考研数学二（解答题）模拟试卷161

考研数学二(解答题)模拟试卷161

一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)

1、1。\n)(其中岗>0。=1,2,…，n)

标准答案：

[而冲

X-o\n/

=对(]+^匕+…)加不

X.X..Z

・I.，•Z•♦•*・+・・一・

=.吧,，

h「a；+af+…+。：一〃..(a{-1.a；—1,a*—1\

而hm-=-----------1------------Fd—=------)=Ina〕如…a”，

…xx-0\xxx!

所以原式=@幽…an.

知识点解析：暂无解析

2、设总体X服从N(RO2)(O>0),XI，X2，…，X2n(nN2)为取自总体X的简单随

亍二；f求统计量Y=£(儿+X—2X)2

机样本，样本均值为2n^i邑的数学期

望E(Y).

标准答案：将(Xi+Xn+l),(X2+Xn+2)，…，(Xn+X2N)视为取自总体N(2/,2凸的简

单随机样本，则其样本二匀值为

;£(%+%)=+2,=2元

样本方差为一匕

n-1

由于£(占丫)=2。。所以E(Y)=(n-1)-2a2=2(n-1)a2.

知识点解析：暂无解析

3、设f(x),g(x)在［a,b］上连续,且满足Ja'f(t)dt封a'g⑴出，xe［a,b),#f(t)dt=

fabg(t)dt.证明：axf(x)dx4bxg(x)dx.

x

标准答案：令F(x)=f(x)—g(x),G(x)=JaF(t)dt,将积分不等式转化为函数不等式

即可.

知识点解析：暂无解析

4、求下列曲线的曲率或曲率半径:(I)求y=lnx在点(1,0)处的曲率半径.(U)求

x=t-ln(l+r),y=arctant在t=2处的曲率.

标准答案：(I)先求d#'d/,然后代公式：凹于是，在任意点x>0处曲率为于

是曲线在点(1,0)处的曲率半径p==234(H)利用由参数方程确定的函数的求导

法则，得于是所求曲率为

知识点解析：暂无解析

5、己知平面上三条直线的方程为h：ax+2by+3c=0,h：bx+2cy+3a=0,I3：

cx+2ay+3b=0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.

la%+26y=-3c,

bx+2cy=-3a,

标准答案：h，12,13交于一点即方程组有唯一解，即系数矩阵

的秩二增广矩阵的秩=2.展则方程组系数矩阵的秩

=r(A),增广矩阵的秩=r(B),于是h,I2，打交于一点<=>r(A)=r(B)=2.必要性由

于r(B)=2,则IBI=0.计算出IBI=—(a+b+c)(a2+b2+c2—ab—ac—be)=2

(a+b+c)|(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2].a,b,c不会都相等(否则r(A)=l),即(a-b『+(b

—c)2+(c-a)2/0.得a+b+c=0.充分性当a+b+c=0时，IBI=0,于是

r(A)<r(B)<2.只用再证r(A)=2,就可得到r(A)=i•⑻=2.用反证法.若r(A)V2,

则A的两个列向量线性相关.不妨设第2列是第I列的A倍，则b=M,c=Xb,

a=Xc.于是入3a二a,X3b=b,X3c=c,由于a,b,c不能都为0,得九即入=1,于

是a=b=c.再由a+b+c=0,得a=b=c=0,这与直线方程中未知数的系数不全为0矛

盾.

知识点解析：暂无解析

6、设k>0,讨论常数忌的取值，使f(%)=xln%+k在其定义域内没有零点、有一个

零点及两个零点.

"丐lim

标准答案：f(x)的定义域为(0,+oo),Rx)=k,一2K%)=—8.由r(%)=ln/

221

+1=0,得驻点为％=九由/‘(%)=">0,得%=。为f(x)的极小值点，也为最小

值点，最小值为八0J-J(1)当k>e时，函数故)在(0,+8)内没有零

111

点；(2)当1<=61时，函数f(%)在(0,+oo)内有唯一零点％=e；(3)当0Vk〈e

11

时，函数故)在(0,+8)内有两个零点，分别位于(0,e)^(e,+◎内.

知识点解析：暂无解析

7、设八，B都是n阶正定矩阵，贝人AB是正定矩阵v=>A,B乘积可交换.

