2023-2024学年辽宁省名校联盟高三(上)期初数学试卷(9月份)

2023-2024学年辽宁省名校联盟高三（上）期初数学试卷（9月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设全集U＝{x∈N|x≤10}，集合A＝{3，4，6，8}，B＝{x∈U|x＝3k﹣2，k∈N}，则集合（∁UA）∩B中的元素个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．（5分）已知命题¬p：∃a∈R，aπ﹣πa＞0，则（）A．p：∃a∉R，aπ﹣πa＞0 B．p：∀a∉R，aπ﹣πa≤0 C．p：∃a∈R，aπ﹣πa≤0 D．p：∀a∈R，aπ﹣πa≤03．（5分）设x，y∈R，则“xy＞1”是“x2+y2＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）2023年7月12日9时0分，由中国“蓝箭航天”自主研制的朱雀二号遥二运载火箭的发射任务取得圆满成功，该火箭由此成为全球首款成功入轨的液氧甲烷火箭，标志着我国运载火箭在新型低成本液体推进剂应用方面取得重大突破．在火箭研发的有关理论中，齐奥尔科夫斯基单级火箭的最大理想速度公式至关重要．其公式为，其中v为单级火箭的最大理想速度（单位：m•s﹣1），q为发动机的喷射速度（单位：m•s﹣1），M0，Mk分别为火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量（单位：kg），称为火箭的初末质量比．要使火箭达到某个速度，应当提升火箭的初末质量比以及喷射速度，但由于火箭可能的结构（各类动力、连接装置等）所制约，初末质量比不可能大于10．现有某型号单级火箭的发动机能获得的最大喷射速度约为400s×9.8m•s﹣2≈4km•s﹣1，那么它能获得的最大理想速度约为（参考数据：ln2≈0.69，ln5≈1.61）（）A．4.44km⋅s﹣1 B．7.2km⋅s﹣1 C．9.2km⋅s﹣1 D．8.8km⋅s﹣15．（5分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝3，∀m，n∈N*，Sm+n＝SmSn，则（）A．{an}是等比数列 B．a4＝54 C．a5+a6+a7+a8+a9＝38 D．Sn＝3n6．（5分）设2a＝3b＝t，若，则t＝（）A． B．6 C． D．7．（5分）已知a＞1，，则不等式f（2x﹣1）+f（x﹣1）+4＞0的解集为（）A． B． C． D．8．（5分）已知a＝e0.03，b＝ln（1.03e），，则（）A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）若a＞b＞0，则（）A． B． C． D．（多选）10．（5分）定义在R上的连续函数f（x）满足∀x，y∈R，f（xy）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则（）A．f（0）＝0 B．当x，y∈（0，+∞）时， C．若f（﹣1）＝1，则f（x）为偶函数 D．当x≠0时，（多选）11．（5分）设[x]表示不超过x的最大整数，如[2.1]＝2，．已知函数，则（）A． B．f（x）在区间（k，k+1），k∈N*上单调递减 C．当时，g（x）＝f（x）﹣a有3个零点 D．当时，g（x）＝f（x）﹣a有4个零点（多选）12．（5分）设数列{an}满足an+1＝﹣3an+4，a1＝3，记数列的前n项和为Sn，则（）A．an+1＞an B． C．Sn＜1 D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）若数列a，27，﹣9，b，﹣1为等比数列，则＝．14．（5分）函数的值域为．15．（5分）已知x≥y＞0，z＞0，则的最小值为．16．（5分）已知a，b满足log9（2a﹣1）＝5﹣2a，2⋅3b﹣1+b＝9，则b+4a＝．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）函数，B＝{x|x2+2kx﹣3k2≤0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数k的取值范围．18．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S7﹣S4＝33．