2023-2024学年辽宁省辽阳市高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年辽宁省辽阳市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）下列命题是真命题的是（）A．“∃x∈（0，1），x2＞1”是全称量词命题 B．4，6，9成等差数列 C．“∀x∈（0，1），x2＜1”是存在量词命题 D．4，6，9成等比数列2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣5x+6≤0}，B＝{x|ex＞4}，则A∩B＝（）A．（2ln2，3] B．[2，4ln2） C．（2ln2，5] D．[2，3]3．（5分）曲线y＝xsin3x在点（π，0）处的切线斜率为（）A．﹣3π B．﹣π C．π D．3π4．（5分）若等比数列{an}满足anA．k B．−k C．k D．5．（5分）“x＞2”是“x＞A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）函数f(x)=xsinxA． B． C． D．7．（5分）已知xy+5＝5y（x＞0，y＞0），则y+25A．25+4 B．8 C．28．（5分）已知定义域均为R的函数f（x），g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x），且g（x）＞0，f（5）＝g（5），f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2＜0，则不等式f（x）＜gA．（﹣∞，5） B．（5，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列命题是假命题的是（）A．函数y＝x5有极值点 B．y=x2C．函数y=|x|2−xD．“∃x∈Q，x3∈Q”的否定是“∀x∈Q，x3∈Q”（多选）10．（6分）某种退烧药能够降低的温度R（单位：℃）是血液中该药物含量M（单位：μg）的函数，且R=M2(C−A．R在（C，3C）上单调递减 B．当这种退烧药在血液中的含量为5Cμg时，能够降低的温度最大 C．R在（C，3C）上单调递增 D．当这种退烧药在血液中的含量为4Cμg时，能够降低的温度最大（多选）11．（6分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（1）≠0，若f（x+y）﹣f（x）f（y）＝﹣xy，则（）A．f（0）＝1 B．f(logC．方程f（x）＝2x﹣1有唯一的实数解 D．函数y＝xf（x）有最小值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）0.125−13．（5分）设7n（n∈N*）的个位数为an，则a1+a2+⋯+a55＝．14．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣6x2+a有3个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则a的取值范围为；若x1，x2，x3成等差数列，则a＝．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）设a，a+3，3a+13依次是等比数列{an}的前3项，其中a为正数．（1）求a4；（2）求数列{3an+log2an}的前n项和Sn．16．（15分）已知函数f（x）＝ax+logax（a＞0且a≠1）．（1）当a＝4时，求f（x）在[1（2）求关于x的不等式f（x）＜a的解集；（3）若函数g(x)=(8−a)x，x＜1f(x)+1，x≥1为R上的增函数，求17．（15分）已知函数f(x)=x+m（1）求f（x）的单调区间；（2）当m＝1时，求f（x）在[﹣3，t]上的最小值与最大值．18．（17分）已知数列{an}满足2an+1−（1）求{an}的通项公式．（2）设{an}的前n项和为Sn，[x]表示不大于x的最大整数．①求Sn；②证明：当n≥2时，[Sn]为定值．19．（17分）若存在实数a，对任意x∈D，使得函数f（x）＞ax，则称f（x）在D上被a控制．（1）已知函数f（x）＝3ex+2a在[2，+∞）上被a控制，求a的取值范围．（2）（ⅰ）证明：函数g(x)=2xln(x+1)+1（ⅱ）设n∈N*，证明：ln2+ln3+ln4+⋯+ln(n+1)＞n−1

