微专题22 计数原理与概率统计压轴小题（解析版）

微专题22计数原理与概率统计压轴小题

典型例题

例I.(2022・全国•高三专题练习)我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有

3张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有种.

【答案】198

【解析】

【分析】

首先列出至少有两个卜片之和相等的盒子的情况，然后利用全排列即可求解.

【详解】

由题意可知，设存在的这两个盒子中卡片的数字之和相等，设其相等的和为x.

当工=11时，共有1种情况,即{(1,3,7),(2,4,5)}；

当％=12时,共有3种情况,即{(1,2,9),(3,4,5)},{(1,3,8),(2,4,6)},{(1,5,6),(2,3,7)}；

当1=13时，共有5种情况,即{(1,3,9),(2,4,7)},{(1,3,9),(2,5,6)},{(1,4,8),(2,5,6)},{(1,5,7)32,3,8)},

{(1.5.7).(3.4.6)).

当％=14时，共有7种情况,即{(1.4,9),(2,5,7)},{(1,4,9)43,5,6)},{(1,5,8)42,3,9)},{(1,5,8),(3,4,7)},

{(1,6,7),(2,3,9)},{(1,6,7),(2,4,8)},{(2,4,8),(3,5,6)}；

当：=15时，共有2种情况，即{(1,5,9),(2,6,7),(3,4,8)},{(1,6,8),(2,4,9),(3,5,7)}

♦*

当工=16时，共有7种情况，即{(1,6,9),(3,5,8)},{(1,6,9),(4,5,7)},{(1,7,8)62,5,9)},{(1,7,8),(3,4,9)},

{(25,9),(3,6,7)},{(2,6,8),(3,4,9)),{(2,6,8),(4,5,7)}；

当工=17时,共有5种情况，即{(179),(4,18)},{(2,7,8),(3,5,9)},{(3,5,9),(4,6,7)},[(3,6,7),(4,5,8)},

{(1,7,9),(3,6,8)}：

当%=18时,共有2种情况,即{(2,7,9),(4,6,8)},{(3,7,8),(4,5,9)}；

当工=19时,共有1种情况，即{⑶7,9),(5,6,8)}；

综上所述，共有1+3+5+7+2+7+5+2+1=33(种)情况，

，不同的放法共有:33国=198种.

故答案为：198.

例2.(2022・全国•高三专题练习)设随机变易苫服从正态分布N(0,l),则下列结论正确的是______.(填序

号)

①P(©<。)=2(J<a)+2(J>-〃)(〃>。)：

②P(©<a)=2P(f<〃)-ig>0)；

③P(忸<a)="2P(*a)(a>0)；

④P(罔<a)=l-P(闾>a)S>0).

【答案】②④##④②

【解析】

【分析】

随机变量4服从正态分布N（O,1）,根据概率和正态曲线的性质，即可得到答案.

【详解】

因为尸（周<〃）=「（—所以①不正确：

因为P（团=

=P^<a）-P^<-a）=P（（J<〃）一>a）

=P^<a）-（\-P^<明=2P仔<«）-1,

所以②正确，③不正确：

因为P（何<a）+P（团所以P（用<a）=l-p（阂>a）（a>0）,所以④正确.

故答案为：②④.

例3.（2022.全国•高三专题练习）如图，将一个大等边三角形分成三个全等三角形与中间的一个小等边三角

形，设/阴=24足若在大等边三角形内任取一点P,则该点取自小等边三角形内的概率为.

【答案】三4

【解析】

【分析】

设/£>84=。，由正弦定理可得】="“（6（）°-°）,从而可求疝］夕的值，再由正弦定理可得AB

~:

3sina~si~n17T270-—sina

SO尸

进而根据所求概率为产=R代入即可求解.

3ABCA”

【详解】

解：设NOBA=a,由题意可得竺二■!■二sm（60。一a）,化简得:ana=£I,sina=吧，

AD3sina5V52

DF

又由正弦定理可得EPAB

sinNADBsinZABD_k

sin120sina

4户2

所以所求概率为#一=需=(扑碧器4,

sABCV3ab13Jsin120°13

4

4

故答案为：—.