（1）求{an}的通项公式；（2）判断与2的大小关系并证明你的结论．19．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣ax+1，a∈R．（1）若∃x＞0，f（x）＜0，求a的取值范围；（2）设函数g（x）＝f（x）+ax﹣1，h（x）＝x2+bx，若斜率为1的直线与曲线y＝g（x），y＝h（x）都相切，求b的值．20．（12分）定义在R上的函数f（x）满足：①对∀x1，x2∈R，当x1≠x2时，总有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0；②对∀x∈R，f（f（x）﹣9x﹣3x）＝13．（1）求f（x）；（2）若对任意x1，x2，x3∈R，均存在以，，为三边长的三角形，求实数k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）定义在区间（﹣1，1）内，，且当∀x，y∈（﹣1，1）时，恒有．（1）证明：f（x）为奇函数；（2）若数列{an}，{bn}满足0＜an＜1，，，，且对∀n∈N*，（﹣1）n（bn+6）⋅λ＜4，求λ的取值范围．22．（12分）已知a＞0，b∈R，函数f（x）＝ax|lnx|和g（x）＝b|lnx+1|的图像共有三个不同的交点，且f（x）有极大值1．（1）求a的值以及b的取值范围；（2）若曲线y＝f（x）与y＝g（x）的交点的横坐标分别记为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．证明：．

2023-2024学年辽宁省名校联盟高三（上）期初数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设全集U＝{x∈N|x≤10}，集合A＝{3，4，6，8}，B＝{x∈U|x＝3k﹣2，k∈N}，则集合（∁UA）∩B中的元素个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【考点】交、并、补集的混合运算．【答案】B【分析】根据已知条件，结合补集、交集的定义，即可求解．【解答】解：由题意得U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，∁UA＝{0，1，2，5，7，9，10}，B＝{1，4，7，10}，所以（∁UA）∩B＝{1，7，10}．故选：B．2．（5分）已知命题¬p：∃a∈R，aπ﹣πa＞0，则（）A．p：∃a∉R，aπ﹣πa＞0 B．p：∀a∉R，aπ﹣πa≤0 C．p：∃a∈R，aπ﹣πa≤0 D．p：∀a∈R，aπ﹣πa≤0【考点】特称命题的否定；存在量词和特称命题．【答案】D【分析】由命题的否定的概念，即可求解．【解答】解：命题¬p：∃a∈R，aπ﹣πa＞0，则p：∀a∈R，aπ﹣πa≤0．故选：D．3．（5分）设x，y∈R，则“xy＞1”是“x2+y2＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件．【答案】A【分析】利用重要不等式、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论．【解答】解：由xy＞1，得x2+y2≥2xy＞2＞1，故充分性满足；但当x2+y2＞1时，取x＝1，y＝，则xy＝＜1，故必要性不满足；所以“xy＞1”是“x2+y2＞1”的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）2023年7月12日9时0分，由中国“蓝箭航天”自主研制的朱雀二号遥二运载火箭的发射任务取得圆满成功，该火箭由此成为全球首款成功入轨的液氧甲烷火箭，标志着我国运载火箭在新型低成本液体推进剂应用方面取得重大突破．在火箭研发的有关理论中，齐奥尔科夫斯基单级火箭的最大理想速度公式至关重要．其公式为，其中v为单级火箭的最大理想速度（单位：m•s﹣1），q为发动机的喷射速度（单位：m•s﹣1），M0，Mk分别为火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量（单位：kg），称为火箭的初末质量比．要使火箭达到某个速度，应当提升火箭的初末质量比以及喷射速度，但由于火箭可能的结构（各类动力、连接装置等）所制约，初末质量比不可能大于10．现有某型号单级火箭的发动机能获得的最大喷射速度约为400s×9.8m•s﹣2≈4km•s﹣1，那么它能获得的最大理想速度约为（参考数据：ln2≈0.69，ln5≈1.61）（）A．