2023-2024学年江西省南昌市高三(上)开学摸底数学试卷(零模)(9月份)

2023-2024学年江西省南昌市高三（上）开学摸底数学试卷（零模）（9月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，Q＝{y|y＝2x}，则（）A．Q⊆P B．P⊆Q C．P＝Q D．Q⊆∁RP2．（5分）复数的虚部是（）A． B． C． D．3．（5分）已知向量，，若，则m＝（）A． B．1 C．2或﹣1 D．1或﹣24．（5分）已知公比为q的等比数列{an}的前n项和，则a1＝（）A． B．1 C．2 D．45．（5分）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P是抛物线C在第一象限的一点，过P作C的准线的垂线，垂足为M，FM的中点为N，若直线PN经过点（0，﹣3），则直线PN的斜率为（）A．1 B．2 C． D．36．（5分）已知函数y＝ex和y＝lnx的图象与直线y＝2﹣x交点的横坐标分别为a，b，则（）A．a＞b B．a+b＜2 C．ab＞1 D．a2+b2＞27．（5分）已知函数f（x）的值域为A，函数的值域为B，则“A＝[﹣1，1]”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（5分）若函数f（x）＝cosx，，则函数f（x）在上平均变化率的取值范围为（）A．（﹣1，0] B． C．（﹣∞，0] D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）“未来之星”少儿才艺大赛，选手通过自我介绍和才艺表演，展示仪表形象、表达能力、风度气质等自身的整体形象，评委现场打分．若九位评委对某选手打分分别是x1，x2，⋯，x9，记这组数据的平均分、中位数、标准差、极差分别为，z，s，j，去掉这组数据的一个最高分和一个最低分后，其平均分、中位数、标准差、极差分别为，z′，s′，j′，则下列判断中一定正确的是（）A． B．z＝z′ C．s≥s′ D．j≥j′（多选）10．（5分）在下列四棱锥中，底面为平行四边形，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有（）A． B． C． D．（多选）11．（5分）f（x）是定义在R上连续可导函数，其导函数为f′（x），下列命题中正确的是（）A．若f（x）＝f（﹣x），则f′（x）＝﹣f′（﹣x） B．若f′（x）＝f′（x+T）（T≠0），则f（x）＝f（x+T） C．若f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，则f′（x）的图象关于直线x＝a轴对称 D．若f（﹣1+x）+f（﹣1﹣x）＝2，f′（x+2）的图象关于原点对称，则f（﹣1）+f′（2）＝1（多选）12．（5分）已知双曲线C：x2﹣y2＝2，点M为双曲线右支上的一个动点，过点M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B两点，则下列说法正确的是（）A．双曲线的离心率为 B．存在点M，使得四边形OAMB为正方形 C．直线AB，OM的斜率之积为2 D．存在点M，使得三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知直线x+y+2＝0与圆x2+y2＝r2相切，则r的值为．14．（5分）（1﹣x+x2）（1+x）6展开式中x7的系数是．15．（5分）如图，高度均为3的封闭玻璃圆锥和圆柱容器内装入等体积的水，此时水面高度均为h，若h＝2，记圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，则＝．16．（5分）已知函数y＝Asin（x+φ）（A＞0）的图象与直线y＝m（0＜m＜A）连续的三个公共点从左到右依次为M，N，P，若|PN|＝3|MN|，则＝．四、解答题：共70分.17题10分，其余大题12分一道，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，acosB+bcosA＝abc．（1）求△ABC的面积；（2）若c＝1，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，M，N分别为AC，AB的中点，PM⊥AB．