2026年中考数学常考考点专题之轨迹

第1页（共1页）2026中考数学高频考点专项训练：轨迹问题第一部分．单项选择（总计12道题）1．（2025江都区校级模拟）见图，AB，⊙O是，的直径，AB＝8，点C位于半圆周上，，OCAB，垂足记作点O，P。BC上任取一点，，P点通过PEOC作垂线，交点为E，M。已知△OPE的内心为，，并连接OM、PM，。若点P在弧BC上由点B移至点C，，请计算内心M移动轨迹的长度（）A．B．2C．D．2222．（2025汇川区第四次模拟考试）见图，摆钟将机械工艺与艺术美感完美融合，图中展示了该钟摆的运动轨迹，OA＝24cm，假设钟摆由OA位置摆至OB位置，已知其摆动幅度为∠AOB＝15，，那么端点A所经过的弧长为（）A．3cmB．cmC．2cmD．3cm3．（2025荷塘区三模）在长2，、宽1的矩形台球桌上，一个小球从某个顶点被击出，该球在撞击边沿并反弹三次后，最终进入四个顶点之一，图中虚线展示了其中一条可能的行进轨迹，请问该小球可能走过的最长路径长度为（）A．B．C．9D．2524．（2025武进区校级模考）见图，在等腰Rt△ABC中，直角边AB＝AC＝1，D的中心点为BC，E是AB边上一个可移动的点，DFDE与AC相交于F，M，且EF的中点是，。若点E由点B移至点A，则点M所形成的轨迹长度为（）A．B．C．D．22π25．（2025高碑店市第三次模拟考）见图，长方形ABCD内，，点E位于BC边上，由点C向点B方向移动（（含端点）），构造四边形AECD，其关于直线AE的对称图形为四边形AEC'D'，，其中点D，C对应的对称点依次为点D'，C'，。将DD连起来，与AE相交于点O．AD=：点E无法处于DD之；上乙：点D'，C所经历的运动轨迹长度之比恒定为．3以下哪个选项是正确的（）A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙均错误D．甲、乙均正确6．（2025东海县校级第二次模拟考试）观察图，在△ABC内，∠C＝90，∠BAC＝30，BC＝2，BC边上存在一个活动点D，将点B沿直线AD作对称变换，得到对称点B'，当点D由点B移至点C时，点B所经过的轨迹长度是（）A．B．C．D．π32π37．（2025玉林模考）见图，在一个边长为2的正方形ABCD内部，点M在边AB上随机移动，在AB的延长线方向选取一点N，，确保点M与点N是以点B为中心的对称点，将CM，DN连接，两线交于点E．。若动点M由点A移至点B，则点E所经过的轨迹长度是（）A．B．C．D．23328．（2025南明区二模）为了确保室内空气清新，人们通常会采取开窗通风的措施，如图所示为平开窗开启的实物状态，图为该平开窗开启后的示意图，在这种情况下，窗户处于打开状态84，该窗户底边的OA长度为60，那么窗户底边端点A在运动过程中所形成的轨迹长度（即弧长）为（）A．B．C．28D．148459．（2025福田区二模）见图，在矩形ABCD内，线段AB以点B为中心按顺时针方向旋转至EB处，其中点A旋转后的对应点E恰好位于CD边的中心点，已知CE＝2，，求点A移至点E的弧线长度为（）A．B．C．D．23π410．（2025鼓楼区一次模拟）观察图，在△ABC内，∠B＝60，AC＝6，⊙O代表△ABC的圆外接圆，D是圆周上的一个动态点，由A点引出直线OD的垂线，且垂足记作E．当D由A位置移动至C位置时，点E所扫过的轨迹长度是（）ACACA．B．C．D．23π311．（2025博兴县模考）参考图，在Rt△ABC内，∠ABC＝90，∠BAC＝40，AC＝6．以AC的中点O为中心，将Rt△ABC逆时针旋转，，点A，B，C旋转后的位置记作点D，E，F．。若点E与点C首次重叠，，则点A所经过的轨迹长度是（）A．B．C．2D．84312．（2025萨尔图区模拟）见图，在△ABC内，∠ACB＝90，AC＝BC，AB＝4cm，CD为中线，点E、F两个质点同时自D起步，速度相同，分别向DC、DB方向运动，直到点E抵达点C为止，此时停止运动，若直线AE与CF、BC的交点为G、H，那么在E、F的运动期间，点G所经过的路径长度是（）A．2B．C．2D．2第二部分．填空题（总计8道小题）13．（2025深圳模考）观察图，AB，已知⊙O为直径，，M、N为（上两个不重合的点A、B），点，C在圆上随机移动。，∠ACB的平分线与⊙O相交于D，∠BAC，同时CD的平分线与E．相交。若点C由M移至N，那么，情况下，C、E两点所经过的轨迹长度之比为．ABMN14．（2025浙江模拟）△ABC中，∠C＝90，∠A＝30，AB＝4cm，把△ABC以点B为中心顺时针旋转到△ABC处，如，A、B、C'三点共线，那么点A移动的轨迹长度是．15．（2025华龙区校级第一次模拟考）见图，在等腰△ABC里，∠ACB＝120，AC＝BC＝4，把△ABC以点B为中心顺时针转动到△ABC，，令BCAB，向外延伸AC与AB相交于D，点A的移动轨迹是，，请计算图中阴影区域的面积．