2025-2026月考试卷8年级（数学）全等三角形模型之婆罗摩笈多模型（原卷版）

婆罗摩笈多（Brahmagupta）是七世纪时的印度数学家，在世时间约是公元598年~660年。他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》。《婆罗摩修正体系》中有关数学的部分涉及到有关三角形、四边形、零、负数、一阶和二阶方程的研究，《肯达克迪迦》则是天文方面的著作，研究了关于月食、日食、行星的合等问题。他提出的一些概念在世界数学史上也有很高的地位，比如负数。以 2 2 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模模型特征1）△BCP和△ADP是两个等腰直角三角形，且直角顶点重合.模型1）知中点证垂直条件：分别以三角形ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，N为EG的中点，M、A、N三点共线。结论：AM丄BC；BC=2AN；S△ABC=S△AEG。（倍长中线法）延长AN到W，使NW=NA，连接EW。在ΔWEN和ΔAGN中，NW=NA（已作LWNE=LANG（对顶角EN=GN（已知）:ΔWEN兰ΔAGN(SAS)EW=GA，LEWN=LGAN。丫LEWN=LGAN：EW//GALWEA+LEAG=180°(平行线同旁内角)。丫LGAC=90°,LEAB=90°,：LEAG+LCAB=180°,：LWEA=LCAB。在ΔEWA和ΔACB中：EA=AB，LWEA=LCAB，EW=AC，∴ΔEWA兰ΔACB(SAS)。∴WA=CB，LEAW=LABC，丫ΔABC兰ΔEAW，∴SΔEWA=SΔACB。丫ΔWEN兰ΔAGN，∴SΔWEN=SΔAGN，∴SΔACB=SΔEWA=SΔAEN+SΔEWN=SΔAEN+SΔAGN=S△AEG。丫WN=AN，∴BC=2AN，丫LWAB=LEAB+LEAW。又丫LWAB=LABM+LAMB（三角形外角性质∴LEAB+LEAW=LABM+LAMB。丫LEAW=LABC（LABC即LABM），∴LEAB+LABM=LABM+LAMB。∴LEAB=LAMB，∴LAMB=90°,即AM丄BC。模型2）知垂直证中点条件：分别以ΔABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，AM丄BC。结论：N为EG的中点；BC=2AN；S△ABC=S△AEG。证明法1:平行线法）作EW//AG，交AN的延长线于W，丫EW//AG，∴LWEA+LEAG=180°,丫LEAB和LGAC为正方形的角，所以两个角均为90°,∴LEAG+LBAC=180°,∴LWEA=LBAC，丫EW//AG，∴LEWN=LGAN，丫LGAN+LMAC=90°,丫AM丄BC，∴LMAC+LMCA=90°,∴LMCA=LGAN，∴LMCA=LEWN，在ΔABC和ΔEAW中，LBCA=LAWE，LCAB=LWEA，AB=EA，∴ΔABC兰ΔEAW(AAS)，在ΔWEN和ΔAGN中，LWEN=LAGN，WE=AG，LENW=GNA，∴ΔWEN兰ΔAGN(ASA)，∴EN=GN，即N为EG的中点，∴WN=AN，∴BC=AW=2AN，∴SΔACB=SΔEWA=SΔAEN+SΔEWN=SΔAEN+SΔAGN=S△AEG。（法2:三垂直模型法）作EX丄AN，交AN的延长线于X，作GY丄AN，将AN于Y。丫AM丄BC，∴LABM+LBAM=90°,丫LEAB=在RtΔABM和RtΔEAX中，丫LABM=LEAN，∴LAEX=LBAM；在RtΔABM和RtΔEAX中，LBAM=LAEX，AB=EA，LABM=LEAX；∴RtΔABM兰RtΔEAX（ASA∴AM=EX，同理可证：∴RtΔAYG兰RtΔCMA（ASA∴GY=AM；丫AM=EX，∴GY=EX，在RtΔEXN和RtΔGYN中，LENX=LGNY，LEXN=LGYN，EX=GY；∴RtΔEXN兰RtΔGYN（AAS），∴EN=GN，即N为EG的中点；丫RtΔABM兰RtΔEAX，∴SΔABM=SΔEAX，BM=AX，丫RtΔAYG兰RtΔCMA，∴SΔAYG=SΔCMA，CM=A丫RtΔEXN兰RtΔGYN，∴SΔEXN=SΔGYN，XN=YN；∴S△ABC=SΔABM+SΔCMA=SΔEAX+SΔAYG=SΔEAN+SΔENX+SΔANG-SΔGNY=SΔAEG；∴BC=BM+CM=AX+AY=AN+NX+AN-YN=2AN。其实该模型也可以模仿模型1）中的倍长中线法，有兴趣的同学们可以自己去尝试以下哦！例123-24八年级上·四川成都·期末）如图，Rt△ABC中，7ABC=90o，分别以AC，AB为直角边在Rt△ABC外作等腰直角△ACD和等腰直角△ABE，且7DAC=7BAE=90o，连接DE．若AC=13，AB=5，则△ADE的面积为．例223-24八年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，以△ABC的边AB、AC为腰分别向外作等腰直角△ABE、△ACD，连接ED、BD、EC，过点A的直线l分别交线段DE、BC于点M、N，以下说法：①当AB、AC为直角边，向△ABC作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．(1)试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，若连接EF交GA的延长线于H，由（1）中的结论你能判断EH与FH的大小关系吗？并说明理由．(3)在（2）的条件下，若BC=AG=24，请直接写出S△AEF=．例422-23八年级上·广东汕头·期中）等腰Rt△ABC，7BAC=90°,AB=AC，点A是y轴的正半轴上Rt△OAD，AO=AD，连接CD，试问A点在运动过程中△AOB与△ADC面积的比值是否会发生变化？如果没有变化，请求出S△AOB:S△ADC．若变化，请说明理由．(3)如图3，点A)0,2(，E在x轴负半轴上的动点，且S△ABE=8．以AE为边在第二象限作等腰Rt△DAE，连接CD交y轴于P点，问：在运动过程中△OCD的面积大小是否变化？