（1）求证：AB⊥PN；（2）若AB＝BC＝2，BP＝PM＝3，求二面角N﹣PM﹣B的余弦值．19．（12分）如图，第n个图形是由棱长为n+1的正方体挖去棱长为n的正方体得到的，记其体积为{an}．（1）求证：an＝3n2+3n+1；（2）求和：12+22+32+⋯+n2．20．（12分）已知粴圆C：经过点，F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，△OFM的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（4，0）作一条斜率不为0的直线与椭圆C相交于A，B两点（A在B，P之间），直线BF与椭圆C的另一个交点为D，求证：点A，D关于x轴对称．21．（12分）迎“七一”党建知识竞赛，竞赛有两关，某学校代表队有四名队员，这四名队员若有机会参加这两关比赛，通过的概率见下表：队员第一关第二关甲乙丙丁比赛规则是：从四名队员中随机选出两名队员分别参加比赛，每个队员通过第一关可以得60分，且有资格参加第二关比赛，若没有通过，得0分且没有资格参加第二关比赛，若通过第二关可以再得40分，若没有通过，不再加分．两名参赛队员所得总分为该代表队的得分，代表队得分不低于160分，可以获得“党建优秀代表队”称号．假设两名参赛队员不相互影响．（1）求这次比赛中，该校获得“党建优秀代表队”称号的概率；（2）若这次比赛中，选中了甲乙两名队员参赛，记该代表队的得分为X，求随机变量X的分布列和期望．22．（12分）已知函数f（x）＝ax（a＞1）．（1）求函数在（0，+∞）上的单调区间和极值；（2）若方程有两个不同的正根，求a的取值范围．

2023-2024学年江西省南昌市高三（上）开学摸底数学试卷（零模）（9月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，Q＝{y|y＝2x}，则（）A．Q⊆P B．P⊆Q C．P＝Q D．Q⊆∁RP【考点】指数函数的图象与性质；集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法．【答案】A【分析】根据幂函数定义域和指数函数值域即可求出P，Q，再根据集合间关系即可判断．【解答】解：根据幂函数的定义域知{x|x≥0}，则P＝[0，+∞），根据指数函数的值域知2x＞0，则Q＝（0，+∞），则Q⊆P，且Q≠P，故B、C错误，∁RP＝（﹣∞，0），则D错误．故选：A．2．（5分）复数的虚部是（）A． B． C． D．【考点】复数的运算；虚数单位i、复数．【答案】C【分析】利用复数除法法则计算出，从而求出虚部．【解答】解：，故的虚部为．故选：C．3．（5分）已知向量，，若，则m＝（）A． B．1 C．2或﹣1 D．1或﹣2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；向量相等与共线．【答案】D【分析】根据向量平行的坐标表示，列方程求解，可得答案．【解答】解：由题意知，故2×1﹣m（m+1）＝0，即m2+m﹣2＝0，∴m＝1或m＝﹣2．故选：D．4．（5分）已知公比为q的等比数列{an}的前n项和，则a1＝（）A． B．1 C．2 D．4【考点】等比数列的前n项和．【答案】B【分析】根据题意求出a1＝2q，继而表示出a2，根据即可求得q，继而求得答案．【解答】解：由题意可得a1＝S1＝2a1﹣2q，即a1＝2q，又，又{an}是公比为q的等比数列，故，∴，故a1＝2q＝1．故选：B．5．（5分）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P是抛物线C在第一象限的一点，过P作C的准线的垂线，垂足为M，FM的中点为N，若直线PN经过点（0，﹣3），则直线PN的斜率为（）A．1 B．2 C． D．3【考点】抛物线的性质．【答案】C【分析】设，进而可得，再根据抛物线定义可得PN⊥FM，结合kPN×kFM＝﹣1列式可得，进而求得kPN．【解答】解：由题意F（0，1），设，则M（x0，﹣1），又FM的中点为N，故．由抛物线定义可得PF1＝PM，故PN⊥FM．则kPN×kFM＝﹣1，因为直线PN经过点（0，﹣3），即，故，又P是抛物线C在第一象限的一点，故x0＞0，解得．故，直线PN的斜率为．故选：C．6．（5分）已知函数y＝ex和y＝lnx的图象与直线y＝2﹣x交点的横坐标分别为a，b，则（）A．a＞b B．a+b＜2 C．