AA'16．（2025二道区校级模考）观察图，AB，已知⊙O的半径为2，其中，∠AOB＝90．为一条弦。将△OAB以点A为中心向逆时针方向旋转，，若点O在旋转过程中其对应点O'首次触及⊙O，则求点B所经过的弧长．（，计算结果需保留）17．（2025淮安区校级二模）如图，所示，一块长AB＝4cm、、宽BC＝3cm的矩形木板在桌面上沿顺时针方向进行无滑动翻滚，。木板顶点A的运动轨迹为AA1A2．。在，第二次翻滚过程中，由于被桌面上的一个小木块阻挡，，导致木板边缘A2E与桌面之间形成了30度的夹角，。此时，点A移动至点A2所经过的路径长度为．18．（2025扬州三模）见图，已知△ABC中，∠ACB＝90，AC＝8，BC＝6，点M在CB上随机移动，通过M点绘制MNAM并与AB相交于N，点M若点M由C点移至B点，则N点所走过的轨迹长度为．19．（2025金华模考）见图，在Rt△ABC内，AB＝8，∠B＝60，点D，E分别为AB，AC边的中点，点F位于BC的延长线上，将EF，∠F＝60．相连P点D起步，沿着DBF移动至点F，在EF边上选取一点Q，并连接PQ，若满足∠APQ＝∠B，那么当点P在移动时，点Q所经过的轨迹长度是．20．（2025平桥区第三次模拟）观察图，在菱形ABCD内，，∠ABC＝120，将菱形ABCD以顶点A为中心向逆时针方向旋转30形成菱形ABCD，点C所经过的路径是弧CC'，请计算图中阴影区域的面积．（结果需保留）AB=2三．综合解答题（总计5道小题）21．（2025南山区校级三模）如图1，所示，一个电动门，在水平下降过程中，可简化为图2中的矩形ABCD，其中AB＝3m，AD＝1m，此时该门与出入口的宽度OM相同，距离地面的高度为AO＝0.2m；当门被开启抬起后，形状变为平行四边形ABCD，如图3所示，此时，AB与水平线的夹角为60．（1）当电动门向上开启时，计算点C的运动轨迹长度；（2）如图4所示，，当一辆宽度为1.7m，、高度为1.6m的车辆从该入口驶入时，，该车必须与BC维持0.4m的距离以确保安全。，在这种情况下，，该车是否能够顺利通过？？如果可以，，请给出具体的计算过程；；如果不可以，，请阐述具体原因。．依据（提供的数据：，≈3.14，，各项计算结果均需保留至0.1）322．（2025石家庄模考）见图1筒车是中国古代的一种水力驱动灌溉设备，其圆周上等距安装有多个盛水筒．如图所示2，该筒车⊙O沿逆时针方向旋转，与水面的交点分别为A、B，且已知，筒车的中心轴O到水面的垂直距离OC为2m．AB=4计算（1）筒车⊙O的半径；（2）盛水桶P自勉强浮出水面起，旋转至距离水面最高位置时，计算其移动的轨迹长度．23．（2025双台子区校级二模）嘉嘉在利用桌上书架时，其形态如图1所示．嘉嘉注意到，若书架与桌面之间形成的夹角为∠AOB＝150，则，顶端边缘A位置距离桌面的垂直高度AC数值为11cm，，在这种状态下使用感不佳．于是嘉嘉尝试改变书架与桌面的夹角进行研究，最终得出，当夹角变为∠AOB＝108且（点A成为A的对应点时），，使用舒适度得到了提升．（1）书架在进行旋转时，计算顶部边缘A点至A所经过的轨迹长度．（2）观察图2所示的平面几何图形，，假设嘉嘉的视点位于E位置．。当她的目光落在书本上一个距离桌面高度为20cm的点F时，，其视线与水平线的夹角（俯角）为18，，且眼睛距离桌面的垂直高度为EB＝25cm，。请计算此时眼睛到F点的直线距离，，也就是线段EF的长度．（，计算结果请保留至1cm；，相关参考数值见：sin18≈0.31，cos18≈0.95，tan18≈0.32）。24．（2024鲁山县第三次模拟考）桔槔在民间常被称作吊杆称杆，如图1，所示，这是一种中国古代的农业器具，关于桔槔的记载最早出现在（墨子《备城门》中），该设备通过杠杆原理来实现取水．如图2所示的桔槔结构图中，OM为与水平地面垂直的支撑杆，AB为杠杆部分，且其长度为AB＝5.4米，OA：OB＝2：1．若点A处于最高位置，∠AOM＝127；当点A由最高处起，沿逆时针方向旋转54.5直至降至最低点A1．（计算结果请保留至0.1m；相关参考数据：sin37≈0.6，sin17.5≈0.3，tan37≈0.8）请计算此时水桶B移动的轨迹长度；请计算该时刻水桶B被提升的高度．25．（2024遂平县一模）电动切割机凭借其高效率、精准度及操作简便的优势，已成为当代生产中至关重要的设备，图1展示了该电动切割机的几何简化模型，ON其中为固定底座，切割圆盘⊙A与摆动臂OM在点处相切P，图2为切割机运行时的状态示意图，此时切割圆盘⊙B与ON处于相切状态．已知该切割片的半径为30cm，且转轴OA的长度为60cm，∠MON＝90（在工作过程中，暂不考虑切割片的磨损情况）．计算图2内点B与OM之间的距离；计算砂轮在作业前后的，圆心A移动路径的总长．（2）2026中考数学高频考点专项训练：轨迹问题标准答案及题目详解第一部分．