2025-2026月考试卷8年级（数学）求角的思想方法、与三角形有关的情景创新题（解析版）

（2种题型8重难点）现未知向已知的转化.2）整体思想：当题目中的条件或结论是以某几个元素的整体呈现时，则可以体思想求值.3）转化思想：转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决.4）分类讨论：当图形的形状或位置不明确,可能出现不同情况时,则需要根据可能出解.5）特殊到一般.6）参数思想.当图形中涉及到的角较多,关系复杂,但某些角之间存在确定数量关参数表示相关联的角,设而不求,使运算和表达变得简单明了.点C固定，点D，E在槽中可以滑动，且CE=DE=CP．若7DEB=87o，则LAPB的度数为o．【答案】【答案】29【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，设7APB=x，由等腰三角形的性质可得7CEP=7APB=x，进而由三角形外角性质可得7ECD=7APB+7CEP=2x，即得7EDC=7ECD=2x，【详解】解：设7APB=x，∴7CEP=7APB=x，∴7ECD=7APB+7CEP=x+x∴7EDC=7ECD=2x，【分析】本题考查等腰三角形的性质。涉及等腰三角形角的度数计算数建立方程求解．利用等腰三角形两底角相等以及三角形内角和定理，通过解得x=50o， (1)求证：AF=CE；(2)连接AD．若LDAF=LAFD=LADE=2LB，求LE的度数．【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，正确理解全等三角形的性（1）根据△ABC≌△EDF得出AC=EF,根据AF+FC=CE+CF，问题得证；（2）根据全等三角形的性质得出LB=LEDF，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】（1）解：丫△ABC≌△EDF，:AC=EF，即AF+FC=CE+CF，:AF=CE；:LB=LEDF，丫LDAF=LAFD=LADE=2LB，:LADE=2LEDF，:DF平分LADE，设LADF=xo，则LDAE=LAFD=LADE=2xo在△ADF中，根据三角形内角和定理，得:x+2x+2x=180，:LE=36o424-25八年级上·广东广州·期中）将△ABC(AB>AC)沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E(1)在图1中，若AB=8，AC=6，S△ACD=9，求BE；(2)在图2中，若7C=27B，①求证：BE=ED．②若AD=AC，求LBAC的度数．【分析】本题考查了折叠，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识（2）根据折叠的性质可得出7C=7AED，CD=ED，根据三角形外角的性质并结合已知可得出7AED=7B+7EDB=27B，则7B=7EDB，最后根据等角对等边即可得证；②设7B=x，则7C=2x，7EDB=x，7AED=2x，根据等边对等角得出7C=7ADC=2x．根据折叠的性质可得出7ADE=7ADC=2x，则7ADB=3x，根据三角形外角的性质得出7DAC=x，在△ADC中根据三角形内角和定理可求出x=36°,则7B=36°,7C=72°,最后在△ABC中根据三角形内角和定理求解【详解】（1）解：由折叠性质得：AE=AC=6，∴BE=AB-AE=8-6=2，:△ACD≌△AED:7C=7AED，CD=ED丫7C=27B:7AED=27B丫7AED=7B+7EDB．7AED=27B，:7B+7EDB=27B，::LB=LEDB，:BE=ED；②设LB=x，则LC=2x，LEDB=x，LAED=2x:LC=LADC=2x．:LADE=LADC=2x∴LADB=LADE+LEDB=2x+x=3x．:LDAC=LADB-LC=x，解得x=36O:LB=36O，LC=72O，∴LBAC=180O-LB-LC=72O．524-25七年级下·辽宁沈阳·期末）在△ABC中，ÐABC和ÐACB的角平分线BE和CD交于点F．(2)【问题】如图②,将△ABC沿MN折叠，使得点A与点F重合，若L1+L2=160O，则LBFC=o；(3)【问题拓展】若P，Q分别是线段AB，AC上的点，若LAQP=a，LACB=70O，射线CF与LAPQ的平分线所在的直线相交于点H（不与点P重合），直接写出LPHC与ÐBFC之间的数量关系（用含a的式 （1）由三角形内角和定理结合角平分线的定义可得LFBC+LFCB=90OLA，再由三角（2）由题意可得LAMF+LANF=360O-(L1+L2)=200O，由折叠性质得LAMF=2LAMN，LANF=2LANM，从而可得LA=180O-(LAMN+LANM)=80O，由（1）得LBFD=90OLA，从而计【详解】（1）解：在△ABC中，LABC+LACB=180O-LA∵ÐABC，ÐACB的角平分线BE，CD交于点F，∴LABC=2LFBC，LACB=2LFCB∴2LFBC+2LFCB=LABC+LACB=180O-LA，（2）解：∵LAMF=180O-L1，LANF=180O-L2，L1+L2=160O，由折叠性质得：LAMF=2LAMN，LANF=2LANM，∴2LAMN+2LANM=LAMF+LANF=200O，∴LAMN+LANM=100O，由（1）得：LBFD=90OLA，故答案为：130．