考研数学一(线性代数)模拟试卷134(题后含答案及解析)

考研数学一(线性代数)模拟试卷134(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.设向量组al,a2,a3,a4线性无关，则向量组().

A.a1+a2,a2+a3,Q3+CI4,a4+al线性无关

B.a1—a2,。2—。3,a3-a4,a4-a1线性无关

C.a1+a2,a2+a3,a3+a4,Q4—Q1线性无关

D.a1+a2,a2+a3,a3—a4,a4一QI线性无关

正确答案：C

解析：因为一(a1+a2)+(a2+a3)—(Q3+a4)+(a4+a1)=0,所以a1+a2,

a2+a3,a3+a4,Q4+al线性相关；因为(Q1-a2)+(a2-Q3)+(a3—Q

4)+(a4—a1)=0,所以a1—a2,。2—。3,a3—a4,a4—线性相关;

因为(a1+a2)—(a2+a3)+(a3—a4)+(a4—a1)-0,所以a1+a2,a2+a3,

a3一。4,a4—al线性相关，容易通过证明向量组线性无关的定义法得a1+

a2,a2+a3,a3+a4,a4—a1线性无关，选(C).知识模块：线性代数

2.向量组al,a2,…，am线性无关的充分必要条件是().

A.向量组Ql,。2,…，am,B线性无关

B.存在一组不全为零的常数kl,k2,…，km,使得kla1+k2a2+…+kma

mWO

C.向量组al,c2,…，am的维数大于其个数

D.向量组Q1,。2,…，ain中任,向量均不能由其余in—1个向量线性

表示

正确答案：D

解析：(A)不对，因为Ql,a2,…，am,B线性无关可以保证al,a2,…，

am线性无关，但al,a2,…，am线性无关不能保证a1,a2,…，am,

B线性无关；(B)不对，因为al,。2,…，am线性无关可以保证对任意一组

非零常数kl,k2,…，km,有klQl+k2Q2+…+kmQmWO,但存在一组不全为

零的常数kl,k2,…,km使得kla1+k2a2+…+kmamW()不能保证a1,a2,…，

am线性无关；(C)不时，向量组a1,a2,…，am线性无关不能得到其维数

大于其个数，如线性无关，但其维数等于其个数，选(D).知识模块：线性代数

3.设向量组Ql,Q1,…，Qm线性无关，81可由。1,。2,…，Qm

线性表示，但B2不可由al,a2,…，am线性表示，则().

A.a1,a2,…,am-1,B1线性相关

B.a1,a2,…，am-l,Bl,B2线性相关

C.a1,Q2,…，am,B1+B2线性相关

D.al,a2,…，am,Bl+Bl线性无关

正确答案：D

解析：（A）不对，因为B1可由向量组Ql,a2,…，am线性表示，但不

一定能被al,a2,…，am-1线性表示，所以al,a2,…，am-1,Bl不

一定线性相关；（B）不对，因为Ql,Q2,…，am-1,B1不一定线性相关，

P2不一定可由a1,a2,…，am-1,P1线也表示，所以a1,a2,…，a

m-1,Bl,B2不一定线性相关；（C）不对，因为B2不可由al,Q2,…，a

m线性表示，而Bl可由al,a2,•­•,am线性表示，所以81+82不可由Q

1,。2,…，am线性表示，于是a2,…，am,B1+B2线性无关，选

（D）.知识模块：线性代数

4.设n维列向量组Ql,a2,…，Qm（m<n）线性无关，则n维列向量组

Pl,B2,…，Bm线性无关的充分必要条件是（）._

A.向量组Q1,。2,…，Qm可由向量组Bl,B2,…，Bm线性表示

B,向量组Bl,B2,…，Bm可由向量组cl,a2,•••,am线性表示

C.向量组Q1,。2,…，Qm与向量组Bl,B2,…，Bm等价

D.矩阵A=（Q1,a2,…，am）与矩阵B2,…，Bm）等价

正确答案：D

解析：因为al,a2,•••,am线性无关，所以向量组a1,a2,…，am

的秩为m,向量组Bl,B2,…，Bm线性无关的充分必要条件是其秩为m,所

以选（D）.知识模块：线性代数

5.设a1,a2,a3线性无关，81可由al,a2,a3线性表示，P2

不可由al,a2,a3线性表示，对任意的常数k有（）.