单项选择（总计12道题）题号1234567891011答案DCDBDCBCBBA题号12答案D单项选择题（合计12道）1．（2025江都区校级模考）观察图，AB，已知⊙O是，的直径，且AB＝8，点C位于半圆周上，，OCAB，垂线的交点为O，P。取BC中的任意一点，，由P点引出PEOC且与点E，M相交，其中△OPE的内心被定义为，。连接OM、PM，，若点P沿着弧BC由B点向C点移动，，请计算内心M运动轨迹的长度（）A．B．2C．D．222【测评点】运动轨迹；圆周角性质；三角形内心及内切圆．版权归菁优网所有【模块】圆的基本定义与特性．【结果】D【解析】起初需证明∠CMO＝∠PMO＝135，由此可知，若点P沿着弧BC由点B移至点C时，点M则是在一条劣弧上运动，该弧以OC为弦，且其对应的圆周角大小为135（），随后通过弧长计算公式即可得出结论；OMC【分析】阐述：△OPE的心境是M，∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE，∠PMO＝180∠MPO∠MOP＝180（∠EOP+∠OPE），-PEOC，是指∠PEO＝90，∠PMO＝180（∠EOP+∠OPE）＝180（18090）＝135，-1OP＝OC，OM＝OM，与此同时∠MOP＝∠MOC，△OPM△OCM，∠CMO＝∠PMO＝135，因此，若点P沿弧BC由点B移至点C，则点M将处于一条劣弧上，该弧以OC为弦，，且其对应的圆周角大小为135（），OMC当点M位于扇形BOC内部时，经C、M、O三点绘制⊙O，并连接OC，OO，于优弧CO上选取一点D，，并将其与DA，DO，连接∠CMO＝135，∠CDO＝180135＝45，∠COO＝90，且OA＝2cm，OOOC4＝2，=22OMC弧的长度为（cm），=因此，正确选项为：D．【解析】此题旨在测试对弧长计算公式的掌握：l，公式中l代表弧长，n代表圆心角的度数．此外，还涉及了三角形内心的相关特性、以及全等三角形的判定条件与性质、同时结合了圆周角定理及圆内接四边形的特点，突破本题的核心在于准确判定点M的轨迹，该题属于中考选择题中难度较高的压轴题．=2．（2025汇川区四模）见图，摆钟将机械工艺与艺术美感相融合，图中展示了钟摆运行的示意图，OA＝24cm，假设钟摆由OA位置摆至OB位置，已知摆动角为∠AOB＝15，，则端点A所经过的弧长为（）A．3cmB．cmC．2cmD．3cm【知识点】运动轨迹；直角三角形求解的实际运用．菁优网版权所有【板块】几何形状；计算水平．【结果】C【探讨】依据弧长计算公式，进行求解即可．【分析】计算：依据弧长公式，端点A所经过的轨迹长度，=因此，正确选项为：C．【解析】此题旨在测试对弧长计算能力的掌握，能否灵活运用弧长计算公式是顺利得出答案的核心．3．（2025荷塘区三模）在长2，、宽1的矩形台球桌上，一个小球从其中一个顶点被击出，该球在触碰桌边并发生三次反弹后，最终进入四个顶点之一，图中虚线描绘了其中一条可能的行进轨迹，请问该球可能行走的路径最大长度为（）A．B．C．9D．252【测评点】轨迹问题；日常可见的轴对称实例；勾股定理．菁优网版权所有【模块】直角三角形及等腰三角形；平移变换、对称与旋转；直观几何；逻辑推理．【结果】D【解析】首先理解题目要求，随后开展分类探讨，同时绘制图形，利用矩形的特征及其判定条件，运用勾股定理建立等式求解，接着对比数值，从而得出结论．【分析】计算：情形一：依次经R，U，Y绘制RWAB，UTAB，YGAB，见图1：矩形形状的是台球桌，∠D＝∠DAW＝90，RWAB，YGAB，AWRD，AGYD四边形全部为矩形，以此类推，可证明四边形WRYG同样为矩形，在长2，、宽1的矩形台球桌上，一个小球从其中一个顶点被击出，，在经历三次撞击边沿并反弹后，因此AW＝TW＝TG＝GB＝2，RW＝YG＝AD＝BC＝1，×于Rt△ARW之内，AR，=则，4×球体运行的轨迹是；2另一种情形：是通过R，T，Y绘制RWAD，UTAD，YGAD，，具体见图2：台球桌的形状为矩形，∠D＝∠DAB＝∠B＝90，RWAD，YGAD，四边形AWRB，AGYB均为矩形，，以此类推，四边形WRYG同样是矩形，WR＝GY＝2，在长2，、宽1的矩形台球桌上，一个小球从其中一个顶点被击出，，在经历三次撞击边沿并反弹后，因此DW＝WT＝GT＝GA＝1，DC＝RW＝GY＝BA＝2，DR，×1则4，×，2该小球所能走过的最长路径长度为，65因此，正确选项为：D．【解析】此题旨在测试关于轨迹，日常可见的轴对称实例，勾股定理的运用，能否熟练运用相关性质是顺利解题的核心．4．（2025武进区校级模拟）如图所示，在等腰Rt△ABC中，直角边AB＝AC＝1，D的中心点为BC，E是AB边上一个可移动的点，DFDE与AC相交于F，M点EF的中点记作，若点E由点B移至点A，则点M移动轨迹的长度是（）A．B．C．D．