ab＞1 D．a2+b2＞2【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．【答案】D【分析】作出函数y＝ex和y＝lnx的图象以及直线y＝2﹣x的图象，即可判断a，b大小，由此判断A；利用反函数的性质可判断B；利用基本不等式可判断C，D．【解答】解：作出函数y＝ex和y＝lnx的图象以及直线y＝2﹣x的图象，如图，由函数y＝ex和y＝lnx的图象与直线y＝2﹣x交点的横坐标分别为a，b，结合图象可知0＜a＜b，A错误；由题意知A（a，ea），B（b，lnb），也即A（a，2﹣a），B（b，2﹣b），由于函数y＝ex和y＝lnx互为反函数，二者图象关于直线y＝x对称，而A，B为y＝ex和y＝lnx的图象与直线y＝2﹣x的交点，故A，B关于y＝x对称，故a＝2﹣b，∴a+b＝2，B错误；由0＜a＜b，a+b＝2，故，C错误；因为0＜a＜b，故a2+b2＞2ab，∴2（a2+b2）＞（a+b）2，结合a+b＝2，即得a2+b2＞2，D正确．故选：D．7．（5分）已知函数f（x）的值域为A，函数的值域为B，则“A＝[﹣1，1]”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】函数的值域；充分条件与必要条件．【答案】A【分析】利用导数判断的单调性，求得当A＝[﹣1，1]时函数的值域，继而判断值域为，能否推出A＝[﹣1，1]，即可得答案．【解答】解：令t＝f（x），t∈[﹣1，1]，则即为，则，由于t∈[﹣1，1]，故h′（t）≥0，等号仅在x＝±1时取得，故在[﹣1，1]上单调递增，故，即值域为，即，故“A＝[﹣1，1]”成立能推出“成立；当，即的值域为时，不妨取f（x）＝2，此时，但f（x）＝2∉[﹣1，1]，即“”推不出“A＝[﹣1，1]”，故“A＝[﹣1，1]”是“”的充分不必要条件，故选：A．8．（5分）若函数f（x）＝cosx，，则函数f（x）在上平均变化率的取值范围为（）A．（﹣1，0] B． C．（﹣∞，0] D．【考点】变化的快慢与变化率．【答案】B【分析】利用定义得到f（x）在上平均变化率为，令，，根据几何意义可看作图象上任一点P（a，cosa）与点连线的斜率，数形结合，以及切线的几何意义求出变化率的取值范围．【解答】解：当，时，f（x）在上平均变化率为，令，，可看作图象上任一点P（a，cosa）与点连线的斜率，即，当点P从点B运动到点A，斜率g（a）逐渐减小，点P，A重合时，g（a）表示函数y＝cosx在点处的切线的斜率，，所以g（a）＞﹣1，当点P位于点B时，点P，A连线的斜率最大，，故．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）“未来之星”少儿才艺大赛，选手通过自我介绍和才艺表演，展示仪表形象、表达能力、风度气质等自身的整体形象，评委现场打分．若九位评委对某选手打分分别是x1，x2，⋯，x9，记这组数据的平均分、中位数、标准差、极差分别为，z，s，j，去掉这组数据的一个最高分和一个最低分后，其平均分、中位数、标准差、极差分别为，z′，s′，j′，则下列判断中一定正确的是（）A． B．z＝z′ C．s≥s′ D．j≥j′【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【答案】BCD【分析】根据平均数、中位数、标准差、极值的性质逐一判断即可．【解答】解：根据平均数的性质可知不一定成立，例如九个数一个90，其它都是80，显然该等式不成立，因此A不一定正确；根据中位数的定义可知这九个数据从小到大排列，中间的一个数据是中位数，去掉最高和最低不影响中间的数据，所以B一定正确；根据标准差的意义可知去掉最高和最低分，数据有可能会更集中，所以选项C一定正确；因为去掉最高和最低分，极差有可能减小，所以选项D一定正确．故选：BCD．（多选）10．（5分）在下列四棱锥中，底面为平行四边形，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有（）A． B． C． D．【考点】直线与平面平行．【答案】AB【分析】根据线面平行的判定定理可判断A，B；假设MN∥平面ABC，利用线面平行的性质定理结合平面内过一点有且仅有一条直线和已知直线平行可判断C，D．【解答】解：对于A，设P为AB的中点，底面为平行四边形BEFC，连接MP，PC，则，而BE∥CF，BE＝CF，故PM∥CN，PM＝CN，即四边形PMNC为平行四边形，故MN∥PC，而PC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，故MN∥平面ABC，A正确；对于B，设P为AB的中点，底面为平行四边形BCFE，连接MP，PC，则，而BE∥CF，BE＝CF，故PM∥CN，PM＝CN，即四边形PMNC为平行四边形，故MN∥PC，而PC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，故MN∥平面ABC，B正确；对于C，设P为AE的中点，底面为平行四边形BEFG，连接NP，PB，设NP交AC于H，连接BH，则，而FE∥GB，FE＝GB，故PN∥MB，PN＝MB，即四边形PNMB为平行四边形，故MN∥PB，又MN⊂平面PNMB，MN⊄平面ABC，平面PNMB⋂平面ABC＝BH，假设MN∥平面ABC，则MN∥BH，即在平面PNMB内过点B有两条直线和MN都平行，这是不可能的，故此时MN∥平面ABC不成立，C错误；对于D，设底面为平行四边形ANEF，连接AE，FN交于点H，FN交AC于G，则H为FN的中点，连接BH，BG，由于B为MF的中点，故BH∥MN；又MN⊂平面NMF，MN⊄平面ABC，平面NMF⋂平面ABC＝BG，假设MN∥平面ABC，则MN∥BG，即在平面NMF内过点B有两条直线和MN都平行，这是不可能的，故此时MN∥平面ABC不成立，D错误；故选：AB．（多选）11．（5分）f（x）是定义在R上连续可导函数，其导函数为f′（x），下列命题中正确的是（）A．若f（x）＝f（﹣x），则f′（x）＝﹣f′（﹣x） B．若f′（x）＝f′（x+T）（T≠0），则f（x）＝f（x+T） C．若f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，则f′（x）的图象关于直线x＝a轴对称 D．若f（﹣1+x）+f（﹣1﹣x）＝2，f′（x+2）的图象关于原点对称，则f（﹣1）+f′（2）＝1【考点】导数的运算．【答案】ACD【分析】根据导数的运算法则，可判定A正确；结合函数f（x）＝x，可判定B错误；根据题意，得到f（a+x）+f（a﹣x）＝2b，两边同时取导数得到f（a+x）＝f（a﹣x），可判定C正确；令x＝0，求得f（﹣1）＝1，再令x＝0，求得f′（2）＝0，可判定D正确．【解答】解：A中，由f（x）＝f（﹣x），根据导数的运算法则，可得f′（x）＝﹣f′（﹣x），所以A正确；B中，例如函数f（x）＝x，可得f′（x）＝1，此时满足f′（x）＝f′（x+T）（T≠0），但f（x）≠f（x+T），所以B错误；C中，由f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，可得f（a+x）+f（a﹣x）＝2b，两边同时取导数，可得f′（a+x）﹣f′（a﹣x）＝0，即f′（a+x）＝f′（a﹣x），所以f′（x）的图象关于直线x＝a轴对称，所以C正确；D中，由f（﹣1+x）+f（﹣1﹣x）＝2，令x＝0，可得f（﹣1）+f（﹣1）＝2，即f（﹣1）＝1，又由f′（x+2）的图象关于原点对称，令x＝0，可得f′（2）＝0，所以f（﹣1）+f′（2）＝1，所以D正确．故选：ACD．（多选）12．（5分）已知双曲线C：x2﹣y2＝2，点M为双曲线右支上的一个动点，过点M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B两点，则下列说法正确的是（）A．双曲线的离心率为 B．存在点M，使得四边形OAMB为正方形 C．直线AB，OM的斜率之积为2 D．存在点M，使得【考点】双曲线的性质．【答案】AB【分析】根据双股曲线方程求出离心率判断A；取特殊点判断B；设M（x0，y0），求出A，B的坐标，进而求出直线AB，OM的斜率之积，判断C；利用两点间距离公式表示出|MA|+|MB|，令其等于，结合双曲线方程可判断D．【解答】解：对于A，由双曲线C：x2﹣y2＝2，得，∴，故，故A正确；对于B，双曲线C：x2﹣y2＝2的渐近线为y＝±x，则四边形OAMB为矩形，又双曲线右顶点为，到直线y＝±x的距离均为，故矩形OAMB为正方形，即存在点M，即M为双曲线右顶点时，使得四边形OAMB为正方形，故B正确；对于C，设M（x0，y0），不妨设A在第一象限，B在第四象限，由于MA⊥OA，故可得MA的方程为y﹣y0＝﹣（x﹣x0），联立y＝x，可得，则，同理MB⊥OB，可得MB的方程为y﹣y0＝x﹣x0，联立y＝﹣x，可得，则，故，而，∴kAB⋅kOM＝1，故C错误；对于D，由以上分析可知，同理，故，根据双曲线的对称性，不妨假设M在第一象限，则x0＞y0，故，令，∴，将代入x2﹣y2＝2，即有，此时显然不可能成立，即双曲线上不存在点M，使得，故D错误．