2026年中考数学常考考点专题之概率

第1页（共1页）2026初中数学中考高频考点专项训练：概率问题第一部分．单项选择（合计13道题）1．（2025东光县第二次模拟考试）将如图所示的游戏转盘随机旋转，待转盘静止后，指针恰好指向B该区域的概率为（）A．B．C．D．13562．（2025哈尔滨校级四模）在红方的中国象棋棋子中，各类棋子的数量分布为：：1个帅、，5个兵、，个士、、个象、、个马、、个车以及、个炮，每种各2个，若将这些棋子全部背面朝上随机摆放在棋盘上，从中随机抽取一枚，该棋子恰好为帅或兵的概率为（）A．B．C．D．1165163．（2025浙江模考）准备了4张卡片，上面分别标有数字2，0，2，5．从中随机地取出1张卡片，使得抽得的数字正好为2的概率是（）A．B．C．D．14134．（2025河南一模）观察下图所示的电路，若随意闭合开关S1，S2，S3里的两个，使得红灯亮起的概率为（）A．B．C．D．13235．（2025琼中县一模）某不透明口袋内放置了3个白色球，4个红色球以及5个黑色球，这些球除了颜色不同外，其余特征均一致，若随机抽取其中一个球，那么下列事件出现的概率是（）1A．抽取到白球B．抽取到红球C．抽取到黑色球D．抽取到白色或红色球6．（2025阳泉模考）五台山既被列为世界文化景观遗产，同时也是国家森林公园与国家地质公园．一个兴趣小组拟定了三个针对五台山的课题方向：五台山宗教历史及文化研究、五台山传统文化和古建筑研究、五台山地质结构和生态环境研究．小新与小明两人各自从这三个课题中随机抽取一个，那么在两人所选的课题中，至少有一人选择了五台山传统文化和古建筑研究的概率为（）A．B．C．D．13237．（2025沈阳模考）参考图示，已知正方形边长为2，若在0～2区间内随机选取两个数并将其作为某点的坐标，则该点位于圆内部的概率大约为（）A．B．C．D．π2π38．（2025大渡口区模拟）某不透明盒子内放置了a个球，除颜色不同外，其余特征均一致，在总共a个球中，红球的数量为3个，每次将球充分混合后，随机抽取1个球并记录颜色，随后将其放回，经过多次重复实验，观察到抽得红球的频率趋于0.2，据此推测a的数值大约为（）A．12B．15C．18D．209．（2025海陵区校级三模）现有一枚经过特殊设计的骰子，该骰子投掷出2，3，4，5的概率维持在，不变，而投掷出6的概率则是投出1概率的2倍，请问投掷出6的概率是多少（）1A．B．C．D．141610．（2025沈河区校级模拟）二十四节气体现了中华古代农耕文明的深厚智慧，被国际气象学界公认为中国的第五大发明．小杰买了四枚以二十四节气为主题的邮票，其中包含两枚夏至，以及雨水和惊蛰各一枚，若从中随机地抽取一枚，恰好抽中夏至的概率为（）A．B．C．D．1412411．（2025博罗县一模）为了提高学生们学习化学的兴趣，王老师打算从测定空气中氧气含量、利用高锰酸钾制取氧气、电解水以及木炭还原氧化铜这四个实验中，随机抽取其中一个在课上进行演示，那么，抽到电解水实验的概率是（）A．B．C．D．121312．（2025宁波模考）已知甲盒内装有2个白色球，乙盒内装有3个白色球，丙盒内则装有3个白色球与1个黑色球，若随机挑选其中一个盒子，并从中随机抽取一个球，则抽到黑球的概率是（）A．B．C．D．171813．（2025金沙县校级第一次模拟考试）2024年11月，由国家苹果产业技术体系与中国苹果产业协会近期共同公布，到目前为止，在全球范围内，中国的苹果产量位居首位，目前我国已经研发出拥有自主知识产权的苹果新种152个．某科研机构为了探讨一种新型苹果树的存活概率，在相同环境下开展了移植实验，具体数据见下表：移植总数n502704007501500350070001000014000成活总数m47235369682135932036398910212782成活率m94.0%87.0%92.3%90.9%90.6%91.5%91.4%91.0%91.3%预测该类新培育苹果树的存活率大约为（）A．89%B．90%C．91%D．92%第二部分．填空题（总计7道小题）14．（2025湖北三模）某不透明容器内放置了三张完全相同的卡片，其上分别写着数字1，2，5，随机从中取出的一张卡片，记录其数值后将其放回，将卡片重新洗匀，再次随机抽取一张，若两次抽得的数字之和为偶数，求该事件发生的概率．