22π2【知识点】轨迹问题；全等三角形的判定定理与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有【模块】全等图形；直角三角形与等腰三角形；正方形、菱形与矩形；逻辑推理；实际应用．【结果】B【探讨】经由点D绘制DGAC，DHBC，如，所示，论证四边形DGCH是正方形，，进而推导△EDG△FDH（SAS）．，从而得出DE＝DF．△EDF是等腰直角三角形，，最终得出结论．【计算】求解：见图，经由点D绘制DGAB，DHAC，DGAB，ACBA，DG∥AC．D位于边CB的中心位置，即为，DGAC，=以此类推：DHAB，=AC＝BA，DG＝DH．正方形，即为四边形DGCH∠GDH＝90．∠GDF+∠FDH＝90，∠EDF＝90，∠GDF+∠EDG＝90．∠EDG＝∠FDH．在△EDG与△FDH之间，∠EGD=∠FHDGD=HD△EDG△FDH（SAS）．DE＝DF．△EDF是一个等腰直角三角形，若点E由点B移至点A，则，EF的中心点M的运动轨迹即为AB，AC两端中点的连线，也就是说M的行进轨迹是CB，1AB＝AC＝1，∠C＝90，CB，=EF的中点M所行经的轨迹长度是．2因此，正确选项为：B．【解析】此题为几何变换的综合性题目，重点测试了全等三角形的判定方法及其相关性质，矩形的判定条件与特征，以及等腰直角三角形的判定与性质等要点，突破口在于能否准确地找全等三角形以推进求解，是中考中出现频率较高的典型题型．5．（2025高碑店市三模）在图，所示的矩形ABCD内，，点E位于BC边上，并由点C起向点B方向移动（（含端点）），将四边形AECD沿直线AE进行对称变换，得到四边形AEC'D'，，其中点D，C对应的对称点为点D'，C'，。若将DD相连，其与AE的交点记作点O．AD=点：甲E绝不会处于DD之中；乙：点D'，C所走路径的长度之比恒定为．3以下选项中表述正确的是（）A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙均错误D．甲、乙均正确【测评点】运动轨迹；轴对称特性；矩形特征．菁优网版权所有【板块】几何形状；计算水平．【结果为】D【探讨】由于∠AOD＝90，某点O位于以AD为直径的半圆周上，此半圆与BC不相交，且点E处于BC之中，点O和点E互不重叠，这意味着点E无法处于DD之上；当点E从点C处出发，点D，C所经过的轨迹长度等于以点A为圆心，且半径为AD，AC的圆弧长度，由于AC与AD的旋转角度相同，因此点D，C的运动路程比值始终恒定，由此可以推导出结论．AD'【分析】计算：见图，接通AC，AC，根据题目条件可知：DDAE，AC＝AC，AD＝AD，∠AOD＝90，O点位于以AD作为直径的半圆周上，此半圆与BC不相交，与此同时，点E处于BC之上，O点与E点不重叠，，这意味着E点无法处于DD之中，，因此甲关于；的说法根据题目条件可知：AB＝CD，∠ADC＝90，，AD=，AD=，AC=，AD点E由C处出发，向D，C点方向移动，其轨迹长度等于以A为圆心、AD，AC为半径的两段弧长，之和，且AC与AD所对应的旋转角度一致，，AD'点D，C所经轨迹的长度之比恒定为，，因此乙相对于；3因此，正确选项为：D．【解析】此题重点测试了轴对称的相关特性、90圆周角若为直角则其所对弦为直径、弧长的求值，旨在培养学生的几何直观及逻辑推理素养．6．（2025东海县校级第二次模拟考试）见图，在△ABC内，∠C＝90，∠BAC＝30，BC＝2，BC边上存在一个动态点D，将点B沿直线AD作对称变换，得到对称点B'，当点D由点B移至点C时，点B所经过的轨迹长度是（）A．B．C．D．π32π3【知识点】运动轨迹；轴对称特性；涉及30角度的直角三角形．菁优网版权所有【板块】直角三角形与等腰三角形；平移变换、对称与旋转；涉及圆的计算；计算水平；逻辑推理．【结果】C【考察】延伸BC至点E，令EC＝BC，相连AE、AB，因为AC是BE，∠ACB＝90，∠BAC＝30，的垂直平分线AE＝AB＝2BC＝4，从而可知∠EAC＝∠BAC＝30，因此∠BAE＝60，由于点B和点B是对称于直线AD的两点，可得AB＝AB＝4，若点D与点C处于同一位置，那么点B也与点E重叠，由此可见点B的轨迹是以点A为圆心、，为半径4的圆弧，也就是说，利用弧长计算公式得出，最终解得．BEl【计算】解：将BC延伸至点E，令EC＝BC，将AE、AB，相连∠ACB＝90，∠BAC＝30，BC＝2，AC的垂直平分线BE，AE＝AB＝2BC＝4，∠EAC＝∠BAC＝30，∠BAE＝2∠BAC＝60，点B和点B在直线AD的两侧且呈对称分布，直线AD是BB，的垂直平分线AB＝AB＝4，点B沿着一个圆周移动，该圆的圆心位于A，半径长度为4，若点D和点C处于同一位置，，那么点B与点E也将重叠，B点的移动轨迹是圆心在A、半径长度为4的圆周上的一段弧线，，也就是，BE，lB点所经过的轨迹长度为，4π因此，正确选项为：C．