例4.（2022・全国•高三专题练习）将杨辉三角中的每一个数C；都换成分数137,就得到一个如图所示

V*十I

的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出：（〃+;方+（〃+:）而二会，令

—H----1----1----1-■1---；—1--------,S”是｛a1的前〃项和，贝I」S”=

3123()60(〃+DC："HJHJ入口，”

1

T

11

22

111

363

1111

412124

11111

I203020I

111111

?30606030

11□__1_-L.X1

742105140105427

【答案】4+—1一1

【解析】

【分析】

由题设关系，应用累加法可得1—+/=；,进而可得｛〃”｝的通项公式，再应用裂项相消法求s”.

【详解】

]1_1[1_1]I_1

(〃+1)伫+(〃+1£=初，石+忑;=57心，57cL+(〃—l)C3=(〃-2)C3

I11111

------・ZZZ-^―^―^―'-~1~-=—‘

4C；4C；3C；*3G3C；2C；'

11111I11

将上述各式相加，得而后+行芯+右++内+7子即记记+勺=5,

,•n2〃(〃+1)2n〃+1'

I、〃1,

)=-+---------1

n+l2〃+1

故答案为：:+一二一1

2n+1

例5.(2022.全国•高三专题练习)已知等差数列｛4｝,对任意〃三N，都有

+/+£：=〃2川成立，则数歹〃一!一|的前〃项和7；=__________

U+4+2J

［答案］—

【解析】

【分析】

根据二项式的性质化简可得+=〃・2向，求出通项公式，再由裂项相消法即可求出.

【详解】

设等差数列的公差为"，则为=4+(〃-1)",因为42c+〃©++/。；=小2口

所以0C+.£+++":=〃-22

=4©+C+・,+C：)+"C+2Q+3C：r++，c)

=q•2〃+”3+CL++G：)=4・2"+就.2"T,

所以q•2"+〃小2"T=〃•2的，所以加+〃(d-4)=0对〃eN•恒成立，

所以q=0,4=4,所以等差数列｛4｝的通项公式%=4(〃-1),

所以—!-=42八=需--41，

4〃X4(〃+1)16(〃n+\)

I\(1An

所以数列------的前〃项和4=71——7=X\.

故答案为：而K・

例6.(2022・全国•高三专题练习)数列｛可｝共12项，且4=1,%=2,关于x的函数

力(“=?-可/+q_1卜+］,〃eN.,若x=a”u(lK〃W11)是函数的极值点，且曲线的y=A(x)在点

(小，八82))处的切线的斜率为3,则满足条件的数列h｝的个数为.

【答案】336

【解析】

【分析】

求导，由题意可得出k用-%|=1,根据导数的几何意义，即可求得出二。或4,分类讨论，砰可求得满足

条件的数列｛4｝的个数.

【详解】

因为+（屋_］卜+1,则力'（刈=/一2./+（4-1）=（工一4）2-1，

由已知可得（4用一4了一1=0,则|《向一可|=1.

由题意可得6（%）=［代-《）2-1=3,可得闻一《|=2,%=2,可得牝=。或4.

①当％2=0时，44-4=（。2-4）十（生一电）+（。4-4）=2-1=1,

得4+1-《（，=1，2,3）的值有2个1,1个-1,

42一4二（%一4）+（4-%）++［an-au）=0-2=-2,

得〃2—q（i=4,5,-U）的值有5个-1,3个1,

此时，数列｛4｝的个数为《《=168个；

②当先=4时，《一4=（。2-4）+（。3一。2）+（。4一%）=2-1=1,

得%-q（i=l,2,3）的值有2个1,1个-1,

=（七一生）+（4-%）++｛42_qJ=0_2=-2,

得明/q（i=4,5,、11）的值有5个一1,3个1,

此时，数列｛《,｝的个数为仁仁=168个.

综上所述，数列｛为｝的个数为168+168=336.

故答案为：336.

【点睛】

关键点点睛：本题考查数列个数的求解，解题的关键在于确定4的值的个数，结合组合计数原理和分

类加法计数原理求解.