A.a1,a2,Q3,kBl+B2线性无关

B.aI,a2,a3,kB1+62线性相关

C.aI,a2,a3,Bl+kBam线性无关

D.a1,a2,a3,Bl+kB2线性相关

正确答案：A

解析：因为B1可由a1,a2,a3线性表示，B2不可由a1,a2,a3

线性表示，所以kBl+B2一定不可以由向量组al,a2,a3线性表示，所以

a1,a2,a3,k61+B2线性无关，选（A）.知识模块：线性代数

6.设n阶矩阵A=（al,a2,…，an）,B=（P1,P2,・・•，Bn）,AB=（Y

L丫2,…，yn）,记向量组⑴：al,Q2,…，an；（II）：Bl,B2,…，B

n：（III）：y1,y2,Yn若向量组（III）线性相关，则（）.

A.（I）,（H）都线性相关

B,⑴线性相关

C.（II）线性相关

D.（工），（H）至少有一个线性相关

正确答案：D

解析：若al,a2,…，an线性无关，Bl,82,…，Bn线性无关，则

r(A)=n,r(B)=n,于是r(AB户n.因为丫1,丫2,…，yn线性相关，所以r(AB)=i"(丫

1,y2,…，yn)Vn,故Ql,Q2,…，Qn与31,B2,…，8n至少有一个

线性相关，选(D).知识模块：线性代数

7.设向量组⑴：a1,a2,…，aS的秩为rl,向量组(II)：Bl,P2,…,

Bs的秩为r2,且向量组(H)可由向量组⑴线性表示，则().

A.a1+31,a2+32,…，as+Bs的秩为H+r2

B.向量:组—31,a2一B2,…，os一Bs的秩为rl一r2

C.向量组Ql,。2,…，as,Bl,82,…，8s的秩为rl+r2

D.向量组al,。2,…，as,Bl,B2,…，Bs的秩为r

正确答案：D

解析：因为向量组Bl,82,…，Bs可由向量组al,a2,…，as线性

表示，所以向量组Q1,a2,…，as与向量组a1,a2,…，as,61,B2,…,

Bs等价，所以选(D).知识模块：线性代数

8.向量组al,a2,…，as线性无美的充要条件是().

A.a1,Q2,…as都不是零向量

B.ai,a2,…，aS中任意两个向量不成比例

C.a1,a2,as中任一向量都不可由其余向量线性表示

D.a1,a2,…，Qs中有一个部分向量组线性无关

正确答案：C

解析：若向量组al,a2,…，as线性无关，则其中任一向量都不可由其

余向量线性表示，反之，若Q1,。2,…，as中任一向量都不可由其余向量线

性表示，则。2,…，as一定线性无关，因为若al,a2,…，aS线性

相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选(C).知识模块：线

性代数

9.设A为n阶矩阵，且|A|=(),贝ljA().

A.必有一列元素全为零

B.必有两行元素对应成比例

C.必有一列是其余列向量的线性组合

D.任一列都是其余列向量的线性组合

正确答案：C

解析：因为|A|=0,所以r(A)Vn,从而A的n个列向量线性相关，于是其列

向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C).知识模块：线性代数

10.设A是mXn阶矩阵，下列命题正确的是().

A.若方程组AX=0只有零解，则方程组AX二b有唯一解

B.若方程组AX二0有非零解，则方程组AX二b有无穷多个解

C.若方程组AX二b无解，则方程组AX=0一定有非零解

D.若方程组人*才有无穷多个解，则方程组AX=()一定有非零解

正确答案：D

解析：方程组只有零解，而无解.，故(A)不对；方程组有非零解，而无解，

故(B)不对；方程组无解，但只有零解，故(C)不对；若AX二b有无穷多个解，

则r(A)=r(A)<n,从而r(A)<n,故方程组AX=O一定有非零解，选(D).知识

模块：线性代数

填空题

11.设A=(aVO),且AX=O有非零解，则A*X=O的通解为.

正确答案：(Cl,C2为任意常数).

