考研数学二（解答题）模拟试卷252

考研数学二(解答题)模拟试卷252

一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)

已知町八外存在，且/("="二吗：*二)-1+2合小】求/G).

设lim/("=A，则

L1

?展二笠:当『)—1+炽Iirn/(X)]

=A=lim匕岑也+2A

…r

,♦.1—「£——+o(d)]i

=>A=-limifaru=——L_\----------=*=-\

ir…r3

=>f(x)=z-arctanCr-D-l_2彳5

标准答案：包一1尸3^

知识点解析：暂无解析

lim-_■-[/-rd/=1.

2、求正常数a、b,使…加一而由。"T7

标准答案：a=2,b=l

知识点解析：暂无解析

3、设3阶矩阵A的特征值为-1,1,1,对应的特征向量分别为a『(l,-1,1)1

TT00

a2=(L0,-1),a3=(l,2,-4),求A1.

标准答案：因a1，(X2，o(3线性无关，故A相似于对角阵，☆P=[ai，。2，«3]»则

J1~|r-]q「__1loo

1A=p

有P"AP=L】-1JL1JP-

1=PEP"=E.

知识点解析：暂无解析

4、若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，则AB是反对称矩阵的充要条件是

AB=BA.

标准答案：因为AT=A,BT=-B,那么(AB)T=BTAT=一BA.若AB是反对称矩

阵，则(AB)T二一AB,从而AB二BA.反之，若AB=BA,则(AB)T=-BA=一AB,

即AB是反对称矩阵.

知识点解析：暂无解析

+AX2+x4=0,

.2xt4x2+x3+2X4=0,

5、设线性方程组3t，+(2+A)X：+"3"4…1,已知⑴一1,1,一1)1

是该方程组的一个解，求方程组所有的解。

标准答案：将（1，一1,1,一1）1代入方程组可得入=2对增广矩阵作初等行变

换，可得

IAI:(TIA1：O-1I：01

A=2112；001-2A1-2A0；001-2A1-2A0；0

-32+A4+44»-02-2A4-2AI:1-LO131：N

_1_

0

12T

A=y时.A

03I•I

o因为r（A尸"”）=2V4,所以方程组有

⑴当-00000」

1

2

无穷多解，其通解为（1,0,0)T+k|(l,一3,1,0)T+k2(一1,一2,0,

2产，其中ki，k2为任意常数。（口）当

101"IA0*

AW5时,A0I10；00II00

-013dIr（4）=3<4,所

-002\o因r（A尸

以方程组有无穷多解，其通解为（一1,0,0,l)T+k(2,一1,1,一2户，其中k

为任意常数。

知识点解析：暂无解析

1.1

一arctanr-：-

lim_______1

内-求f（x）的间断点并判定其类型.

6、设f（x）=i°

标准答案：

0.x>0,

i.1

/(x)=<e，arctan——

1-t-x)八

------2-----,X<0t

eiarctan-L-

1十z

limf(x)=lim7lim-2y-lim--=0=lim/(r)»

4…―-4»-+«c*i+

i.11

e，arctan7-7-3arctan

lim------X----~Slim1+/7T

故x=o为可去间断点.六一rxZelt则

x=-l为跳跃间断点.

知识点解析：暂无解析

7、有一椭圆形薄板，长半轴为a,短半轴为b,薄板垂直立于水中，而其短半轴与

水面相齐，求水对薄板的侧压力.

标准答案：取坐标系如图3.17所示，椭圆方程为/〃=分割区间[0,a]f在

小区间|x,x+dx|对应的小横条薄板上，水对它的压力dP二压强x面积=yx.2ydx=

劲/T2

ya-*s.,其中了为水的比重.于是从0到a积分便得到椭圆形薄板所受

P=[^^为「2-Wcks---^-(a2~x2)T

Joaa3：=3-

的压力图3,17

知识点解析：暂无解析

8、设f(x)在(一8,+oc)内有定义，且对于任意x与y均有f(x+y尸f(x)eY+f(y)eX,又

设?(0)存在且等于a(a#。)，试证明对任意xf(x)都存在，并求f(x).

标准答案：将x=y=0代入f(x+y)=f(x)eY+f(y)eX,得f(0)=0,为证明f(x)存在，则由

导数定义，

广(幻=]加+")*)=UmA-产卢)/-/")

NYAx-Ax

NYAx—Ax

=/(%)+广(O)e1=/(")

所以对任意式J'(x)都存在，且/'(4)=/(x)-hae*.

解此一阶线性方程，得

/(«)=+c]=e*(ax+C).

又因f(0)=。,得。=0,即/(。=axe.

知识点解析：暂无解析

9、证明：当x>0时，“(1+]>h+1

标准答案：令(p⑴=ln(x-t),由拉格朗日中值定理得

ln(1+5)=ln(jr4-1)—lar=g(l)—^>(0)=，(&=q；JOVgV1)

由-~得ln(1+」->>—j—[•

•r+WM+1x1+1

知识点解析：暂无解析

10、在xOy坐标平面上，连续曲线1过点M(l,0),其上任意点P(x,y)(xr0)处的

切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a>0).(1)求1的方程；(2)当1与直

JB

线y=ax所围成平面图形的面积3时，确定a的值.