例7.（2022・全国•高三专题练习）考查等式：CCL,+C：CN++C；CL=C（*），其中〃，〃仃eN'—

且rK〃-m.某同学用概率论方法证明等式（力如下：设一批产品共有〃件，其中加件是次品，其余为正品.现

从中随机取出『件产品，记事件A=｛取到的〃件产品中恰有k件次品｝,则尸（人,）=二7,k=0,1,2,...,

「•显然4，A，…，A,为互斥事件，且4=UA,.=O（必然事件），因此

L+c；CL

1=P(Q)=2(4)+P(A)+L+P(A)=CCL+CQ+,所以

d+ao+c；d，即等式（*）成立.对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性

与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑.现有以下四个判断：①等式（*）成

立，②等式（*）不成立，③证明正确，④证明不正确，试写出所有正确判断的序号.

【答案】①③

【解析】

【分析】

构造概率模型，从中随机取出「件产品，记事件4=｛取到的产品中恰有Z件次品｝,利用古典概型概率公式

求得其概率，根据4，AI，…，A,为互斥事件，且（必然事件），即可判断.

【详解】

设一批产品共有〃件，其中小件是次品，其余〃一切件为正品.

现从中随机取出「件产品，记事件4=｛取到的产品中恰有&件次品）,

则取到的产品中恰有后件次品共有c：G；：种情况，

又从中随机取出「件产品，共有c;种情况，攵=（）,1,…，r,

「Aj^r-k

故其概率为玖4）二一行k=0,19.・・，―・

•••4，4,…，儿为互斥事件，且&=（必然事件）,

dCm+c&

因此I=P(C)=P(4)+P(A)+LP(A，)=

C；

所以+c「C\T+L+C.cl=c：,即等式（*）成立.

从而可知正确的序号为：①③.

故答案为：①③.

【点睛】

关键点点暗；本题以概率为依托，证明组合中的等式问题，解题的关键是构造概率模型，利用古典概型的

概率公式求概率，题目新颖.

例（2022.全国•高三专题练习）如图，用四种不同颜色给图中的4,B,C,D,E,F,G,〃八个点涂色，

要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有种.

C

【答案】168

【解析】

【分析】

分E,£G,〃涂4利L3种或2种颜色，再分别计算涂色的方法种数.

【详解】

①对£F,G,“涂4种颜色，对于剩下的A8,C,O各剩2种颜色，且相邻的都含一种颜色是相同的，即当某

个点取一种颜色时,其他点的颜色是确定的.那么A8.CO共有2种情况，共有A：x2=48札

②对E,£G〃涂3种颜色，对于EEGH从4种颜色中取3种，即屐=4,从这3种颜色中取1种来作

重复的一种，即C；=3,再对这四种颜色进行排列，重复的那种只能在对角，有2个对■角，再对其他不重复

的2种进行排歹UA；=2,即2&=4对于剩下的A3C。同①一样，各剩2个颜色，当其中一点取一种颜色

时，其他点颜色是确定的，共有2种，故共有盘C；-2A12=4x3x2x2x2=96种，

③£F,G.”涂2种颜色，则选2种颜色，涂在对角位置，有C，2=12种方法，ARC,。共2种颜色，故

共有0x2x2=24种方法，

所以一共有48+96+24=168种方法.

故答案为：168

【点睛】

关键点点睛：本题考查排列，组合，计数原理的综合应用，本题的关键是正确分类EEG,"的涂色方法种

数，并且先涂先尸,G,”,再涂A,旦先。.

过关测试

一、单选题

1.（2022・全国•高三专题练习）设E（x）是离散型随机变量的期望，则下列不等式中不可能成立的是（）

A.E（X+lnX）＞E（X）+ln（E（X））B.E（X2lnX）＞E2（X）ln（E（X））

C.E（X+sinX）＞E（X）+sin（E（X））D.E（X2sinX）＞£2（X）sin（E（X））

【答案】A

【解析】

【分析】

根据各选项的期望，分别判断y=x+lnx、y=x2lnx,y=x+sinx、），=fsin]在定义域内是否存在下网

区间即可.