若不变，请求出面积；若变化例523-24八年级下·广西柳州·开学考试）问题提出：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图1，△ABC中，AC=7BC=9，AB=10，P为AC上一点，当AP时，△ABP与△CBP是问题探究1）如图2，△ABD与△ACD是偏等积三角形，AB=2，AC=6，过点C作CE∥AB交AD的延问题解决2）如图3，四边形ABED是一片绿色花园，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，②已知BE=60m，△ACD的面积为2100m2．如图，计划修建一条经过点C的笔直的小路CF，F在BE边上，FC的延长线经过AD中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．延长AD到点E使DE=AD，连接CE，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是．这种（2）问题解决：如图2，BD=CD，71=72，此时EB=AC成立吗？请说明你的理由．（3）问题拓展：如图3，已知：AD=AB，AD丄AB，AC=AE，ACTAE，AM为△ABC的中线，反向延长AM交DE于点N，求证：ANTDE．12023·四川遂宁·中考真题）如图，以△ABC的边AB、AC为腰分别向外作等腰直角△ABE、△ACD，连结ED、BD、EC，过点A的直线l分别交线段DF、BC于点M、N，以下说法：①当AB=AC=BC时，线段DE的中点．正确的有．(填序号)223-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，AO丄OM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长为．32024.广西八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点C(0,4)，点Q在x轴的负半轴上，且S△CQA=12分别以AC、CQ为腰，点C为直角顶点在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，则OP的值为．42024八年级·重庆·培优如图，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABGF、ACDE，连接EF，若AB=15，AC=13，BC=14，则EF=．52024七年级下·成都市·专题练习）已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB=AC，AD=AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F．(1)如图1，当AB=AD时①请直接写出BF与DF的数量关系：BF DF（填“＞”、“＜”、“=”);②求证：CE=2AF(2)如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．△ABD和等腰直角△ACE，其中，AB=AD，AC=AE，LBAD=LCAE=L90O，连接DE．(1)求证：LDAE=LABC+LACB；(2)如图2，若点M为BC中点，连接AM，判断AM与DE的数量与位置关系．723-24八年级下·辽宁沈阳·期中）以△ABC的边AB，AC为腰分别向外作等腰直角△ABE，△ACD，LBAE=LCAD=90o，AB=AE，AC=AD，连接ED．(1)如图1，当AB=AC=BC时，求LAED的度数；(2)如图2，若AB=3，AC=4，BC=6，过点A作直线AN丄BC于点N，交线段DE于点M，求DE的长．82020·黑龙江鹤岗·中考真题）以RtΔABC的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，过点A作AM丄BC于M，延长MA交EG于点N．92024九年级·湖北·专题练习）如图，在△ABC外分别以AB，AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，AM是△ABC中BC边上的中线，延长MA交EG于点H．求证1）AMEG2）AH丄EG3）EG2+BC2＝2（AB2+AC2AB，AC为直角边，向△ABC外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF，过点E，F作射线GA的垂线，垂足(2)如图②,若连接EF交GA的延长线于H，由（1）中的结论你能判断EH与FH的大小关系吗？并说明理由？(3)图②中△ABC和△AEF的面积相等吗？试说明理由．AE=BE．求证：△ADE≌△ECB．【探究】如图2，在四边形ABCD中，7C=7ADC=7AEB=90o，且AE=BE，点F在边AD的延长线上，连接EF，以EF为直角边作等腰直角△EFG，过点G作GTTCD，垂足为T，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．【拓展】如图3，点E在四边形ABCD内，7AEB+7DEC=180o，且AE=BE，DE=CE，过点E作EF交AD于点F，使7EFA=7AEB，延长FE交BC于点G．试探究BG与BC之间的数量关系，并说明理由．满足(m-2n)2+(n-2)2=0，以点C为直角顶点AC为腰作等腰Rt△CAB，其中点B在第三象限内，且(2)如图2，已知M是AB与y轴的交点，N是BC与x轴的交点，连接MN，求CM+MN的值；(3)如图3，点P(t，0)是x轴负半轴上一动点，点Q(t+10，0)在x轴正半轴上，分别以点C为顶点CP，CQ为腰在第二、第一象限作等腰Rt△CPM和等腰Rt△CQN，连接MN交y轴于T点，试问：当t的值发生变化时，△MON的面积是否发生改变？若不变，请求出其值．1323-24八年级上·湖北鄂州·期中）婆罗摩笈多（Brah天文学方面有所成就．婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，LBAE＝LCAD＝90°,（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，LBAC＝LDAE＝90°,连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE．