2023-2024学年江西省新余实验中学高二(上)开学数学试卷

2023-2024学年江西省新余实验中学高二（上）开学数学试卷一、单选题（每题5分，共40分）1．（5分）若集合A＝{x|x2+x﹣6＜0}，B＝{x|≤0}，则A∩B等于（）A．（﹣3，3） B．[﹣2，2） C．（﹣2，2） D．[﹣2，3）2．（5分）一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为，则该圆锥的母线长为（）A．3 B．3 C．6 D．3．（5分）在△ABC中，，则＝（）A． B． C． D．4．（5分）已知，，则cos（2α+2β）＝（）A． B． C． D．5．（5分）如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形O'A'B'C'，则原四边形OABC的面积是（）A． B． C．16 D．86．（5分）某游戏在刚发布时有100名玩家，发布5天后有1000名玩家．加果玩家人数R（t）与天数之间满足关系式：R（t）＝R0ekt，其中k为常数，R0是刚发布时的玩家人数，则玩家超过30000名至少经过的天数为（）（参考数据：lg3≈0.4771）A．11 B．12 C．13 D．147．（5分）函数的大致图象为（）A． B． C． D．8．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝6，BC＝3，，则三棱锥P﹣ABC的外接球半径为（）A．3 B． C． D．6二、多选题（每题5分，共20分）（多选）9．（5分）下列说法不正确的是（）A．函数y＝x2﹣x﹣2的零点是（﹣1，0）和（2，0） B．正实数a，b满足a+b＝1，则不等式的最小值为 C．函数的最小值为2 D．x2＜1的一个必要不充分条件是0＜x＜1（多选）10．（5分）已知复数z1＝1+i，z2＝1﹣i，则（）A．z1z2∈R B．|z1|≠|z2| C．|z1+z2|＝|z1﹣z2| D．若，则|z1z3|＝|z2z3|（多选）11．（5分）将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移个单位，得到的图像对应的解析式为（）A． B． C． D．（多选）12．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，E是线段PB的中点，F是线段BC上的动点，则以下结论正确的是（）A．平面AEF⊥平面PBC B．直线EF与平面PAB所成角正切值的最大值为 C．二面角B﹣AE﹣F余弦值的最小值为 D．线段BC上不存在点F，使得PD∥平面AEF三、填空题13．（5分）已知，，且，，则α+β的值是．14．（5分）甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A、B、C这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院校A、B至少有一所被选择的概率为．15．（5分）已知f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）满足f（）＝1，f（π）＝0，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为．16．（5分）已知，，若对∀t∈R，恒有，且点M满足，N为OA的中点，则＝．四、解答题17．（10分）已知向量＝（﹣1，3λ），＝（5，λ﹣1）．（1）若∥，求λ的值；（2）若（2）⊥（﹣），求λ的值．18．（12分）在△ABC中，其内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且满足_____．①；②；③．请从上述所给的三个条件中任选一个，补充到上面的横线上，并解答下列问题：（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知△ABC外接圆的半径为，如图所示，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝1，求△ABC的面积．19．（12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200kW•h的部分按0.5元/kW•h收费，超过200kW•h但不超过400kW•h的部分按0.8元/kW•h收费，超过400kW•h的部分按1.0元/kW•h收费．（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量（单位：kW•h）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率直方图．若这100户居民中，今年1月份电费不超过260元的占80%，求a，b的值；（3）在（2）的条件下，计算月用电量的75百分位数．20．（12分）如图，正方形ABCD和菱形ACEF所在平面互相垂直，∠ACE＝60°．四棱锥E﹣ABCD的体积是36．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABF（Ⅱ）求四面体ABEF的体积．