考研数学（数学三）模拟试卷354

考研数学(数学三)模拟试卷354

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

1、设f(x)=Josmxsint2dt,g(x)=x3+x4,当x一0时，f(x)是g(x)fl{J().

A、等价无穷小

B、同阶但非等价无穷小

C、高阶无穷小

D、低阶无穷小

标准答案：B

1

(lim3

知识点解析:因为e，所以正确答案为(B).

Um幻=1

2、设f(x)连续可导，且l-e,f(0)为f(x)的极值，贝ij().

A、当f(0)=0时,f(0)是f(x)的极小值

B、当f(0)=0时，f(0)是f(x)的极大值

C、当f(0)＞0时，f(0)是f(x)的极大值

D、当f(O)VO时，f(0)是f(x)的极小值

标准答案：A

lim乌士辔Q

知识点解析：因为f(X)连续可导，所以由1-6得

f(O)+f(O)=O.当f(0)和时,因为f(0)#0,所以f(0)不是极值，(C),(D)不对;当

f(0)=0时，f(0)=0,由

1=Hm乌”a=面山二^+但^：

得尸(0)=1＞。故f(0)为f(x)的极小值,选(A).

.tQ”)M(0.0).

：＞zrry

3、设f(x,y)=°*(兀W=(°，°)•则f(x,y)在(0,0)处().

A、极限存在，但不连续

B、连续，但不可偏导

C、连续.可偏导，但不可微

D、可微

标准答案：C

上！三&|I|,得lim/(3)

Zr2+y二

知识点解析：由g|f(x,y)|=|x|E=0=f(0,0),即

liTn/(x,0)-/(0,0)=0

f(x,y)在(0,0)处连续.由10x,得fx'(0,0)=0,同理

f『(0,0)=0,即f(x,y)在(0,0)处可偏导.因为

「/(z,y)—/(0,0)-/\(0,0)u-_i-处—

/urn*/-----------1|m1,2

0i«y

…I不存在，所

以f(x,y)在(0,0)处不可微，应选(C).

4、下列命题正确的是

(A)若收敛,则X"：收敛

(B)对级数二““・若有无数个n使">1,则级数X人发散

»Iu"e=J

Of.■8

(C)若»・收敛•而绝对收敛•则绝时收敛

I尸|«»|

,(D)若与»>“都发散,则£(4+“)发散

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：

若X%收敛，则加力有界，即存在M>0,使得|&I&M,于是布.OWIa/.|《M・

»»!

IA»卬98

6|,由»>,绝对收敛得W；M|儿I收敛,于是2I收敛•即•绝对收敛・选(C).

“1I“T”】

5、下列结论正确的是().

A、若A,B特征值相同，则A〜B

B、矩阵A的秩与其非零特征值个数相等

C、若A,B特征值相同，则A,B等价

D、A,B的特征值相同且A,B都可对角化，贝IJA〜B

标准答案：D

011100

令人=001•S=000

知识点解析：001,000因为|XELA|=|证-B|=X2(X

一1),所以A,B特征值相同，但r(A尸2Rr(B尸1,故A,B不相似，(A)不正确;

011

A=001

对00D品然入产入2=0,13=0,而r(A)=2,所以(R)不正确：由(A).A.

B特征值相同，A,B的秩不一定相等，故(C)不正确；设A,B的特征值相同且

A,B都可对角化，令其特征值为人九2,…，猫因为A,B都可对角化，所以存

Ai

在可逆阵Pi，p2,使得PJAP尸P2/BP2=〔九J从而有PJAP尸PT

'BP2,于是(PIP2")"APIP2“=B,令PiPjLp,则MAP二B,即A〜B,选①).

6、设向量组ai,ct2，013线性无关，巾不可由ai，g,013线性表示，而的可由血，

a2,a3线性表示，则下列结论正确的是().

A、aj,s，的线性相关

B、aj,(12，的线性无关

C、aj,(X2，013,优+历线性相关

D、ai，。2,。3,01+02线性无关

标准答案：D

知识点解析：因为例不可由ai，a2，a3线性表示，而仞可由a1，。2，口3线性表

示，所以“十口2不可由⑺，(12，Q3线性表示，从而如，012，(13,十P2线性无关，

故选(D).