标准答案：(l)y=ax2—ax(xr0)；(2)a=2.

知识点解析：暂无解析

11、求微分方程x(y2—l)dx+y(x2—l)dy=O的通解.

标准答案：这是一个变量可分离的方程，分离变量后原方程化为

/T一--1•两边同时积分，可求得其通解为InIy2-lI=-lnIx2-lI

+C\BP(x2-l)(y2-l)=C,其中C为任意常数.

知识点解析：暂无解析

4

-374

5-97

12、设口=2-52求一Ai3-A23+2A33+A43-

标准答案：所求的是此行列式第3列元素的代数余子式A|3,A23,A33,A43依次

乘一1,—I,2,1后的和.A3A23，A33，A43和行列式的第3列兀素是无关

的，此如果把第3列元素改为-1,-1,2,1,则A13,A23,A33,A43不改

变.于是修改后的行列式的值=它对第3列的展开式=-A]3-A23+A33+A43!

24-1-2

-37-14

2A

43-423+33+443=

5-927

2-512

24-1-2

-5306(第二行减第一行，第三行加第一

9-103的2倍，第四行加第一行.)

4-100

-536

对第3列展开

====-9-13

4-10)

-2350

第一行减第二行的2倍-235

•一’一.-9-13=3

4

4-10

=9.

知识点解析：暂无解析

设常数a>0,函数g(x)在区间La,a]上存在二阶导数，且g”(x)>0.

13、令h(x)=g(x)+g(—x),证明：在区间[0,a]±hXx)>0,且仅当x=0时,

11«尸0；

标准答案：h，(x)=g，(x)—g，(—x),h，(0)=0,h"(x)=g',(x)+g,,(-x)>0,由拉格朗日

中值定理,有h，(x尸h'(0)+h”(&)(x-0尸h”《)x>0,xG(0,a].

知识点解析：暂无解析

clrje，dr.

2a|g(-r)e-rdrg(x)

14、证明:

标准答案：因为当叱x0时，h'(x)N0,h(x)单调增加；f(x)=e*2在叱x金时单调减

少，所以不论OWxWyWa还是OWygxga,均有[h(x)—2)][夕2—8节三(),即只要(x,

y)GD={(x,y)|O<x<a,0<y<a},有h(x)e~x2+h(y)e-Y2)sh(x)e-y2+h(y)e-x2.于是有

)+人(,)广,]cb&f[h(x)e~y+Hy)e']由.

即有

2a爪(幻

D

2「dy「W)-2dr42evdyA(x)dr,

0J00

2ahUW&r<2/i(x)dj.

o又因为h(x)与e+2都是偶函

数，所以

11ffl

A(x)c'di4—e'**dy人(jr)cLr,

CJ■■再以

h(x)=g(x)+g(—x)代入，并注意到

fA(j)cLr=f[g(卫)+g(—z)]clr=f

g(x)dr+g(—x)dr

J7J-aJ-aJ-a

g(x)dz-Fg(tt)(—du)

-a

=2jg(x)dr.

同理

/i(z)e-』clr=2jg(z)e'dr,

从而式(*)成为

edrjg,(z)dr・

1证毕.

知识点解析：暂无解析

15、设三阶实对称矩阵A的特征值为人］=8,入2=入3=2,矩阵A的属于特征值及

—8的特征向里为m一1,属丁特征值九2一入3—2的特征向里为々-0,求

属于12=入3=2的另一个特征向量.

标准答案：因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有及二-I

/h

+1<=0=>1<=1=>九］=8对应的特征向量为&=1令九2=Q=2对应的另一个特征

向量为43=13,由不同特征值对应的特征向量正交，得Xl+X2+X3=0

知识点解析：暂无解析

16、设A是n阶矩阵，满足AAT=E(E是n阶单位矩阵，人丁是A的转置矩阵)，|A|

<0,求|A+E|.

标准答案:|A+E|=|A+AAT|=|A(E+AT)|=|A|.|(A+E)T|=|A|.|A+E|

=>(1一|A|)|A+E|=0型W|A+E|=0・

知识点解析：暂无解析

17、设函数f(x)在|0,+8)上可导，f(0)=0,且其反函数为g(x).若心气⑴dt=

求f(x).

标准答案：J0f⑴g⑴出=八%两边求导得g[f(X)]f(X)=(X2+2x)ez,整理得f(x)=(x+

2)ez,则f(%)=(%+l)e，+C,由f(0)=0得C=-l,故般)=(%+1淤一1.

知识点解析：暂无解析

18、二次型f(xi，X2,X3)=XTAX在正交变换X=QY下化为yj+yz2,Q的第3列为

停。阴・①求A.②证明A+E是正定矩阵.

100-

010

标准答案：①条件说明Q“AQ二QTAQ4000」于是A的特征值为1,1,0,并

冈T

且Q的第3列=口(1,0,1)T是A的特征值为0的特征向量.记QI=(1,0,

1)T,它也是A的特征值为0的特征向量.A是实对称矩阵，它的属于特征值1的