故选：AB．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知直线x+y+2＝0与圆x2+y2＝r2相切，则r的值为．【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．【答案】．【分析】由直线与圆相切，结合点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：由直线x+y+2＝0与圆x2+y2＝r2相切，则，即，故答案为：．14．（5分）（1﹣x+x2）（1+x）6展开式中x7的系数是5．【考点】二项式定理．【答案】5．【分析】根据二项式展开式的通项公式求得（1+x）6展开式中的x6，x5项的系数，结合多项式相乘，即可求得答案．【解答】解：由题意知﹣x，x2项和（1+x）6展开式中的x6，x5相乘出现x7项，（1+x）6的通项公式为，分别令r＝5，6可得x5，x6项的系数为，故（1﹣x+x2）（1+x）6展开式中x7的系数是﹣1+6＝5．故答案为：5．15．（5分）如图，高度均为3的封闭玻璃圆锥和圆柱容器内装入等体积的水，此时水面高度均为h，若h＝2，记圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，则＝．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【答案】．【分析】利用圆锥的轴截面求出圆锥内水的体积的表达式，再求出圆柱内水的体积表达式，二者相等，化简即可得答案．【解答】解：如图，作出圆锥的轴截面SAB，设CD为水面，O为圆锥底面中心，O1为水面中心，则SO＝3，OO1＝2，∴SO1＝1，则△SDC∽△SAB，故，∴，故圆锥内水的体积为，圆柱内水的体积为，由V1＝V2，得，故．故答案为：．16．（5分）已知函数y＝Asin（x+φ）（A＞0）的图象与直线y＝m（0＜m＜A）连续的三个公共点从左到右依次为M，N，P，若|PN|＝3|MN|，则＝．【考点】正弦函数的图象．【答案】．【分析】令x+φ＝t，则函数y＝Asin（x+φ）（A＞0）即为函数y＝Asint（A＞0），题目等价于y＝Asint（A＞0）的图象与直线y＝m（0＜m＜A）连续的三个公共点M′，N′，P′，判断M′，N′，P′分布的位置，结合正弦函数的周期以及对称性确定点M′的坐标，代入函数解析式化简，可得答案．【解答】解：令x+φ＝t，则函数y＝Asin（x+φ）（A＞0）即为函数y＝Asint（A＞0），y＝Asin（x+φ）（A＞0）的最小正周期为2π，y＝Asint（A＞0）最小正周期为2π，作出函数y＝Asint，（A＞0）的大致图象，如图，则函数y＝Asin（x+φ）（A＞0）的图象与直线y＝m（0＜m＜A）连续的三个公共点M，N，P，等价于y＝Asint（A＞0）的图象与直线y＝m（0＜m＜A）连续的三个公共点M′，N′，P′，（连续的三个公共点从左到右排列），由题意不妨设M′，N′，P′位置如图中所示（三点位置可左右平移一个周期），即M′，N′关于直线对称，|P′M′|＝2π，由于|PN|＝3|MN|，则|P′N′|＝3|M′N′|，故，而M′，N′关于直线对称，故M′点横坐标为，将M′点横坐标代入y＝Asint（A＞0），得，则．故答案为：．四、解答题：共70分.17题10分，其余大题12分一道，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，acosB+bcosA＝abc．（1）求△ABC的面积；（2）若c＝1，求△ABC的周长．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）；（2）3．【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简acosB+bcosA＝abc，可得ab＝1，利用三角形面积公式即可求得答案；（2）由余弦定理推出a2+b2＝2，继而求出a+b的值，即可得答案．【解答】解：（1）由已知，在△ABC中有acosB+bcosA＝abc，故sinAcosB+sinBcosA＝absinC，即sin（A+B）＝absinC，即sinC＝absinC，而C∈（0，π），所以sinC≠0，所以ab＝1，又，故△ABC的面积为；（2）由余弦定理，得，可得，所以a2+b2＝2，所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝4，即a+b＝2，所以△ABC的周长为3．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，M，N分别为AC，AB的中点，PM⊥AB．（1）求证：AB⊥PN；（2）若AB＝BC＝2，BP＝PM＝3，求二面角N﹣PM﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．【答案】（1）详见证明过程；（2）．【分析】（1）利用线面垂直的判定证明AB⊥平面PMN，再利用线面垂直的性质即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关法向量，则可计算出二面角余弦值．【解答】解：（1）证明：因为M，N分别为AC，AB的中点，所以NM∥BC，因为AB⊥BC，所以AB⊥MN，因为AB⊥PM，PM∩MN＝M，PM，MN⊂平面PMN，所以AB⊥平面PMN，又因为PN⊂平面PMN，所以AB⊥PN；（2）因为AB＝BC＝2，BP＝PM＝3，则NM＝NB＝1，所以△PNB≅△PNM，因为AB⊥PN，所以PN⊥NM，因为NB⋂NM＝N，NB，NM⊂平面ABC，所以PN⊥平面ABC，因为AB＝BC＝2，BP＝PM＝3，所以，以NB所在直线为x轴，NM所在直线为y轴，NP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则M（0，1，0），B（1，0，0），，所以，，设平面PMB的法向量为，则，所以，令z＝1，得到，平面PMN的法向量为所以，则根据法向量的朝向知二面角N﹣PM﹣B的余弦值为．19．（12分）如图，第n个图形是由棱长为n+1的正方体挖去棱长为n的正方体得到的，记其体积为{an}．（1）求证：an＝3n2+3n+1；（2）求和：12+22+32+⋯+n2．【考点】数列的求和；棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】（1）证明过程请看解答；（2）．【分析】（1）利用正方体的体积作差，可得，化简即可得证；（2）利用（1）中的结论，结合分组求和法与裂项求和法，即可得解．【解答】（1）证明：因为棱长为n+1的正方体的体积为（n+1）3，棱长为n的正方体的体积为n3，所以，得证．（2）解：由（1）可知，an＝3n2+3n+1，所以＝，又，所以，即3×（12+22+32+⋯+n2）＝n3+3n2+3n﹣﹣n＝n3++n＝，所以．20．（12分）已知粴圆C：经过点，F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，△OFM的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（4，0）作一条斜率不为0的直线与椭圆C相交于A，B两点（A在B，P之间），直线BF与椭圆C的另一个交点为D，求证：点A，D关于x轴对称．【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）根据三角形面积公式，利用代入法进行求解即可；（2）根据对称性与直线间斜率的关系，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．【解答】解：（1）因为△OFM的面积为，则有，解得c＝1，又因为在椭圆C上，则，解得，所以椭圆C的标准方程为；（2）证明：根据椭圆的对称性，欲证A，D关于x轴对称，只需证kFA＝﹣kFD，即证kFA+kFB＝0，设A（x2，y2），B（x1，y1），直线AB方程为x＝my+4，由消去x得（3m2+4）y2+24my+36＝0，所以，，则，因为，所以kFA+kFB＝0，即A，D关于x轴对称．21．（12分）迎“七一”党建知识竞赛，竞赛有两关，某学校代表队有四名队员，这四名队员若有机会参加这两关比赛，通过的概率见下表：队员第一关第二关甲乙丙丁比赛规则是：从四名队员中随机选出两名队员分别参加比赛，每个队员