21．（12分）从以下给出的①、②两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．①2bsinA＝atanB，②（a﹣c）sinA+csinC＝bsinB已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若_____．（1）求角B的值；（2）求△ABC的面积取得最大值时，边b的长．22．（12分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，平面ABCD⊥平面PAD，E是PB的中点，F是DC上一点，G是PC上一点，且PD＝AD，AB＝2DF＝6．（1）求证：平面EFG⊥平面PAB．（2）若PA＝4，PD＝3，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．

2023-2024学年江西省新余实验中学高二（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每题5分，共40分）1．（5分）若集合A＝{x|x2+x﹣6＜0}，B＝{x|≤0}，则A∩B等于（）A．（﹣3，3） B．[﹣2，2） C．（﹣2，2） D．[﹣2，3）【考点】交集及其运算．【答案】B【分析】运用二次不等式和分式不等式的解法，化简集合A，B，再由交集的定义，即可得到所求集合．【解答】解：集合A＝{x|x2+x﹣6＜0}＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{x|≤0}＝{x|﹣2≤x＜3}，则A∩B＝{x|﹣2≤x＜2}＝[﹣2，2），故选：B．2．（5分）一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为，则该圆锥的母线长为（）A．3 B．3 C．6 D．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】C【分析】可设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，根据题意列方程求解即可．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥侧面展开的扇形面积为πrl，底面圆面积为πr2，因为πrl＝2πr2，所以l＝2r，所以圆锥的高为h＝＝r，所以圆锥的体积为πr2h＝πr2•r＝，解得r＝3，所以该圆锥的母线长为l＝2r＝6．故选：C．3．（5分）在△ABC中，，则＝（）A． B． C． D．【考点】平面向量的基本定理；向量加减混合运算．【答案】B【分析】由已知直接利用向量加法的平行四边形法则得答案．【解答】解：如图，在△ABC中，∵，∴D为BC的中点，由向量加法的平行四边形法则可得，＝．故选：B．4．（5分）已知，，则cos（2α+2β）＝（）A． B． C． D．【考点】两角和与差的三角函数．【答案】C【分析】由已知结合和差角公式及同角基本关系可求sinαsinβ，cosαcosβ，进而可求cos（α+β），然后结合二倍角公式可求．【解答】解：因为＝cosαcosβ+sinαsinβ，＝，所以sinαsinβ＝，cosαcosβ＝，所以cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝＝，所以cos（2α+2β）＝2cos2（α+β）﹣1＝2×﹣1＝﹣．故选：C．5．（5分）如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形O'A'B'C'，则原四边形OABC的面积是（）A． B． C．16 D．8【考点】斜二测法画直观图；平面图形的直观图．【答案】B【分析】根据斜二测画法规则求出AO，BO，判断OABC的形状，确定OA⊥OB，由此求出原四边形OABC的面积．【解答】解：在正方形O'A'B'C'中可得，由斜二测画法可知，AO＝A'O'＝2，且OA⊥OB，OA∥BC，AB∥CO，所以四边形OABC为平行四边形，所以．故选：B．6．（5分）某游戏在刚发布时有100名玩家，发布5天后有1000名玩家．加果玩家人数R（t）与天数之间满足关系式：R（t）＝R0ekt，其中k为常数，R0是刚发布时的玩家人数，则玩家超过30000名至少经过的天数为（）（参考数据：lg3≈0.4771）A．11 B．12 C．13 D．14【考点】根据实际问题选择函数类型；对数的运算性质．【答案】见试题解答内容【分析】由题意建立方程组求解析式R（t），结合题意，求解即可得出答案．【解答】解：由题意得，故，又R（t）＞30000，即t＞5lg300＝5（lg3+2）≈12.3855＞12，∴至少经过的天数为13．故选：C．7．（5分）函数的大致图象为（）A． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换．【答案】D【分析】判断函数的奇偶性和图象的对称关系，结合f（3）的符号是否对应，进行排除即可．【解答】解：f（﹣x）＝﹣sinx•ln＝﹣sinx•ln＝sinx•ln＝f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C，f（3）＝sin3ln＜0，排除B，故选：D．