2023-2024学年湖南省邵阳二中高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年湖南省邵阳二中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．（5分）已知z＝﹣1﹣i，则|z|＝（）A．0 B．1 C． D．22．（5分）若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m∥α，n⊥α，则m⊥n D．若m∥α，n⊥α，则m与n相交3．（5分）南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（FlorenceNightingale）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法正确的是（）A．2015年至2022年，知识付费用户数量先增加后减少 B．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2022年最多 C．2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增 D．2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍4．（5分）在△ABC中，acosA＝bcosB，则三角形的形状为（）A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形5．（5分）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（）A．2π B．3π C．6π D．9π6．（5分）已知向量＝（0，1），＝（2，x），若⊥（），则x＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．27．（5分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长（包括底面边长）都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是（）A． B． C． D．28．（5分）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100m，则该球体建筑物的高度约为（）（cos10°≈0.985）A．49.25m B．50.76m C．56.74m D．58.60m二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）关于斜二测画法，下列说法正确的是（）A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B．若一个多边形的面积为S，则在对应直观图中的面积为S C．一个梯形的直观图仍然是梯形 D．在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直（多选）10．（6分）欧拉公式exi＝cosx+isinx（i为虚数单位，x∈R）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A．的虚部为1 B． C．|exi|＝|cosx|+|sinx| D．的共轭复数为（多选）11．（6分）下列说法中正确的是（）A．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等 B．若A、B为互斥事件，则A的对立事件与B的对立事件一定互斥 C．设样本数据x1，x2，x3，…，x9，x10的平均数和方差分别为2和8，若yi＝2xi+1（i＝1，2，3，…，9，10），则y1，y2，y3，…，y9，y10的平均数和方差分别为5和32 D．高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了容量为160的样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则高一和高二数学竞赛的平均分约为84.375分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知向量，，则向量在方向上的投影向量的坐标为．13．（5分）已知某艺术班共25人，其中有10名男生和15名女生，在期末作品展示中，该班男生每人作品数量的平均数为25，方差为1，女生每人作品数量的平均数为30，方差为2，则这25名学生每人作品数量的方差为．14．（5分）已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1，母线长分别为2（r1﹣r2）和3（r1﹣r2），则两个圆台的体积之比＝．四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，16，17题15分，18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）设向量，满足||＝||＝1，且|3﹣2|＝．（1）求与的夹角；（2）求|2+3|的大小．16．（15分）某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]后得到如图所示频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，分别求众数，第50百分位数；（2）用比例分配的分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，求在[70，90）分数段抽取的人数；（3）若甲成绩在[70，80），乙成绩在[80，90），求在（2）的条件下，甲、乙至少一人被抽到的概率．17．（15分）在一个质地均匀的正八面体中，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，记事件A＝“与地面接触的面上的数字为奇数”，事件B＝“与地面接触的面上的数字不大于4”（1）判断事件A与B是否相互独立，若是请证明，若不是请举例说明；（2）连续抛掷3次这个正八面体，求事件AB只发生1次的概率．18．（17分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝．（1）若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；（2）若AD⊥DC，且二面角A﹣CP﹣D的正弦值为，求AD．19．（17分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2（1﹣sin2B）+b2（1﹣sin2A）＝c2．（1）求角C；（2）若a＝2，求△ABC的面积S的取值范围；（3）若c＝2，且ab＝p（asinA+bsinB），求实数p的取值范围．