【详解】

A：由y=x+lnx且定义域为（0,+oo）,则〉,，=1+_L,/=__!_＜o,即），为上凸函数，有

Xx~

土生"土上3＜土产+]n±12,所以E（X+lnX）vE（X）+ln（E（X））；

B：由y=/Inx且定义域为（0,+8）,则/=2xlnx+x,/=21nx+3,显然化士+功上，即在（/:+⑹

为下凹函数，X：M'+只也"＞（A1与2m士玉,所以存在耳X%］X）＞E2（x）ln（石（X））；

222

C：力y=x+sinx,则），'=l+cosx,y"=-sinx,显然在［（2&-1）肛，Z：eZ±./＞0,即在［（2左一1）小2々乃|,

keZ为下凹函数，有％+sm*；工+加々＞土产+4专1,所以存在石（X+sinX）＞E（X）+sin（E（X））；

2

D：由），一Ysgx,贝ijy—2xsinx十FCOSK,/-（2-x）sinx+4A-cos.v,显然存在（O,/）上＞"＞。，即）'在

（。,乡为下凹函数，有芍八/；Asin＞＞（甘旦产土产,所以存在E（x2sinX）＞炉（X）sin（石（X））.

故选:A.

【点睛】

关键点点睛：利用函数二阶导数的几何意义判断各选项对应函数定义域内是否存在下凹区间即可.

2.（2022・江苏•高三专题练习）已知（1+X+/）”=4+7＞+7＞2+…+穿*2”，〃cN，其中T：为（1+x+-『

展开式中./项系数，i=0J2,…,2%则下列说法不正确的有（）

A.T；=T；z,1=0,1,2,-,14

B.T；+T；=T：

146

c.S^=2Z-V

1=1r=0

D.77是"，T；,T；,…,7r是最大值

【答案】B

【解析】

【分析】

由三项式系数塔与杨辉三角构造相似可得A,D正确，根据计算可得#+7?=7；3,^7；'=2^3\所以C

r=1/=€

正确.

【详解】

由题意知，三项式系数塔与杨辉三角构造相似，其第二行为三个数，且下行对应的数是上一行三个数之和，

当〃=7时，

（l+x+x2）7=［（1+工）+/了

=仁（1+幻7+。；（1+幻6/+。；（1+05/+。式1+幻4工6+。；（1+幻3/+仁（1+用2”+。；（1+幻/+。用4

=l+7x+28/+77.?+245/+266A5+357不+3937+357./+266x9+245/+77x"

+28.rl2+7.rl3+x14

故T；=T；2,丁；是T；,货的中间项，故窗最大，所以A,D正确；令x=()可知:

1="+7>。+1>0+…+穹”,0=北°；

当〃=7时，(l+x+x2)7=l+7；,x+7；2x2+...+7；,4x,4,7；2=C；+C^=7+21=28,7；3=C；C；+C^=42+35=77,

<3=C；C；+C；=112,所以#+7；、4，所以B不正确；

令工=1可知，37=4。+叶+#+...+邛=火/=1+£；二，即37-1=浙；

r=0r=li-l

b寺7_]146

又因为2»=2(30+夕+32+...+中)=2・?弓=37—1.故2，=2»,C正确.

故选：B.

3.(2022・新疆•一模(理))如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或

右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1-3T4T5-6-7就是一条移动路线，则从数字

“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

分类分步排列即可.

【详解】

由题意I和7是不能漏掉的，所以由以下路线：

(135,6,7),(134,6,7),(1,3,4,5,7),(1,2,4,6,7),(1,2,4,5,7),(1,23,5,7)共6条，

故选:B.

4.(2022•重庆南开中学模拟预测)“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角

的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13,L,则

下列选项不正确的是()

..・/

「J4,石41

*二M'lO1051

产‘615201561

■■

A.在第9条斜线上，各数之和为55

B.在第〃（〃之5）条斜线上，各数自左往右先增大后减小

C.在第〃条斜线上，共有2〃+1-（-1）”个数

4

D.在第11条斜线上，最大的数是C

【答案】A

【解析】

【分析】

根据从上往下每条线上各数之和依次为：1,1,2,3,5,8,13,…，得到数列规律为向=q+2判断

A选项，再根据杨辉三角得到第八条斜线上的数为：《T，CeG_3.C：T，CR{,进而判断BCD.

