简单线性规划知识梳理提高高考数学复习

简朴的线性规划

【考纲规定】

1.理解现实世界和平常生活中的不等关系，理解不等式（组）的J实际背景。

2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。

3.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组：理解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表达二

元一次不等式组：

4.会从实际情境中抽象出某些简朴的二元线性规划问题，并能加以处理。

5.纯熟应用不等式性质处理目的函数的最优解问题。

【知识网络】

【考点梳理】

【高清课堂：不等式与不等关系394841知识要点】

考点一：用二元一次不等式（组）表达平面区域

二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表达直线Ax+By+C=0某一侧所有点构成的平面区域.

（虚线表达区域不包括边界直线）

要点诠释：

画二元一次不等式Ax+By+C>0(>0)或Ar+8)，+C<0(<0)表达口勺平面区域的基本环节：

①画出直线/:Ar+8.v+C=0(有等号画实线，无等号画虚线)；

②当CwO时，取原点作为特殊点，判断原点所在口勺平面区域；当C=0时，另取一特殊点判断；

③确定要画不等式所示的平面区域。

简称：“直线定界，特殊点定域”措施。

考点二：二元一次不等式表达哪个平面区域的I判断措施

由于对在直线Ax+By+c=O同一侧的所有点(x,y),实数Ax+By+c日勺符号相似，因此只需在此直线的某

一侧任取一点(xo,%)(若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便).把它的坐标代入Ax+By+c,由其值的

符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表达直线的哪一侧.

要点诠释：

判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表达直线的哪一侧的措施：

由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),数Ax+By+C的符号相似，因此只需在此直线的某一

侧任取一点(xo,yo)(若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便)，它的坐标代入Ax+By+c,由其值的符号

即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或〈0)表达直线的哪一侧.

考点三：线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在一种问题中，不等式组是一组变量x、yII勺约束条件，这组约束条件都是有关X、

y的一次不等式，故又称线性约束条件.

②线性H的函数：

有关X、y的一次式z=ax+by(a,b£R)是欲到达最大值或最小值所波及的变量x、y的解析式，叫线性

目的函数.

③线性规划问题:

一般地，求线性目日勺函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件日勺解（x,y）叫可行解.

由所有可行解构成日勺集合叫做可行域.

便目的函数获得最大•或最小俏的TM行解叫线性规划问撅日勺最优解.

要点诠释：

在应用线性规划H勺措施时，一般具有下列条件：

①一定要可以将目H勺表述为最大化（极大）或最小化（极小）的规定。

②一定要有到达目H勺的不一样措施，即必须要有不一样日勺选择的也许性存在：

③所求的目欧I函数是有约束印艮制）条件的；

④必须将约束条件用代数语言表达成为线性等式或线性不等式（组），并将目的函数表达成为线性函数。

考点四：解线性规划问题总体环节：

设变量一找约束条件，找目日勺函数

作图，找出可行域及“空->求出最优解

要点诠释：

线性规划II勺理论和措施重要在两类问题中得到应用：

①在人力、物力、资金等资源一定的条件下，怎样使用它们来完毕最多的任务；

②给定一项任务，怎样合理安排和规划，能以至少的人力、物力、资金等资源来完毕该项任务.

【经典例题】

类型一：二元一次不等式（组）表达的平面区域

例1.用平面区域表达不等式组4,一

x<2y

【解析】不等式）3x+12表达直线y=—3x+12右下方的区域,

x<2y表达直线x=2y右上方的区域，

取两区域重叠打勺部分，如图的阴影部分就表达原不等式组的解集。

举一反三：

x-y+3>0

【变式1】画出不等式组'x-y>0表达的平面区域并求其面积。

x<3

01

【解析】如图，面积为J;

【变式2】由直线x+y-2=0,x-2y-2=0和x+l=O围成口勺三角形区域（如图）用不等式组可

表达为0

x->1+5>0

【变式3】求不等式组<x+y>0表达平面区域H勺面枳.

x<3

【解析】不等式所示的平面区域如图

联立方程组得A(3,8),B(3,-3),C(--,-)

22

因此5八8C=扣中力二;X11X?=?

例2.画出下列不等式表达的平面区域

(1)Cr-y)(x-y-D<0：(2)r<|^<2r

、一”。或，x-y<0,

【解析】(1)原不等式等价转化为〈,(无解〉,

x-y-l<0x-y>\

x-y>0

故点*,)，)在区域内，如图:

y>0y<0

(2)原不等式等价为｛x-y4()

或,x+y<0如图

2x-y>02x+y>0

举一反三:

【变式1】用平面区域表达不等式

(1)y>|x|+l；(2)x>|j|；(3)|x|>|y|

【解析】

2x-v-3>0

例3.求满足不等式组(2x+3y-6<0的整数解.

3x-5y-15<0

【解析】设4：2x-y-3=(),/2：2x+3y-6=0,/3：3工一5y—15=0,则

2x+3y—6=0153

由《得V7

[2.r-y-3=O

2x-y-3=0

n~[v，得3(0,-3)

[3x-5y-15=0

m+3卜6=。，得q"「马

由《

[3x-5y-15=01919

于是看出区域内点的横坐标在内,三)内,取x=1,2,3,

y<-\

412

当x=l时.，代入原不等式组有《)，<一,即一一<y<-\,得)，=-2,

35

12

，区域内有整点(1,一2)。

同理可求得此外三个整点(2,0)、(2,-1).(3,-1).