（3）解：∵P，Q分别是线段AB，AC上的点，射线CF与7APQ的平分线所在的直线相交于点H，①射线CF与7APQ的平分线相交于点H，设射线PH交AC于K，如图1所示：∵CF平分ÐACB，PH平分7APQ，7ACB=70O，∵7APQ=180O-7A-7AQP=180O-7A-a，∵71=7APK+7A即71=7BFDa，∵7PHC=71+7ACH，②射线CF与7APQ的平分线所在的直线相交于点H时，设射线PH交AC于K，如图2所示：同理：71=7BFDa，以抽象成图①,我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系．【类比探究】【拓展延伸】②如图3，已知AM∥EN,ÐB+ÐD=150o,ÐC+【答案】（1）【答案】（1）ÐABC=LA+LADC+LC，证明见解析；（2）①60o；②100o．【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平（2）连接CF，利用（1）中结论可得LB=LA+LAFC+LBCF，LD=LE+LEFC+LDCF，结合已知可（3）在直线EN上取一点P，连接AP，利用（2）中结论可得L1+L3=100o，再利用平行线的性质可得【详解】解：（1）ÐABC=LA+LADC+LC．证明：如图，连接DB，并延长至点E，∵7A+7ADB=7ABE，7C+7CDB=7CBE，∵7ABC=7ABE+7CBE∴ÐABC=7A+7ADB+7CDB+7C∴ÐABC=7A+7ADC+7C；由（1）可知7B=7A+7AFC+7BCF，7D=7E+7EFC+7DCF，∴150O=7A+7AFC+7BCF+7E+7EFC+7DCF，②如图，在直线EN上取一点P，连接AP，由①可知7B+7D=150O=71+73+7C＋7E，724-25七年级下·江苏常州·期末）已知：如图，在△ABC中，AE相交于点F．(2)如图2，若LACB=LCDB=m(0O<m<180O)，求LCEF-LCFE的值（用含m的代数式表示（1）先根据LACB=LCDB=90O得出LB=90O-LDCB，LACD=90O-LDCB，再由AE平分LCAB即可（2）根据三角形外角的性质可得出LCFE=LACDLCAB，LCEF=LBLCAB，故LCEF-LCFE=LB-LACD，再由LB=180O-m-LDCB，LACD=m-LDCB即可求出LCEF-LCFE=180O-2m，可得出结论．:LB=90O-LDCB，LACD=90O-LDCB，:LB=LACD．丫AE平分LCAB，:LCFE=LCEF；（2）由（1）知，LCFE=LACD+LCAB，LCEF=LBLCAB，:LCEF-LCFE=LB-LACD．丫LB=180O-m-LDCB，LACD=m-LDCB，:LCEF-LCFE=(180O-m-LDCB)-(m-LDCB)=180O-2m．824-25八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图所示，求图中LA+LB+LC+LD+LE+LF+LG【答案】540O如图，由题意知，LB+LC=L1①,LD+LE+LF+L2=360O②,LA+L1+(180O-L2)+LG=360O③,①+②+③得，LB+LC+LD+LE+LF+L2+LA+L1+(180O-L2)+由题意知，LB+LC=L1①,LD+LE+LF+L2=360O②,①+②+③得，LB+LC+LD+LE+LF+L2+LA+L1+(180O-L2)+L∴LA+LB+LC+LD+LE+LF+LG=540O，923-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）如图所示，求LA+LB+LC+LD+LE+LF+LG的度数【答案】540°/540度角和的问题．连接BE，则LC+LD=LCBE+LDEB，则图中所求的几个角的和是五边形ABEFG的内角和．【详解】解：连接BE．在△CDM与△BEM中，LCMD=LBME，:LC+LD=LCBE+LDEB，:在五边形ABEFG中LA+LABC+LC+LD+LDEF+LF+LG=LA+LABC+LCBE+LDEB+LDEF+LF+LG=LA+LABE+LBEF+LF+LG=(5-2).180°10（2024八年级上·全国·专题练习）如图，LA+LB+LC+LD+LE+LF+LG+LH=．【答案】【答案】360°/360度【分析】本题考查了三角形的外角性质和多边形外角和等于LA+LB+LC+LD+LE+LF+LG+LH转化为LBNP+LDPQ+LFQM+LHMN是解题的关键．根据三角形的外角性质可得LBNP=LA+LB，LDPQ=LC+LD，LFQM=LB+LF，LHMN=LG+LH，再根据多边形的外角和定理即可求解．