考研数学二（线性代数）模拟试卷7

考研数学二(线性代数)模拟试卷7

一、选择题(本题共5题，每题7.0分，共5分。)

1、设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4,且IE+AI=0,则I2E+A2I为

().

A、0

B、54

C、-2

D、-24

标准答案：B

知识点解析：因为A的每行元素之和为4,所以A有特征值4,又|E+Al=0,所

以A有特征值-1,于是2E+A2的特征值为18,3,于是I2E+A2|=54,选(B)

2、设A为mxn阶矩阵，B为nxm阶矩阵，且m>n,令r(AB)-r,贝1」().

A^r>m

B、r=m

C、r

D^r>m

标准答案：C

知识点解析：显然AB为m阶矩阵,r(A)<n,r(B)<n,而r(AB)gmin{r(A),r(B)}<n

3、设n维列向量组川，ot2，…，am(ml,彷，…，Bm线性无关的充分必要条件是

().

A、向量组Cl],。2，…，dm可由向量组优，历，…，0m线性表示

向量组Pl，P2»...»Pm可由向量组ai，口2，…,Ctm线性表示

C、向量组(X],。2，…，am与向量组B1，例，…，pm等价

D、矩阵A=(d|,。2、…，dm)与矩阵。=31，。2，…，am)等价

标准答案：D

知识点解析：因为a],(X2，…，am线性无关，所以向量组a],(12，…，加】的秩为

m,向量组仇，例，…，Pm线性无关的充分必要条件是其秩为优，所以选①)

4、设A,B为正定矩阵，C是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是().

A、CT+AC

B、A“+B/

**

C、A+B

D、A-B

标准答案：D

知识点解析：显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为A,B正定，所以A」，

B」及A*,B*都是正定的，对任意X#）,XT（CTAC）X=（CX）TA（CX）＞0（因为C可

逆，所以当xro时，cx，o）,于是CTAC为正定矩阵，同样用定义法可证A-LB」

与A*+B*都是正定矩阵，选（D）

5、下列说法正确的是（）.

A、任一个二次型的标准形是唯一的

B、若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同

C、若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型

D、二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的

标准答案：D

Xi=M-北

知识点解析：（A）不对，如f=X］X2，令］2=》|+北，则£=丫|2-丫22；若令

：4=初+3“，则仁丫］2_9丫22；出）不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次

型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同；（C）不对，若一个

二次型标准形系数没有负数，只能说明其侦惯性指数为0,不能保证其正惯性指数

为n：选（D）,因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一.

二、填空题（本题共8题，每题分，共8分。）

101

020

6、设A=。o11,则(A+3E)-】(A2_9E)=.

-201

0-10

标准答案：I。。一2)

-201

0-10

知识点解析：(A+3E)"(A2-9E)=(A+3E)/(A+3E)(A-3E尸A-3E=00一2

2o0

5

1o0

2

01^

0

0

11贝d

0uA-1-

7、设A二1

。0

-:

5；0

-022

o-

33

OT1I

O-

标准答案:3,

知识点解析:

设&=(;A=(;:卜则.•于是AT=

31r4?,

°；

01

2

J

1

3

1a-2

b3c

8、设A=2d-5),B为三阶非零矩阵，且AB=O,贝h(A尸.

标准答案：2

知识点解析:因为AB=O,所以r(A)+r(B)W3,又因为BRO,所以r(B巨1,从而有

r(A)<2,显然A有两行不成比例，故r(A)N2,于是r(A尸2.

9、设向量组ai，g,(13线性无关,且ai+aa2+4a3,2a1+02-03,。2+。3线性相关,

则a=_______

标准答案：5

(]20

11

知识点解析：(ai+aa2+4a3，2al+a2-as，。2+。3尸®i，a2，一11J因为ai，

(X2,a3线性无关,而ai+aa2+4ct3,2ai+a2-a3,012+(13线性相关,所以

(120120

11V3•即a11

4-114-11解得a=5.

211)

23。+23

。)无解，则

10、设方程组1-2a=

标准答案：-1

知识点解析：因为方程组无解,所以r(A))<3,于是r(A)<3,即IAI=0.由IA|

12111211

A23530-131

=3+2a-a2=0,得a=-l或a=3.当a=3时，因为13-200000

r(A)=r(A)=2<3,所以方程组有无穷多个解；当a=l时,

121211

A2330-1-11

1-1-20000一4，因为r(A»r(N),所以方程组无解，于是a=-

1.

223

1-10

标准答案：由AX=A+2X得(A-2E)X=A,其中A-2E=一1IJ因为IA-2E|=-

1和，所以X=(A-2E)"A,

rtl(A-2E：A)二

3-8-6

得*=2-9-6

-2129

知识点解析：暂无解析

15、设A为n阶矩阵，且Ak=O,求(E・A)”.