【详解】

从上往下每条线上各数之和依次为：1,1,2,3,5,8,13,L,

其规律是为+%=q+2，

所以第9条斜线上各数之和为13+21=34,故A错误；

第I条斜线上的数：C；,

第2条斜线上的数：C；；

第3条斜线上的数:%。,

第4条斜线上的数：C；\C；,

第5条斜线上的数：CCC，

第6条斜线的数：

依此规律，第〃条斜线上的数为：CL，cL，ci3，cL，CY，，C，C（N）

在第11条斜线上的数为最大的数是《，

由上面的规律可知：〃为奇数时，第〃条斜线上共有勺=空个数；

24

〃为偶数时，第〃条斜线上共有共有1=与个数，

所以第〃条斜线上共2〃+>（-1，故C正确；

4

由上述每条斜线的变化规律可知：在第〃5..5）条斜线上，各数自左往右先增大后减小，故B正确.

故选:A.

5.12022•福建泉州•高三开学考试）若数列也｝的通项公式为凡=（-1尸，记在数列｛qt｝的前〃+2（〃wN）项

中任取两项都是正数的概率为匕，则（）

A.P=-

1]3

B.%VP2n+2

C.<p2n

D.£“一]+P2n<巴”+|十3+2•

【答案】AB

【解析】

【分析】

由已知得数列｛q｝的奇数项都为1,即奇数项为正数，数列｛4,｝的偶数项为-1,即偶数项为负数，当〃=1时，

4=（,由此判断A选项；

将2〃-1代入,求得凡…将2〃代入，求得&；将2〃+1代入,求得巴的；将2〃+2代入，求得以+2,再运

用作差比较法，可判断得选项.

【详解】

解：因为数列｛q｝的通项公式为q=（-1）"7,所以数列｛q｝的奇数项都为1，即奇数项为正数，数列｛4｝的

偶数项为-1,即偶数项为负数，

又数列｛4｝的前〃+2（〃€N'）项中，任取两项都是正数的概率为P„,

当〃=1时，即前3项中，任取两项都是正数，概率为《二：,故A正确；

将2〃-1代入，数列｛4｝的前2〃+l（〃wN）项中，有（〃+1）个正数，〃个负数，任取两项都是正数的概率为

p二2二心+1）二/1

miC*（2〃+1）（2〃）4〃+2'

将2〃代入，数列｛q｝的前2〃+2（〃eN”）项中，有（〃+1）个正数，（〃+1）个负数，任取两项都是正数的概率为

p==.〃（〃+l）-〃

2"C，2（2〃+l）-（2〃+2）4〃+2，

将2〃+l代入，数列｛qj的前2〃+3（〃wN"）项中，有（〃+2）个正数，（〃+1）个负数，任取两项都是正数的概率

5P二=（〃+1）（〃+2）.〃+2

C黑3-（2〃+3）（2〃+2）-4,2+6'

将2〃+2代入，数列｛q｝的前2〃+4（〃eN）项中，有（〃+2）个正数，（〃+2）个负数，任取两项都是正数的概

”0=—=（〃+1）（-2）=上L

2〃+2-0黑二（2〃+31（2〃+4厂4〃+6'

nnn〃+1-2八

所以心一%G-研=（4〃+2）.（4〃+6）<0，所以当<%，故B正确：

%「马=然一/7=力>（），所以叱T>A“，故C错误;

4/?+24/7+24/?+2

叱仆—a）（胃焉卜（黑十篇

=-2-〃-+I---2-〃-+-3=-1---I=0八,

4〃+24〃+622

所以2i+2”=七讨+%+2,故D错误,

故选:AB.