举一反三：

3x-2y-2>0,

【变式1】求不等式组|尤+4)，+4>0,时整数解。

2x+y—6<0

【解析】如图所示,

作直线4:3x—2)，-2=0,4：x+4y+4=0,/3:2A:+y-6=0,

在直角坐标平面内画出满足不等式组日勺区域，

此三角形区域内的整点(2,1)，(1,0),(2,0),(L-1),(2,-1),(3,—1)即为原不等式组的整数解。

类型二：图解法处理简朴的线性规划问题.

【高清课堂：不等式与不等关系394841基础练习一】

x+y<3

例4.设变量满足约束条件<工一)后一1,则目的函数z=4x+2y的最大值为()

A.12B.10C.8D.2

x+y<3

【解析】由约束条件｛x—>2—1可知可行域如图：

.”1

平移y=-2x知在A(2,1)处获得最大值z=10

答案：B

举一反三:

4x-5y+21>0

【变式1】求z=x+2y的最大值和最小值，使式中的x,y满足约束条件x-3y+7>0.

2x+y-y<0

即直线，通过可行域上点A时，/距原点距离最大，且x+2y>0,

这时目的函数z=x+2y获得最大值.

4x-5y+21=0

由方程组，J,解得A(l,5),・・・Zma、=l+2x5=ll.

2x+)，-7=()a

把直线/向左下方平移至4位置，即直线1通过可行域上点B时，由于x+2y<0,

这时目的函数z=x+2y获得最小值.

以;”；。,解得)，

由方程组yI8(-4/Azmin=-4+2xl=-2.

x-3y+7=0

【变式2】给出平面区域如图所示，若使目的函数Z=4X+），（〃>0）获得最大值的最优解有无穷个,

【解析】由题意结合图形可就线性目的函数与可行域的一边界平行,可得。二3:

2x-），+22（）

【变式3】假如点P在平面区域T-2），+1W0上，点。在曲线炉+（尹2）2=1上，那么|P0俨J最

x+y-2W0

小值为（）

A.>/5—1B.―产-1C.2>/2—1D.5/2—1

亚

2尤-），+22（）

【解析】不等式组■工-2），+1<0表达町平面区域如图所示，

x+y-2W0

规定|PQ|的最小值只需求出圆心(0,-2)到平面区域的最小值再减去半径1即可。

由图象可以懂得圆心(0,-2)到平面区域日勺最小值就是圆心(0,-2)到直线x-2〉+1=0的距离

(垂足为A)

因此-2)+［二后,故选人

y<x

例5.己知工、y满足约束条件求下列各式的最大值和最小值.

y>-1

(1)z=2x+y；(2)z=x+y.

【解析】(】)不等式组表达R勺平面区域如图所示：

求出交点A(2,—l),3(050.5),

作过点(0,0)的直线Zo:2.r+y=O,平移直线/0,得到一组与/0平行的直线/:z=2x+y,zeR.

可知，在通过不等式组所示H勺公共区域内的点且平行于/的直线中，

当I通过点A(2,-1)时的直线/所对应日勺z最大，因此入侬=2x2-1=3；

当I通过点。(一L一1)时的直线/所对应的z最小，因此zniin=2x(-l)-l=-3.

(2)不等式组表达的平面区域如图所示:

作过点(0,0)的直线，o：x+y=()，平移直线/o,得到一组与/o平行的直线/：z=x+y,zwR.

可知，在通过不等式组所示的公共区域内的点且平行于/的直线中，

当/通过线段上日勺所有点时的直线/所对应的z最大，因此znw=2-1=1；

当/通过点C(-l,-l)时的直线/所对应的z最小，因此zmin=(-1)-1=-2.

举一反三：

5x+3y<15

【变式1】求z=3x+5yR勺最大值和最小值，使式中日勺X、y满足约束条件•y<x+1.

x-5y>3

【解析】不等式组所示的平面区域如图所示：

从图示可知，直线z=3x+5y在通过不等式组所示的公共区域内H勺点时，

以通过点3(-2,-1)时直线所对应曰勺z最小，

35

以通过点4二，二)H勺直线所对应的z最大.

22

因此z-=3x(-2)+5x(-1)=71，

=3<5口

Zmax=3X-+5X-=17.

类型三：某些实际背景的线性规划问题.

例6.某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每件要消耗燥9吨，电力4千瓦，使用劳动力3个，获

利7000元：生产乙种产品每件要消耗煤4吨，电力5千瓦，使用劳动力10个，获利12023元。有一种生

产日，这个1可动用的煤是360吨，电力是200千乩，劳动力是300个，问应当怎样安排甲、乙两种产品

H勺生产，才能使工厂在当日的获利最大，并问该厂当日欧I最大获利是多少?

【解析】设生产甲产品x件，乙产品y件

9x+4y<360

4x+5y<200

约束条件:

3x4-1Oy<300

xeN,yGN

目口勺函数：z=7000x+12023y

4x+5y=200x=20

，即A(20,24)

3x+10y=300y=24

・•・当x=20,y=24时，Z3=7000X20+12023X24=428000(元)。

答：安排甲产品20件，乙产品24件时，利润最大为428D00元。

举一反三：

【变式1］某运送企业有7辆载重量为6t的A型卡车与4辆载重量为104勺8型卡车，9名驾驶员，

在建筑某段高速公路中，此企业承担了每天至少搬运360t沥青I向任务，已知母辆卡车每天来回的次数为A

型卡车8次，B型卡车6次，每辆卡车每天来回的成本费为A型卡车160元，B型卡车252元，每天派出

A型车与B型车各多少辆，才能使企业所花的成本费最低？

【解析】设派