2025-2026月考试卷8年级（数学）全等三角形专项训练（18大题型）（解析版）

①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，LB=LE，BC=EF；③LB=LE，BC=EF，LC=LF；④LA=LD，LB=LE，LC=LF；其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有()【答案】C【答案】C【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若 ②AB=DE，LB=LE，BC=EF，可根据SAS判定△ABC≌△DEF；③LB=LE，BC=EF，LC=LF，可根据ASA判定△ABC≌△DEF；④LA=LD，LB=LE，LC=LF，不能判定△ABC≌△DEF；【答案】C【答案】C【分析】本题考查的是添加条件判定三角形确定，根据添加的条件结合全等三角形的判定方法逐一分析即【分析】本题考查的是添加条件判定三角形确定，根据添加的条件结合全等三角形的判定方法逐一分析即可.:当AB=2，LC=40°时，再知道LA或LB的度数，根据AAS就可确定△ABC的形状和大小，:LA或LB必须小于140°,:要使△ABC的形状和大小都是确定的，可以添加的条件是①②③,乙补充条件LB=LE，全等的判定依据是 全等的判定依据是HL，可知丙补充条件是AB=DE， 已知得△ABC兰△DEF(ASA)；丙补充AB=DE，结合已知得Rt△ABC兰Rt△DEF(HL)． ∴Rt△ABC兰Rt△DEF(HL)．∴Rt△ABC兰Rt△DEF(HL)．(2)若LB=50°,求LADE的度数． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到LBDE=LBED=LADB=90°,进而即可得解．在△ABD与△ACD中，:△ABD兰△ACD(SSS)；:LADB=90°,△ADC兰△BEC即可．【详解】证明∶∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，在△ACD和△BCE中，【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的内角和，熟练掌握全（1）利用BE丄CE，得出LBCE+LCBE=90°,利用LACB=90°,得出LBCE+LACD=90°,则可得在△ADC和△CEB中，【分析】本题考查了全等三角形的判定，以及勾股定理的应用，熟练掌握各知识点是（1）先根据余角的性质证明LB=LAEC，然后根据可证△BDE≌△ECA；又∵LBED+LB=90°∴LB=LAEC在△BDE在△ECA中：(2)若LBAC=40°,求LAFD的度数；（1）由角平分线的性质得到DC=DE，再利用HL即可证明Rt△CFD兰Rt△E:DC=DE，:Rt△CFD兰Rt△EBD(HL)；:LB=50°,:LB=LCFD=50°,:LAFD=130°.②LOAM=LOBM，③LAMB=α,④LOCM=α,其中正确结论的个数是()【答案】B【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角的交点为E，在△AOE中由三角形外角的性质可得LAEB=LOAE+LAOE，在△BEM中由三角形外角的性质可得LAEB=LEBM+LEMB，则LEBM+LEMB=LOAE+LAOE，即可判断③,无法得出LOCM=α,在△AOC和△BOD中，在△AOE中由三角形外角的性质可得LAEB=LOAE+LAOE，在在△BEM中由三角形外角的性质可得LAEB=LEBM+LEMB，平分LACB交AB于点E，AD、CE交于点S△BCE；④CD+AE=AC⑤S△AEF:S△FDC=AF:FC．则上列说法一定正确的是()【答案】B角形内角和定理计算即可判断①；证明△ACE兰△BCE(ASA)，得出AE=BE即可判断②；由CE平分LACB，式即可判断⑤,从而得出答案．∴S△ACE与S△BCE不一定相等，故③错误；∴△AFE兰△AFG(SAS)，∴LABE=LBCE，∴△MFE兰△BFD(AAS)，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的DA=DB，E为△ABC外一点，BE=AB且LEBD=LCBD，连接DE，CE，有下列结论：①LDAC=LD【答案】C【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形的内角和定理、平行线的明BE是AC的中垂线，再根据含30°的直角三角形性质求出△EBC中BE边上的高，即可求得S△EBC=1，即结:△ACD兰△BCD(SSS)，:BE=BC，:△BED兰△BCD(SAS)，:LDEB=LBCD=30°.:LDAC=LECA，:设LECA=LDBC=LDBE=x，:BE=BC，:LBCE=LBEC=60°+x，:2x+2(60°+x)=180°,:△ACD兰△BED，：LEBD=LCAD，而LADB不一定等于90°,故结论②错误；④LABD=LBDE；其中结论正确的是．