【解析】本题旨在测试关于直角三角形中3030°角对应的直角边长为斜边半数、轴对称特性、弧长计算公式、以及轨迹问题的处理技巧等相关知识点，能否准确地添加辅助线是突破本题的核心．7．（2025玉林模考）见图，在一个边长为2的正方形ABCD内，点M为边AB上的一个可变点，在AB的延伸方向上取一点N，，令点M与点N相对于点B成中心对称，若连接CM，DN并交于点E．，则当动点M由点A移向点B的过程中，点E所经过的轨迹长度是（）A．B．C．D．2332【考察知识点】运动轨迹；中心对称变换；正方形相关特性．菁优网版权所有【板块】几何形状；计算水平．【结果为】B【探讨】选取点A作为点B的对称点N，将DN与AC相连，交点记为E，由点E引出PQAB，在点Q，处与CD相交于点P，连接BE，，由此可知EB即为点E的轨迹，首先利用正方形的特性可得PQ＝AD＝2，令BQ＝x，为变量，则有AQ＝2x，从而推导出PE＝x，AN＝4，利用平行关系可知△CED△AEN，随后借助相似三角形的结论计算出x，最后运用勾股定理即可得出．【分析】设：取点A在点B的对称位置标记为N，将DN与AC相连，交点记作E，由点E起作PQAB垂直于点Q，，与CD相交于P，通过连接BE，可知EB即为点E所经过的路径，ABCD四边形是一个正方形，CD∥AB，∠CAB＝45，AD＝AB＝CD＝2．PQAB，PQCD，PQ＝AD＝2，已知BQ＝x，，由此可得AQ＝2x，∠CAB＝45，PQAB，EQ＝AQ＝2x，PE＝PQEQ＝2（2x）＝x，点M，N相对于点B对称，BM＝BN，若点M位于起始点A的位置时，BM＝BN＝2，AN＝4，再次CD∥AB，△CED△AEN，，CD，解得，24，EQ=2-x=EB=E因此，正确选项为：B．【解析】此题旨在测试对勾股定理，以及相似三角形等相关知识的掌握情况，能否精准地添加辅助线是突破本题的核心．8．（2025南明区第二次模拟考）为了维持室内空气清新，人们通常采取开窗通风的措施，如图所示为平开窗开启后的实物状态，图为平开窗开启时的示意图，在这种情况下，窗扇已打开84，窗户底边的OA长度为60，那么该窗户底边端点A所经过的路径长度（即弧长）为（）A．B．C．28D．14845【测评要点】运动轨迹；直角三角形求解的实际运用；弧长求值．菁优网版权所有【模块】圆相关计算；计算技巧．【结果】C【探讨】通过应用弧长计算公式即可得出结论．【计算】求：该窗户底部的端点A所经过区域的路径长度（弧长）为：2×60＝28．84因此，正确选项为：C．【解析】该题旨在测试对弧长计算方法的掌握程度，突破本题的核心在于熟练运用弧长计算公式．9．（2025福田区第二次模拟考）观察图示，在长方形ABCD内，线段AB以点B为中心按顺时针方向旋转至EB处，其中点A经过旋转后E恰好位于CD边的中心点，已知CE＝2，，求点A移动到点E所经过的弧长为（）A．B．C．D．23π4【知识点】轨迹问题；旋转特性；矩形特征．菁优网版权所有【模块】圆相关计算问题；计算技巧．【结果为】B【探讨】根据已知条件可直接推导出CECD，由此可以得出∠CBE＝30，因此∠ABE＝60，随后通过弧长计算公式求出结果．=1【分析】求解：在长方形ABCD内，∠ABC＝∠C＝90，AB＝CD，根据旋转变换的特性可以推导出AB＝BE，BE＝CD，在CD中，点E位于，的中心位置，并且满足CE＝2，CD＝AB＝BE＝4，CE，=于Rt△BCE之内，sin，∠CBE=∠CBE＝30，∠ABE＝60，l；AE因此，正确选项为：B．【解析】该题目重点考察了关于轨迹、旋转特性、矩形定义、以及弧长计算公式等知识点，能否高效地运用这些基础理论是顺利完成本题的核心．10．（2025鼓楼区一模）观察图，在△ABC内，∠B＝60，AC＝6，⊙O代表△ABC的圆外接圆，D是在圆周上移动的点，由A引出一条与OD垂直的直线，且交点为E．当D由A位置移动至C位置时，点E所扫过的轨迹长度是（）ACACA．B．C．D．23π3【测试点】运动轨迹；旋转特性；直角三角形求解；径垂定理；圆周角相关定理；外接圆及外心；弧长求值．菁优网版权所有【模块】直角三角形与等腰三角形；平移变换、对称与旋转；涉及圆的计算；直观几何；逻辑推理．【正确选项为】B【探讨】参照图：连结OA，OC，根据圆周角定理可知∠AOC＝2∠B＝120，因此从A移至C的旋转角度为120；设AC的中心点为F，连结OF，利用垂径定理可得，，随后通过计算直角三角形得出，设AO的中点为G，连结EG，从而推导出点E的运动轨迹，最终利用弧长计算公式得出结果．OF⊥AC，AF=【分析】计算：已知△ABC里，∠B＝60，AC＝6，⊙O作为△ABC的圆外接圆，见图，将OA，OC，相连∠AOC＝2∠B＝120，当点D由A向C方向移动时，，由A变为C，此时产生的旋转角度是120，AC在AC上取中点F，，并将其与OF，相连，，OF⊥AC，于Rt△AOF之内，sin60，AFAOAO，=在AO上取中点G，，并将其与EG，相连AEDO，∠AEO＝90，点E的运动路径是以G为圆心、，为半径的圆弧，；因为点D发生了120，的旋转，所以点E随之旋转了240，。