】解：z1故答案为：1﹣i．13．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长均为2，E，F分别是棱A1B1，A1C1的中点，则几何体EF﹣CBB1C1的体积为．【考点】棱锥的体积．【答案】53【分析】应用三棱柱及三棱台的体积做差后得出几何体的体积．【解答】解：VABC−A1E＝A1F＝1，A1EF﹣ABC为三棱台，VAVEF−CB故答案为：5314．（5分）已知函数f(x)=ax2−1，x＞0ax−1，x⩽0(a＜0)，若存在唯一的x＞0，使得f（x）＝﹣f（﹣x），则当﹣1＜f（【考点】分段函数的应用；奇偶性与单调性的综合．【答案】(−1【分析】先根据存在唯一的x成立求出a，再根据函数解析式解不等式即可．【解答】解：因为存在唯一的x＞0，使得f（x）＝﹣f（﹣x），则ax2﹣1＝﹣（﹣ax﹣1）有唯一正解，即ax2﹣ax﹣2＝0有唯一正解，又因为a＜0，则Δ＝（﹣a）2﹣4a×（﹣2）＝0，即a2+8a＝a（a+8）＝0，即a＝0或a＝﹣8，所以a＝﹣8，由﹣1＜f（x）＜0，可得x＞0−1＜−8x2可得−1故答案为：(−1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1＝A1D1，CD1＝CB1．（1）若E是棱BC的中点，过点E作平面α，使得平面α∥平面B1CD1，在图中画出平面α截平行六面体所得的截面；（不需写出作法和证明过程）（2）证明：平面B1CD1⊥平面ACC1A1．【考点】平面与平面垂直；平面与平面平行．【答案】（1）作图见解答；（2）证明见解答．【分析】（1）作出辅助线，六边形EFGQHT即为所作的截面α，并根据中位线进行证明；（2）证明CW⊥B1D1，又A1B1＝A1D1，则四边形A1D1C1B1为菱形，故A1C1⊥D1B1，从而得到线面垂直，面面垂直．【解答】（1）解：取BB1的中点F，A1B1的中点G，A1D1的中点Q，DD1的中点H，CD的中点T，顺次连接，则六边形EFGQHT即为所作的截面α，理由如下：因为EF为△BCB1的中位线，所以EF∥B1C，同理可得GQ∥B1D1，HT∥CD1，GF∥A1B，QH∥A1D，ET∥BD，而CD1∥A1B，B1C∥A1D，B1D1∥BD，故GF∥CD1，QH∥B1C，ET∥B1D1，因为GF⊂平面EFGQHT，CD1⊄平面EFGQHT，所以CD1∥面EFGQHT，同理B1C∥平面EFGQHT，因为CD1∩B1C＝C，且CD1，B1C⊂平面B1CD1，所以平面EFGQHT∥平面B1CD1，故六边形EFGQHT即为所作的截面α，（2）证明：设A1C1∩B1D1＝W，则B1W＝D1W，因为CD1＝CB1，所以CW⊥B1D1，又A1B1＝A1D1，故四边形A1D1C1B1为菱形，故A1C1⊥D1B1，因为CW∩A1C1＝W，CW，A1C1⊂平面AA1C1C，所以D1B1⊥平面AA1C1C，因为D1B1⊂平面B1CD1，所以平面B1CD1⊥平面AA1C1C．16．（15分）现有一批零件，一质检员从中随机抽取200件进行合格性检验，实际尺寸x与标准尺寸x0的差值为Δx，现对Δx进行整理，分组区间为[﹣0.25，﹣0.15），[﹣0.15，﹣0.05），[﹣0.05，0.05]，（0.05，0.15]，（0.15，0.25]，得到如图所示的频率分布直方图．规定：|Δx|≤0.05的为优质品，0.05＜|Δx|≤0.15的为合格品，|Δx|＞0.15的为劣质品．（1）求a的值，并计算Δx的平均值；（每组数据用该组所在区间的中点值作代表）（2）估计该批零件中优质品、合格品、劣质品的数量之比；（3）质检部门规定：若抽检的零件中劣质品数量不超过15件，则这批零件通过抽检，否则，不能通过抽检．问：这批零件能否通过抽检？【考点】频率分布直方图的应用．【答案】（1）a＝2.5，平均值为﹣0.025；（2）7：9：4；（3）不能．【分析】（1）根据频率分布直方图中各组概率之和为1可得a值，再由平均值计算公式计算即可．（2）根据频率分布直方图分别计算优质品，合格品，劣质品的数量即可；（3）因为样本中劣质品的数量为40件，已经超过15件，故这批零件不能通过抽检．【解答】解：（1）由频率分布直方图中各组概率之和为1得，0.1×（1.5+a+3.5+2.0+0.5）＝1，解得a＝2.5，平均值为0.1×[1.5×（﹣0.2）+2.5×（﹣0.1）+3.5×0+2.0×0.1+0.5×0.2]＝﹣0.025；（2）由频率分布直方图得200件样品中，优质品的数量为0.35×200＝70件，合格品的数量为0.45×200＝90件，劣质品的数量为0.2×200＝40件，所以优质品：合格品：劣质品＝7：9：4；（3）由（2）知，样本中劣质品的数量为40件，已经超过15件，所以这批零件不能通过抽检．17．（15分）一个质地均匀的正方体的1个面为黄色，2个面为绿色，3个面为红色．连续抛掷该正方体3次，观察落地时朝上的面的颜色．（1）求第1次、第2次、第3次朝上的面的颜色依次为红色、绿色、黄色的概率；（2）求朝上的面的颜色恰有2次相同的概率．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【答案】（1）136（2）23【分析】（1）根据独立事件概率乘积公式计算即可；（2）根据互斥事件的概率和公式结合独立事件概率乘积公式计算即可．【解答】解：（1）设第1次、第2次、第3次朝上的面的颜色依次为红色、绿色、黄色为事件A，P(A)=3（2）设朝上的面的颜色恰有2次相同为事件B，可以是2次相同的黄色或2次相同的绿色或2次相同的红色，所以P(B)=(118．（17分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为255a（1）求sinA的值