【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明Rt【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明Rt△CDE兰△Rt△BDF(HL)是解题的关键．由角平分线的性质得DE=DF，证明Rt△CDE兰△Rt△BDF不平行，LABD≠LBDE，可知④错误．∵Rt△CDE兰△Rt△BDF(HL)，∴LDBF=LDCE，和等边△BCE，连接AE和CD，交点为M，AE交BD于点P，CD交BE于点Q，连接P兰△DBC，②△DQB兰△APB，③LEAC=30°,④LAMC=120°,请将所有正确结论的序号填在横线【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解答本题的关键【详解】解：丫等边△ABD和等边△BCE，:在△ABE和△DBC中，:△ABE兰△DBC(SAS)，故①正确，:LEAB=LCDB，在△DQB和△APB中，:△DQB兰△APB(ASA)，故②正确，题目中没有说明AP平分LDAB，故无法推出LEAC=30°,故③错误，:LAMC=120°,故④正确，故答案为：①②④.(2)若LB=50°,求LADE的度数．【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到LBDE=LBED=LADB=90°,进而即可得解．在△ABD与△ACD中，:△ABD兰△ACD(SSS)；:LADB=90°,（1）根据为AD的中点得AF=DF，进而可依据SAS判定△AEF和△DHF全等；LHDC=LB，然后依据SSS判定△DHG和△DCG全等，则LGDC=LGDH，进而得LH:AF=DF，在△AEF和△DHF中，:△AEF兰△DHF(SAS)；:AE=DH，LEAF=LHDF，:LB=LHDC，再证明Rt△BEF兰Rt△BCG，可得LEBF=LCBG，即可解答．【详解】（1）证明：∵DB为△ACD的高，在Rt△CBD和Rt△EBA中，在Rt△BEF和Rt△BCG中，∴Rt△BEF兰Rt△BCG(HL∴LEBF=LCBG，(1)求证：△ABC≌△DEF；【分析】本题考查的知识点是平行线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键（1）先由平行线性质得到LABC=LDEF，再结合题中所给条件AB=DE，LA=LD，即可通过“角边角”在△ABC和△DEF中，LAED=LECB．【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质在△DAE与△EBC中，:△DAE兰△EBC(AAS)，∴LBEC=LADE，：LDEC=90°：LDEC=90°,而DE=CE， :△DEC为等腰直角三角形；:△DEC的面积DE.CE（1）根据已知条件可得△BCE和△DCF是直角三角形，然后利用HL即可证明Rt△BCE兰Rt△DCF；∴△BCE和△DCF是直角三角形，在Rt△BCE和Rt△DCF中，∴△ACE和△ACF是直角三角形，在Rt△ACE和Rt△ACF中，（2）在y轴上取一点E，使得DE=DA，根据含60°角的等腰三角形是等边三角形【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、平【详解】（1）证明：∵△ACD和△BCE都是等边三角形，在△ACE和△DCB中，(1)求证：BF平分LABE；【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是通过设未知数表示角的度数，利用角质推出LABF=45O__α,进而证明LABF=LFBD,即BF平分LABE．（2）由AB=BC得LBAC=LBCA,结合（1）的结论求出LBAC的度数；通过SAS证明△ABF兰△CBF,得到设LBAE=LEAD=α(AE平分LBAD),∵点F在AE上，LBFE=45O，且LBFE是△ABF的外角，∴LBFE=LBAE+LABF（三角形外角等于不相邻两内角和∴LABF=LFBD,即BF平分LABE．在△ABF和△CBF中F,∴△ABF兰△CBF(SAS),瓶的内径等.应用时，常把问题转化为可以测量长度的线段.其实质是构造两个全等三角形，依据是全等三角形的对应边相等.【问题情境】如图所示，池塘的两端有A，B两点，现需要测量该池塘的两端A，B之间的距离，需要如何【问题解决】请你选择一位同学的方案，判断其是否可行，并说明理由．【答案】甲同学方案可行，理由见解析，乙同学方【答案】甲同学方案可行，理由见解析，乙同学方【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．甲同学方案：根据SAS证明△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可得证；乙同学方案：根据ASA证明△ABC≌△EDC，进一步即可得证．在△DCE和△ACB中，LDCB，∴△DCE≌△ACB(SAS)，在△ABC和△EDC中， (2)若小明是轻度脊柱侧弯（10°<LO<25°),直接写出与LO相等的角：．