【详解】解：由图形可知：LBNP=LA+LB，LDPQ=LC+LD，LFQM=LB+LF，LLHMN=LG+LH，丫LBNP+LDPQ+LFQM+LHMN=360°,:LA+LB+LC+LD+LB+LF+LG+LH=LBNP+LDPQ+LFQM+LHMN=360°.故答案为：360°.LA+LB+LC+LA1+LB1+LC1=度；把图（b）称为二环四边形，它的内角和LA+LB+LC+LD+LA1+LB1+LC1+LD1=度；…依此规律，请你探究：二环n边形的内角和为【答案】360720【答案】360720360(n-2)【分析】连接BB1，可得LA1+LC=LBB1A1+LB1BC，再根据四边形的内角和公式即可求解；AA1之间添加两条边，可得LB1+LC1+LD1=LEAD+LAEA1+LEA1B1，再根据边形的内角和公式即可求解；二环n边形添加(n-2)条边，再根据边形的内角和公式即可求解．【详解】解：连接BB1，则LA1+LC=LBB1A1+LB1BC，LA+LB+LC+LA1+LB1+LC1=LA+LABB1+LBB1C1+LC1=360°;如图，AA1之间添加两条边，可得LB1+LC1+LD1=LEAD+LAEA1+LEA1B1，则LA+LB+LC+LD+LA1+LB1+LC1+LD1=LEAB+LB+LC+LD+LDA1E+LE=720°;二环n边形添加(n-2)条边，二环n边形的内角和成为(2n-2)边形的内角和．其内角和为180(2n-4)=360(n-2)，故答案为：360；720；360(n-2)．【点睛】本考查了多边形内角和定理：(n-2).180。（n≥3且n为整数)，熟记多边形内角根据“三角形的内角和”等相关几何知识，易证得LA+LD=LC+LB这个重要数学结论．(1)【模型求解】如图2，线段EF位于四边形ABCD内部，连结BE,CF交于点O，运用上述结论，求出LA+LABE+LDCF+LD+LE+LF的度数；(2)【构造模型】如图3是常见的“五角星”平面图形，求出LA+LB+LC+LD+LE的角度之和（要求：LA+LB+LC+LD+LE+LF+LG+LH+LM+LN的角度之和．【详解】（1）解1）由“8字型”可知，7E+7F=7EBC+7FCB，:7A+7ABE+7DCF+7D+7E+7F=7A+7ABE+7DCF+7D+7EBC+7FCB由（1）得：7B+7E=7ECD+7BDC，:7A+7ACE+7B+7E+ADB=180O，（3）如图4，延长DA，GN于点P，延长BM，EH于点Q，延长NG，CF于点S，延长HE，AD于点T，延长FC，MB于点R，由（3）得7P+7Q+7S+7T+7R=180O，:7PAN+7PNA=180O-7P，同理可得，LBMH+LEHM=180O+LQ，:LDAN+LGNA+LBMH+LEHM+LCFG+LFGN+LHED+LADE+LFCB+LCBM【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的有关概念，三角形的内角和定理，分三种情况讨论即可，①如图，AB=AC，LBFE=45O，②如图，AB=AC，LBAD=45O，同①理可得7PBN=7BAM=45o，7BCA的度数是据题意分两种情况：高AD在△ABC内部和高AD在△ABC外部，然后根据三角形的内角和，结合角的和差∴7BCA=90°-7CAD=55°.如图所示，当高AD在△ABC外部时，∴7BAD=180°-7B-7ADB=55°,∴7BAC=7BAD-7CAD=55°-35°=20°,∴7BCA=180°-7B-7BAC=180°-35°-20°=125°.综上所述，7BCA=55°或125°.故答案为：55°或125°.1523-24八年级上·全国·课堂例题）[分类讨论]如图，BD为△ABC的角平分线，若7ABC=60°,7CDB=110°,E为线段BC上一点，当△DCE为直角三角形时，求7BDE的度数．【答案】20【答案】20°或60°【分析】利用分类讨论思想：如图1，7CDE=90°时可直接求出7BDE；如图2，当7CED=90°时，则:7DBC=30°,:7BDE=110o-90o=20o；当7CED=90o时，如图2，:7BED=90o，【点睛】本题考查的是角平分线定义及三角形内角和定理，理解角平分线定义和【感知】如图①,在△ABC中，BP、CP分别是ÐABC和ÐACB的角平分线．【应用】（1）若7ABC=50o，7ACB=70o，则7BPC=；（直接写出答案）若7BAC=70o，则7BPC=【拓展】（3）如图②,在四边形ABCD中，BP、CP分别是ÐABC和7BCD的角平分线，直接写出ÐBPC与7A+7D【答案】（1）120【答案】（1）120o，125o2）7BPC=90oA，证明见解析3）7A+7D=27BPC或【分析】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌【分析】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌【详解】解1）∵BP、CP分别是ÐABC和ÐACB的平分线，LABC=50o，LACB=70o，∴LBPC=180o-LPBC-LPCB=120o．