3点E所行经的轨迹长度为2．=240°360°因此，正确选项为：B．【解析】该题重点测试了关于轨迹，垂径定理，圆周角定理，三角形外心及外接圆，弧长求值，旋转变换特性，直角三角形的求解，能否熟练综合运用上述知识点是突破本题的核心．11．（2025博兴县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90，∠BAC＝40，AC＝6．以AC的中点O为中心，将Rt△ABC沿逆时针方向进行旋转，点A，B，C旋转后的对应点记作点D，E，F．若点E与点C首次发生重合，则点A所经过的轨迹长度为（）A．B．C．2D．843【测评点】运动轨迹；旋转特性．菁优网版权所有【模块】平移变换、旋转及对称；计算能力．【正确选项为】A【通过考察】关联BO，基于直角三角形中斜边中线等于斜边一半的特性，推导出AO＝BO，从而得出∠ABO＝∠BAC＝40，由此可见∠BOC＝80，可以判定点E与点C初次相遇之际，的旋转角度为80，结合旋转规律可知，点A所经过的轨迹长度为，通过应用弧长计算公式即可求得．AO=DO=1【分析】求解：见图，接通BO，在Rt△ABC里，，点O恰好位于AC的正中央，AC＝6，AO＝BO，∠BAC＝40，∠ABO＝∠BAC＝40，∠BOC＝∠ABO+∠BAC＝80，当E点与C点首次相遇时，，的旋转角度是80，∠AOD＝80，根据旋转的特性可知，AO=DO=A点所经过的轨迹长度为，ADA点所经过的轨迹长度为：，80×3π因此，正确选项为：A．【解析】此题重点考察了关于弧长的计算公式，直角三角形的相关特性，以及旋转变换的规律，能否灵活运用上述知识点是解题的核心．12．（2025萨尔图区模拟）观察图，在△ABC内，∠ACB＝90，AC＝BC，AB＝4cm，CD作为中线，点E、F与点D同步起步，速度一致地沿着DC、DB方向进行位移，直到点E抵达点C为止，停止运动，若直线AE与CF、BC的交点为G、H，那么在点E、F的运动期间，点G所经过的路径总长是（）A．2B．C．2D．2【测评点】运动轨迹；勾股定理．菁优网版权所有【结果】D【通过分析】，由△ADE△CDF，可得出∠DAE＝∠DCF，，由于∠AED＝∠CEG，，进而推导出∠ADE＝∠CGE＝90，，随后得出A、C、G、D四个点共圆，，由此可知点G的轨迹是一段弧CD，，最后通过弧长计算公式求得结果．【计算】求解：见图，CA＝CB，∠ACB＝90，AD＝DB，CDAB，∠ADE＝∠CDF＝90，CD＝AD＝DB，在△ADE与△CDF之内，AD=CD∠ADE=∠CDF△ADE△CDF（SAS），∠DAE＝∠DCF，∠AED＝∠CEG，∠ADE＝∠CGE＝90，A、C、G、D四个点在同一个圆上，点G所经过的路径是一段弧CD，AB＝4，ABAC，=AC＝2，2OA＝OC，=DA＝DC，OA＝OC，DOAC，∠DOC＝90，G点所经过的路径长度为．90π×因此，正确选项为：D．【解析】此题旨在测试对等腰直角三角形特性的掌握、轨迹问题、勾股定理的应用、全等三角形的判定准则与性质，四点共圆等相关知识点，突破本题的核心在于准确分析点G的运动轨迹，该类题目是中考中的高频考点．第二部分．填空题（总计8道小题）13．（2025深圳模考）见图，AB中⊙O为直径，M、N为（且与A、B）上的两点不同，C为其中一个动态点，∠ACB的平分线与⊙O相交于D，∠BAC而CD的平分线与E．相交。若点C由M移至N，此时，那么C、E两点所经过的轨迹长度之比为．ABMN2【测评点】运动轨迹；圆周角性质．菁优网版权所有【模块】逻辑推演填空；圆的定义与特性；计算水平；推导能力．【结果】．2【探讨】连结EB，假设OA＝r，构成等腰直角三角形ADB，AD＝DB，∠ADB＝90，由此可知点E沿着以D为圆心、DA为半径的圆弧移动，其行迹为，而点C的行迹则是，根据已知条件∠MON＝2∠GDF，令∠GDF＝，则有∠MON＝2，通过应用弧长计算公式即可得出结论．GFMN【计算】求：见图，接通EB，令OA＝r，AB代表⊙O的直径，其值为，∠ACB＝90，∠ACB的角平分线与⊙O相交于点D，∠BAC，而D，∠BAC的平分线与CD相交于点E．E构成了△ACB心底的，∠AEB＝135，绘制一个等腰直角三角形ADB，AD＝DB，∠ADB＝90，由此可知，点E沿着一个圆心为D、半径为DA的圆弧移动，其所经过的路径为，GFC点的行进路径为，，根据题目条件∠MON＝2∠GDF，MN已知∠GDF＝，，由此可得∠MON＝2，MN弧的弧长为：，GF弧的弧长为．=因此，结果是：．2【解析】此题旨在测试对轨迹，圆周角定理，弧长计算公式的理解，突破本题的核心在于熟练运用圆的相关特性．14．（2025浙江模拟）△ABC中，∠C＝90，∠A＝30，AB＝4cm，以点B为中心，将△ABC沿顺时针方向旋转到△ABC处，如图所示，A、B、C'已知三点共线，求点A移动轨迹的长度为cm．