4.44km⋅s﹣1 B．7.2km⋅s﹣1 C．9.2km⋅s﹣1 D．8.8km⋅s﹣1【考点】根据实际问题选择函数类型．【答案】C【分析】由题意得q≈4000m⋅s﹣1，初末质量比最大为10，代入公式求解即可．【解答】解：由题意得q≈4000m⋅s﹣1，初末质量比最大为10，代入公式，则该型号单级火箭能获得的最大理想速度v＝4000ln10＝4000（ln2+ln5）≈4000×（0.69+1.61）＝9200m⋅s﹣1＝9.2km•s﹣1．故选：C．5．（5分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝3，∀m，n∈N*，Sm+n＝SmSn，则（）A．{an}是等比数列 B．a4＝54 C．a5+a6+a7+a8+a9＝38 D．Sn＝3n【考点】数列递推式；等比数列的性质；数列的求和．【答案】B【分析】由条件可得{Sn}等比数列，从而求得，再由an与Sn的关系求得an，从而可判断A，D，再代值计算可判断C，D．【解答】解：因为a1＝3，∀m，n∈N*，Sm+n＝SmSn，所以Sn+1＝SnS1＝Sna1＝3Sn，又S1≠0，所以{Sn}是首项为3，公比为3的等比数列，所以，当n≥2时，＝2×3n﹣1；当n＝1时，a1＝3，不满足上式，所以，故A错误，D错误；因为，故B正确；因为，a5+a6+a7+a8+a9＝S9﹣S4＝39﹣34＞38，故C错误．故选：B．6．（5分）设2a＝3b＝t，若，则t＝（）A． B．6 C． D．【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质．【答案】C【分析】由已知结合指数及对数的转化及对数的运算性质即可求解．【解答】解：由2a＝3b＝t，得a＝log2t，b＝log3t，t＞0，所以＝logt18＝2，所以t2＝18，．故选：C．7．（5分）已知a＞1，，则不等式f（2x﹣1）+f（x﹣1）+4＞0的解集为（）A． B． C． D．【考点】奇偶性与单调性的综合．【答案】D【分析】由题意，得f（x）为增函数，且f（x）+4＝﹣f（﹣x），于是不等式f（2x﹣1）+f（x﹣1）+4＞0可等价转化为f（2x﹣1）＞f（1﹣x），进而可得答案．【解答】解：由题意得f（x）的定义域为R，∵a＞1，，∴f（x）为增函数，又，∴f（x）+4＝﹣f（﹣x），即f（2x﹣1）+f（x﹣1）+4＝f（2x﹣1）﹣f（1﹣x）＞0，即f（2x﹣1）＞f（1﹣x），∴2x﹣1＞1﹣x，解得．即等式f（2x﹣1）+f（x﹣1）+4＞0的解集为．故选：D．8．（5分）已知a＝e0.03，b＝ln（1.03e），，则（）A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c【考点】利用导数研究函数的单调性；对数值大小的比较．【答案】B【分析】由题意，构造函数f（x）＝ex﹣x﹣1，对函数f（x）进行求导，利用导数得到函数f（x）的单调性，进而可得当x＞0时，ex＞x+1，构造函数g（x）＝x+1﹣，利用换元法，令，得到函数g（x）＝h（t）的单调性，推出，进而可判断a和c的大小关系，构造函数k（x）＝ln（1+x）+1﹣，对函数k（x）进行求导，结合即可判断b和c的大小关系，进而即可求解．【解答】解：已知a＝e0.03，b＝ln（1.03e）＝ln（1+0.03）+1，，不妨f（x）＝ex﹣x﹣1，函数定义域为R，可得f'（x）＝ex﹣1，当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）≥f（0）＝0，则当x＞0时，ex＞x+1，不妨设g（x）＝x+1﹣，函数定义域为（0，+∞），令，此时，则函数h（t）＝＝，所以，①则，即a＞c，不妨设k（x）＝ln（1+x）+1﹣，函数定义域为（0，+∞），可得k′（x）＝﹣＝，由①知k′（x）＜0，所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递减此时g（x）＜g（0）＝0，即，可得ln（1+0.03）+1，即，所以b＜c，综上得，a＞c＞b．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）若a＞b＞0，则（）A． B． C． D．【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式．