∵BP、CP分别是ÐABC和ÐACB的平分线，LBPC=90oLA；理由如下：∵BP、CP分别是ÐABC和ÐACB的平分线，∴LBPC=180o-LPBC-LPCB=180o-(LPBC+LPCB)（3）LA+LD=2LBPC．如图，延长BA，CD，交于点E，由（2）知，LBPC=90oLE，∵LBAD=LE+LADE,LCDA=LE+LDAE，∴LBAD+LCDA=LE+LE+LADE+LDAE=180O+LE，∴LE=LBAD+LCDA-180O，即LBAD+LCDA=2LBPC．(1)若LABC=45O，LACB=55O，求LBOC的度数；(2)若LA=70O，直接写出LBOC=；(3)若LA=a，LBOC=β,请猜想a和β之间的数量关系，并说明理由．【分析】本题考查三角形内角和定理与角平分线的定义，掌握角平分线的定（1）利用角平分线的定义求出LOBC和LOCB，再利用三角形内角和定理求解；LOCBLACB，最后利用三角形内角和定理求解；（3）当（3）当LA=a时，LABC+LACB=180o-a，同（2）可得β=90oa．由角平分线的定义得LOBCLABC，LOCBLACB，∴LBOC=180o-LOBC-LOCB同（2）可得当LA=a时，LABC+LACB=180o-LA=180o-a，LOBCLABC，LOCBLACB，∴LBOC=180o-LOBC-LOCB=180o-´(180o-a)(1)如图1，AB∥CD，点P在AB、CD内部，LB=55o,LD=40o，则LBPD=o；(2)如图2，AB∥CD，点P在AB、CD外部（CD的下方则LBPD、LB、LD之间的数量关系为.___________(3)如图3，直接写出LBPD、LB、LD、LBQD之间的数量关系为，并证明．(2)LB=LBPD+LD(3)LBPD=LB+LD+LBQD见解析【分析】（1）过点P作PQ∥AB，利用平行线的判定和性质，角的和解答即可．【详解】（1）解：如图，过点P作PQ∥AB，∴PQ∥CD，∴LB=LBPQ，LD=LDPQ，∵LBPQ+LDPQ=LBPD，∴LB+LD=LBPD．（2）解：LB=LBPD+LD．理由如下：∴LB=LBPD+LD．故答案为：7B=7BPD+7D．（3）解：7BPD=7B+7D+7BQD；理由：连接QB，并延长到点N，∵7BPN=7B+7BQP，7DPN=7D+7DQP，7BPD=7BPN+7DPN，7BQD=7BQN+7DQN，∴7BPD=7B+7D+7BQD．故答案为：7BPD=7B+7D+7BQD．(1)若P为线段AD上的一个点，过点P作PETAD交线段BC的延长线于点E．①若7B=30°,7ACB=80°,则7E=；②猜想7E与7B、7ACB之间的数量关系，并给出证明．(2)如图2，若P在线段AD的延长线上，过点P作PETAD交直线BC于点E，请直接写出7PED与7B、7C的数量关系．【答案】(1)①【答案】(1)①25°②7EACBB，证明见解析（1）①三角形的内角和求出7BAC的度数，平分线求出7BAD的度数，外角求出7EDP的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余，求出7E的度数即可；②仿照①法，进行求解即可；∴7BAC=180°-7B-7ACB=70°,∵AD平分7BAC，∵PETAD，②LELACBLB，证明如下：∵AD平分7BAC，LBAC=180O-LB-LACB，∵PETAD，（2）∵AD平分7BAC，LBAC=180O-LB-LACB，∵PETAD，②若MN丄BC于N，求图中L1-L2的值；(2)若LBEC=x，LBDC=y，求7BMC（用含x，y的代数式表示【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，列代数式，关键是由内角和定理推出LMBC=90oLA，由三角形的外角性质推出x+y=2LA+LBMC-LA=LBMC+LA，（1）①由角平分线定义得到LMBC=LABC，LMCB=LACB，由三角形内角和定理推出22（2）由三角形的外角性质推出x+y=2LA+LABD+LACE、LBMC=LA+LABD+LACE，而LBMCニ90o+LA，即可得到LBMCo．【详解】（1）解：①BD平分LABC、CE平分LACB，:LMBC+LMCB=，:LBMC=120o，:LMNB=90o，:L1-L2=30o；（2）解：丫LBEC=LA+LACE、LBDC=LA+LABD、LBEC=x、LBDC=y，:x+y=2LA+LABD+LACE，丫LBMC=LCDM+LACE、LCDM=LA+LABD，:LBMC=LA+LABD+LACE，:x+y=2LA+LBMC-LA=LBMC+LA，:LA=2LBMC-180o，:x+y=LBMC+2LBMC-180o，(2)如图①,若△ABC是“近直角三角形”，LB>90o，LC=50o，则LA=；【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，三角（3）根据△BCE是“近直角三角形”，由新定义可得两种情况：2LBCE+LE=90o或LBCE+2LE=90o，:LA=180o-40o-115o=25o，:LB+2LA=40o+2´25o=90o，:三角形ABC是“近直角三角形”；:7B不可能是a或β,当7A=a时，7C=β=50o，a+2β=90o，不当7A=β时，7C=a=50o，:7A=20o；:BC=2AB=2，7E+7ACE=90o，7CBE=120o，:27BCE+7E=90o或7BCE+27E=90o，①当27BCE+7E=90o时，7ACE=27BCE，:7ACB=7BCE=30o，:7E=30o=7BCE，:BC=BE=2，:AE=AB+BE=1+2=3；②当7BCE+27E=90o时，7ACE=7BCE+7E，:7E=7ACB=30o，:7BCE=30o=7E，:BC=BE=2，:AE=AB+BE=1+2=3；综上，AE=3．