考研数学三（概率统计）模拟试卷32

考研数学三（概率统计）模拟试卷32

一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)

1、设X为随机变量，E(X)=n，D(X)=o2,则对任意常数C有().

A、E[(X-C)]2=E[(X—H)]2

B、Ef(X—C)]2>E[(X-n)]2

C、E[(X-C)]2=E(X2)—C2

D、E[(X—C)2]<E[(X—g)2)

标准答窠：B

知识点解析：E[(X一C)2]—E[(X—H)2]=[E(X2)-2CE(XHC21-[E(X2)-

2RE(X)+『]=C2+2E(X)[E(X)~C]~[E(X)]2=[C—ECX)]2^),选(B).

2、设X,Y为两个随机变量，若E(XY户E(X)E(Y),则().

A、D(XY)=D(X)D(Y)

B、D(X+y)=D(X)+D(Y)

C、X,Y独立

D、X,Y不独立

标准答案：B

知识点解析：因为E(XY)=E(X)E(Y),所以Cov(X,Y)=0,又

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y),所以D(X+Y)=D(X)+D(Y),选(B).

3、设X,Y为两个随机变量，若对任意非零常数a,b有D(aX+bY尸D(aX—

BY),下列结论正确的是().

A、D(XY)=D(X)D(Y)

B、X,Y不相关

C、X,Y独立

D、X,Y不独立

标准答案：B

知识点解析：D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)+2abCov(X,Y),D(aX-

bY)=a2D(X)+b2D(Y)-2abCov(X,Y),因为D(aX+bY尸D(aX—bY),所以

Cov(X,Y)=0,即X,Y不相关，选(B).

4、设X,Y为随机变量,若E(XY)—E(X)E(y),则().

A、X,Y独立

B、X,Y不独立

C、X,Y相关

D、X,Y不相关

标准答案：D

知识点解析：因为Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),所以若E(XY)=E(X)E(Y),则

有Cov(X,Y)=0,于是X,Y不相关,选(D).

5、若E(XY)-E(X)E(y),则().

A、X和Y相互独立

B、X?与丫2相互独立

C、D(XY)=D(X)D(Y)

D、D(X+Y)=D(X)+D(Y)

标准答案：D

知识点解析：因为E(XY)=E(X)E(Y),所以Cov(X,Y)=E(XY)—E(X)E(Y尸0,而

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y),所以D(X+Y)=D(X)+D(Y),正确答案为(D).

6、设随机变量XNU[0,2],Y=X2,贝IJX,Y().

A、相关且相互独立

B、不相互独立但不相关

C、不相关且相互独立

D、相关但不相互独立

标准答案：D

知识点解析：由得」°，其他

XNU[0,2]fx(x)E(X)=1,E(y)=E(X2)=

Ho""=?，E(XY)=E*)=7jo2x3dx=2>因为E(XY)邦(X)E(y),所以

X,Y一定相关，故X,Y不独立，选(D).

二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)

7、设X,Y相互独立且都服从标准正态分布，则E|X-Y|=,D|X-

Y|=.

4

标准答案：2—三

知识点解析：令2次一丫，则Z〜N(0,2),fz(z)=(一ooVzV+oo).E(X

2

+

-Y|=E|Z|=f-ao°°|Z|fz(z)dz=K因为

4_

E|Z|2=E(Z2)=D(Z)+[E(Z)]2=2,所以D|Z|=E|Z/一(E|Z|)2=2—：\

8、设D(X)=1,D(Y)=9,pxY=-0.3,则Cov(X,Y)=_______.

标准答案：一0.9.__________

知识点解析：Cov(X,Y);Pm，灰■yD(Y)=-03x1x3=—0.9.

9、设随机变量X方差为2,则根据切比雪夫不等式有估计P{|X—

E(X)|>2)<.

标准答案：彳

如、口占甑珀P{|X-E(X)|>21<^=1.

知识点解析：zL

10、若随机变量Xi，X2,…，Xn相互独立同分布于N3,22),则根据切比雪夫不

等式得P{|X—|i|>2}<.