【答案】ABD【分析】作差法判断选项A；利用不等式的性质判断选项B；举特例判断选项C；由基本不等式判断选项D．【解答】解：对于A，，所以，A项正确；对于B，因为a﹣b﹣1＞﹣1，所以，B项正确；对于C，令a＝3，，则，C错误；对于D，由基本不等式可知D项正确．故选：ABD．（多选）10．（5分）定义在R上的连续函数f（x）满足∀x，y∈R，f（xy）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则（）A．f（0）＝0 B．当x，y∈（0，+∞）时， C．若f（﹣1）＝1，则f（x）为偶函数 D．当x≠0时，【考点】抽象函数及其应用．【答案】BC【分析】举反例可判断A，D；利用赋值法推出，即可判断B；利用赋值法结合偶函数的定义即可判断C．【解答】解：对于选项A，令f（x）＝1，则f（x）满足题给条件，但f（0）≠0，故选项A错误；对于选项B，当x，y∈（0，+∞）时，取y＝，则，所以，所以，故选项B正确；对于选项C，由题意得f（x）定义域关于原点中心对称，且f（﹣1）＝1，则f（﹣x）＝f（﹣1）f（x）＝f（x），所以f（x）为偶函数，故选项C正确；对于选项D，令f（x）＝x，则f（x）满足题给条件，但当x＜0时，不成立，故选项D错误．故选：BC．（多选）11．（5分）设[x]表示不超过x的最大整数，如[2.1]＝2，．已知函数，则（）A． B．f（x）在区间（k，k+1），k∈N*上单调递减 C．当时，g（x）＝f（x）﹣a有3个零点 D．当时，g（x）＝f（x）﹣a有4个零点【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用．【答案】BD【分析】利用函数的导数，判断函数的单调性，通过数形结合判断选项的正误即可．【解答】解：函数，当时，f′（x）＝lnx+2，令f′（x）＝0，得x＝e﹣2，∴当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x→0时，f（x）→2，．当时，；当x∈[k，k+1），k∈N*时，，可知f（x）在区间（k，k+1），k∈N*上单调递减，正确；即B选项正确；当时，g（x）＝f（x）﹣a有4个零点，正确；即D项选项正确．故选：BD．（多选）12．（5分）设数列{an}满足an+1＝﹣3an+4，a1＝3，记数列的前n项和为Sn，则（）A．an+1＞an B． C．Sn＜1 D．【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】ACD【分析】利用数列的递推式及函数特征判断ABD，利用裂项相消法判断C．【解答】解：因为，所以当an＞2时，，所以，所以an+1＞an，故A项正确；，因为an＞2，所以，所以＝，由对数函数的性质可得，所以，显然22022＞211＝2048＞2023，所以，又，所以，故B项错误，D项正确；，所以，，所以＝，故C项正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）若数列a，27，﹣9，b，﹣1为等比数列，则＝π．【考点】等比数列的性质．【答案】π．【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，求出a，b，再代入计算，即可求解．【解答】解：数列a，27，﹣9，b，﹣1为等比数列，则272＝﹣9a，a＝﹣81，故公比为，所以b＝3，、所以＝＝．故答案为：π．14．（5分）函数的值域为．【考点】函数的值域．【答案】．【分析】可设t＝x4﹣1，得出t≥﹣1，然后可求出的范围，根据指数函数的单调性即可求出原函数的值域．【解答】解：设t＝x4﹣1，则t≥﹣1且t≠0，从而，所以．故答案为：．15．（5分）已知x≥y＞0，z＞0，则的最小值为2+．【考点】基本不等式及其应用．【答案】2+．【分析】由已知先对所求式子变形，然后结合基本不等式及不等式的性质可求．【解答】解：＝，因为，所以当，，当且仅当时等号成立．故答案为：2+．16．（5分）已知a，b满足log9（2a﹣1）＝5﹣2a，2⋅3b﹣1+b＝9，则b+4a＝11．【考点】对数的运算性质．【答案】11．【分析】由已知结合指数函数及对数函数的性质即可求解．【解答】解：由题意得，因为log9（2a﹣1）＝5﹣2a，所以log3（2a﹣1）＝10﹣4a，设t＝log3（2a﹣1），则2a＝3t+1，原式化为t＝10﹣2（3t+1），整理得，2•3t+t＝8，由2•3b﹣1+b＝9得2•3b﹣1+b﹣1＝8，因为f（x）＝2•3x+x为增函数，且f（t）＝f（b﹣1），从而t＝b﹣1，所以，从而b+4a＝11．