8π【测评点】运动轨迹；旋转特性；涉及30度角的直角三角形．菁优网版权所有【模块】直角三角形及等腰三角形；平移变换、对称与旋转；涉及圆的计算；计算功底；逻辑推理．【结果】cm．8π【探讨】通过∠C＝90，∠A＝30，计算出∠ABC＝60，基于旋转可得AB＝AB＝4cm，∠ABC＝∠ABC＝60，因此∠ABA＝120，利用弧长计算公式得出点A的运动轨迹cm，从而得出最终结果．=【分析】计算：∠C＝90，∠A＝30，∠ABC＝90∠A＝60，通过旋转可得AB＝AB＝4cm，∠ABC＝∠ABC＝60，A、B、C'三点共线，∠ABA＝180∠ABC＝120，A点的运动轨迹是一段弧，，该弧的半径长度为4cm，对应的圆心角大小为120A点移动的轨迹（cm），=因此，结果是：cm．8π【解析】本题旨在测试对直角三角形中锐角互补特性、旋转变换规律、以及弧长计算公式等相关内容的掌握程度，得出AB＝AB＝4cm与∠ABA＝120是突破本题的核心．15．（2025华龙区校级第一次模拟考试）观察图，在等腰△ABC里，∠ACB＝120，AC＝BC＝4，把△ABC以点B为中心顺时针转动到△ABC，位置，令BCAB，向外延伸AC与AB相交于D，处A的移动轨迹是，请计算图中阴影区域的面积．AA'8π-6【测评点】运动轨迹；旋转特性；等腰三角形特点；包含30度角的直角三角形．菁优网版权所有【模块】三角形；圆的相关定义与特性．【结果】．8π-6【探讨】通过用扇形ABA的面积扣除Rt△ABD的面积来得出结果．【分析】计算：∠ACB＝120，AC＝BC＝4，∠BAC＝∠ABC＝30，根据旋转的特性可以得出：∠ABC'＝∠ABC＝30，BCAB，是指∠ABC＝90，∠ABA＝∠ABC∠ABC＝60∠ADB＝180∠ABA∠BAC＝90，∠CBD＝∠ABA∠ABC＝30，于Rt△BCD之内，∠CBD＝30，BC＝4．CD＝2，．AD＝AC+CD＝6，BD=2，AB=．S因此，正确选项是：．8π-6【解析】此题涉及不规则形状的面积计算，旋转特性，包含30角的直角三角形，以及勾股定理等相关内容，能否熟练运用割补法计算面积是突破本题的核心．16．（2025二道区校级模考）观察图，AB，已知⊙O的一条弦，∠AOB＝90．长度为2，现将△OAB以点A为中心向逆时针方向旋转，。若点O在旋转过程中，其对应点O'首次接触到⊙O，则求点B所经过的弧长．（，计算结果请保留）2【测评点】运动轨迹；旋转特性；圆心角、弧长、与弦的关联．菁优网版权所有【模块】平移变换、旋转及对称；圆相关计算；计算功底；逻辑推理．【结果】．2探讨【在点O初次触及⊙O之际】，，△OAO'构成等边三角形的情况，。其旋转角度＝60（（以弧度表示））．为：点B以A为圆心旋转所形成的轨迹为一段圆弧，，该圆弧的半径等于AB的长度，，并利用弧长计算公式r．进行分析。π【分析】计算：经旋转后点O位于⊙O之中，因此OO＝2．在旋转之前OA＝2，在旋转之后O'A＝OA＝2，△OAO是一个等边三角形，其旋转角度为．，旋转中心是，θ=60°=于△OAB之内，∠AOB＝90，OA＝OB＝2，根据勾股定理可知：．AB=将点B以点A为中心旋转，弧度，其运动轨迹为圆弧，，半径大小为AB＝2，，对应的弧长数值为：，弧长＝AB＝2.．π322因此，正确选项是：．2【解析】此题旨在测试对旋转特性的理解、弧长的求取以及几何图形的变动，突破本题的核心在于能否熟练地运用相关知识点．17．（2025淮安区校级二模）如图，所示，一块长AB＝4cm、、宽BC＝3cm的矩形木板在桌面上沿顺时针方向滚动且不打滑，。观察木板顶点A的运动轨迹AA1A2．，在，第二次翻滚过程中，由于被桌面上的一个小木块阻挡，，导致木板边缘A2E与桌面之间形成了30度的夹角，。若点A移动至点A2的位置，其所经过的路径总长度为3.5cm．【知识点】轨迹方程；矩形特征．菁优网版权所有【板块】正方形、菱形及矩形；涉及圆的计算；计算技巧；逻辑推理．【结果】3.5cm．【探讨】点A在B作为旋转中心的情况下，按顺时针方向旋转90至A1，，此时长方形对角线的长度是AB，该过程中A点所经过的轨迹为AA1弧，。随后，点A1再次以E为中心，顺时针旋转90至A2，，此时A点移动的路径为A1A2，。最终，点所经过的总路程等于这两段弧线的长度之和．3【计算】求解：首轮操作为点A将B作为旋转中心，向顺时针方向旋转90从而获得A1，矩形的对角线AB长度是，3A点所经过的轨迹是AA1弧，；AA第二次操作是将点A1绕着E点，按顺时针方向旋转90，从而产生A2，EA1的长度为3cm，A2，它与E桌面之间形成了30度的夹角，∠A1EA2＝60，A点本次所经过的轨迹为弧，A1A2＝2×3，A1A2×A点所经过的轨迹是，5π因此，结果是：3.5cm．【解析】此题旨在测试对轨迹，弧长求法以及矩形特性的掌握程度，解题的核心在于准确确定旋转弧的圆心位置、半径大小以及圆心角的具体数值．18．