人教A版（2019）高中数学必修二第八章 立体几何初步单元测试卷 （含解析）

第八章立体几何初步姓名：班级：一、单项选择题1．若、是空间中两条不相交的直线，则过直线且平行于直线的平面（）。A、有且仅有一个B、至少有一个C、至多有一个D、有无数个2．《算数书》竹简于上世纪八十年代在我省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中有一道求“困盖”体积的题：困下周六丈高二丈，求积。即已知圆锥的底面周长为丈，高为丈，求圆锥的体积。《算数书》中将圆周率近似取为3，则该困盖的体积（单位：立方丈）约为（）。A、B、C、D、3．在地球北纬圈上有、两点，它们的经度相差，、两地沿纬线圈的弧长与、两点的球面距离之比为（）。A、B、C、D、4．如图所示，已知一圆台上底面半径为，下底面半径为，母线长为，其中在上底面上，在下底面上，从的中点处拉一条绳子，绕圆台的侧面转一周达到点，则这条绳子的长度最短为（）。A、B、C、D、5．如图所示，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（）。A、B、C、D、6．已知正三棱柱的各棱长均为，底面与底面的中心分别为、，是上一动点，记三棱锥与三棱锥的体积分别为、，则的最大值为（）。A、B、C、D、二、多项选择题7．已知、、为三条不同的直线，且平面，平面，，则下列命题中错误的是（）。A、若与是异面直线，则至少与、中的一条相交B、若不垂直于，则与一定不垂直C、若，则必有D、若、，则必有8．已知四面体是球的内接四面体，且是球的一条直径，，，则下面结论正确的是（）。A、球的表面积为B、上存在一点，使得C、若为的中点，则D、四面体体积的最大值为三、填空题：9．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现。如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为。10．连接正方体相邻各面的中心（中心是指正方形的两条对角线的交点）后所得到了一个几何体，设正方体的棱长为，则该几何体的表面积为，该几何体的体积为。（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题11．（本小题满分10分）如图所示，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是弧上异于、的点。（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由。12．（本小题满分12分）如图所示，底面为菱形的直棱柱中，、分别为棱、的中点。（1）在图中作一个平面，使得，且平面；（不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱的截面。）（2）若，，求点到所作截面的距离。13．（本小题满分12分）如图所示，已知四棱锥，平面，底面是直角梯形，其中，，，为边上的中点。（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求三棱锥的体积。第八章立体几何初步一．选择题12345678二．填空题9.10.三．解答题11.12.13.第八章立体几何初步姓名：班级：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1．若、是空间中两条不相交的直线，则过直线且平行于直线的平面（）。A、有且仅有一个B、至少有一个C、至多有一个D、有无数个【答案】B【解析】∵、是空间中两条不相交的直线，∴、只可能平行或者异面，当、平行时，则过直线且平行于直线的平面有无数个，当、异面时，在上取一点，过作，则、确定平面，∴，此时过直线且平行于直线的平面有且只有一个，故选B。2．《算数书》竹简于上世纪八十年代在我省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中有一道求“困盖”体积的题：困下周六丈高二丈，求积。即已知圆锥的底面周长为丈，高为丈，求圆锥的体积。《算数书》中将圆周率近似取为3，则该困盖的体积（单位：立方丈）约为（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】设圆锥底面半径为，则，，∴，故选A。3．在地球北纬圈上有、两点，它们的经度相差，、两地沿纬线圈的弧长与、两点的球面距离之比为（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】由题知，，∴两地的球面距离是，而两地纬线圈的弧长为小圆的半个圆周，∴，∴，故选D。4．如图所示，已知一圆台上底面半径为，下底面半径为，母线长为，其中在上底面上，在下底面上，从的中点处拉一条绳子，绕圆台的侧面转一周达到点，则这条绳子的长度最短为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】画图，则设，圆心角为，则，，解得，，则，，，故选C。5．如图所示，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】取的中点，的中点，连接、、、，∵，，∴、，故在同一个平面内，连接，∵、分别为、的中点，∴且，∴四边形是平行四边形，∴，∴、，、，平面、平面，∴平面平面，即四边形就是平面截该正方体所得截面，∴，，，梯形如图：过、作的垂线，则四边形为矩形，∴，故四边形的面积为，故选B。6．已知正三棱柱的各棱长均为，底面与底面的中心分别为、，是上一动点，记三棱锥与三棱锥的体积分别为、，则的最大值为（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵正三棱柱的各棱长均为，∴，且，∴，由得：，当且仅当点为的中点时等号成立，∴的最大值为，故选A。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。7．已知、、为三条不同的直线，且平面，平面，，则下列命题中错误的是（）。A、若与是异面直线，则至少与、中的一条相交B、若不垂直于，则与一定不垂直C、若，则必有D、若、，则必有【答案】BD【解析】A选项，若与是异面直线，则至少与、中的一条相交，对，B选项，时，若，则，此时不论，是否垂直，均有，错，C选项，当时，则，由线面平行的性质定理可得，对，D选项，若，则，时，与平面不一定垂直，此时平面与平面也不一定垂直，错，故选BD。8．已知四面体是球的内接四面体，且是球的一条直径，，，则下面结论正确的是（）。A、球的表面积为B、上存在一点，使得C、若为的中点，则D、四面体体积的最大值为【答案】ACD【解析】∵是球的一条直径，∴，，∴，球的半径为，球的表面积为，A正确，∵与平面相交，上找不到一点，使得，B错误，连接、，∵，为的中点，∴，C正确，易知点到平面的距离的最大值为球的半径，∴四面体体积的最大值为：，D正确，故选ACD。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。9．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现。如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为。【答案】【解析】设球的半径为，则由题意可得球的表面积为，∴，∴圆柱的底面半径为，高为，∴最多可以注入的水的体积为。10．连接正方体相邻各面的中心（中心是指正方形的两条对角线的交点）后所得到了一个几何体，设正方体的棱长为，则该几何体的表面积为，该几何体的体积为。（本题第一空2分，第二空3分）【答案】【解析】这正八面体每个面是全等的正三角形，，，∵，，，∴。四、解答题：本题共6小题，共70分。应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11．（本小题满分10分）如图所示，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是弧上异于、的点。（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由。【解析】（1）由题意可知，平面平面，平面平面，∵，平面，∴平面，∴，2分∵是弧上异于、的点，且为直径，∴，又，∴平面，又平面，∴平面平面；5分（2）存在点，且当为的中点时，平面，证明如下：连接、交于点，连接、、，∵四边形为矩形，∴为中点，8分∵为的中点，∴又平面，平面，∴平面。10分12．（本小题满分12分）如图所示，底面为菱形的直棱柱中，、分别为棱、的中点。（1）在图中作一个平面，使得，且平面；（不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱的截面。）（2）若，，求点到所作截面的距离。【解析】（1）如图，取、的中点、，连接、、，则平面即为所求平面；6分（2）设点到平面的距离为，由等体积法得：，又，8分∵，又，∴，10分又由得：，∴。12分13．（本小题满分12分）如图所示，已知四棱锥，平面，底面是直角梯形，其中，，，为边上的中点。（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求三棱锥的体积。【解析】（1）如图，取的中点，连接、，∵为中点，∴，且，∵，，∴且，∴四边形是平行四边形，