解析：因为AX=O有非零解，所以|A|=0,而|A|二二一(a+4)(a—6)且aVO,所

以a二一4.因为r(A)=2,所以r(A*)=l.因为A*A=|A|E=O,所以A的列向量组

为A*X=O的解，故A*X=O的通解为(Cl,C2为任意常数).知识模块：线性代

数

12.设A为n阶矩阵，A的各行元素之和为0且r(A)=n一1,则方程组

AX=O的通解为

正确答案：(其中k为任意常数)

解析：因为A的各行元素之和为零，所以，又因为r(A尸n-l,所以为方

程组AX=O的基础解系，从而通解为(其中k为任意常数).3.C(Akl,Ak2,…，

Aki-,知识模块：线性代数

13.设A为n阶矩阵，且|A|二O,AkiHO,则AX=O的通解为.

正确答案：C(Akl,Ak2,…,Aki-,Akn)T(C为任意常数).

解析：因为|A|=0,所以r(A)Vn,又因为AkiHO,所以r(A*)2l,从而r(A尸n

一1,AX=()的基础解系含有一个线性无关的解向量，又AA*=|A旧=O,所以A*

的列向量为方程组AX=O的解向量,故AX=O的通解为C(Akl,Ak2,…，Aki-,

Akn)T(C为任意常数).知识模块：线性代数

14.设nL…,QS是非齐次线性方程组AX=b的一组解，则klnl+・・・+ks

ns为方程组AX=b的解的充分必要条件是______.

正确答案：kl+k2+-+ks=l.

解析：显然klnl+k2n2+…+ksns为方程组AX=b的解的充分必要条件是

A(kln1+k2n2+…+ksns尸b,因为An1=An2=*,*=AQs=b,所以(kl+k2+…

+ks)b=b,注意到bWO,所以k1+k2+・・・+ks=l,即kln1+k2n2+・・・+ksns为方程

组AX=b的解的充分必要条件是kl+k2+…+ks=l.知识模块：线性代数

15.设BW0为三阶矩阵，且矩阵B的每个列向量为方程组的解，则

k=,|B|=.

正确答案:k=l,|B|=O

解析：令因为B的列向量为方程组的解且BWO,所以AB=O且方程组有非

零解，故|A|=0,解得k=l.因为AB=O,所以r(A)+r(B)W3且,r(A)>l,于是

r(B)W2V3,故|B|=0.知识模块：线性代数

16.设a1,。2,a3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量,r(A)=3,

且a1+a2二则方程组AX=b的通解为.

正确答案：

解析：因为r(A)=3,所以此时方程组AX=b的通解为kl+n,其中&=Q3

—a1=(a2+a3)—(a1+a2)=于是方程组的通解为知识模块:线性代数

17.设方程组无解，则@=.

正确答案：a=-I

解析：因为方程组无解,所以r(A)V<3,于是r(A)V3,即|A|=0.由|A|=3+2a

-a2=0,得a=-l或a=3.当a=3时，因为r(A)==2V3,所以此时方程组有无

穷多个解；当a=l时，所以此时方程组无解，于是a二一1.知识模块：线性代

数

18.设方程组有解，则al,a2,a3,a4满足的条件是.

正确答案：al+a2+a3+a4=0.

解析：因为原方程组有解，所以r(A尸于是al+a2+a3+a4=0.知识模块：线

性代数

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19.设向量组a1,a2,a3线性无关，证明：a1+a2+a3,a1+2a2+3

a3,a1+4a2+9a3线性无关.

正确答案：令kl(a1+a2+a3)+k2(a1+2a2+3a3)+k3(a1+4a2+9a3)=0,

即(kl+k2+k3)Ql+(kl+2k2+4k3)a2+(kl+3k2+9k3)a3=0,因为al,a2,Q3线

性尢关，所以有而由克拉默法则得kl=k2=k3=0,所以a1+a2+a3,a1+2a2+3

a3,a1+4a2+9a3线性无关.涉及知识点：线性代数

20.设Q1,…，an,B为m+1维向量，p=a1+•••+am(m>I).证明：

若al,…，Qm线性无关，则8—al,…，B—am线性无关.