2023-2024学年辽宁省辽阳市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）下列命题是真命题的是（）A．“∃x∈（0，1），x2＞1”是全称量词命题 B．4，6，9成等差数列 C．“∀x∈（0，1），x2＜1”是存在量词命题 D．4，6，9成等比数列【考点】等比数列的性质；全称量词和全称量词命题；等差数列的性质．【答案】D【分析】根据存在量词和全称量词判断A，C选项，应用等比中项及等差中项判断B，D选项．【解答】解：∃x∈（0，1），x2＞1是存在量词命题，∀x∈（0，1），x2＜1是全称量词命题，A，C均为假命题．62＝4×9，2×6≠4+9，B为假命题，D为真命题．故选：D．2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣5x+6≤0}，B＝{x|ex＞4}，则A∩B＝（）A．（2ln2，3] B．[2，4ln2） C．（2ln2，5] D．[2，3]【考点】指、对数不等式的解法；解一元二次不等式；求集合的交集．【答案】D【分析】分别确定集合A，B，再求交集．【解答】解：x2﹣5x+6≤0，则2≤x≤3，ex＞4，则x＞2ln2，则A＝{x|2≤x≤3}，B＝{x|x＞2ln2}，且0＜ln2＜1，所以A∩B＝[2，3]．故选：D．3．（5分）曲线y＝xsin3x在点（π，0）处的切线斜率为（）A．﹣3π B．﹣π C．π D．3π【考点】导数及其几何意义．【答案】A【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率即可．【解答】解：因为y′＝sin3x+3xcos3x，所以曲线y＝xsin3x在点（π，0）处的切线斜率为sin3π+3πcos3π＝0﹣3π＝﹣3π．故选：A．4．（5分）若等比数列{an}满足anA．k B．−k C．k D．【考点】数列递推式．【答案】C【分析】根据等比数列{an}满足anan+1=kn，得到a【解答】解：因为an所以等比数列{an}的公比q＞0，又an+1所以an+1所以q=k即等比数列{an}的公比为k．故选：C．5．（5分）“x＞2”是“x＞A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要不充分条件的判断；求指数函数及指数型复合函数的单调性．【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的概念即可判断．【解答】解：因为23所以x＞23−1能推出x＞2，且所以“x＞2”是“x＞故选：B．6．（5分）函数f(x)=xsinxA． B． C． D．【考点】由函数图象求解函数或参数．【答案】A【分析】根据题意，分析函数的奇偶性排除C、D，分析函数的零点排除B，综合可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)=xsinx有f(−x)=−xsin(−x)ln[(−x)2+2]=xsinxln(x若f（x）＝0，即xsinx＝0，解可得x＝0或x＝±π，即f（x）在[﹣π，π]上的零点为0，±π，排除B．故选：A．7．（5分）已知xy+5＝5y（x＞0，y＞0），则y+25A．25+4 B．8 C．2【考点】运用基本不等式求最值．【答案】C【分析】由已知先用x表示y，代入到所求式子，利用乘1法，结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为xy+5＝5y（x＞0，y＞0），所以y=55−x＞则y+25x=55−x+25x=（55−x+25x）（5﹣x当且仅当5x5−x故选：C．8．（5分）已知定义域均为R的函数f（x），g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x），且g（x）＞0，f（5）＝g（5），f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2＜0，则不等式f（x）＜gA．（﹣∞，5） B．（5，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】B【分析】运用函数导数的四则运算构造新h(x)=f(x)g(x)，【解答】解：令h(x)=f(x)g(x)，则h′(x)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2由f（x）〈g（x），g（x）〉0，f（5）＝g（5），得h(x)=f(x)g(x)＜h(5)=故选：B．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列命题是假命题的是（）A．函数y＝x5有极值点 B．y=x2C．