15．（2025莱西市校级模考）一家大型商场开展抽奖活动，具体规则如下：一个不透明的容器内放置了红色、黄色、蓝色三种球（这些球除了颜色不同外，其余特征均一致），其中红色球共1个，黄色球共2个，蓝色球共m个，每次将球摇匀后随机抽取一个，若抽到红球则赢得一等奖，若抽到黄球则赢得二等奖，若抽到蓝球则赢得三等奖．根据活动结束后的统计，总参与抽奖人数为10万人，其中获得一等奖的人数为5000人，由此可求得蓝球的数量m为．16．（2025章丘区一模）观察图，小南将一枚棋子随机投放到图4×4的正方形格网中，该棋子恰好落在阴影区域内的概率是．17．（2025宝丰县一模）中国古代数学在历史上取得了卓越的成就，，《《周髀算经》》、《《算学启蒙》》、《《测圆海镜》》、《《四元玉鉴》》均属于我国古代数学的经典著作。．某中学计划从这4本数学名著里挑选出2本，用于校本课程中数学文化部分的教学。，若要使《《周髀算经》》被选中的概率为．18．（2025祁阳市校级一模）某暗箱内装有m个除颜色不同但其余特征一致的球，其中红色球的数量为4个，每次将球充分搅拌后，随机抽取一个，记录其颜色并将其放回．在进行了多次重复实验后得知，抽中红球的频率是0.2．据此可以计算出m等于．19．（2025中卫校级二模）一个不透明的口袋里放着若干个红色球和8个白色球，除颜色不同外，所有球的形状和大小均一致，将球充分混合后，每次随机抽取一个球，记录其颜色并将其放回袋内，在进行大量重复抽样实验后观察到，抽到白球的频率趋于稳定，数值为0.4，由此可知，袋中红球的数量为个．20．（2025永城市模考）河南作为中原文化的重要发源地，具备多样的人文与自然旅游景观，现准备三张卡片，正面分别标注为龙门石窟、殷墟遗址、以及登封天地之中历史建筑群，除正面文字外，三张卡片完全一致．将这三张卡片背面向上随机排列，从中任意抽取两张，所得卡片恰好为龙门石窟与殷墟遗址的概率是．三．综合解答题（合计5道小题）21．（2025浙江模拟）为了增加客流量，某商场，开展了一项抽奖促销活动：顾客消费满100元，即可获得一次摸球抽奖资格．准备了两个不透明的箱子，每个箱内分别放置了1个红球与，2个白球，这些球除了颜色不同外，其他特征完全一致．参与者需从这两个箱子中各随机抽取1个球，并依据所抽到两球的颜色组合来兑换奖品，具体的兑奖方案见下表．项目两个红球一红一白两个白球兑奖规则礼金券20元礼金券10元谢谢惠顾假设顾客仅能进行一次抽球兑奖，，请分别计算抽中20元礼金券以及10元礼金券的概率．。22．（2025扬州）为了构建充满活力的校园环境，一所学校在课间时段组织了多种多样的活动，目前提供了4项体育运动供学生挑选：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每位学生仅限在这些体育活动中选一项．（1）假设小明从这4项体育活动里随机抽取，，那么抽到乒乓球的概率为；（2）请通过绘制树状图或列举法，计算小明与小聪随机挑选到相同体育项目的概率．23．（2025腾冲市校级模拟）春节期间有三部电影上映，namely《哪吒2》，《唐探1900》，《熊出没重启未来》．小西与小名两名学生各自从这三部片子中随机挑选一部来观看，设定《哪吒2》用A，《代表1900》，B．《唐探》用C．代表，，．熊出没重启未来x，用y．代表[PROTECT_19]假定两人的选择彼此独立[PROTECT_20]且每部电影被选中的概率均等[PROTECT_21]设小西所选的电影为[PROTECT_22]，小名所选的电影为[PROTECT_23]（1）请通过绘制树状图或列举法，计算出（x，y）所有可能结果的总量；（2）计算小西与小安这两位学生刚好挑选到同一部电影进行观看的概率．24．（2025莱西市校级模考）参照图，湖畔设有A，B，C，D总计4个凉亭，一个旅游团打算把这4个凉亭全部游览一遍，所有游客由入口进入，首先在凉亭A汇合，随后依照地图所示路径自行参观，请通过列举法或绘制树状图，计算成员小亮最终到达的凉亭是凉亭D的概率．25．（2025滨湖区二模）周末，明明与文文约定在某植物园进行晨练，该植物园设有A，B，C，D四个入口，两人可以随机挑选其中一个入口入园，且设定每个入口被选中的概率均相等．