标准答案：

2

知识点解析：因为Xi，X2........Xn相互独立同分布于N(R2),所以

P{|X|>2}《去=L

'n'从而2Zn

三、解答题(本题共〃题，每题1.0分，共〃分。)

11、一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为

0.1,0.2,0.3,假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件

数，求E(X),D(X).

标准答案：令Ai=(第4部件需要调整)(i=l,2,3),X的可能取值为0,1,2,

3,P(X=0)=P(不工孤)=0.9x0.8x0.7=0.504,P(X=1)=

P(Ai否工)+P(有A?否)+P(茁再As)：。398,

P(X=3)=P(A|A2A3)=0.006,P(X=2)=1—0.504—0.398—0.006-0.092,

/0123\

所以X的分布律为X〜10・5040.3980.0920.006/

E(X)=lxO.398+2x0.092+3x0.006=0.6,D(X)=E(X2)—

[E(X)]2=12X0.398+22X0.092+32XO.006—0.36=0.45.

知识点解析：暂无解析

1_

12、设随机变量X服从参数为3的指数分布，对X独立地重复观察4次，用Y表

示观察值大于3的次数，求RY、

标准答案：显然Y〜B(4,p),其中尸P(X>3)=1—P(XW3),因为X〜6(可)，所

JO,x<0

以Fx(x尸1】一eT，x>0从而p=i一Fx(3)=eI由E(Y)=4eD(Y)=4e

1(1—e1),得E(Y2)=D(Y)+[E(Y)产=4e1—4e2+16e2=4e〃12e2.

知识点解析：暂无解析

f-|-x2,0<x<2

设随机变量X,Y同分布，X的密度为f(x)=1°，其他设A={X>

2

a)与B={Y>a)相互独立，且P(A+B)=4.求：

13、a；

_3

标准答案：因为P(A尸P(B)且P(AB)=P(A)P(B),所以令P(A)=p,于是2p—p?=4

解得p=2,即P(A尸P(X>a)=2,而P(X>a)=『

•j■工&=~(8—a3)=•.解得a=热.

OO4

知识点解析：暂无解析

14、可亲)

标准答案：E(右)=J?X犷

知识点解析：暂无解析

1

15、某流水线上产品不合格的概率为p=T^,各产品合格与否相互独立，当检测到

不合格产品时即停机检查，设从开始生产到停机检杳生产的产品数为X,求E(X)

及D(X).

标准答案：X的分布律为P(X=k)=(l-p)k'p(k=l,

2,.・.)•

E(X)=»P(X=A)=£"(】一叱i=一6i•

，=[，=Ii-1

令SCr)=工丘…,则SGr)=(£/)'=(^7y=言正,故

~1

E(X)=一=pS(l-p)=~=10.

*-1P

88B

E(X2)=Z〃P(X=A)=-p)-=p\/(l-p)1,

*eji-l♦=1

5】(")='"n，1•

AT

bonon

则$(])=20(々-1)+4卜1=2展4-1才1+2打一

♦I*-14-1

=xg*(*-i)x-+?r^=x(gz*r+?r4^

/x\<11_1d-x

+=(1^77

QO弓

故E(X9=pX〃(】一=pS(l-p)=190,

iP则

D(X)=E(X2)—[E(X)l2=190-100=90.

知识点解析：暂无解析

21

16、设试验成功的概率为4,失败的概率为4,独立重复试验直到成功两次为

止.求试验次数的数学期望.

标准答案：设试验的次数为X,则X的分布律为

PCX…C3»(TXR(〜D仔)行广晨=2,3,….

E(X)=赤"《-1)(打佶厂=盘£〃'储一1)(十):

令S(N)=£〃X(n-l)xw2=(£/)"=(ef"，

07・T

所以E(X)=gnX(n-l)(j)*(j)=耨(十)=1«

知识点解析：暂妄解析

17、游客乘电梯从底层到顶层观光，电悌于每个整点的5分、25分、55分从底层

上行，设一游客早上8点X分到达底层，且X在[0,60]上服从均匀分布，求游客

等待时间的数学期望.