函数y=|x|2−xD．“∃x∈Q，x3∈Q”的否定是“∀x∈Q，x3∈Q”【考点】命题的真假判断与应用；函数的奇偶性；利用导数求解函数的极值；求存在量词命题的否定．【答案】ACD【分析】利用导函数的正负性即可判断A选项；利用奇函数的定义可以判断B选项；利用基本不等式可以判断C选项；求存在量词命题的否定规则可以判断D选项．【解答】解：对于A，因为（x5）'＝5x4≥0，所以y＝x5为增函数，则y＝x5无极值点，A是假命题；对于B，因为(−x)所以y=x2(对于C，y=|x|2−x2所以函数y=|x|2−x2对于D，“∃x∈Q，x3∈Q'的否定是“∀x∈Q，x3∉Q“，D是假命题．故选：ACD．（多选）10．（6分）某种退烧药能够降低的温度R（单位：℃）是血液中该药物含量M（单位：μg）的函数，且R=M2(C−A．R在（C，3C）上单调递减 B．当这种退烧药在血液中的含量为5Cμg时，能够降低的温度最大 C．R在（C，3C）上单调递增 D．当这种退烧药在血液中的含量为4Cμg时，能够降低的温度最大【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】CD【分析】运用导数研究单调性，进而得到极值最值即可．【解答】解：R′=2CM−M可得M＝0，M＝4C，当M∈[0，4C）时，R′＞0，所以R在[0，4C）上单调递增；当M∈（4C，6C]时，R′＜0，在（4C，6C]上单调递减．即当M＝4C时，能够降低的温度最大，所以A，B均错误，C，D均正确．故选：CD．（多选）11．（6分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（1）≠0，若f（x+y）﹣f（x）f（y）＝﹣xy，则（）A．f（0）＝1 B．f(logC．方程f（x）＝2x﹣1有唯一的实数解 D．函数y＝xf（x）有最小值【考点】利用导数求解函数的最值；抽象函数的值域．【答案】ABD【分析】赋值法令x＝1，y＝0，求解判断A；令x＝1，y＝﹣1，求出f（﹣1）＝0．令y＝﹣1，求出f（x）＝x+1，因为f（x）＝x+1为增函数，且log23=log49＞log48=32，判断B；f（x）＝2x﹣1等价于2x﹣x﹣2＝0，设g（x）＝2x﹣x﹣2用零点存在性定理判断C；因为xf（x）＝x2【解答】解：令x＝1，y＝0，得f（1）﹣f（1）f（0）＝f（1）[1﹣f（0）]＝0．因为f（1）≠0，所以1﹣f（0）＝0，即f（0）＝1，A正确；令x＝1，y＝﹣1，得f（0）﹣f（1）f（﹣1）＝1，由f（0）＝1，得﹣f（1）f（﹣1）＝0．又f（1）≠0，所以f（﹣1）＝0．令y＝﹣1，得f（x﹣1）﹣f（x）f（﹣1）＝x，即f（x﹣1）＝x，所以f（x）＝x+1，因为f（x）＝x+1为增函数，且log23=log4所以f（x）＝2x﹣1等价于2x﹣x﹣2＝0，设g（x）＝2x﹣x﹣2，因为g（﹣2）＝2﹣2＞0，g（0）＝﹣1＜0，所以g（x）在（﹣2，0）上必有一个零点，又g（2）＝0，所以g（x）的零点不唯一，从而方程f（x）＝2x﹣1的实数解不唯一，C错误；因为xf（x）＝x2+x，所以函数y＝xf（x）有最小值，D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）0.125−【考点】对数运算求值；有理数指数幂及根式化简运算求值．【答案】13．【分析】结合指数、对数的运算法则，即可求解．【解答】解：原式=8故答案为：13．13．（5分）设7n（n∈N*）的个位数为an，则a1+a2+⋯+a55＝．【考点】由数列若干项归纳出通项公式；数列的求和．【答案】279．【分析】先计算确定数列的周期性，再结合应用数列的周期计算即可．【解答】解：因为7，72，73，74，75，76，77，78的个位数分别为7，9，3，1，7，9，3，1，所以数列{an}是周期为4的周期数列，所以a1故答案为：279．14．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣6x2+a有3个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则a的取值范围为；若x1，x2，x3成等差数列，则a＝．【考点】利用导数求解函数的极值；等差中项及其性质．【答案】（0，32）；16．【分析】运用三次函数性质，结合导数和等差数列知识解题即可．