在他们之中，有一人通过B入口进入植物园的概率是．（1）请通过列表法或绘制树状图，计算出两人从同一个入口进入植物园的概率（2）．2026初中数学中考概率常考知识点专项训练标准答案及题目详解第一部分．单项选择（合计13道题）题号1234567891011答案ACCABDCBDCC题号1213答案DC单项选择题（总计13道）1．（2025东光县第二次模拟考试）将如图所示的游戏转盘随机旋转，待转盘停止后，指针恰好指向B区域的概率为（）A．B．C．D．1356【测评点】概率计算公式．版权归菁优网所有【板块】概率论及其实践；应用能力．【结果】A【探讨】首先计算出B范围内的圆心角大小，随后通过概率计算公式得出结果．【分析】计算：根据扇形统计图可以得出，A部分所占的圆心角大小为60，C部分所占的圆心角大小为30，D部分所占的圆心角大小为150，B部分所对应的圆心角大小为3606030150＝120，若转盘停止旋转，指针恰好指向B区域的概率为．120°因此，正确选项为：A．【解析】此题旨在测试对概率公式的理解，能否灵活运用概率公式是顺利解题的核心．2．（2025哈尔滨校级第四次模拟考）在红方中国象棋的棋子中，各类兵种的数量分布为：：1名帅，5名兵，名士、名象、名马、名车以及、名炮，每种各2个，若将这些棋子全部背面朝上随机摆放在棋盘上，从中随机抽取一枚，该棋子恰好为帅或兵的概率为（）A．B．C．D．116516【测评要点】概率计算公式．菁优网版权所有【模块】概率论与实际应用；数据分析意识．【结果为】C【解析】直接运用概率计算公式得出结果．【分析】计算：在中国象棋中，红方各类型的棋子数量分布情况为：：1名帅，5名兵，而，士、象、马、车、炮则均有2个，总计有16种等概率的outcome，，而其中仅为兵或帅的情况共有6种，随机抽取一名棋子，其恰好为兵或帅的概率为，6因此，正确选项为：C．【解析】此题旨在测试对概率计算公式的理解：概率＝即目标事件发生的次数与所有可能结果总数的比值．熟练运用该公式是完成本题的核心．3．（2025浙江模考）现有一组4张卡片，其上分别标有数字2，0，2，5．，从中随机地取出1张卡片，，要求这些卡片所显示的数字正好为2的概率是（）A．B．C．D．1413【测评点】概率计算公式．版权归菁优网所有【板块】概率论与实际应用；数据分析意识．【结果】C【解析】只需利用概率计算公式直接得出结果．【计算】求：4若干张卡片，上面分别标有数字2，0，2，5，其中数值为2的卡片共有两张，此卡片所显示的数值正好为2的可能性是，2因此，正确选项为：C．【解析】此题旨在测试对概率计算公式的理解：概率＝即特定事件发生的次数与所有可能结果总数的比值．熟练运用该公式是顺利完成本题的核心．4．（2025河南一模）如图所示的电路图中，若随机闭合S1，S2，S3两个开关，则红灯亮起的概率为（）A．B．C．D．1323【知识点】树状图法与列表法．菁优网版权所有【模块】概率论与实际应用；逻辑推演能力．【结果】A【探讨】通过绘制树状图或采用列表法，能够确保在不遗漏且不重复的前提下枚举出全部可能结果，对于仅需两步即可实现的事件，列表法较为适用，而面对两步及两步以上完成的复杂事件，树状图法则更为便捷．需关注概率＝即目标事件数与样本空间总数之比．起初应依照题目要求构建树状图，随后通过该图确定所有等概率的样本点以及红灯亮起的特定情况，最后代入概率计算公式即可得出最终结果．【分析过程】计算如下：通过绘制树状图可知：总共存在6个等概率的结局，，其中导致红灯亮起的可能性共有2种，红灯亮起的概率是．2因此，正确选项为：A．【解析】此题旨在考察通过绘制树状图或列举法来计算概率，解题的核心在于熟练运用概率计算公式．5．（2025琼中县一模）某不透明口袋内放置了3颗白球、，4颗红球以及5颗黑球，这些球除了颜色不同外，其余特征均一致，若随机抽取其中一颗球，则下述事件成立的概率是（）1A．抽取到白球B．抽取到红球C．抽取到黑球D．抽取到白球或红球【测评点】概率的定义；概率计算公式；随机事件．版权归菁优网所有【板块】概率论及其实际应用；计算能力．【结果】B【探讨】直接运用概率计算公式进行求解．