-i.P(A)=4*

7、设P(A|B尸P(B|A)=4'则().

工

A、事件A,B独立且P(A+B尸我

§

B、事件A,B独立且P(A+B)="

7_

C、事件A,B不独立且P(A+B)=12

8

D、事件A,B不独立且P(A+B)=12

标准答案：C

知识点解析：

令万=，•则

-j*arctan/d(/1)

.rarctanZrclz=2rarctan/d/

arctan/

=yarctan/-Ifrf?也=y—II1一i+87)山

rizi、

=^rarctan/——/3+万—z-arctanf+C

LO44

=­arctanvCr—Jr+—RarctanG+C

LO44

，---=/-f

11、差分方程""2"-的通解为.

标准答案:"=吗）’+-（'1）'

11

yr=j^—b-YCa

知识点解析：对差分方程yx*ayx=kbX,当bra时，通解为。一°当

b二a时，通解为yx=kxbX」+CaX,于是"”~2yj~\2）的通解为

“=c（ir+1倍）’（其中c为任意常数）.

12、设u=eX+y+z,且y,Z由方程H〃dt+ln(l+y)=O及ey+z=e+lnz确定为X的函数,

du

贝严，________

pz

标准答案：m

：［Jdz.、

知识点解析：令x=0得y=0,z=l,将方程八+ln（l+y）=O及©y+Je+lnz对K求

『+击嚏=。,

"•停+生）=1・卜

导得'匕心N&将x=0,y=0.z=l代入得

少=7,生=」_，而也=门，“1+如+却,于是弛=上.

di,Fdrne_1dr\drdi」dae-1

100

012

13、设A=°°1.KABAT=E+2BAT,则B=

l-I00

03一2

标准答案：°2-1

知识点解析：由ABA1"二E+2BAEW-ABAT=（AT）-1AT+2BAT,因为A,可逆，所以

一100

03—2

AB=(AT)-1+2B«£B=(A-2E)-I(AT)',=[AT(A-2E)]-1,解得B=°?-I

14、设随机变量X,Y相互独立，且都服从（一1.1）上的均匀分布，令

Z=max{X,Y）,则P{O<Z<1}=

3

标准答案：4

知识点解析：因为X,Y都服从（一1,1）上的均匀分布，所以

0,.r<—1•o.yV—L

i+l

F.v(j')=<—141V1.Fy(j)=V—1达yV1,

2,中.

1,n，1,y2

Fz(z)=P{Z<z}=P{max(X,Y)<z}=P{X<z}P{Y<z}=Fx(z)Fy(z),则

0,z<一1.

1—上一2

1.于是P{0VZV1}=FZ⑴一FZ(0)=4-4

三、解答题（本题共9题，每题7.0分，共9分。）

15、设F(X)在[0,2]上连续,在(0,2)内三阶可导,且T工=2,f(l)=l,

f(2)=6.证明：存在4(0,2),使得1q=9.

曲皿「

标准答案：由X…1=2,得f(0)=0,f(0)=2.作多项式P(x)=AX3+BX-+CX+D,

A=&8=——

使得P(0)=0，P'(0)=2,P(l)=l,P(2)=6,解得-2'-2\c=2,D=0.令

+2

(p(x)=f(x)-(¥-¥4则(p(x)在［0,2］上连续,在(0,2)内可导,且

(p(0)=(p(l)=(p(2)=0.因此(p(x)在［0,1］和［1,2］上都满足罗尔定理的条件，则存在

“(0,1),§26(1,2),使得(P熊］尸叫&2)=0.又(p'(O)=0，由罗尔定理，存在

n®o,备)，单日备，的，使得叫r尸0'012)=0,再由罗尔定理,存在年(中，nA

U(0,2),使得C“9=0.而qT(x)=f"x)—9,所以1©=9.

知识点解析：暂无解析

16、设u=f(x2+y2,xz),z=z(x,y)由e'+e"二e"确定，其中f二阶连续可偏导，求

.n2u

标准答案：由ex+e、'=ez得

票=门工空=F，普=一「-三

fixdy

再由«=/(X2+再3)得券=2“+(之+彳关区.