2023-2024学年湖南省邵阳二中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．（5分）已知z＝﹣1﹣i，则|z|＝（）A．0 B．1 C． D．2【考点】复数的模．【答案】C【分析】利用复数的模的运算法则求解即可．【解答】解：z＝﹣1﹣i，则|z|＝＝．故选：C．2．（5分）若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m∥α，n⊥α，则m⊥n D．若m∥α，n⊥α，则m与n相交【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【答案】C【分析】ABD可举出反例，判断它们的真假；C选项，根据线线平行和线面垂直的性质得到答案，判断它的真假．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，A错误；对于B，若m∥α，n∥α，则m与n异面、平行或相交，B错误；对于C，设直线l，满足l⊂α且l∥m，若n⊥α，则n⊥l，而l∥m，则m⊥n，C正确；对于D，若m∥α，n⊥α，则m与n相交或异面，D错误．故选：C．3．（5分）南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（FlorenceNightingale）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法正确的是（）A．2015年至2022年，知识付费用户数量先增加后减少 B．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2022年最多 C．2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增 D．2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍【考点】统计图表获取信息．【答案】D【分析】根据统计图中信息逐项判断即可．【解答】解：对于A，由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A说法错误；对于B和C，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016年，0.96﹣0.48＝0.48，2017年，1.88﹣0.96＝0.92，2018年，2.95﹣1.88＝1.07，2019年，3.56﹣2.95＝0.61，2020年，4.15﹣3.56＝0.59，2021年，4.77﹣4.15＝0.62，2022年，5.27﹣4.77＝0.5，则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故B说法错误，C说法错误；对于D，由5.27＞10×0.48，则2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故D说法正确．故选：D．4．（5分）在△ABC中，acosA＝bcosB，则三角形的形状为（）A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形【考点】三角形的形状判断．【答案】B【分析】根据正弦定理将题中等式化简，得sinAcosA＝sinBcosB，利用二倍角的正弦公式化简得sin2A＝sin2B．再由三角函数的诱导公式加以计算，可得A＝B或A+B＝，从而得到答案．【解答】解：∵acosA＝bcosB，∴根据正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B．∵A∈（0，π），∴2A＝2B或2A+2B＝π，得A＝B或A+B＝，因此△ABC是等腰三角形或直角三角形．故选：B．5．（5分）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（）A．2π B．3π C．6π D．9π【考点】圆锥的体积．【答案】B【分析】设出底面半径，通过高结合侧面积相等，求解底面半径，然后求解圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为：r，圆锥的母线长为：，圆柱和圆锥的侧面积相等，可得2πr＝，解得r＝3，圆锥的体积为：＝3π．故选：B．6．（5分）已知向量＝（0，1），＝（2，x），若⊥（），则x＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】D【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．【解答】解：＝（0，1），＝（2，x），则，⊥（），则2×2+x（x﹣4）＝（x﹣2）2＝0，解得x＝2．故选：D．7．（5分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长（包括底面边长）都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是（）A． B． C． D．2【考点】异面直线及其所成的角．【答案】B【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点F，取AC的中点G，连接FG，EG，∠EFG为EF与侧棱C1C所成的角，在直角三角形EFG中求出此角即可．【解答】解：取AC的中点G，连接FG，EG根据题意可知FG∥C1C，FG＝C1C；而EG∥BC，EG＝BC；∴∠EFG为EF与侧棱C1C所成的角，在Rt△EFG，cos∠EFG＝故选：B．8．（5分）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100m，则该球体建筑物的高度约为（）（cos10°≈0.985）A．49.25m B．50.76m C．56.74m D．58.60m【考点】解三角形．【答案】B【分析】根据三角函数可得，利用，求解R即可．【解答】解：如图，设球的半径为R，则AB＝R，∵，∴＝，∴，故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）关于斜二测画法，下列说法正确的是（）A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B．若一个多边形的面积为S，则在对应直观图中的面积为S C．一个梯形的直观图仍然是梯形 D．在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直【考点】斜二测法画直观图；平面图形的直观图．【答案】ABC【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行性不会改变，A正确；对于B，由原图与直观图的关系，若一个多边形的面积为S，则在对应直观图中的面积为S，B正确；对于C，一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确；对于D，空间几何体的直观图中，在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中可以垂直，如长方体的长和高，D错误；故选：ABC．（多选）10．（6分）欧拉公式exi＝cosx+isinx（i为虚数单位，x∈R）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A．的虚部为1 B． C．|exi|＝|cosx|+|sinx| D．的共轭复数为【考点】复数的指数形式；复数欧拉公式．【答案】AD【分析】由，其虚部为1，可判断A；由，可判断B；由，可判断C；先求得，结合共轭复数的概念即可判断D．【解答】解：对于A，，其虚部为1，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，exi＝cosx+isinx，则，故C错误；对于D，，故的共轭复数为，故D正确．故选：AD．（多选）11．（6分）下列说法中正确的是（）A．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等 B．若A、B为互斥事件，则A的对立事件与B的对立事件一定互斥 C．设样本数据x1，x2，x3，…，x9，x10的平均数和方差分别为2和8，若yi＝2xi+1（i＝1，2，3，…，9，10），则y1，y2，y3，…，y9，y10的平均数和方差分别为5和32 D．高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了容量为160的样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则高一和高二数学竞赛的平均分约为84.375分【考点】频率分布直方图；用样本估计总体的集中趋势参数；用样本估计总体的离散程度参数；互斥事件与对立事件．