【计算】分析：一个袋子里分别放入了3颗白色球，4颗红色球以及5颗黑色球，囊内总计包含12个球，随机抽得白色球体的概率是；3随机抽取到红球的可能性为；4随机抽得黑球的概率是；5随机抽取到红球或白球的可能性为．7因此，正确选项为：B．【解析】此题旨在测试对概率定义，随机事件，以及概率计算公式的理解，能否灵活运用概率的含义与相关公式是顺利完成本题的核心．6．（2025阳泉模拟）五台山不仅被列为世界文化景观遗产，同时也是国家森林公园与国家地质公园．一个兴趣小组拟定了三个针对五台山的调研课题：五台山宗教历史及文化研究、五台山传统文化和古建筑研究、五台山地质结构和生态环境研究．小新与小明各自从这三个课题中随机抽取一个，那么在两人所选的课题中，至少有一人选择了五台山传统文化和古建筑研究的概率为（）A．B．C．D．1323【知识点】树状图法与列表法．版权归菁优网所有【模块】概率论与实际应用；应用意识培养．【结果】D通过对【进行分析，可以确定所有等可能结果的总数，以及其中包含至少一项关于五台山古建筑与传统文化研究的结果数量】，随后根据概率计算公式即可求得最终结果，．【分析】计算：设定三个主题的名称分别为A，B，C，列表如下：ABCA（A，A）（A，B）（A，C）B（B，A）（B，B）（B，C）C（C，A）（C，B）（C，C）在所有9种等概率的可能结果中，包含至少一项关于五台山古建筑及传统文化研究的结果共有：（A，B），（B，A），（B，B），（B，C），（C，B），个，总计5种，在五台山传统文化与古建筑研究领域中，至少存在一个的概率值为．5因此，正确选项为：D．【解析】该题旨在测试对列表法及树状图法的运用，能否灵活运用这两种方法是顺利解题的核心．7．（2025沈阳模考）见图，正方形每边长度为2，若在0～2区间内随机选取两个数值作为某点的坐标，则该点位于圆内部的概率近似为（）A．B．C．D．π2π3【测评点】几何概率．版权归菁优网所有【模块】概率论与实际应用；应用能力．【结果】C【探讨】通过几何图形可知，该圆是正方形的内切圆，，已知正方形边长为2，，圆半径为1，。随后，通过计算圆面积与正方形面积的比值，来确定该点落在圆域内的概率．【分析】计算：由已知条件可知，此点在圆内部的概率．=因此，正确选项为：C．【解析】本题旨在测试对几何概率的理解：特定事件发生的概率＝即该事件对应的区域面积与整体面积的比值．8．（2025大渡口区模拟）某不透明容器内盛有a个球，除颜色不同外，各球均无差异，在总共a个球中，红球的数量为3个，每次将球随机搅拌均匀后，随机抽取1个球并记录颜色，随后将其放回，经过多次重复实验，观察到抽得红球的频率趋于0.2，由此推断a的数值大约为（）A．12B．15C．18D．20【测评点】通过频率来估算概率．菁优网版权所有【板块】概率论与实际应用；计算能力．【结果为】B【探讨】在相同环境下，进行多次重复实验时，随机事件出现的频率会趋向于其概率值，可通过分析比例，建立方程组来计算．【分析】计算：由已知条件可知：3a计算结果为：a＝15，经过验证，：a＝15确实为该分式方程的解，：a的数值大约为15；因此，正确选项为：B．【解析】此题旨在考察通过频率来估算概率的方法，能否准确地建立方程是解题的核心．9．（2025海陵区校级三模）现有一枚经过特殊设计的骰子，该骰子投出2，3，4，5的概率维持，不变，而投出6的概率则是投出1概率的2倍，据此计算，投出6的概率为（）1A．B．C．D．1416【测评点】概率计算公式．菁优网版权所有【模块】概率论及其实践；数据分析意识．【正确选项为】D【推导】由于该骰子出现2，3，4，5的概率依旧为，，因此只需计算出掷出1与6的概率总和，，便能得出．1【分析】计算：该骰子投出2，3，4，5的可能性依旧为，1掷出1与6这两个结果的概率总和是14＝1，-1出现6的可能性是出现1可能性的两倍，掷出6的可能性为．1因此，正确选项为：D．【解析】此题旨在测试对概率计算公式及无理数概念的掌握程度，概率＝通过计算目标事件数与样本空间总数的比值得出．10．（2025沈河区校级模考）二十四节气凝聚了中华古代农耕文明的智慧，被全球气象领域公认为中国的第五大发明．小杰买了四枚以二十四节气为主题的邮票，其中包含两张夏至，以及雨水和惊蛰各一枚，若随机从中挑选一张，恰好抽中夏至的概率为（）A．