的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形”三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一【概念理解】（2）如图2，在△ABC中，CD为LACB的角平分线，7A=75o，7B=35o，试说明CD为△ABC的均等分【应用拓展】（3）在△ABC中，7A=47o，CD是△ABC的均等分割线，若△ACD是等腰三角形，则LACB的度数为.________ （2）分别证明7ACD=7B，7ADC=7ACB，7A=7A，可得△ACD与△ABC为均等三角形，证明7B=7BCD=35o，可得CD=BD，可得△BCD为等腰三角形，从而可得结论； （3）当DA=DC，7ACD=47o，求得LACB；当DA=AC，有7ACD=7ADC，得7BCD=47o，即可求得LACB；当AC=DC，7ADC=47o，则7BDC=133o=7ACB，不合题意舍去即可． ∴7ADC=7BDC=90o=7ACB， ∴7A+7ACD=90o=7ACD+7BCD=7BCD+7B， ∴7A=7BCD，7ACD=7B，∴△BCD和△ACD是均等三角形. ∴7ACD=7B，7ADC=7ACB，7A=7A，∵7B=7BCD=35o，当DA=DC时，7ACD=7A=47o，∴7ACB=7BDC=47o´2=94o，此时7B=7B，7BCD=7A=47o，满足条件；②当DA=AC时，7A=47o，∴7ACD=7ADC=66.5o，∴7BCD=7A=47o，则7ACB=66.5o+47o=113.5o，③当AC=DC时，7ADC=7A=47o，则7BDC=180o-47o=133o=7ACB那么7B=180o-47o-133o=0o（舍去故LACB的度数为94o或113.5◎.如图①,线段BD，CE把△ABC分成三个等腰三角形，则线段BD，CE叫做△ABC的三分线．(2)如图③,在△ABC中，7B=30O，线段AD，DE是△ABC的三分线，点D，E分别在边BC，AC上，且AD=BD，DE=CE．求LC的度数．【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形（2）先根据等腰三角形的性质可得7BAD=7B=30O，7ADB=120O，7C=7CDE，再设7C=7CDE=x，根据三角形的内角和定理、三角形的外角性质可得7AED=2x，7ADE=60O-x，7DAE=120O-x，则7DAE<7ADE，然后分两种情况：①AD=AE和②AD=DE，根据等腰三角形的性【详解】（1）解：画图如下：（答案不唯一）∴△ABD是等腰三角形，7BAD=7B=30O，7ADB=180O-7BAD-7B=120O，∴△CDE是等腰三角形，7C=7CDE，又∵线段AD，DE是△ABC的三分线，设7C=7CDE=x，∴7AED=7C+7CDE=2x，7ADE=180o-7ADB-7CDE=60o-x，7DAE=180o-7BAD-7B-7C=120o-x，∴7DAE<7ADE，①当AD=AE时，△ADE是等腰三角形，则7AED=7ADE，即2x=60o-x，解得x=20o；②当AD=DE时，△ADE是等腰三角形，则7AED=7DAE，即2x=120o-x，解得x=40o；综上，LC的度数为20o或40o．(1)已知71和72互为“幸福角”，且71<72，若71和72互补，则71=；(2)如图1所示，在△ABC中，7ACB=90o，过点C作AB的平行线CM，LABC的平分线BD分别交AC、CM于D、E两点．①若7A<7BEC，且LA和LBEC互为“幸福角”，则7A=；②如图2所示，过点C作AB的垂线，垂足为F，BD、CF相交于点N．若7DCN与7CDN互为“幸福角”，求LA的度数． （2）①设7BEC=a，求得7ABC=27ABD=2a，根据三角形内角和定理求得7A+2a=90o，根据LA和 LBEC互为“幸福角”，再列式计算即可求解；②设7BEC=a，利用平行线的性质和三角形的外角性质分别求得7A=90o-2a，7ACF=2a，7CDB=90o-a，再根据7DCN与7CDN互为“幸福角”，分两种情况列式计算即可求解．【详解】（1）解：∵L1和L2互为“幸福角”，且L1>L2，∵L1和L2互补，（2）解：①设LBEC=a，∵AB∥CM，∴LABD=LBEC=a，∵BD是LABC的平分线，∵LA和LBEC互为“幸福角”，且LA>LBEC，②设LBEC=a，同理LABD=a，LABC=2a，则LA=90o-LABC=90o-2a，∴LACF=90o-LA=LABC=2a，∵LDCN与LCDN互为“幸福角”，当LDCN-LCDN=15o，当当LCDN-LDCN=15o，∴LA=90o-2×25o=4综上，LA的度数为40o或20o．