标准答案：“<=”先证明AB对称.(AB)T=BTAT二BA=AB.再证明AB的特征值全

大于0.存在可逆实矩阵C,使得ACE.则AB=CEB,相似于CTBC,特在值

一样，而CTBC是正定的，特征值全大于0.“=>"AB正定，则对称.于是

BA=BTAT=(AB)T=AB.

知识点解析：暂无解析

小2|*2Md%dy

8、计算二重积分2

标准答案：D是正方形区域,

max)%2,/|

2

数分块表示为y，”w九于是要用分块积分

法，用y=x将D分成两块:D=DIUD2,Di=Dn{y<x},D2=Dn{y>x}o则有

I=上…0&5+卜皿/&5

5

=+Je'dxdy=2Jex*dxdy

以及°«（D关于y=x对称）

=2fo1dxJoxeX2dy=2fo1xeX2=eX2I（/=e一1。

知识点解析：暂无解析

标准答案：取收，计划U[0,1],则dv=2兀(2—似/2]一12一%姒，

V=Jdv=2KJ(2—«r)[%/2x—x1—z]ckr=2;rj(2—z)[，1—Cr—1)。—xjdr

rNzzfo71227t

==27r(1—sin/)(cos/—1-sin/)cosrdr-------.

J423

知识点解析：暂无解析

14、求y"一y=e冈的通解.

标准答案：当x加时，方程为y"-y=ex,①求得通解

-Jrx

y=Ge"+C2e+-1-xe.

w当xVO时，方程为广一丫二夕，②求得通解

xx

y=C3e+C4e~一-xe-.

因为原方程的解y（x）在x=0处连续且y，（x）也连

C}+C2=c3+c4,

G-G+：=C3-c4一J.

续，则有乙乙解得

G=G+J，C&=CZ1_

万'于是得通解:

工》0,

zV0,

其中C1，C2为任意

常数.此y在x=0处连续且V连续.又因y”=y+e2所以在x=0处y”亦连续，即

是通解.

知识点解析：自由项带绝对值，为分段函数，所以应将该方程按区间（一8,0）,

[0,+8）分成两个方程，分别求解.由于y”=y+e风在x=0处具有二阶连续导数，所

以求出解之后，在x=0处拼接成二阶导数连续，便得原方程的通解.

'=°（1-8s，）（oqM兀）与x轴所围成.

15、计算

354

标准答案：立”“

知识点解析：暂无解析

设A是三阶方阵，ai，a2,a3是三维线性无关的列向量组，且Aa]=a2+a3，

Aa2=a3+cti,Aa3=ai+a2o

16、求矩阵A的全部特征值；

标准答案：ai>az，a3线性无关,则。|十。2+。3,0，«2一a#0,as一ai/0,且由

A(a।+a7+a3)=2(ai+a?+aO,A(a?一ai)=一(a?一ai),A(a3一ai)=一(as一ai),可

知矩阵A的特征值为2和一1。又由R，a2，013线性无关可知a2—a]，013—ai也

线性无关，所以一1是矩阵A的二重特征值，即A的全部特征值为2,—1,

lo

知识点解析：暂无解析

17、矩阵A是否可对角化？

标准答案：因为ai，(12，线性无关，而(ai+a2+a3，一山，口3一川)=(。1，

j-1-r

110

。2，a3)Ll°1」=(ai，a2,a3)P，且IPI=3翔，所以。2一a”013—ai，

ai+a2+Q3线性无关，即矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以矩阵A可相似对

角化。

知识点解析：暂无解析

18、设向量组W，g,013线性无关，证明：ai+ct2+a3，川+2a2+3013,aj+4a2

+9(X3，线性无关.

标准答案：令ki(ai+(i2+a3)+k2(ai+2a2+3a3)+k3(ai+4。2+9口3)=0，即(ki+

k2+k3)ai+(ki+2k2+4k3)a2+(ki+3k2+9k3)a3=0，因为ai，g,013线性无关，

M8=o111

k\+2kz+4八=0124=IT（一j）

所以有+3苞+“3=0而D=139=2知，由

克拉默法则得k|=k2=k3=0,所以(11+(x2+013,ci+2a2+3a3，ai+4a