正确答案：令kl(B—Q1)+…+km(B-Qm)=0,即kl(a2+a3+--+a

m)+…+km(a1+a2+…+am-l)=0或(k2+k3+…+km)al+(k1+k3+…+km)a

2+-+(kl+k2+—+km-l)am=0,因为al,…,am线性无关,所以因为二(一

-1)W(),所以kl=---=km=O,故6—a1,•••,3—am线性无

关.涉及知识点：线性代数

21.设a1,a2,…，an(n22)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时，

al+a2,a2+a3,…，Qn+al线性无关.

正确答案：设有xl,x2,…，xn,使xl(Q1+a2)+x2(a2+a3)+…+xn(an+

a1)=(),即(xl+xn)al+(xl+x2)Q2+・・・+(xn-l+xn)an=0,因为al,a2,•••,Q

n线性无关，所以有该方程组系数行列式Dn=l+(—l)n+l,n为奇数DnrOxl=…

=xn=()a1+a2,a2+。3,…，Qn+a1线性无关.涉及知识点：线性代

数

22.设A为n阶矩阵，a1,a2,a3为n维列向量，其中关0,且A

al=aLAa2=al+a2,Aa3=a2+a3,证明：a1,a2,Q3线性无关.

正确答案：由AQ1=a1得(A—E)Q1=0；由Aa2=Q1+Q2得(A—E)

a2=a1；由Aa3=a2+a3得(A—E)a3=a2,令klal+k2a2+k3a

3=0,(1)(1)两边左乘AE得k2a"k3a2=0,(2)(2)两边

左乘A—E得k3al=0,因为Ql#0,所以k3=0,代入(2)、⑴得kl=0,k2=0,

故al,a2,a3线性无关.涉及知识点：线性代数

23.证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定

线性相关.

正确答案：设…，an为一个向量组，且…，ar(rVn)线性相关，

则存在不全为零的常数kl,…,kr,使得kla1+…+kra尸0,于是klal+…+kr

ar+0ar+1+---+0an=0,因为kl,…，kr,0,…，0不全为零，所以al,…,

an线性相关.涉及知识点：线性代数

24.n维列向量纽a1,…，an-1线性无关，且与非零向量B正交.证明：

a1,…，an-1,B线性无关.

正确答案：令k06+klQ1+…+kn-lQn-l=0,由Q1,…，Qn+1与非零向量

B正交及(B,kOP+kla1+-+kn-lan-l)=0Wk0(P,P)=0,因为B为非零向

量，所以(B,P)=IIBII2>0,于是k0=0,故klQ1+…+kn-lan-l=0,由Q1,

an-1线性尢关得kl=…kn-l=O,于是al,…，an-1,B线性尢关.涉及

知识点：线性代数

25.设向量组…，an为两两正交的非零向量组，证明：a1,…，an

线性无关，并举例说明逆命题不成立.

正确答案：令kla1+…+knQn=0,由Q1,…，an两两正交及(al,kla

1+…+knan)=0,得kl(al,a1)=0,而(al,a])=||a1||2>0,于是kl=0,

同理可证k2=--=kn=0,故a1,…,an线性无关.令，显然al,a2线性无关，

但Q1,Q2不正交.涉及知识点：线性代数

26.设A为nXm矩阵B为mXn矩阵(m>n),且AB=E.证明：B的列

向量组线性无关.

正确答案：首先r(B)Wmin{m,n}=n,由AB=E得r(AB)=n,而r(AB)Wr(B),

所以r(B)2n,从而r(B尸n,于是B的列向量组线性无关.涉及知识点：

线性代数

27.设Ql,a2,am,Bl,B2,…，Bn线性无关，而向量组al,

。2,…，am,丫线性相关.证明：向量Y可由向量组al,a2,…，am,B

1,B2,…,Bn线性表示.

正确答案：因为向量组al,Q2,…，Qm,Bl,B2,…，Bn线性无关，

所以向量组al,a2,…，am也线性无关，又向量组a1,Q2,…，Qm,丫

线性相关，所以向量丫可由向量组a1,a2,…，am线性表示，从而Y可由向

量组a1,a2,…，am,Bl,B2,…，Bn线性表示.涉及知识点：

线性代数