04%&60

*

标准答案：因为X〜[0,60],所以X的密度函数为f(x)=10，其他游

5-x,0<x<5

25—z,5<x<25

T=・，于是

55—X,25Vz<55

彳+

客等电梯时间设为T,则60—5,55V1460E(T)=J-

1

+<52560

ooT(x)f(x)dx=6O[fo(5―x)dx+f2(25一x)dx+J25”(55一x)dx+f55(65—x)dx]

=11.67(分钟).

知识点解析：暂无解析

4-COSx

04工47：

v彳'

其他

18、设X〜f(x)二°’对X进行独立重复观察4次，用

7T

Y表示观察值大于3的次数，求旦丫2).

px>_=cos=

标准答案：Y〜B(4,p),其中p=('3,)〃LT22T2

E(Y2)=D(y)+[E(Y)]2=5.

知识点解析：暂无解析

19、设某种零件的长度L〜N(18,4),从一大批这种零件中随机取出10件,求这

10件中长度在16〜22之间的零件数X的概率分布、数学期望和方差.

标准答案：显然X〜B(H),p),p=P(16<L<22).因为L〜N(18,4),所以

L=]8P/_ivv21

2〜N(0,1),所以p=P(160LW22)=\、2、，因此

E(X)=np=10x0.8185=8.185,D(X)=npq=10x0.8185x(1—0.8185)=1.4856.

知识点解析：暂无解析

20、一民航班车上有20名旅客，自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达

一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车次数，求E(X)(设每位旅客下车是

等可能的).

”，第i个站有人下车

标准答案：令Xi1°，第i个站无人下车(i=l,2.10),显然

X=Xi+X2+…+XM因为任一旅客在第i个站不下车的概率为0.9,所以20位旅

客都不在第i个站下车的概率为0.920,从而第i个站有人下车的概率为1一

(°1)

0.920,即Xi的分布律为Xi〜\。・9a】一0.92°%=1,2,…，10)于是E(Xi)=l

10

V

一0.920(i=l,2,…，10),从而有E(X)=i-iE(Xi)=10(l—0.920)=8.784.

知识点解析：暂无解析

设某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件、10件和10件，现从

J1,抽到第i等产品9八

中随机抽取-件，记Xi」°，其他

21、求(Xi，X2)的联合分布；

标准答案：(X[,X2)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).P(Xj=0,

X2=O)=P(X3=1)=O.1,P(Xi=0,X2=l)=P(X2=l)=0.I,P(X1=1,

X2=0)=P(Xi=l)=0.8,P(X1=1,X2=l)=0.(X|,X2)的联合分布律为

01

00.10.1

10.80

知识点解析：暂无解析

22、求Xi，X2的相关系数.

(01](01\件1)

标准答案：X1~1O・20.8/,X2〜＜。・9o.17,X]X2〜(10/

22

E(X|)=E(X|)=0.8,E(X2)=E(X2)=0.1,E(X|X2)=0,则D(X|)=0.16,

CovCXj,X2)2

pxlxi=——j----------

3

D(X2)=0.09COV(X1X2)=^0.08,于是，D(X)JDQXR)

知识点解析：暂无解析

23、在长为L的线段上任取两点，求两点之间距离的数学期望及方差.

标准答案：线段在数轴上的区间为[0,Lb设X,y为两点在数轴上的坐标，两点

之间的距离为U=|X—Y|,X,Y的边缘密度为

04j*&L-j-9O4yaL

fx(工)=(乙•A(j)=j乙

°，其他卜，其他因为X,Y独立，所

猿，。＜/，、&L

以(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=1°，其他于是E(U)=E|X—Y|=J.

产dxj-x-州x,y)dy=乩回、一")打+百＞卜一曲=/

I?,

E(U2)=E[|X-Y|]2=J-oo+xdxf-oo^lx-y|2f(x,y)dy=6'