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，一元一次方程的应用．熟(3)如图，点D在△ABC的边上，连接DC，作LADC的平分线交AC于点E，且DE∥BC．若△BCD是【分析】本题是三角形综合题，主要考查三角形的内角和定理，熟练掌（2）设最小内角为x，另一个内角为y，分两种情况讨论：当3x=120o时，x=40o（不符合去）；当y=3x时，x=15o；（2）解：设最小内角为x，另一个内角为y，∵DE平分LADC，∴LADE=LEDC，∴LB=LBCD，当LB=3LBDC时，LB+2LB=180o，(540)顶点与交点之间的线段将这个三角形分割成两个小的等腰三角形；那么我们就把原(2)如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分LACB，LA=36o．求证：CD是△ABC的两分线；(4)已知△ABC是可两分三角形，且LA=30O，LABC为钝角，请直接写出LABC所有可能的度数．【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质．∴LACB=LB=72O，∵CD平分LACB，∴LACD=LBCD=36O，∴LCDB=LA+LBCD=72O，如果AD=AB，DB=DC，如果AD=DB，DC=DB，）；如图中，当AD是“两分线”时，AB=BD，AD=DC，则LABC=180o-20:符合条件的LABC的度数为135o或112.5o或140o．数学课上，在复习《三角形》这一章时，老师提出如下问题：如图1，在△ABC中，LC>LB,AE平分LBAC,AD丄BC于点D．猜想LB,LC,LDAE的数量关系，并说明理由．“勤奋小组”没有发现数量关系，也没有解题思路，根据自己探究套路，尝试代入7B,7C具体的数值求LDAE的值，对应值如下：LB20。40。LC48。LDAE20。β23。“智慧小组”受到“勤奋小组”的启发，很快发现7B,7C,7DAE的数量关系，并给出证明．点F作FDTBC于点D，其它条件不变．当∠B=32。，7C=76。时，求LEFD度数．【答案】任务一：14【答案】任务一：14。；任务二：7DAE，见解析；任务三：22。【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的内角和问题，掌握相关结论即可.7FDE+7EFD=7C+7EAC即可求解；∵AE平分LBAC，∵ADTBC，∴LDAC=90o-LC=42o，∴LDAE=LEAC-LDAC=14o，任务二：LDAE，理由如下：∵AE平分7BAC，又LBAC=180o-LB-LC；∵ADTBC，∴LDAC=90o-LC，∴LBAC=180o-LB-LC=72o；∵AE平分7BAC，∵LFED=LAEC，∴LFDE+LEFD=LC+LEAC，又LFDE=90o，∴LEFD=LC+LEAC-LFDE=22o，故答案为：22o【材料提出】【探索研究】探索一：如图1，在八字型中，探索LA、LB、LC、LD之间的数量关系为；探索三：如图3，CP、AG分别平分LBCE、LFAD，AG反向延长线交CP于点P，则LP、LB、LD【模型应用】应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设L边形的内角LMBC与外角LNCD的角平分线BP，CP相交于点P，则LA=（用含有a和β的代数式表示），LP=（用含有a和β的代数式表示）的角平分线所在的直线相交于点P，LP=（用含有a和β的代数式表示）【拓展延伸】拓展一：如图6，若设LC=x，LB=y，LCAP=LCAB，LCDPLCDB，试问LP与LC、LB之间的数量关系为（用x、y表示LP)拓展二：如图7，AP平分LBAD，CP平分LBCD的邻补角LBCE，猜想LP与LB、LD的关系，直接【答案】探索一：L【答案】探索一：LA+LB=LC+LD，探索二：25O；探索三：LP应用一：a+β-180O，；应用二拓展一：7P；拓展二：27P-7B-7D=180O【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，熟练探索二：根据角平分线的定义可得7BAP=7DAP，7BCP=7DCP，结合（1）的结论可得27P=7B+7D，再代入计算可求解；应用一：如图4，延长BM，CN，交于点A，利用三角形内角和定理可得7A=a+β-180O，再运用角平分应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，利用应拓展一：运用探索一的结论可得：7P+7PAB=7B+7PDB，LP+LCDP=LC+LCAP，7B+7CDB=7C+7CAB，再结合已知条件即可求得答案；【详解】探索一：如图1，丫7AOB+7A+7B=7COD+7C+7D=180O，7AOB=7COD，:7A+7B=7C+7D，故答案为7A+7B=7C+7D；探索二：如图2，丫AP、CP分别平分LBAD、7BCD，:71=72，L3=L4，由（1）可得：71+7B=73+7P，72+7P=74+7D，:7B-7P=7P-7D，即27P=7B+7D，:7P=25O，探索三：由①7D+271=7B+273，由②27B+273=27P+271，①+②得：7D+27B+271+273=7B+273+27P+2717D+27B=27P+7B．