【答案】ACD【分析】利用频率分布直方图以及互斥事件和对立事件的概念即可判断AB，设样本数据xi的均值为，方差为s2，由已知得新样本yi＝2xi+1的均值为，方差为22s2即可判断C，先计算抽取的比例，再在高一高二两层内按比例抽取，求出高一高二的人数后再计算平均分即可判断D．【解答】解：对于A，在频率分布直方图中，根据中位数的概念，可得中位数左边和右边的直方图的面积相等是正确的，故A正确；对于B，若A、B为互斥事件，根据互斥事件和对立事件的概念，可得则A的对立事件与B的对立事件不一定互斥，故B不正确；对于C，设样本数据xi的均值为，则，方差为s2，则s2＝8，所以新样本yi＝2xi+1的均值为，方差为22s2＝32，故C正确；对于D，由题意，可得高一年级抽取的样本量为×450＝90，高二年级抽取的样本量为×350＝70．高一和高二数学竞赛的平均分约为×80+×90＝84.375（分），故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知向量，，则向量在方向上的投影向量的坐标为（1，1）．【考点】平面向量的投影向量；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】（1，1）．【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得．【解答】解：依题意，，所以向量在方向上的投影向量为．故答案为：（1，1）．13．（5分）已知某艺术班共25人，其中有10名男生和15名女生，在期末作品展示中，该班男生每人作品数量的平均数为25，方差为1，女生每人作品数量的平均数为30，方差为2，则这25名学生每人作品数量的方差为．【考点】用样本估计总体的离散程度参数；用样本估计总体的集中趋势参数．【答案】．【分析】根据分层抽样的平均数和方差的公式，准确计算，即可求解．【解答】解：由题意得，这25名学生每人作品数量的平均数为，所以方差为．故答案为：．14．（5分）已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1，母线长分别为2（r1﹣r2）和3（r1﹣r2），则两个圆台的体积之比＝．【考点】圆台的体积．【答案】见试题解答内容【分析】由已知结合圆台的体积公式即可求解．【解答】解：因为甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1，母线长分别为2（r1﹣r2）和3（r1﹣r2），则两个圆台的体积之比＝＝＝．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，16，17题15分，18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）设向量，满足||＝||＝1，且|3﹣2|＝．（1）求与的夹角；（2）求|2+3|的大小．【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据，对两边平方，进行数量积的运算即可求出，然后根据向量夹角的范围即可求出夹角；（2）可求出，从而可求出，从而求出．【解答】解：（1）∵，；∴；∴；又；∴与的夹角为；（2）∵；∴；∴．16．（15分）某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]后得到如图所示频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，分别求众数，第50百分位数；（2）用比例分配的分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，求在[70，90）分数段抽取的人数；（3）若甲成绩在[70，80），乙成绩在[80，90），求在（2）的条件下，甲、乙至少一人被抽到的概率．【考点】频率分布直方图的应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用频率分布直方图中各个小矩形面积之和为1即可求出a的值，取频率最高组的区间中点值即为众数，再利用中位数左侧小矩形面积之和为0.5求出中位数的估计值．（2）估计总体容量和样本容量求出抽样比，再乘以[70，90）分数段的人数，即可求出结果；（3）设甲被抽到的事件为A，乙被抽到的事件为B，求出相应的概率，然后可以根据对立事件求解．【解答】解（1）由题意可得，（0.01+0.015×2+a+0.025+0.005）×10＝1，解得a＝0.03，根据频率分布直方图可知[70，80）分数段的频率最高，因此众数为75，又由频率分布直方图可知[40，70）分数段的频率为0.1+0.15+0.15＝0.4，因为[70，80）分数段的频率为0.3，所以，第50百分位数即中位数为70+×10＝；（2）因为总体共60名学生，样本容量为20，因此抽样比为．又在[70，90）分数段共有60×（0.3+0.25）＝33（人），因此，在[70，90）分数段抽取的人数是33×＝11人；（3）在（2）的条件下，可知[70，80）分数段又6人，[80，90）分数段有5人，设甲被抽到的事件为A，乙被抽到的事件为B，则P（A）＝＝，PB＝＝，则甲乙至少一人被抽到的概率为P（AB）+P（A）+P（B）＝1﹣P（）＝1﹣＝．17．（15分）在一个质地均匀的正八面体中，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，记事件A＝“与地面接触的面上的数字为奇数”，事件B＝“与地面接触的面上的数字不大于4”（1）判断事件A与B是否相互独立，若是请证明，若不是请举例说明；（2）连续抛掷3次这个正八面体，求事件AB只发生1次的概率．【考点】由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性．【答案】（1）是；证明见解析；（2）．【分析】（1）列出样本空间，即可列出A，B所对应的基本事件，求出所对应的概率，根据独立事件的概率公式判断即可；（2）利用独立事件的概率公式即可得解．【解答】解：（1）依题意，得样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以A＝{1，3，5，7}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝{1，3}，故，，，所以事件A，B相互独立．（2）依题意知每次抛掷这个正八面体的结果都互不影响，即互相独立，记∁i（i＝1，2，3）为第i次抛掷这个正八面体发生事件AB，则，所以事件AB只发生1次的概率为＝．18．（17分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝．（1）若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；（2）若AD⊥DC，且二面角A﹣CP﹣D的正弦值为，求AD．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．【答案】（1）证明详情见解答．（2）AD＝．【分析】（1）由PA⊥面ABCD，结合线面垂直的性质定理可得PA⊥AD，又AD⊥PB，结合线面垂直的判定定理可得AD⊥面PAB，则AD⊥AB，推出AD∥BC，结合线面平行的判定定理，即可得出答案．（2）以DA，DC为x，y轴，过点D作平面ABCD垂直的线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz，令AD＝t，则DC＝，C（0，，0），求出平面ACP的法向量＝（x1，y1，z1），平面CPD的法向量为＝（x2，y2，z2），则＝|cos＜，＞|＝|，解得t，即可得出答案．【解答】解：（1）证明：因为PA⊥面ABCD，AD⊂面ABCD，所以PA⊥AD，又因为AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA⊂面PAB，所以AD⊥面PAB，又AB⊂面PAB，所以AD⊥AB，在△ABC中，AB2+BC2＝AC