B．C．D．14124【测评要点】概率计算公式．菁优网版权所有【模块】概率论与实际应用；计算技巧．【正确选项为】C【解析】直接利用概率计算公式得出结果．【计算】求解：随机地从中取出一张，存在四种概率相等的情形，夏至持有两份，，而雨水与惊蛰则各持一份，抽取到夏至的可能性分为两种，且概率相等，随机从中选取一张，恰好抽中夏至的概率为．2因此，正确选项为：C．【解析】该题旨在测试对概率公式的理解，能否灵活运用概率公式是顺利得出答案的核心．11．（2025博罗县一模）为了提高学生们学习化学的兴趣，王老师打算从测定空气中氧气含量、利用高锰酸钾制备氧气、电解水以及木炭还原氧化铜这四个实验中，随机抽取一个在课上进行演示，那么，选中电解水实验的可能性为（）A．B．C．D．1213【测试要点】概率计算公式．版权归菁优网所有【板块】概率论与实际应用；逻辑推理．【结果】C【探讨】基于概率的计算方式：通常而言，若在单次实验里，存在n类等概率的结果，且事件A涵盖了其中的m个结果，则该事件A出现的概率，可由此计算得出．P(A)=【分析】计算：总计有四项实验，关于电解水的实验仅有1类，在电解水实验中，被抽中的概率为：．1因此，正确选项为：C．【解析】此题旨在测试对概率公式的理解，能否灵活运用概率计算技巧是顺利得出答案的核心．12．（2025宁波模考）已知甲盒内含2个白球，乙盒内含3个白球，丙盒内则有3个白球与1个黑球，若随机挑选其中一个盒子，并从中随机抽取一个球，求抽到黑色球的概率是（）A．B．C．D．1718【测评要点】树图法与列表法；概率计算公式．菁优网版权所有【模块】概率论与实际应用；应用能力培养．【正确选项为】D【通过分析】得出选取丙盒的概率以及在丙盒内抽到黑球的概率，随后将两者相乘．【计算】求解：现有甲、乙、丙三只盒子，其中丙盒子内装有3个白色球及1个黑色球，选择丙盒的概率是，，且在丙盒中随机抽取到黑色球的概率为，13随机挑选一个盒子，，从中随机抽取一个球，，抽到黑色球的概率是．1因此，正确选项为：D．【解析】此题旨在测试对列表法及树形图法的掌握程度、概率计算公式，突破口在于对题目含义的准确把握，通过综合运用相关知识点来完成解题．13．（2025金沙县校级第一次模拟考试）2024年11月，由国家苹果产业技术体系与中国苹果产业协会近期共同公布，到目前为止，在全球范围内，中国的苹果产量位居首位，目前我国已经研发出拥有自主知识产权的苹果新种152个．某科研机构为了探讨一种新型苹果树品种的存活概率，在相同的环境下开展了移植实验，具体数据见下表：移植总数n502704007501500350070001000014000成活总数m47235369682135932036398910212782成活率m94.0%87.0%92.3%90.9%90.6%91.5%91.4%91.0%91.3%预测这类新培育的苹果树能够存活的概率大约是（）A．89%B．90%C．91%D．92%【知识点】通过频率来估算概率．菁优网版权所有【模块】概率论及其实践；逻辑推理．【结果】C【探讨】依据表中频率的相近程度91.0%，即可得出结果．【分析】计算：根据表中的数据得出，该类新培育的苹果树存活率是91%，因此，正确选项为：C．【解析】该题旨在考察通过频率来估算概率的方法，需明确在进行多次重复试验时，频率的稳定数值可被视为概率的近似值，这是突破本题的核心．第二部分．填空题（总计7道小题）14．（2025湖北三模）某不透明盒子内放置了三张完全相同的卡片，其上分别写有数字1，2，5，随机从中取出一次卡片并记录数字后将其放回，将卡片重新洗匀后再次随机抽取一张，若两次抽得的数字之和为偶数，则该事件发生的概率是．5【知识点】树状图法与列表法．版权归菁优网所有【模块】概率论及其实践；应用能力．【正确选项为】．5通过对】清单进行分析，可以确定所有等可能事件的总数，以及两次抽取的卡片数字之和为偶数的具体结果数，随后根据概率计算公式即可求得最终结果．【分析】推导：清单如下：1251（1，1）（1，2）（1，5）2（2，1）（2，2）（2，5）5（5，1）（5，2）（5，5）总计有9种等概率的样本结果，在这些结果中，两次抽得的卡片数字之和为偶数的情况共有：（1，1），（1，5），（2，2），（5，1），（5，5），，计5种，连续抽取两张卡片，若其数字之和为偶数的概率是．