故答案为：11．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）函数，B＝{x|x2+2kx﹣3k2≤0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数k的取值范围．【考点】指、对数不等式的解法；一元二次不等式及其应用；充分条件与必要条件．【答案】（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．【分析】可得出A＝（﹣2，3），然后讨论k＞0，k＝0，和k＜0，得出集合B，根据题意知A⫋B，然后即可求出每种情况下的k的范围．【解答】解：因为，所以（x+2）（x﹣3）＜0，解得x∈（﹣2，3），由x2+2kx﹣3k2≤0，得（x+3k）（x﹣k）≤0，当k＞0时，x∈[﹣3k，k]；当k＝0时，x＝0；当k＜0时，x∈[k，﹣3k]，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，∴A⫋B，所以当k＞0时，，解得k≥3；当k＝0时，不符合题意；当k＜0时，，解得k≤﹣2；综上，实数k的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．18．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S7﹣S4＝33．（1）求{an}的通项公式；（2）判断与2的大小关系并证明你的结论．【考点】等差数列的前n项和．【答案】（1）an＝2n﹣1．（2），证明详见解析．【分析】（1）根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解；（2）根据已知条件，分n＝1，n≥2两种情况讨论，即可求解．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由S7﹣S4＝a5+a6+a7＝3，解得a6＝33，解得a6＝11．又a1＝1，故a6＝a1+5d，解得d＝2，所以an＝2n﹣1．（2），证明如下：由（1）可求得，当n＝1时，；当n≥2时，，所以＝＝．19．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣ax+1，a∈R．（1）若∃x＞0，f（x）＜0，求a的取值范围；（2）设函数g（x）＝f（x）+ax﹣1，h（x）＝x2+bx，若斜率为1的直线与曲线y＝g（x），y＝h（x）都相切，求b的值．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】（1）a的取值范围是（1，+∞）；（2）b＝3或b＝﹣1．【分析】（1）问题转化为在x＞0时有解，设，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最小值，求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，表示出切线方程，结合二次函数的性质确定切点坐标，从而求出b的值．【解答】解：（1）由题意∃x＞0，f（x）＜0，得x3﹣x2﹣ax+1＜0，即在x＞0时有解，设p（x）＝，则p′（x）＝2x﹣﹣1，p'（1）＝0，由p″（x）＝2+＞0，得p'（x）单调递增，所以当x∈（0，1）时，p'（x）＜0，p（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，p'（x）＞0，p（x）单调递增，所以p（x）min＝p（1）＝1，所以a＞1，即a的取值范围是（1，+∞）．（2）由题意得g（x）＝x3﹣x2，所以g′（x）＝3x2﹣2x，令g′（x）＝1，解得x1＝1，，故直线与y＝g（x）的两个切点坐标分别为（1，0），，故切线方程分别为y＝x﹣1和，令x﹣1＝x2+bx，整理得x2+（b﹣1）x+1＝0，由，解得：b＝3或b＝﹣1，令，解得：，由，无解，经检验，直线与y＝h（x）的两个切点坐标分别为（﹣1，﹣2），（1，0），综上，b＝3或b＝﹣1．20．