故答案为：LP．应用一：如图4，由题意知延长BM、CN，交于点A，\LAMN=180O-a，LANM=180O-β,\LA=180O-(LAMN+LANM)=180O-(180O-a+180O-β)=a+β-180O；丫BP、CP分别平分LABC、LACB，丫LPCD=LP+LPBC，2应用二：如图5，延长MB、NC，交于点，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，\LA=180O-a-β,丫BP平分LMBC，CP平分LNCR，\BP平分LABT，CP平分LACB，由应用一得：LPLA-a--a-βLP+LPAB=LB+LPDB,LP+LCDP=LC+LCAP,LB+LCDB=LC+LCAB，丫LC=x，LB=y，LCAP=LCAB，LCDP=LCDB，\LCDB-LCAB=LC-LB=x-y，故答案为：LP丫AP平分LBAD，CP平分LBCD的邻补角LBCE，由探索一得：①LB+LBAD=LD+LBCD，②LP+LPAD=LD+LPCD，②x2得：③2LP+LBAD=2LD+180O+LBCD，③-①,得：2LP-LB=LD+180O，O:2LP-LB-LD=180，故答案为：2LP-LB-LD=180O．LABD，CP平分LACD．(1)若D点是△ABC中BC边上一点，如图1所示，判断7P、7A之间存在怎样的等量关系？直接写出结论，(2)若D点是△ABC中AB边上一点，如图2所示，判断7BDC、7BPC、7A之间存在怎样的等量关系？并(3)若D点是△ABC外任一点，如图3所(4)若D点是△ABC内一点，如图4所示，判断7D、7P、7A之间存在怎样的等量关系直接写出结论，(2)7A+7BDC=27DPC，证明见解析(3)7D+7A=27P，证明见解析(4)7BDC=27BPC-7A【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及（1）由角平分线的定义可得7PCBACB，7PBCABC，再由三角形内角和定理进行计算即可得（2）由角平分线的定义可得7ACP=7DCP，由三角形外角的定义及性质可得7ACP=7DPC-7A，7DCP=7BDC-7DPC，即可得出7DCP-7A=7BDC-7DPC，从而得出答案；（3）由角平分线的定义可得：7ACP=7DCP，7DBP=7ABP，再由7D+7DBP=7P+7DCP，7A+7ACP=7P+7ABP即可得出答案．【详解】（1）解：结论：7P=90oA，证明：丫BP平分LABD，CP平分7ACD，:LP=180O-(LPBC+LPCB)，（2）解：结论：LA+LBDC=2LDPC，证明：丫CP平分LACD，:LACP=LDCP，:LACP=LDPC-LA，LDCP=LBDC-LDPC，:LDCP-LA=LBDC-LDPC，:LA+LBDC=2LDPC；（3）解：结论：LD+LA=2LP，证明：丫BP平分LABD，CP平分LACD，:LACP=LDCP，LDBP=LABP，丫LD+LDBP=LP+LDCP，LA+LACP=LP+LABP，:LD+LA=2LP．（4）解：∵LA+LABC+LACB=180O，∴LABC+LACB=180O-LA，∵LABP=LABC-LPBC,LACP=LACB-LBCP，∴LABP+LACP=LABC+LACB-(LPBC+LPCB)=LBPC-LA，∵BP平分LABD，CP平分LACD，∴LABD=2LABP,LACD=2LACP，∴LABD+LACD=2LABP+2LACP=2(LBPC-LA)，同理可得：∠ABD+∠ACD=LBDC-LA，∴LBDC-LA=2(LBPC-LA)， ∴7BDC=27BPC-7A．如图1，在△ABC中，如果AB<AC，那么我们可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，折线交BC于点E，则7C=7ADE．），∴7C<7B．（1）如图2，在△ABC中，如果7ACB<7B，能否证明AB<AC?（2）如图3，在△ABC中，DE=DB，按照图1的方式进行折叠，得到 （2）先判断出7B=7BED，再判断出7MAE=7MEA，进而求出7B+7BAM=70O，即可得出结论． 【详解】解：∵7ADE=7B+7BED， 在△ACF中，AF+FC<AC， ∴AF+BF<AC， （2）解：由折叠知，7MAE=7EAC，7ADE=7C， ∴∴LB=LBED，∵ME∥AC，∴LMEA=LEAC，∵LMAE=LEAC，∴LMAE=LMEA，3124-25八年级上·浙江杭州·开学考试1）如图1，在△ABC中，LABC和LACB的平分线交于点O，求LBOC与LA的关系，请说明理由．