5因此，结果是：．5【解析】此题旨在测试对列表法及树状图法的运用，能否灵活运用这两种方法是顺利解题的核心．15．（2025莱西市校级模考）一家大型商场开展抽奖活动，具体规则如下：一个不透明的容器内放置了红色、黄色、蓝色这三种颜色的球（除颜色区分外，所有球体均完全一致），其中红球数量为1个，黄球数量为2个，蓝球数量为m个，每次将球摇匀后随机抽取一个，若抽到红球则赢得一等奖，若抽到黄球则赢得二等奖，若抽到蓝球则赢得三等奖．根据活动结束后的统计，参与抽奖的总人数为10万人，其中获得一等奖的人数为5000人，由此可求得蓝球的数量m为17．【知识点】通过频率来估算概率．菁优网版权所有【板块】概率论及其实践；应用能力．【正确选项为】17．【解析】通过运用概率计算公式即可得出结果．【分析】计算：由已知条件可知，1000005000，×计算结果为m＝17，因此，正确选项是：17．【解析】此题旨在测试通过频率来估算概率的能力，能否灵活运用概率计算公式是突破本题的核心．16．（2025章丘区一模）参考图，小南将一枚棋子随机放置在图4×4的正方形网格中，该棋子恰好落在阴影区域的概率是．1【知识点】几何概率．菁优网版权所有【模块】概率论及其实践；应用能力．【正确选项】请参阅试题解析部分【通过】运用面积计算公式，将阴影区域与大正方形的面积分别写出，随后通过两者的面积之比计算出概率．【计算过程】解：阴影区域的面积是22+22＝8，该正方形的面积大小为4×4＝16，因此，该棋子掉落在阴影区域内的概率为．8因此，正确选项是：．1【解析】此题旨在测试对几何概率的理解，能否灵活运用概率计算公式是突破本题的核心．17．（2025宝丰县一模）中国古代数学在历史上成就斐然，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》均属于我国古代数学的经典著作．某中学计划从这4本数学名著里挑选2本，用于校本课程中数学文化模块的教学，若要求必须选中《周髀算经》，其概率为．1【知识点】树状图法与列表法；概率计算公式．版权归菁优网所有【模块】概率论与实际应用；逻辑推理．【正确选项】请参阅试题解析部分【探讨】通过绘制树状图的方式进行求解．【分析】推导：《《周髀算经》》、《数学入门》、《《测圆海镜》》、《《四元玉鉴》》各自采用A、B、C、D来阐述，请绘制如下所示的树状图：根据图示，，所有可能出现的结果共有12种，，其中刚好抽到《《周髀算经》》的情况有6种，随机抽到《周髀算经》的概率为．6因此，最终结果是：．1【解析】此题旨在测试对列表法及树状图法的运用，概率计算公式，能否灵活地通过绘制树状图来计算概率是突破本题的核心．18．（2025祁阳市校级一模）某暗箱内装有m个除颜色不同外完全一致的球，其中红色球共有4个，每次将球充分搅拌后，随机抽取一个，记录其颜色并将其放回．在进行多次重复实验后得知，抽中红球的频率是0.2．据此可估算出m的值为20．【知识点】通过频率来估算概率．菁优网版权所有【板块】概率论与实际应用；逻辑推理．【结果】20．【通过分析】根据已知条件可知，抽到红球的概率是0.2，由此可推导出m＝4÷0.2，经过计算即可得出结果．【分析】解：经多次重复实验观察得知，抽到红球的频率是0.2，抽到红色球的概率是0.2，一个不透明的箱子中装有m个球，除颜色不同外其余特征均一致，其中红色球的数量为4个，m＝4÷0.2＝20，因此，结果是：20．【解析】此题旨在测试通过频率来估算概率的能力，突破口在于理解并运用大规模重复试验所得的频率来近似表示事件概率的原理．19．（2025中卫校级二模）在个不透明的口袋里，放入了若干个红色球以及8个白色球，除颜色不同外，所有球的形状和大小均一致，将球充分混合后，每次随机抽取一个，记录其颜色并将其放回袋内，经过多次重复抽样实验观察到，抽得白球的频率趋于稳定，数值为0.4，由此推知，袋内红球的数量为12个．【知识点】通过频率来估算概率．菁优网版权所有【模块】概率论与实际应用；数据分析意识．【正确选项】请参阅详细解析部分【通过将白球的数量除以白球出现频率的稳定值，从而计算出球的总数，进而得出最终结果．