标准答案：Ek-Ak=(E-A)(E+A+A2+...+Ak-1),又E^-A忆E,所以出-A).

i=E+A+A2+...+Ak".

知识点解析：暂无解析

16、设(xi，Q2，…，an(n22)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时a1+a2，

(X2+a3，…，an+cq线性无关.

标准答案：设有XI，X2，…，Xn，使Xi(ai+(X2)+X2(<X2+a3)+…+Xn(an+ai)=o,即-

(xi+xn)ai+(xi+x2)a2+...+(Xn-i+Xn)an=0,因为ai，。2，…，如线性无关，所以有

力+占=0

©+彳2-0

•••

工一+工=0,该方程组系数行列式Dn=l+(-l)n+)n为奇数

xi=...=xn=0^ai+a2»a2+a3,...»ctn+ai线性无关.

知识点解析：暂无解析

17、设四，a2,...».为n个线性无关的n维向量，且与向量p正交.

标准答案：向量0为零向量.(反证法)不妨设算0,令

TTTT

k1a1+k2a2+...+knan+koP=O,上式两边左乘0T得kiPai+k2Pa2+...+knpan+koPP=O

因为ai，a2,…，an与(3正交，所以1<0。,(3=0,B|JkoIPI2=0,从而ko=O，于是

klal+k2a2…+knan=0,再由ai，a2，...»ctn线性无关,得ki=k2=...=kn=0,故ai，

a2,an,p线性无关，矛盾(因为当向量的个数大于向量的维数时向量组一定线

性相关)，所以尸0.

知识点解析：暂无解析

ar1+(a+3)x2+Xi=-2

5Xi+皿+川=a

18、参数a取何值时，线性方程组与+及+93=,有无数个解?求其通

解.

标准答案:

aa+31—21a1a111012

A・la1a—a-130—2—a若a—1.则4-♦()30o10-1

11aa20a—11—aa(l—a)；00000000

原方程组的通解为X=k(-1,0,l)T+(2,-1,0)(k为任意常数)；

laia1a+1

若af】♦则A-*a—130—2—a-*a—12

01-1-a01

当a=2时，方程组无解；当a=2时,

程组的通解为X=k(l,1,1)T+(2,2,0)(k为任意常数).

知识点解析：暂无解析

标准答案：令xiai+x2a2+x3a3+x4O4=0(*)

1111111111

1-121

0a+10b

351a+851000a4-10

(1)当a=-l,屏0时，因为(\)=2先(')=3,所以方程组(*)无解，即0不能表示为

ai,012，。3，cu的线性组合；(2)当狎一1时，p可唯一表示为cq,。2，⑵，cu的

线性组合.

知识点解析：暂无解析

a】'仇0i仇。也“、

.

小a2blazbz•••a力”

a—•/o,p=*#0»A=••••a'P=关0

•**•••

20、a.Jb,.a力iaj)t…ajbn/,求A的全

部特征值，并证明A可以对角化.

标准答案：令0rp=k,则A?=kA,设AX4X,则A2x=#x=iax,即MQk)X=0,

因为X#),所以矩阵A的特征值为入=0或X=k.由无+...+解5(A)且tr(A)=k得

Xi=.=Xn-)=0,无户k.因为r(A)=l,所以方程组(0E-A)X=0的基础解系含有n-l个

线性无关的解向量，即入-0有n-1个线性无关的特征向量，故A可以对角化.

知识点解析：暂无解析

2

设a为n维非零列向量，4=*—?产,

21、证明：A可逆并求A”；

标准答案：因为A?」人言"叫("£%>"士"+力-也E,所以A可逆

且A1=A.

知识点解析：暂无解析

22、证明：a为矩阵A的特征向量.

标准答案：因为Aa=(E一出严')a=a-2a=-a,所以a是矩阵A的特征向量，其对应

的特征值为/.

知识点解析：暂无解析

oo1

x1y

23、设A=1。。有三个线性无关的特征向量，求x,y满足的条件.

A0-1

一nA-1—>

标准答案：由I九E-A|=70A=(叶1)(0)2得入尸・1,入2=入3=1，因为A有

三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，所以r(E-A)=l,由E-A=

10-1[10-1

-x0*>-♦00-x—

-101000得x+y=0.

知识点解析：暂无解析

24、用配方法化二次型f(xi，X2，X3)=X」+2XIX2+2XIX3-4X32为标准形.

标准答案：f(xi，X2，X?)=XI2+2X1X2+2X1X3-4X32=(X1+X2+X3)2-(X2+X3)2-4X32,

q+力+4M产i