（2）如图2，在△ABC中，内角LABC的平分线和外角LACD的平分线交于点O，请直接写出LBOC与LBAC的关系，不必说明理由．（3）如图3，AP，BP分别平分LCAD，LCBD，求LP与（LC+LD）的关系，请说明理由．（4）如图4，AP，BP分别平分LCAM，LCBD，请直接写出LP与LC，LD的关系，不必说明理由．【答案】（2）【答案】（2）LBOC=90OLA，理由见解析2）LBOCLBAC，理由见解析3）（1）由三角形内角和定理可得LABC+LACB=180O-LA，再根据角平分线的定义可得LOBCLABC、LOCBLACB，易得LOBC+LOCB=90OLA，然后再根据三角形内角和定理即可解答；（2）由角平分线的定义可得LOCDLACD，易得LOCDLBACLABC，然后根据等量代换以及 ∵在△ABC中，LA+LABC+LACB=180O， ∵BO是∠ABC的平分线， ∵在△BOC中，LBOC+LOBC+LOCB=180O，∵CO是LACD的角平分线，又∵LACD=LBAC+LABC， ∵AP、BP分别平分LCAD、LCBD，∵∵LAEB是△ADE和△BEP的外角，∴LAEB=LD+LDAP=LDBP+LP，∵LAFB是△BCF和△AFP的外角，∴LC-LP=LP-LD，∵AP，BP分别平分LCAM，LCBD，∴LMAP=LCAP，LEBP=LPBC，∴LD+LDAC=LC+LCBE，∵LAED=LBEP，∴LP+LPBE=LD+LDAE，AC．直线BE丄AC于点E，延长DC与BE相交于点F．点P是射线FD上的一个动点，点P不与点F、点C、点D重合．连接BP，EP．(1)线段AC，BD的关系是；(2)如图1，当点P在线段FC上运动时，7DBP，7CEP，ÐBPE之间的数量关系是；(3)如图2，当点P在线段CD上运动时，7DBP，7CEP，ÐBPE之间的数量关系是否发生变化？若发生(4)如图3，当点P在点D上方运动时，请直接写出7DBP，7CEP，ÐBPE之间的数量关系： (2)7DBP=7CEP+7BPE； (4)7CEP=7DBP+7BPE． 四边形ABCD为平行四边形，进而可得线段AC，BD的关系； 7CEP，ÐBPE之间的数量关系； （3）过点P作PH∥BD交AB于点H，易得AC∥HP∥BD，由平行线的性质可得7DBP=7BPH，7CEP=7EPH，由7BPE=7BPH+7EPH得到7BPE=7DBP+7CEP，以此即可求解； （4）由平行线的性质可得7CEP=7DMP，由三角形外角性质可得7DMP=7DBP+7BPE，进而得到7DBP，7CEP，ÐBPE之间的数量关系． \AB=CD，AB∥CD， \四边形ABCD为平行四边形， \AC=BD，AC∥BD；故答案为：AC=BD，AC∥BD； ∵AC∥BD，\7DBP=7CGP，丫7CGP=7CEP+7BPE，\7DBP=7CEP+7BPE；故答案为：7DBP=7CEP+7BPE；（3）解：当点P在线段CD上运动时，7DBP，7CEP，LBPE之间的数量关系不会发生变化，理由如下：如图，过点P作PH∥BD交AB于点H，∵AC∥BD，∴AC∥HP∥BD，\7DBP=7BPH，7CEP=7EPH，丫7BPE=7BPH+7EPH，\7BPE=7DBP+7CEP；（4）解：如图，设PE交BD于点M，∵AC∥BD，\7CEP=7DMP，丫7DMP=7DBP+7BPE，\7CEP=7DBP+7BPE．故答案为：7CEP=7DBP+7BPE． 点，你能找到LP与LA的关系吗？又举了几个例子，并对结论进行了证明，从而找到LP与LA的关系：LPLA．【解决问题】(1)若P是LABC，LACB的三等分线的交点，即LPBC=LABC，LPCB=LACB，则LP与LA的关系为，(2)若P是LABC，LACB的四等分线的交点，即LPBC=LABC，LPCB=LACB，则LP与LA的关系(3)若P是LABC，LACB的n等分线的交点，即LPBCLABC，LPCBLACB，则LP与LA的关）．【答案】【答案】LPLA（1）先根据三角形内角和定理求出LABC+LACB，根据三等分线求出LPBC+LPCB，根据三角形的内角和定理得出7BPC=180o-(7PBC+7PCB)，代入求出即可；（3）先根据三角形内角和定理求出LABC+LACB，根据n等分线求出LPBC+LPCB，根据三角形的内角和定理得出7BPC=180o-(7PBC+7PCB)，代入求出即可．由示例得LABC+LACB=180°-LA， \LBPC=180°-(LPBC+LPCB)已知：如图①,LFDC与LECD分别为△ADC的两个外角，试探究LA与LFDC+LECD的数量关系；已知：如图②,在△ADC中，DP、CP分别平分LADC和LACD，试探究LP与LA的数量关系；已知：如图③,在四边形ABCD中，DP、CP分别平分LADC和LBCD，试利用上述结论探究LP与LA+LB 探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得LFDC=LA+LACD，LECD=LA+LADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；