【计算过程】分析：根据已知条件，袋内球的总数大概为8÷0.4＝20（个），因此，袋内共有红球208＝12（个），因此，正确选项是：12．【解析】本题的核心在于通过频率来推测随机事件的概率，在进行多次重复试验后，该事件出现的频率会围绕一个特定数值上下波动，且波动的范围逐渐缩小，基于频率稳定性原理，我们可以利用频率的聚集状态来估算概率，而这个稳定的近似数值即为该事件的概率．20．（2025永城市模考）作为中原文化的起源地之一，河南，具备多样的人文景观与自然风光，现准备了三张卡片，正面依次印有龙门石窟、、殷墟遗址以及、登封天地之中历史建筑群，除正面图案外，三张卡片完全一致．将这些卡片背面向上随机排列，从中任意选取两张，求抽到龙门石窟与殷墟遗址两张卡片的概率是．1【知识点】树状图与列表法；概率计算公式．菁优网版权所有【模块】概率论与实际应用；数据分析意识．【答案】1【解析】依照题目要求，将所有潜在情形一一列举，随后利用概率计算公式得出结果．【分析】计算：假设关于龙门石窟、殷墟遗址、以及登封天地之中历史建筑群的这三枚卡片依次为A、B、C，清单如下：ABCA（A，A）（A，B）（A，C）B（B，A）（B，B）（B，C）C（C，A）（C，B）（C，C）在所有9个等概率的样本结果，中，抽中AB的事件共有1次，因此，其概率值为，1因此，正确选项是：．1【解析】此题旨在测试对列表法、树状图法及、概率计算公式的运用，能否灵活运用上述两种计数方法并正确使用概率公式，是顺利完成本题的核心．第三部分．综合解答题（总计5道小题）21．（2025浙江模拟）为了增加客流量，某商场，开展了一项有奖促销活动：顾客只要消费满100元，就能获得一次抽奖摸球的机会．准备了两个不透明的箱子，每个箱内都放入了1个红球和，2个白球，这些球除了颜色不同，其他特征完全一致．参与者需从这两个箱子中分别随机抽取1个球，并依据所抽两球的颜色决定奖项，具体的兑奖标准见下表．项目两个红球一红一白两个白球兑奖规则礼金券20元礼金券10元谢谢惠顾假设顾客仅有一次抽取球奖的机会，，请分别计算出抽中20元礼金券以及抽中10元礼金券的概率．【测评要点】树状图法与列表法．版权归菁优网所有【板块】概率论与实际应用；应用能力培养．【结果】拿到面额为20元礼金券的概率是，拿到面额为10元礼金券的概率是．19通过对】清单进行分析，可以确定所有等可能事件的总数，以及抽取到两颗红球的情况数、以及抽取到一红一白的情况数，随后根据概率计算公式即可求得结果．【分析】推导：清单如下：红白白红（红，红）（红，白）（红，白）白（白，红）（白，白）（白，白）白（白，红）（白，白）（白，白）总计共有9种等概率的样本结果，，其中随机抽取到两个红球的情况有1种，，而抽取到一红一白球的情况则有4种，抽到面值为20元礼金券的可能性是，，而抽中10元礼金券的可能性为．19【解析】此题旨在考察列表法和树状图法的应用，能否高效运用这两种方法是顺利解题的核心．22．（2025扬州）为了提升校园活力，一所学校在课间休息时间组织了多样化的活动，目前共有4项体育项目可供挑选：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每位学生仅限在这些体育活动中选一项．（1）如果小明从这4项体育活动里随机抽取，，那么抽到乒乓球的概率为；1（2）请通过绘制树状图或列举法，计算小明与小聪随机挑选到相同体育项目的概率．【知识点】树状图法与列表法；概率计算公式．版权归菁优网所有【模块】概率论与实际应用；数据分析意识．【结果】（1）；（2）．14【探讨】（1）依据给出的条件及相关数值，可算出小明在4类体育项目里随机抽取，抽到乒乓球的可能性；（2）可依照题目要求绘制相应的树形图，进而计算出相关的概率．【分析】计算：（1）根据已知条件可知，在4项体育活动中，小明随机挑选，项，若抽中乒乓球的概率为，1因此，得出的结论是：；1（2）如图所示的树状图：综上所述，，总计存在16种等可能的结果，而小明与小聪随机挑选且选中同一项体育活动的情况共有4种，小明与小聪随机挑选，两人选中同一项体育活动的概率是．4【解析】此题旨在考察如何运用树状图法和列表法、概率计算公式，解决本题的核心在于准确理解题目要求，并绘制出对应的树状图．