【解答】解：f′（x）＝3x（x﹣4），令f′（x）＜0，得0＜x＜4，所以f（x）在（0，4）上单调递减，令f′（x）＞0，得x＜0或x＞4，所以f（x）在（﹣∞，0），（4，+∞）上单调递增，所以f（x）的极大值为f（0）＝a，f（x）的极小值为f（4）＝﹣32+a，因为f（x）有3个零点，所以a＞0，−32+a＜0，解得0＜a设g（x）＝3x（x﹣4），则g′（x）＝6x﹣12，令g′（x）＝0，得x＝2，由于f（x）+f（﹣x+4）＝﹣32+2a，所以三次函数曲线y＝f（x）关于点（2，﹣16+a）对称．若x1，x2，x3成等差数列，则f（2）＝﹣16+a＝0，解得a＝16．故答案为：（0，32）；16．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）设a，a+3，3a+13依次是等比数列{an}的前3项，其中a为正数．（1）求a4；（2）求数列{3an+log2an}的前n项和Sn．【考点】数列求和的其他方法；等比中项及其性质．【答案】（1）a4＝64；（2）Sn【分析】（1）运用等比数列的性质公式求解即可；（2）运用分组求和，结合对数性质计算即可．【解答】解：（1）依题意可得a（3a+13）＝（a+3）2，整理得（a﹣1）（2a+9）＝0，解得a=−9因为a为正数，所以a＝1，所以{an}的前3项依次是1，4，16，所以a4＝64．（2）由（1）知an所以log2an＝2（n﹣1），所以S=3×1−16．（15分）已知函数f（x）＝ax+logax（a＞0且a≠1）．（1）当a＝4时，求f（x）在[1（2）求关于x的不等式f（x）＜a的解集；（3）若函数g(x)=(8−a)x，x＜1f(x)+1，x≥1为R上的增函数，求【考点】分段函数的应用；函数的值域．【答案】（1）[3（2）答案见解析；（3）[7【分析】（1）根据增函数加增函数为增函数的结论得到f（x）的单调性，从而得到其值域；（2）对a分a＞1和0＜a＜1讨论即可；（3）根据分段函数单调性得到不等式组，解出即可．【解答】解：（1）当a＝4时，f（x）＝4x+log4x，因为y＝4x，y＝log4x均为增函数，所以f（x）＝4x+log4x为增函数，所以f(x)f(x)所以当a＝4时，f（x）在[12，2]（2）f（x）的定义域为（0，+∞）．当a＞1时，因为y＝ax，y＝logax均为增函数，所以f（x）为增函数，因为f（1）＝a，所以不等式f（x）＜a的解集为（0，1）．当0＜a＜1时，因为y＝ax，y＝logax均为减函数，所以f（x）为减函数，所以不等式f（x）＜a的解集为（1，+∞）；（3）依题意可得8−a＞0a＞1解得72≤a＜8，即a的取值范围为17．（15分）已知函数f(x)=x+m（1）求f（x）的单调区间；（2）当m＝1时，求f（x）在[﹣3，t]上的最小值与最大值．【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解函数的最值．【答案】（1）f（x）的单调递增区间为(−∞，1−2m2)（2）当−3＜t＜−12时，f（x）max=t+1e2t，f（x）当t≥−12时，f（x）max=e【分析】（1）求导分析f′（x）的符号，f（x）的单调性，即可得出答案．（2）结合（1）可得函数f（x）的单调性，极值，分情况：当−3＜t＜−12时，当t≥−12时，讨论【解答】解：（1）f′(x)=e令f′（x）＝0，得x=1−2m所以在（﹣∞，1−2m2）上f′（x）＞0，f（x在（1−2mm，+∞）上f′（x）＜0，f（x所以f（x）的单调递增区间为(−∞，1−2m2)（2）当m＝1时，1−2m2由（1）知，f（x）在x=−12处取得极大值，且极大值为当−3＜t＜−12时，f（x）在[﹣3，所以f(x)当t≥−12时，若x＞0，则f(x)=x+1因为f（﹣3）＝﹣2e6＜0，所以f(x)18．（17分）已知数列{an}满足2an+1−（1）求{an}的通项公式．（2）设{an}的前n项和为Sn，[x]表示不大于x的最大整数．①求Sn；②证明：当n≥2时，[Sn]为定值．【考点】数列递推式；数列的求和．【答案】（1）an=n（2）①Sn＝2−n+2②详见解答过程．【分析】（1）结合已知递推关系构造等差数列，结合等差数列的通项公式即可求解；（2）①结合错位相减求和即可求解；②结合数列的单调性可求Sn的范围，进而可证．【解答】解：（1）因为2an+1−所以2n+1an+1﹣2nan＝1，2a1＝1，故数列{2nan}是以1为首项，以1为公差的等差数列，所以2nan＝1+n﹣1＝n，所以an=n（2）①Sn＝1×12+2×所以12Sn=1×122+2两式相减得，12Sn=12+故Sn＝2−n+2证明：②令f（x）＝2x﹣x﹣2，x≥2，则f′（x）＝2xln2﹣1≥4ln2﹣1＞0，所以f（x）在[2，+∞）上单调递增，f（x）≥f（2）＝0，所以n≥2时，2n≥n+2，即0＜n+2所以1≤Sn＜2，故[Sn]＝