悬=2好加+工训)+僚+，嬴)力+[+喑)(2仃+工豺)

HyxHyzx+y2z,x-zHyzn2y-

=2x(2yf|i+xe-fi2)+(e'-xe_)f2+(z+xe)(2yf21+xe-f22")=4xyf11+(2xe

zxzny-zx+y_2z，yzx-z，

+2yz+2xye')fi2+(e—xe)f2+xe'(z+xe)f22'.

知识点解析：暂无解析

17、设某工厂生产甲、乙两种产品，设甲、乙两种产品的产量分别为乂和丫(吨)，

其收入函数为R=15x+34y—x2-2xy―4y2-36(万)，设生产甲产品每吨需要支付

排污费用1万，生产乙产品每吨需要支付排污费用2万.(I)在不限制排污费刚的

情况下，这两种产品产量各为多少时总利润最大?求最大利润.(口)当排污总费用

为6万时，这两种产品产量各多少时总利润最大?求最大利润.

标准答案：(I)利润函数为L=R—C=15x+34y-x2-2xy-4y2—36-x-2y=14x+32y-

f/;=14—21-2y=0,jz=4♦

令《解得，

x2-2xy-4y2.36,।〃=32—2/一盯=0,y=3.因为只有唯__个

彳=4,

驻点，且该实际问题一定有最大值，所以当》=3时，利润达到最大，最大利润

为L(4,3)=40(77).(U)令F(x,y,X)=L(x,y)+L(x+2y-6),

F=14-2J--2y4-A=0,

令JR=32—2i—8丁+22=0,解得「2

.__ly=2・

E=i+2y-6=0,因为该实际问题一定有最大值，故

'JT—2,

<I

当丁=2时，总利润最大，且最大利润为L(2,2)=28(75).

知识点解析：暂无解析

18、设偶函数f(x)在x=0的邻域内二阶连续可导，Af(0)=l,「(0)=4.证明：

£「/(十)-1》

I-绝对收敛.

标准答案：因为f(x)为偶函数，所以r(一x尸一f(x),于是r(o尸o.因为f(x)在

x=0的邻域内二阶连续可导，所以f(x)=f(0)+P(0)x+2!+0(x2),即小)_

22［tt，，r

1=2X+0(X)，于是

因为I呜)-H尹心)1〜;。收敛,所以mMET收敛’即

g7G)一】：绝对收氮

知识点解析：暂无解析

19、求微分方程y”+y，一2y=xe'+si/x的通解.

标准答案：特征方程为#+入-2=0,特征值为九尸一2,入22=1,y"+y'-2y=0的通

解为y=Cie-2x+C2ex.设y"+y,-*2y=xex(*)y”+y，-*2y=sin2x.(**)令(*)的特解为

yi(x)=(ax2+bx)ex,代入(*)得“-6"-9'.由y”+y，—2y=sii?x得y”+y'一

T曰5y有特解>,二一4-r

4

2y=/(1一cos2x).显然yH+y,-2y=2对y"+y,-2y=

——cos2r八=东"=一本

2，。、〃・，令其特解为产Acos2x+Bsin2x,代入得4040则y2(x)=

一小+亲。期--生.，所以原方程的通解为

y=Ge二+("+信一守卜一++奈€03~&由2工

知识点解析：暂无解析

0-10134

00-1•c=213

TT000021

20、设矩阵A满足A(E—C-'B)C=E+A,其中B=

求矩阵A.

标准答案：由A(E—C/B)TCT=E+A得A[C(E—C/B)]T=E+A,即E+A=A(C—B)三

E=A[(C-B)一E/，

70i

24

020020、T

而(C-3)T-E=402•所以A=402=y00

440440.

1-L—L

22

知识点解析：暂无解析

21、设二次型f(x],X2，X3)=xJ+x22+x32+2ax]X2+2x]X3+2bx2X3的秩为1,且(0,

1,一1)T为二次型的矩阵A的特征向量.(I)求常数a,b；(II)求正交变换

X=QY,使二次型XL\X化为标准形.

a=h.

=>ab=1=0.

1

以=3时应的特征向员为1