6.（2022.全国.高三专题练习）由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其

恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3

个数字“125”保持递增）的概率是（）

A.—B.—C.—D.一

2012106

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根据已知条件“定位”中间数字，其次在剩余的四个数字中任取两个数字，放置在首或末位，则其余数字

排列方式唯一确定.最后由古典概型计算公式即可得解

【详解】

由I,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数共8=120个，前3个数字保持递减，后3个数字保持递增，

说明中间数字为1；

在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序，仅有一种排列方式放置在首两位（或末两位），则剩余两

位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）=

因此“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”的五位数有C；=6个，

所以所求的概率尸=言=5.

故选：A.

7.12022•全国•高三专题练习）已知数歹八加｝满足田=0,且对任意〃WN*,加+/等概率地取加+1或加-1,

设an的值为随机变量5，则（）

A.P（0=2）B.E（0）=1

C.P小=。）<P（&=2）D.P（6=0）<P（e3=0）

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意可知"2=1或42=-1,且P（02=1）=P（a2=-l）=g,进而可求自3的期望，可判断AB;再结合

条件求P（&=（））,可判断CD.

【详解】

依题意。2=1或。2=—1，且P（42=1）=P（42=—l）=g,

5=43的可能取值为2,0,-2

p（5=2）=yxl=l,

P（b=0）=2x-x-=^-,

222

尸（&=—2）=1xl=l,

E（43）=2x-+0xi+（-2）xl=0,由此排除A和B；

424

"=内的可能取值为3,1,-1,-3,

P

2

&刍=0）+?（4=-2）_3

P（O=.1）

2-8

P（0=-3）=；P（.=-2）=1,

/o

的可能取值为4,2,0,-2,-4

产（4=1）+%或=-1）_3

P（*=0）=

-8

尸©=2)=%=3)+『=1)」

所以P(6=0)>P(6=2),排除C.

因为尸(&=0)=1,P(。=0)=；,所以P(9=0)<P(3=0),故D正确.

O乙

故选：D.

8.(2022•全国•高三专题练习)己知(1+x严+〃皿*02i,则

4202n+2。刈9+3生018+4a2017+•+2020q+202la(t=()

A.202lx22021B.2021X22020

C.2020X22021D.2020X22020

【答案】B

【解析】

【分析】

根据给定条件结合组合数计算公式变形和式的通项(2021-4)//cNMK202l,再借助二项式性质即可得

解.

【详解】

依题意，akSwN,k£2021,

202V

“g(2。2-)-(2。2-=2。2G门.薪诉=2020

2020!

2021-=2021(。7),

[2020-a-l)]!-(A:-l)!

2021

于是"(导a2020+^^2019^-^^2018+4。2017++2020。]+202IC/g=Z(202i)4+2021%

I-

2021/2O212021

=[£2021(^,-^)14-2021^.=2021±C黑「£温

kA-0

=2021(22021-22020)=2021x22020.

故选：B

9.(2022•全国高三专题练习)已知苍y,zwM,且x+y+z=10,记随机变量g为x,y,Z中的最大值，则

%)=()

14

A.WB.

3T

17

C.5D.

T

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出方程的全部正整数解，即基本事件总数，4为工，y,Z中的最大值，则J可能的取值为4,5,6,7,8,然

后分别求出对应的概率即可.

【详解】

根据隔板法，将10看做10个完全用同的小球排成一排，中间形成的9个空，放入两块隔板，可求得

x+)，+z=10正整数解有C；=36组，J可能的取值为4,5,6,7,8,不妨设x=max｛x,)，,z｝,则4=下分类

讨论；

x=8,(x,y,z)=(8,1,1)；x=7,(x,y,z)=(7,1,2),(7,2J)

x=6,(x,y,z)=(6,1,3),(6,3,1),(6,2,2)；

x=5,(x,y,z)=(5J,4),(5,4,1),(5,2,3),(5,3,2)；x=4,(x,y,z)=(4,3,3),(4,4,2)

但根据X,y,z的对称性，上述每一组解的结果数还要乘以3,于是则有：

口4=8)=?=白，0(4=7)=^=1，Pg=6)=^=:，

3o12Job.564

12I

5丁屋

于是七传)=-!~-8+，7+，・6+、5+，4=?

w1264363

故选：D

10.(2022・全国•高三专题练习(理))圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，

其中梯形的个数为()

A.10B.20C.40D.60

【答案】D

【解析】

【分析】

把10个点看成5条线段的组合，再利用组合公式计算即可.

【详解】

梯形的两条边平行，可以从5组平行于直径的5条平行弦中选取，也可以从5组不平行于直径的4条平行

弦中选取，去除矩形后，梯形共有60个.

故选:D

11.(2022•全国•高三专题练习(文))已知递增正整数数列｛〃“｝满足4+2=CL(〃eZ),则下列结论中正确

的有()

(1)《、4、4可能成等差数列:

(2)《、4、%可能成等比数列：

(3)(〃“｝中任意三项不可能成等比数列;

（4）当〃23时，勺+2>4+4恒成立.

A.（）个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

【解析】

【分析】

首先根据题意得到数列间的关系％不放假设4之2,*4,可判断（1）；假设%、%、%是

等比数列退出矛盾可判断（2）,进而可判断（3）；同（2）一样证明•/“｝中任意三项不可能成等比数列；当〃23

时，可判断（4）;

【详解】

因为小工—-）xx2xl，

因为｛q｝是递增正整数数列，所以

当4=%T+1时，⑸+1=6丁=4=%，不满足题意；

所以。“之，*+2,若6=1，则为=生，不满足题意;

所以％22,a2>4,a3>6,

不妨取4=2,a2=4,4=6,此时q、%、生成等差数列，故（1）正确；

若4、%、％成等比数列，则%J4%，

ax(a-l)x(a-2)xx(a-a+1)_«x(a-l)x(a-2)xx(«-a+1)

2222y3222t所以

x(t7)—l)xx2x1a,x(«1—l)xx2x1

(七一1)x(〃-2)xx(“2-q+1)

的一।,

(«1-l)xx2xl

所以〃2=〃3-1即％=%+l与矛盾，故（2）错误;

同理假设%4，。向成等比数列则4=*4+1，

(〃“一1)x(%-2)x…x(凡一凡|+1)

所以q

(«„,)-I)xx2xl

与%+旧“”+2矛盾收（3）正确;

当〃N3时,。”+2=C：,1且an+\2%+2

w

2n+l/i'

故（4）正确;

故选：D

【点睛】

本题主要考查数列与组合数相结合的综合题，组合数公式禺'二」这是正确计算的关键，其次也

要注意式子的化简与放缩等.

12.(2022•浙江•高三专题练习)设集合S={-20,21,5,71,-15,3(1。},我们用〃S)表示集合S的所有元素之

和，用g(S)表示集合S的所有元素之积，例如:若A={2},则f(A)=g(A)=2；若5={2,3},则〃8)=2+3,

g(B)=2x3.那么下列说法正确的是()

A.若。=0,对S的所有非空子集儿，/(A)的和为320

B.若。=0,对S的所有非空子集B,,〃硝的和为-64()

C.若对S的所有非空子集C，g(C)的和为7

D.若。=-1,对S的所有非空子集2，屋。)的和为0

【答案】c

【解析】

【分析】

对干选项A、B：

当a=0时，S={-20,21,5,-11,-15,30,0},则/(S)=10.

由f(S)的定义，计算出所有/(S)的值，即可判断；

对干C、D：

根据g(S)的定义,计算g(S),正行判断.

【详解】

对于选项A、B：

当〃=0时，5={-20,21,5,-11,-15,30,0},则f(S)=10.

(1)当S的所有非空子集中只有一个元素时，显然所有的“4)的和为10；

(2)当S的所有非空子集中有两个元素时，共有仁二21个子集，且21个子集共有42个元素，所以S的每

一个元素都被取到6次(每个元素被取到的可能性相等)，此时所有的/(A)的和为6X/(S')=60；

同理，以此类推，可类推出子集有3、4、5、6、7个元素时，之和分别为

C>3

7/(加煞+%°十。;

空/⑸二滴+A

/、7x6x5x4x35._

f(S]=------------x—xl1OA=150A；

7'75x4x3x2xl7

储x67x6x5x4x3x26,_/八

〃S)=-------------x-x]0=60

76x5x4x3x2xl7

7x6x5x4x3x2xlx7xl()=10

'77x6x5x4x3x2xl7

故A、B借误;

对于C、D：

当〃二一1时，S={-20,21,5,-11,-15,30,-1}.

(I)当子集中有7个元素时,^|B7)=(-l)x(-20)x21x5x(-11)x(-15)x30,

(2)当子集中有6个元素时,记均为不含元素・1的子集,则有g(昆J=-g(S).

其他含的子集分别即为张(2工区7),则有(与卜-g(即+£g(%).

r=1i=2

7

同理可以得到：当当子集中有5个元素时，记”为不含元素-1的子集，则有g(%)=-»(%).

/=2

其他含-1的子集分别即为年(2XK7),则有£＞(%)=-&(鸟)十£8(%),

r=li=2

所以对于由〃(〃＜7)个元素的子集，都可以分成两类：含-1的与不含-1的，其中，不含-1的部分刚好为(〃+1)

元索中含-1的子集元素积之和的相反数，那么相加可以抵消，指导最后仅有一个元素的子集时，仅有含-1

的一个子集未被抵消，则S的所有g(C)之和为-1,故C正确，D错误.

故选:C

【点睛】

数学中的新定义题目解题策略：

⑴仔细阅读，理解新定义的内涵：

(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.

13.(2022・全国•高三专题练习(理))2020年疫情期间，某县中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医

务人员支援武汉六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为小第二

批派出两名医务人员的年龄最大者为乙，第三批派出三名医务人员的年龄最大者为4,则满足6＜鸟＜6的

分配方案的概率为()

1213

A.-B.—C.—D.—

33204

【答案】A

【解析】

【分析】

假设6位医务人员年龄排序为4＜%＜仆＜心＜4，由牝必在第三批，将派遣方式按第一批所派遣的人

员不同分成四类，求出满足《＜4的派遣方法数，再计算总派遣方法数，即可求概率.

【详解】

假设6位医务人员年龄排序为q<%<%<%<%<6，由题意知，年龄最大的医务人员必在第三批，派遣

方式如下：

1、第一批派％,第二批年龄最大者为火，第三批年龄最大者为。6：剩下的医务人员一个在第二批，两个在

第三批有C；=3种方法，

2、第一批派％,第二批年龄最大者为由或出，第三批年龄最大者为4：当第二批最大者为出，则有C；种

方法，当第二批最大者为。4,则有C；种方法，共C；+G=5种方法；

3、第一批派的，第二批年龄最大者为%或4或%,第三批年龄最大者为4：当第二批最大者为由,则有C；

种方法，当第二批最大者为七,则有C；种方法，当第二批最大者为例,则有I种方法，共C；+C；+l=6种

方法：

4、第一批派％,第二批年龄最大者为生或%或％,第三批年龄最大者为为：当第二批最大者为。一则有C；

种方法，当第二批最大者为应，则有种方法，当第二批最大者为%,则有1种方法，共C；+C；+l=6种

方法；

・•・3+5+6+6=20种方法，而总派造方法有C；C；C；=60种，

20I

・•・满足4cH<6的分配方案的概率为占=1.

6（）3

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：应用分类分步计数原理，结合题设含义，按第一批派遣的人员不同将派遣方式分类，再根据

第二批的最大年龄者的不同确定各类的派遣方法数.

14.（2022•上海•高三专题练习）如果数列同时满足以下四个条件：（I）/eZ（/=1,2,-,10）；⑵点（g2f）

1123

在函数y=4、的图像上；（3）向量〃=（1必）与力=（3必。）互相平行；（4）k-〃，与一二7的等差中项为彳

（1=1,2,…,9）；那么，这样的数列〃-/，…，即）的个数为（）

A.78B.80C.82D.90

【答案】B

【解析】

【分析】

先分析出口｝各项均为整数，且忆或，％-4=2,判断巴%=5,6,789,依次分析