（12分）定义在R上的函数f（x）满足：①对∀x1，x2∈R，当x1≠x2时，总有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0；②对∀x∈R，f（f（x）﹣9x﹣3x）＝13．（1）求f（x）；（2）若对任意x1，x2，x3∈R，均存在以，，为三边长的三角形，求实数k的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【答案】（1）f（x）＝9x+3x+1．（2）．【分析】（1）由①可得f（x）在R上单调递增，再结合②即可求解f（x）的解析式；（2）构造函数，由题意可得g（x1）+g（x2）＞g（x3）对任意x1，x2，x3∈R恒成立，令，则（t≥3），对k分类讨论，求解即可．【解答】解：（1）由条件①知，当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），即f（x）在R上单调递增，再结合条件②，可知存在唯一的x0∈R，使得f（x0）＝13，从而有f（x）﹣9x﹣3x＝x0，又上式对∀x∈R成立，所以，所以，，设φ（x）＝9x+3x+x，则φ（x）单调递增，又φ（1）＝13，所以x0＝1，所以f（x）＝9x+3x+1．（2）设，由题意对任意的x1，x2，x3∈R，均存在以，，为三边长的三角形，等价于g（x1）+g（x2）＞g（x3）对任意x1，x2，x3∈R恒成立．又，令，当且仅当9x＝1时，即x＝0时取等号，则（t≥3），当k＜1时，，因为且，所以，即；当k＝1时，g（x1）＝g（x2）＝g（x3）＝1，满足条件；当k＞1时，，因为且，所以，即1＜k≤4．综上，实数k的取值范围是．21．（12分）已知函数f（x）定义在区间（﹣1，1）内，，且当∀x，y∈（﹣1，1）时，恒有．（1）证明：f（x）为奇函数；（2）若数列{an}，{bn}满足0＜an＜1，，，，且对∀n∈N*，（﹣1）n（bn+6）⋅λ＜4，求λ的取值范围．【考点】数列与函数的综合；数列与不等式的综合；函数奇偶性的性质与判断；抽象函数及其应用．【答案】（1）证明见解答；（2）λ的取值范围是．【分析】（1）由题意先运用赋值法求f（0），再令y＝﹣x确定函数的奇偶性；（2）由题意得，数列{f（an）}是首项为﹣1，公比为2的等比数列，可得，再运用错位相减法求bn，最后解决恒成立问题即可．【解答】（1）证明：由题意知f（x）的定义域为（﹣1，1），∀x，y∈（﹣1，1）时，恒有，令x＝y＝0，则f（0）+f（0）＝f（0），故f（0）＝0，再令y＝﹣x，则f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x）为奇函数．（2）解：由题意得f（an+1）＝f（）＝f（an）+f（an）＝2f（an），又f（）+f（）＝f（）＝f（）＝﹣f（）＝﹣2，∴f（）＝﹣1，即f（a1）＝﹣1≠0，∴，故{f（an）}是首项为﹣1，公比为2的等比数列，∴f（an）＝﹣2n﹣1，∴bn＝﹣（+++•••+），∴bn＝﹣（+++•••+），两式相减得bn＝﹣（2+++•••+﹣）＝﹣[2+1﹣（）n﹣1﹣]＝﹣3+，∴bn＝﹣6+，∴（﹣1）n（bn+6）•λ＝（﹣1）n•λ＜4（n∈N*）恒成立，即（﹣1）nλ＜（n∈N*）恒成立．设cn＝，则cn+1﹣cn＝﹣＝＞0，∴数列递增．若n为奇数，λ＞﹣＝﹣cn，当n＝1时，﹣cn有最大值﹣1，故λ＞﹣1；若n为偶数，λ＜＝cn，当n＝2时，cn有最小值，故λ＜．综上，λ的取值范围是（﹣1，）．22．（12分）已知a＞0，b∈R，函数f（x）＝ax|lnx|和g（x）＝b|lnx+1|的图像共有三个不同的交点，且f（x）有极大值1．（1）求a的值以及b的取值范围；（2）若曲线y＝f（x）与y＝g（x）的交点的横坐标分别记为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．证明：．【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】（1）a＝e，b的取值范围为（0，+∞）；（2）证明过程见解析．【分析】（1）由题意，分别讨论当x≥1和0＜x＜1这两种情况，对函数f（x）进行求导，利用导数得到函数f（x）的单调性和极值，进而可得a的值，将两函数图像有三个交点，转化成ex|lnx|＝b|lnx+1|有三个不等正实根，令t＝lnx+1，构造函数h（t）＝||et，此时函数h（t）与直线y＝b的图像有三个交点，作出函数图象，利用数形结合进行求解即可；（2）将问题转化成求证需证2lnx3﹣l