（1）根据（1）根据HL可证明△ACO与△BDO全等；【分析】本题主要考查了平行线的性质、全等【详解】（1）证明：在△OAC和△OBD中，∴在Rt△FEB中，由勾股定理得BE=∴在Rt△FEB中，由勾股定理得BE=2FE=92 【探索应用】方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边【拓展提升】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定和性【详解】解1）如图，连接AB，在△ABC和△DEC中，在△ADC和△EDB中，在△ABG和△ADF中，LABC=LDAF，在△ACG和△EAF中，LEFA=LCGALBCA=LEAF，的探究．在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂个小球A，小球A可以自由摆动，如图，0A表示得到点B到0A的距离为8cm；当小球摆到0C位置时，0B与0C恰好垂直（图中的A，B，O，C在同一平面【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，∵△COE≌△OBD，E．（1）由同角的余角相等得到LCOE=LOBD，根据AAS即可证明△CEO≌△ODB；【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定三角形全等的方【详解】（1）解：在△ABC和△ADE中，LB=LD，中点，过点D作Rt△DEF，使得LDEF=90°,LDFE=30°,将Rt△DEF绕点D旋转一周，连接CE．②如图4，当DE在AB上方且0°<LADE<60°时，求证：LPFE+LBFD是一个定值． 三角形，再证明△BDF兰△BMP(SAS)，得LDBF=LMBP，PB=BF，于是有LPBF+LABP=60°+LABP，LPBF=60°,从而得△FPB是等边三角形，LPFB=LPFE+LDFE+LBFD=60°,可得在△BDF和△BMP中，又∵LEDF=60°在△BDF和△BMP中，∴LPFB=LPFE+LDFE+LBFD=60°,∴LPFE+LBFD是一个定值．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，三角形中位线的性质及判定，等边质，直角三角形的性质，三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边的关系及三角形中LABC=LBAC=LACB=60°,证明△CEF是等边三角形，得得出LBCE=LACF，根据SAS证明△BCE兰ACF，得出BE=AF，然后根据线段的和差关系和等量代换即可为EF，此时LCDF=LBDE=60°=LCDO，然后由等边三角形的判定与性质即可求解．【详解】（1）证明：在AE上取点F，使EF=EC，连接FC，又EF=EC，∴△CEF是等边三角形，∴LBCE=LACF，(1)如图1，若LBAC=60°,求LAEB的度数；【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短，等边对等角，掌握知则AB=BD，通过等边对等角求出LBAD=LBDA=15°,最后由三角形的外角性质即可求解；EB=6，求△AEF的面积． 在△NSD和△NMC中，在△BOE和△AOT中，【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的【特例探究】【类比探究】【拓展应用】在线段EF上时，连接CE，若BE=4，求△BCE的面积．【答案】（1）DE=BD+CE2）PC=AE+PE，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，掌握相关知（2）先求出LABE=LBCP，证明△ABE兰△BCP，得到AE∴LABE=LBCP，∴△ABE兰△BCP(AAS)，∴LEBC=LBAE，∴△ABE兰△BCP(AAS)，如图（1在△ABC中，分别以AB、AC为边在△ABC外部作等边三角形△ABD、△ACE，连接CD、如图（2），在△ABC中，AB>AC，分别以AB、AC为边在△ABC内部作等腰三角形△ABD、△ACE，点E恰好在BC边上，使AB=AD，AC=AE，且LBAD=LCAE，连接CD，CE=3cm，CD=2cm，△ABC的面积为10cm2，求△ABE的面积．【答案】感知：证明见解析；应用：4cm2【分析】本题为三角形的综合运用，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质全等找出对应的边角关系.探究：证明△ADC≌△ABE(SAS)，可得BE=DC；应用：过A点作△ABC的高线，垂足为F．先证明△ABE≌△ADC(SAS)，可得DC=BE=2，利用面积求得AF=4，则△ABE的面积可求出．∴LDAB+LBAC=LEAC+LCAB，∴LDAC=LEAB，应用：解：过A点作△ABC的高线，垂足为F．∵LBAD=LEAC，∴LBAD__LEAD=LEAC__LEAD，∴LBAE=LDAC，∴△ABE的面积是cm2，∴△ABE的面积是4cm2．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1．已知的延长线交于点F，若BC=2CF，△ABC的面积是12，请直接写出△ABDAN=AI__IM+AI+IN=2AI=4，S△AEG=S△AE+S△AGN=S△ABH+S△ACH=S△ABC，据此求解可得答案．在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA(AAS)，在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA(AAS)，在△EMI和△GNI中，∴△EMI≌△GNI(AAS)，∴IM=IN,S△EIM=S△NGI，则S△AEG=S△AEI+S△AGI=S△AEM+S△EIM+S△AGN__S△NGI=S△AEM+S△AGN=S△ABH+S△ACH丫丫S△ACF=S△CEF+S△CEA=S△CEF+S△ABD=6，惠△ABD与△CEF的面积之和为6．（2）请用两种不同方法作出BC边上的中点E（2）①作线段BC的垂直平分线，交BC于点E，则【详解】解1）如图所示，△BCD,和△BCD"为所求．如图②所示，点E即为所求；．如图①,根据线段垂直平分线的定义可得点E是BC的中点；在△MBE和△ACM中，【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判(1)直接写出△ABC的面积为；(2)画出△ABC关于y轴的对称的△DEC（点D与点A对应，点E与点B对应），点E的坐标为；(3)用无刻度的直尺，运用所学的知识作出△ABC的高线AF（保留作图痕迹并写出理由）．为△ABC的高线．∴AF即为△ABC的高线．【点睛】本题考查利用网格求三角形面积，作图—轴对称，作图—作三角形的高，三角形全等的判定和性点E．注意记两个三角形全等时，一定要把表示对应顶点的字母写ABC≌△EFD是两种不同的对应关系.个动点，Q是CB延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B程，垂线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的②由△DQB兰△DPF，得到BD=DF，进而求得DE=DF+∵等边三角形△ABC边长为6 cm/s，设运动时间为ts．(1)如图①,当t=时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；(2)如图②,在△DEF中，LE=90°,DE=4cm，DF=5cm，LD=LA．在△ABC的边上，若另外有一个【分析】本题考查三角形面积的求法，三角形中线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用．理（1）根据题意可求出S△APCS△ABC=27cm2，分类讨论：①当点P在AC上时；②当点P在CB上时；③当（2）分类讨论：①当点P位于AC，点Q位于AB上时；②当点Q位于AC，点P位于AB上时，结合全等三角综上可知当t=5.5或t=9.5时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；∵△APQ兰△DEF，∵△APQ兰△DEF， (3)当LACB=70°,且△CPQ为等腰三角形时，直接写出LCPQ的度数．【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理（3）分点P在线段BC上和在线段BC的延长线4519-20七年级下·广东深圳·期末）在Rt△ABC中，LACB=9动时间为t秒．②当△MDC与△CEN全等时，求出t的值．（1）根据垂直的定义得到LDAC=L在△ACD和△CBE中，②由折叠的性质可知，LBCE=LFCE，），综上所述，当△MDC与△CEN全等时，t=3.5秒或5秒或6.5秒．AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边【问题背景】【构建联系】线段BC的中点，求证：LBDF=LCEF．构造联系2）延长EF，截取FN=EF，连接BN，证明△BFN兰△CFE(SAS)，得出BN=CE，LN=LCEF，证明BD=BN，根据等腰三角形的性质得出LN=LBDF，即可得出结论．构造联系2）延长EF，截取FN=EF，连接BN，如图所示：∵LBFN=LCFE，∴△BFN兰△CFE(SAS)，∴LN=LBDF，∴LBDF=LCEF．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形三边关系角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用（2）延长CD到点E，使DE=CD，则CDCE，连接ALDAE=LB，再证明△AEC≌△CBA(SAS)，CE=AB，即可得到CDCEAB；（3）①延长PE到点G，使EG=PE，连接BG，先证明△BEG≌△CEP(SAS)，得到BG在△ADE和△BDC中，∴LCAB+LB=90°,∴LCAB+LDAE=90°,即LCAE=LACB=90°.