河南湿封市六校2025-2026学年高二数学下学期期中测试【含答案】

河南省开封市六校2025-2026学年高二下学期期中数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.下列各项表示数列的是（）A.△，○，☆，□ B.C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D.【答案】B解析：由数列的定义得数列是指按照一定次序排列的一列数，而不能是图形、文字、向量等，故B正确．故选：B.2.数列的前四项依次是则数列的通项公式可以是（）A. B.C. D.【答案】B解析：当时，，可知D错误，当时，，可得A、C错误，经检验B满足数列的通项公式.3.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.<< B.<<C.<< D.<<【答案】B解析：由的图象可知，在上单调递增且增长得越来越慢，所以，即.故选：B.4.已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B解析：由于直线与曲线相切，设切点为，且，所以，所以切点的横坐标，将其代入直线方程和曲线方程，则有，即，又，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为2．5.设等差数列的前项和为，若，，则满足的的最小值为（

）A.8 B.13 C.14 D.15【答案】C解析：由题意得，，所以，所以，又，所以，故数列是递增的等差数列，所以，，因为，所以，，又，所以满足的的最小值为.6.若将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转可以得到另一个函数的图象，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A解析：原命题等价于，直线与曲线最多有一个交点，所以直线与曲线最多有一个交点，所以函数必为单调函数，否则必存在直线与其有多个交点.求导得到，又因为，所以只能，即，设曲线与直线相切时切点的横坐标为，则，解得，所以，则的取值范围为.故选：A.7.设数列满足，，则数列的通项公式等于（）A. B.C. D.【答案】D解析：因为，两边同时除以，得．令，则，两边同时加上，得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，所以．故选：D．8.已知正实数a，b满足和，则（）A. B.C. D.【答案】A解析：由，两边取对数，，即，又由，两边取对数，，即，令，，则，由，可得在上单调递增，则，故；又由可得，则，故.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知等比数列，=1，，则（）.A.数列是等比数列B.数列是递增数列C.数列是等差数列D.数列是递增数列【答案】ACD解析：由=1，得，，所以数列是等比数列且为递减数列，故A正确B不正确；，数列是递增的等差数列，故C，D正确.故选：ACD.10.下列命题正确的有（）A.已知函数在上可导，若，则B.C.在R上是增函数D.在处的切线斜率是【答案】BCD解析：对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，由，，则，所以在R上是增函数，故C正确；对于D，由，则，则，所以在处的切线斜率是，故D正确.故选：BCD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若，且曲线的对称中心为，则B.若，函数在上单调递增，则C.若，且，则存在实数，使得D.若，，且函数有两个极值点、，则【答案】ACD解析：对于A，若，则，由的对称中心为，则，所以，所以，所以，则，A对，对于B，若，则。若在上单调递增，则其导数在上恒成立，所以，即，B错，对于C，由，，不等式两边同乘，得，的判别式，故有两个不同零点，即有两个极值点，故不单调，因此存在使得，C对，对于D，将代入导函数，得，极值点是的两个根，由韦达定理：，D对.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线与曲线在处的切线垂直，则________．【答案】解析：，则曲线在处的切线的斜率，由切线垂直得：，即．故答案为：.13.已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____.【答案】##解析：等差数列与的前项和分别为，，且，则.故答案为：.14.已知数列的通项公式为，若数列中的最小项为3，则实数的最小值为________.【答案】解析：由题意得，当时，，由双勾函数性质可知，随着的增大而减小，而，此时不满足题意，舍去；当时，，，由双勾函数性质可知，随着的增大而增大，而，满足题意；当时，，此时随着的增大而减小，而，此时不满足题意，舍去；当时，，随着的增大而增大，而，满足题意；当时，，，由双勾函数性质可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，而，所以当，即，符合题意；当时，，此时数列的最小项为或，由题意可得，解得，所以，当时，即时，必有，不符合题意舍去；综上，实数的取值范围为，即最小值为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和为．解：（1）设等差数列的公差为，则由等差数列求和公式得：，又因为，所以可得，即数列的通项公式为；（2）由，所以.16.设函数，．（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间．解：（1）因为，则，解得，故，所以，所以，此时，曲线在处的切线方程为，即.（2）因为，则，当时，则，即函数的单调递减区间为，没有单调递增区间；当时，由可得，由可得.此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.17.已知函数．（1）若函数与的图象关于点对称，求的解析式；（2）当时，求的最大值；（3）判断函数在的零点个数，并说明理由．解：（1）由题意得，；（2）由题意得，，，令，解得，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为；（3）令，则，整理得，令，则，当时，，所以在上单调递减，又，，所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点.当时，，，两个不等式等号无法同时成立，，此时函数无零点，综上所述，在上存在唯一零点，即函数在上的零点个数为．18.已知，直线与曲线和都相切．（1）求的值；（2）若，其中．（i）求实数的取值范围；（ii）求证：．（1）解：．设与的切点为，则，解得，所以．由与相切，同理得，所以．（2）（i）解：由得直线与有两个不同的交点，与有两个不同的交点，由（1）知，，，在上单调递减，在上单调递增；，，在上单调递减，在上单调递增，又，且；，且，作出函数和的图象，由图象知的取值范围为．（ii）证明：不妨设，由（i）知，，显然，且，所以，同理，．要证，只需证，只需证．又，只需证．令函数，则，所以函数在（0，1）上单调递增