8．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝6，BC＝3，，则三棱锥P﹣ABC的外接球半径为（）A．3 B． C． D．6【考点】球的体积和表面积．【答案】C【分析】先求出△ABC外接圆半径，利用勾股定理求出三棱锥P﹣ABC的外接球半径．【解答】解：由正弦定理得，△ABC外接圆直径为，得r＝3，设球心到平面ABC的距离为d，则，∴三棱锥P﹣ABC的外接球半径为．故选：C．二、多选题（每题5分，共20分）（多选）9．（5分）下列说法不正确的是（）A．函数y＝x2﹣x﹣2的零点是（﹣1，0）和（2，0） B．正实数a，b满足a+b＝1，则不等式的最小值为 C．函数的最小值为2 D．x2＜1的一个必要不充分条件是0＜x＜1【考点】充分条件与必要条件；命题的真假判断与应用；基本不等式及其应用；函数的零点．【答案】ACD【分析】A：求出函数的零点即可判断；B：利用和基本不等式即可判断求解；C：令，利用换元法和基本不等式即可判断；D：判断从0＜x＜1是否可得x2＜1，结合充分条件和必要条件的概念即可判断．【解答】解：对于选项B：∵a＞0，b＞0，a+b＝1，∴，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，故B正确；对于选项A：y＝0⇒x2﹣x﹣2＝0⇒（x﹣2）（x+1）＝0⇒x＝2或﹣1，则函数的零点是2或﹣1，故A错误；对于选项C：令，则x2＝t2﹣2，则函数化为，当且仅当，即t＝1时等号成立，∵t≥2，故等号不成立，即，故C错误；对于选项D：若0＜x＜1，则x2＜1，即0＜x＜1是x2＜1的充分条件，故D错误．故选：ACD．（多选）10．（5分）已知复数z1＝1+i，z2＝1﹣i，则（）A．z1z2∈R B．|z1|≠|z2| C．|z1+z2|＝|z1﹣z2| D．若，则|z1z3|＝|z2z3|【考点】复数的运算；复数的模．【答案】ACD【分析】利用复数的乘法以及复数的模的运算法则化简求解，再判断选项的正误即可．【解答】解：由题意，得z1z2＝（1+i）（1﹣i）＝2∈R，A正确；因为，所以|z1|＝|z2|，B错误；因为|z1+z2|＝2，|z1﹣z2|＝2，所以|z1+z2|＝|z1﹣z2|，C正确；由题意，得，因为|z1z3|＝|2i|＝2，|z2z3|＝2，所以|z1z3|＝|z2z3|，D正确．故选：ACD．（多选）11．（5分）将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移个单位，得到的图像对应的解析式为（）A． B． C． D．【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】BC【分析】根据题意，由三角函数的图像变换即可得到变换之后的函数解析式，从而得到结果．【解答】解：由题意可得，将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数，再将所得的图像向左平移个单位，可得函数，可得，故C正确；又＝，故B正确．故选：BC．（多选）12．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，E是线段PB的中点，F是线段BC上的动点，则以下结论正确的是（）A．平面AEF⊥平面PBC B．直线EF与平面PAB所成角正切值的最大值为 C．二面角B﹣AE﹣F余弦值的最小值为 D．线段BC上不存在点F，使得PD∥平面AEF【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行；平面与平面垂直；直线与平面所成的角．【答案】ABC【分析】对于A，利用线面垂直与面面垂直的判定定理证明即可；对于BC，利用线面角与面面角的定义，结合BF的取值范围求解即可；对于D，找特殊点F与C重合时，证得PD∥平面AEF，由此得解．【解答】解：对于A，因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．因为ABCD为正方形，所以AB⊥BC，又PA⋂AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．因为AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC．因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB，又因为PB∩BC＝B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC．又因为AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC，故A正确；对于B，由选项A可知BC⊥平面PAB，所以∠FEB为直线EF与平面PAB所成角，则，不妨设PA＝AB＝2，则在Rt△PAB中，，在Rt△EFB中，，因为F是线段BC上的动点，故BF≤BC＝2，则，所以直线EF与平面PAB所成角正切值的最大值为，故B正确；对于C，由选项A可知AE⊥平面PBC，BE，EF⊂平面PBC，所以AE⊥BE，AE⊥EF，则∠FEB为二面角B﹣AE﹣F的平面角，因为，所以二面角B﹣AE﹣F余弦值的最小值为，故C正确；对于D，当F与C重合时，连接AC⋂BD＝O，连接EO，如图，因为底面ABCD是正方形，所以O是BD的中点，又E为线段PB的中点，所以OE∥PD，又OE⊂平面AEF，PD⊄平面AEF，所以PD∥平面AEF，即线段BC上存在点F，使得PD∥平面AEF，故D错误．故选：ABC．三、填空题13．（5分）已知，，且，，则α+β的值是．【考点】两角和与差的三角函数．【答案】．【分析】由平方关系求得sinα，cosβ，再求出cos（α+β）即可得解．【解答】解：因为，，且，，所以，，且α+β∈（0，π），则，所以．故答案为：．14．（5分）甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A、B、C这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院校A、B至少有一所被选择的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【答案】见试题解答内容【分析】院校A、B至少有一所被选择的对立事件是院校A、B都没有被选择，由此利用对立事件概率计算公式能求出院校A、B至少有一所被选择的概率．【解答】解：甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A、B、C这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则基本事件总数n＝3×3＝9，院校A、B至少有一所被选择的对立事件是院校A、B都没有被选择，∴院校A、B至少有一所被选择的概率：p＝1﹣＝．故答案为：．15．（5分）已知f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）满足f（）＝1，f（π）＝0，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为．【考点】正弦函数的单调性．【答案】．【分析】设函数f（x）的周期为T，由题意结合正弦函数的图象与性质，列出不等式，从而求出符合条件的ω值．【解答】解：设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的周期为T，则T＝，由f（）＝1，f（π）＝0，结合正弦函数的图象与性质得，+＝，k∈N，解得T＝，即ω＝，k∈N，又因为f（x）在区间（，）上单调，所以＝＜，所以T＞，所以ω＝，即ω＝，因为k∈N，所以k的取值为1，此时ω取得最大值．故答案为：．16．（5分）已知，，若对∀t∈R，恒有，且点M满足，N为OA的中点，则＝．【考点】向量的概念与向量的模；平面向量的基本定理．【答案】．【分析】根据数量积的运算律得到对∀t∈R恒成立，即可得到对∀t∈R恒成立，根据Δ≤0求出，再根据及数量积的运算计算可得．【解答】解：因为＝，＝，因为对∀t∈R，恒有，所以对∀t∈R恒成立，即对∀t∈R恒成立，即对∀t∈R恒成立，所以，即，所以，又＝＝＝，所以||＝||＝＝＝＝．故答案为：．四、解答题17．（10分）已知向量＝（﹣1，3λ），＝（5，λ﹣1）．（1）若∥，求λ的值；（2）若（2）⊥（﹣），求λ的值．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．【答案】（1）．（2）λ＝1或．【分析】（1）根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解；（2）根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．【解答】解：（1）由向量，因为，所以﹣（λ﹣1）＝15λ，解得．（2）由题意得，向量，，由，可得，则3×（﹣6）+（7λ﹣1）（2λ+1）＝0，即14λ2+5λ﹣19＝0，解得λ＝1或．18．（12分）在△ABC中，其内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且满足_____．①；②；③．请从上述所给的三个条件中任选一个，补充到上面的横线上，并解答下列问题：（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知△ABC外接圆的半径为，如图所示，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝1，求△ABC的面积．【考点】三角形中的几何计算；正弦定理；余弦定理．【答案】（I）；（II）．【分析】（I）若选①可得（tanBtanC﹣1）＝tanB+tanC，化简可得tanA＝，可得A＝；若选②：由已知可化为sin（π﹣A）＝2﹣cosA，可得2sin（A+）＝2，可求A；若选③：可得sinBsin（﹣）＝sinAsinB，可得cos＝2sincos，可得sin＝，可求A；（II）S△ABC＝S△ABD+S△ACD，可得bc＝b+c，由余弦定理可得6＝b2+c2﹣bc，可求得bc，可求面积．【解答】解：（I）若选①；可得（tanBtanC﹣1）＝tanB+tanC，∴tan（B+C）＝＝﹣，在△ABC中，A+B+C＝π，tan（B+C）＝tan（π﹣A）＝﹣，∴tanA＝，又A为△ABC内角，故A＝；若选②：，在△ABC中，A+B+C＝π，则已知式可化为sin（π﹣A）＝2﹣cosA，∴sinA+cosA＝2，∴2sin（A+）＝2，∴sin（A+）＝1，又A为△ABC内角，故A+＝，∴A＝；若选③：．∴sinBsin（﹣）＝sinAsinB，又sinB≠0，则cos＝2sincos，又cos≠0，则sin＝又A为△ABC内角，故A＝；（II）由（I）和题设可知，A＝，△ABC外接圆的半径为，从而在△ABC中，由正弦定理得a＝2RsinA＝2sin＝，由于AD＝1，∠BAD＝∠CAD＝，且S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴bcsin＝c•ADsin+b•ADsin，∴bc＝b+c，在△ABC中，由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bccosA，得6＝b2+c2﹣2bccos，即6＝b2+c2﹣bc，又bc＝b+c，解得bc＝2或bc＝﹣1（舍去），∴S△ABC＝bcsinA＝×2sin＝．19．（12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200kW•h的部分按0.5元/kW•h收费，超过200kW•h但不超过400kW•h的部分按0.8元/kW•h收费，超过400kW•h的部分按1.0元/kW•h收费．（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量（单位：kW•h）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率直方图．若这100户居民中，今年1月份电费不超过260元的占80%，求a，b的值；（3）在（2）的条件下，计算月用电量的75百分位数．【考点】百分位数；频率分布直方图．【答案】（1）y＝，（2）a＝0.0015，b＝0.0020；（3）375千瓦时．【分析】（1）由题目条件分别表示各段上的y即可表示出分段函数y的解析式；（2）根据频率分布直方图得到a，b所满足的条件，求解即可；（3）由图计算得到75%分位数在[300，400）内，列出方程即可得到答案．【解答】解：（1）当0≤x≤200时，y＝0.5x；当200＜x≤400时，y＝0.5×200+0.8（x﹣200）＝0.8x﹣60；当x＞400时，y＝0.5×200+0.8×200+（x﹣400）＝x﹣140，所以y＝，（2）由（1）可知，当y＝260时，x＝400，即用电量低于400千瓦时的占80%，结合频率分布直方图可知，解得a＝0.0015，b＝0.0020；（3）设75%分位数为m，因为用电量低于300千瓦时的所占比例为（0.001+0.002+0.003）×100＝60%，用电量低于400千瓦时的占80%，所以75%分位数m在[300，400）内，所以0.6+（m﹣300）×0.002＝0.75，解得m＝375，即用电量的75%分位数为375千瓦时．20．（12分）如图，正方形ABCD和菱形ACEF所在平面互相垂直，∠ACE＝60°．四棱锥E﹣ABCD的体积是36．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABF（Ⅱ）求四面体ABEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）推导出AB∥DC，AF∥CE，从而平面ABF∥平面CDE，由此能证明DE∥平面ABF．（Ⅱ）连结AC、BD，相交于点O，连结EO，推导出EO⊥平面ABCD，BO⊥平面ACEF，四面体ABEF在面AEF上的高BO＝3，由此能求出四面体ABEF的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是菱形，∴AB∥DC，AF∥CE，且AB∩AF＝A，CD∩CE＝C，∴平面ABF∥平面CDE，∵DE⊂平面CDE，∴DE∥平面ABF．解：（Ⅱ）连结AC、BD，相交于点O，连结EO，则O为AC的中点，∵四边形ACEF是菱形，∠ACE＝60°，∴△ACE是正三角形，∴EO⊥AC，∵平面ABCD⊥平面ACEF，交线为AC，∴EO⊥平面ABCD，同理，得BO⊥平面ACEF，设正方形ABCD的边长为a，则AC＝BD＝，BO＝，∴VE﹣ABCD＝，解得a＝6，∴，四面体ABEF在面AEF上的高BO＝3，∴四面体ABEF的体积＝18．21．（12分）从以下给出的①、②两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．①2bsinA＝atanB，②（a﹣c）sinA+csinC＝bsinB已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若_____．（1）求角B的值；（2）求△ABC的面积取得最大值时，边b的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【答案】（1）；（2）