在△AEC和△CBA中，在△BEG和△CEP中，∵AD平分LBAC，∴LBFE=LBAD，LP=LCAD，∴LBFE=LP，②∵LBFE=LP，LBFE=LAFP，∴LP=LAFP，设AP=AF=x，方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在△ABC中，AD平按照小亮的思路写证明过程提示：如果一个证明△ABD兰△AED，从而可得LB=LAED，出LAFC=LD=110°,再证明△CEF兰△CEB(AAS)得出EF=BE，求出BF=2BE=4，即可得解． 及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助②补短法：将一条短线段延长，延长部分的线段的长等于另一条短线段的长，然后证明【问题呈现】【问题启发】李老师提出可以利用数学里的转化思想，将三条线段的数量关系转化为两条线段【迁移应用】【能力提升】【答案】（1）见解析2）BF=AF+DF，理由见解析3）120【分析】（1）如图①：延长CD，使DH=BE，先证明△ADH兰△ABE(SAS)得到LAH=AE，进而证得LHAF=LEAF，再证明△HAF兰△EAF(SAS)得到HF=EF，进而可证得结论；再证明△ABH兰△ADF(SAS)可得AH=AF，再证明△AHF是等边证明△AHG兰△FEG(ASA)得到AH=【详解】（1）证明：如图①,延长CD，使DH=BE， 在△ADH和△ABE中， ∴LHAF=LDAF+LDAH∴LHAF=LEAF，在△HAF和△EAF中，在△ABH和△ADF中，（3）解：如图③,在CE上截取CH=BE，【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质等知识点，灵活添加辅助线，运用相关性质【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法：（M∴S△ENP=S△CMP．∵S△ADF=S△AOD+S△FOD，S△DCE=S△DCM__S△CMP+S△DEN+S△ENP∴S△DCE=S△DCM+S△DEN=S△AOD+S△FOD，），），角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”．LACB=LCEB=α,其中α为任意锐角或钝角，则△ADC与△CEB是否全等？若仍全等，请你给出证明；与EF的关系，并说明理由．(3)DE=EF，DE与EF的夹角为60°,见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的在△ADC和△CEB中，（2）（2）△ADC和△CEB全等，理由如下：在△ADC和△CEB中，丫△ACF和△BCF均为等边三角形，在△ADC和△CEB中，又丫在等边△ACF和等边△BCF中，在△DCF和△EBF中，LDBFLDFC=LEFB，惠LDFC+LEFC=LEFB综上所述：DE=EF，DE与EF的夹角为60°.【问题提出】（2）如图3，若改变直线的位置，其余【答案】（1）见解析2）EF=BF__AE；见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定（1）根据垂直的定义和余角的性质得到LFCB=LEAC，根据全等三角形的判定得出△AEC兰△CFB；（2）根据余角的性质得到LCAE=LBCF根据全等三角形的性质得到CE=BF，AE=CF，等量代换得到结在△ACE和△CBF中，且LEAF=45°（此时LEAFLBAD），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段EF,BE,DF之间的关系，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解决(1)①请直接写出线段EF,BE,DFLD=LABE,，LFAD=LE,AB，在Rt△ABD中，AB=AD，可求得LE,BD=90°,所以E,B2+BE2=E,E2，证△AEE,兰△AEF(SAS)，利用EE,=FE得到EF2=BE2+DF2；（3）同(2)方法，把△ACE绕点A顺时针旋转120°得到△ABP，连接PD．可证明∶ED=PD．在△BPD【详解】（1）解：①EF=BE+DF，在△AGE和△AFE中，故答案为：EF=BE+DF；在Rt△CEF中，EF2=CF2+EC2，把△AFD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE,，连接EE,，,=FD，AE,=AF，LD=LABE,，LFAD=LE,AB，,B2+BE2=E,E2，即LE,AE=45°,在△AEE,和△AEF中，△AEF(SAS)，,=FE，（3）解：把△ACE绕点A顺时针旋转120°得到△ABP，连接PD，在△AED和△APD中，惠【点睛】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的较大角的两边相等．