23．（2025腾冲市校级模拟）春节期间共有三部电影上映，namely《哪吒2》，《唐探1900》，《熊出没重启未来》．小西与小名两名学生各自从这三部影片中随机挑选一部观看，设定《哪吒2》用A，《代表1900》、B．《熊出没重启未来》用C．代表1900》用B．《代表》（此处修正逻辑：A，《代表《、1900》代表2》，《、B．《代表1900》，《）C．假定两人的选择彼此独立，且每部电影被选中的概率均等．设小西的选择结果为x，，小安的选择结果为y．请通过绘制树状图或列举清单的方式，计算出（x，y）所有可能结果的合计数量；（2）计算小西与小安这两位学生刚好挑选了同一部电影观看的概率．【知识点】树状图法与列表法；概率计算公式．版权归菁优网所有【模块】概率与统计；数据分析意识．【结果为】（1）9类；（2）．1通过对】（1）清单进行分析，计算出所有概率相等的可能情况总数即可；（2）参照表格统计出恰好选取同一部电影的方案数，随后利用概率计算公式求得结果．【分析】计算：（1）清单如下，（x，y）ABCA（A，A）（B，A）（C，A）B（A，B）（B，B）（C，B）C（A，C）（B，C）（C，C）根据表格显示，，（x，y）可能产生的结果有：（A，A）、（B，A）、（C，A）、（A，B）、（B，B）、（C，B）、（A，C）、（B，C）、（C，C），，且每种结果发生的概率相同，，总计共有9种．可能的全部结果总计有9个：；根据表格显示，（2）小西与小安两人挑选到同一部电影的方案共有，3个，也就是（A，A）、（B，B）、（C，C）．概率．P=【解析】本题旨在考察通过树状图或列表法计算概率的能力．若能熟练运用列表法，则能确保所有可能结果被完整且无重复地列出，该方法尤其适用于两阶段完成的随机事件；而树状图法则更适用于两步及更多步骤完成的复杂事件．24．（2025莱西市校级模拟）参考图，湖畔设有A，B，C，D总计4座凉亭，一个旅游团打算将这4座凉亭全部游览一遍，所有游客由入口进入，首先在凉亭A汇合，随后按照地图所示路径随机参观，请通过列举法或绘制树状图，计算成员小亮最终访问的凉亭是凉亭D的概率．【知识点】树状图法与列表法；概率计算公式．版权归菁优网所有【模块】概率论与实际应用；应用能力培养．【结果】．1通过对】清单进行分析，可以确定所有等概率结果的总数，以及小亮最终停留在D凉亭的特定结果数，，随后根据概率计算公式即可求得最终结果．。【分析】计算：绘制的树状图见下：总计有4种等概率的可能结果，在这些结果中，小亮最终到达的凉亭是D的情况共有2种，小亮最终一次造访的凉亭是D的概率值为．2【解析】此题旨在测试对列表法和树状图法的运用、概率计算公式，能否灵活运用树状图法、列表法及相关的概率公式，是顺利完成本题的核心．25．（2025滨湖区第二次模拟考）周末，明明与文文计划在某植物园进行晨练，该园共设有A，B，C，D四个入口，两人将随机挑选其中一个入口入园，且设定每个入口被选中的概率均等．（1）在他们之中，某个人在进入植物园时，通过B入口进入的概率是．1请利用列表法或绘制树状图，计算两人从同一入口进入植物园的概率（2）．【知识点】树状图法与列表法．版权归菁优网所有【模块】概率论与实际应用；逻辑推理．【正确选项】请参阅题目解析部分【探讨】（1）可以通过概率计算公式直接得出结果；（2）通过绘制树状图可知，总共存在16个等概率的样本点，在这些结果中，明明与文文两人从同一入口进入植物园的情况共有4种，随后利用概率计算公式得出答案．【分析】计算：（1）由B入口进入的可能性为，1因此，结果是：；1（2）绘制的树状图如图所示：总计有16种等概率的可能情况，而明明与文文两人恰好选取同一个入口进入植物园的方案数共有4种，两人从同一个入口进入植物园的概率是．4【解析】此题旨在测试利用树状图计算概率的能力．通过绘制树状图，能够确保所有可能出现的结果被完整且无重复地列出，该方法尤其适用于包含两个或多个步骤的复合事件．涉及的核心概念是：概率＝即目标事件发生的次数与所有可能结果总数的比值．考点卡片1．随机事件（1）必然事件若能预先断定某事必然产生，则该事件被定义为必然事件，；若能预先断定某事绝不会产生，则该事件被定义为不可能事件，。这两类事件（