通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进LEAFLBAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；(3)结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇与指挥中心O之间的夹角LEOF=70°,试求此时两舰艇之间的距离；证明△AEF≌△AGF，得EF=FG，证明结论；证明△AEF≌△AGF，得EF=FG，证明结论；(SAS)，再运用勾股定理即可求得答案．在△ABE和△ADG中，AB=ADLB=LADG，BE=DG∴LGAF=LDAG+LDAF=LBAE+LDAF=LBAD__LEAF=LEAF，即LEAF=LGAF，在△AEF和△AGF中，AE=AGLEAF=LGAF，AF=AF在△ABE和△ADG中，∴LGAF=LDAG+LDAF=LBAE+LDAF=LBAD__LEAF=LEAF，即LEAF=LGAF，在△AEF和△AGF中，∴△AEF≌△AGF(SAS)，（3）解：如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，）．在△ABM和△ACD中，【点睛】本题是三角形与四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定∴△ABM≌△ACD(SAS)，在△MAN和△DAN中，LBAD+LBCD=180°,得出△ABF，△ADC为等边三角形，证明△ABC兰△AFD(SAS)，得出DF=BC，△DFA兰△DEC(AAS)，Rt△BDF兰和Rt△BDE(HL)，得出BF=BE，进而即可得证．：（在△ABD和△MBD中，在△NBD和△CBD中，:△ABF为等边三角形，:△ADC为等边三角形，:△ABC兰△AFD(SAS)，:△ADC是等边三角形，:△ABP为等边三角形，在△PAC和△BAD中，在△DFA和△DEC中，在Rt△BDF和Rt△BDE中，上的点，LEAF=45°,探究BE，EF，DF之间的数量关系．小明是这么思考的：延长FD，截取DG=BE，.__________________________足LEAFLBAD，探究BE，EF，DF之间的数量关系．【答案】（1）BE【答案】（1）BE+DF=EF（2）BE+DF=EFBE+DF=EF；再证得△AEF兰△AEM，即可得出BE+DF=EF；故答案为：BE+DF=EF；:△ADC兰△ABN(SAS)，【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，补角的定义，线段它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角(3)如图3，已知，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，两线交于【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的（2）先判断出△DAB兰△EAC，得出BD=CE，LDBA=LECA角都为60°,利用等式的性质得到LDAC=LBAE，利用SAS可得出△DAC兰△BAE得BE=DC，LADC=LABE，求出LBPC=120°,即可根据LDPB=LPBC+LPCB求解．∴LDAE+LBAE=LBAC在△DAB和△EAC中，∴和△ADB全等的三角形是△AEC，此时BD和CE的数量关系是BD=CE．在△DAB和△EAC中，在△DAC和△BAE中，:△DAC兰△BAE(SAS)；【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即【方法应用】(1)等边三角形ABC中，E是边AC上一定点，D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边：等边三角形DEF，）．直线BE交直线AD于点F，连接FC交AE于点M，写出FE、FA、FC之间的数量关系，并加以说明． （2）先证明LEFC=60°,在FC上截取FH=FE，通过证明△EFH是等边三角形，得出EF=EH=FH,LFEH=60°,再证明△FEA兰△HEC，得出AF=HC，即可得出结论；在△DEG和△FEC中，∴LDEF+LCED=LCEG+LCE在△DEG和△FEC中，ED=EFLDAG=LFEC，∴LABE=LAEB,LABC=LACB，在FC上截取FH=FE，在△FEA和△HEC中，这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，拉手模型”，如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中LBAC=LDAE，则△ABD兰△ACE(SAS)．【初步把握】如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB：；【深入研究】如图3，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，BE、CD交于点【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性