（2025扬州三模）见图，已知△ABC中，∠ACB＝90，AC＝8，BC＝6，点M在CB上随机移动，通过M点MNAM并与AB相交于N，点M由C点移至B点时，点N所走过的轨迹长度为．20【知识点】运动轨迹；勾股定理．菁优网版权所有【模块】计算类题目．【结果】．20【探讨】经由点N绘制NJBC至J，令BN＝y，CM＝x，建立一元二次方程，通过判别式计算得出y的极值，从而得出结果．【计算】求解：经点N绘制NJBC垂直于J，见下图：假设BN＝y，CM＝x，∠ACB＝90，AC＝8，BC＝6，，AB=NJ∥AC，△BNJ△BAC，，BN，y，BJ=MJ＝BCCMBJ＝6xy，-∠C＝∠AMN＝∠NJM＝90，∠AMC+∠NMJ＝90，∠NMJ+∠MNJ＝90，∠AMC＝∠MNJ，△ACM△MJN，，AC，8，x△≥0，，(9y2820y+900≥0，（9y10）（y90）≥0，或者y≥90（90＞10＝AB，与题目要求不符，予以排除），y≤，y≤BN所能达到的最大数值是，10在点M由点C移至点B的期间，点N所行经的轨迹长度与BN之比的最大值为2倍，即，N点所行经的轨迹长度为，20因此，得出的结论是：．20【解析】该题涉及轨迹问题，相似三角形的判定方法与相关性质，以及一元二次方程判别式的应用等内容．19．（2025金华模考）见图，在Rt△ABC内，AB＝8，∠B＝60，点D，E分别为AB，AC边的中点，点F位于BC的延长线上，将EF，∠F＝60．相连P点D起步，沿着DBF移动至点F，在EF边上选取一点Q，并连接PQ，满足∠APQ＝∠B，那么当点P在移动期间，点Q所经过的轨迹长度是．25【考察重点】运动轨迹；涉及30度角的直角三角形；关于三角形中位线的定理．菁优网版权所有【模块】直角三角形与等腰三角形；逻辑推理．【正确选项为】．25【探讨】计算Rt△ABC得出BC，AC的长度，将DE，的中点相连，利用中位线定理可知，∠ADE＝∠B＝60，计算Rt△ECF得出CF，EF的长度，针对点P在BD上滑动以及点P在BF上偏移这两种场景，分别分析，若点P在BD上移动，则点Q由E移至F，，其轨迹长度为EF＝4，若点P在BF上偏移，假设BP＝x，通过证明△ABP△PFQ，得出，从而计算出FQ的极值，可知点Q首先从F移向，，随后折返至F，，由此计算出整体路径长度即可．CE=12【计算】求解：于Rt△ABC之内，AB＝8，∠B＝60，BC＝ABcos60＝4，，AC=AB⋅sin60°=4接通DE，D，E点位于AB，AC的边上，且恰好是其中点，DE∥BC，，，DE=1∠ADE＝∠B＝60，于Rt△ECF之内，，∠F＝60，CE=2CF＝CE÷tan60＝2，EF＝CE÷sin60＝4；若点P在BD线段上滑动时，∠APQ＝∠B，PQ∥BC，若点P由点D移至点B，此时点Q由点E移向点F，，其轨迹长度为EF＝4；若点P沿BF运行，则，的情况如，所示BC＝4，CF＝2，BF＝6，已知BP＝x，，则PF＝6x，∠APQ＝∠B＝60，∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠QPF，∠QPF＝∠PAB，再次∠B＝∠F，△ABP△PFQ，，FQ，FQ=此时，FQ所能达到的最大值为：，x=-3若点P由点B移向点F，则，点Q首先由点F移至，处，随后又回到了点F，FQ=Q点的路径总长度是：，4+2×因此，结论是：．25【解析】此题旨在测试关于直角三角形求解，二次函数的极值计算，中位线相关定理，相似三角形的判定方法及其特性，突破本题的核心在于找准点Q的轨迹方程．20．（2025平桥区三模）观察图，在菱形ABCD里，，∠ABC＝120，将菱形ABCD以顶点A为中心向逆时针方向旋转30形成菱形ABCD，点C所经过的路径是弧CC'，求出图中阴影区域的面积．（计算结果保留）AB=23【测试要点】几何轨迹；旋转变换特性；等边三角形的判定及特征；菱形相关性质；圆周角相关定理；扇形面积求法．菁优网版权所有【模块】正方形、菱形与矩形；计算技巧．【正确选项】请参阅试题解析部分探讨【与】的关联，已知BD，与AC相交于点O，。利用菱形的相关特性，计算出BO，AC，和S△ABC，的值。随后，基于旋转变换的特点推导出，。最后，结合S中阴影部分的＝S扇形区域，得出最终结果CACS△ABC。S【分析】证明：该四边形ABCD符合菱形的定义，AB＝BC＝2，AD∥BC，3∠BAD+∠ABC＝180，∠ABC＝120，∠BAD＝60，AC作为菱形ABCD的一条对角线，∠BAC＝∠DAC＝30，将BD，与AC相连，其交点为O，，由此可得BDAC，，BO=根据勾股定理可知，，AO=AC＝2AO＝2×3＝6，，S通过旋转可得出，△ABC△ABC，，AS阴影部分＝S扇形区域CACS△ABC．=因此，正确选项是：．3π-3【解析】此题旨在测试对旋转特性的理解，菱形相关性质的运用，扇形面积的计算公式，勾股定理的应用，解题的核心在于深刻理解旋转变换仅改变图形所在位置，而其形状与尺寸保持不变．第三．大题：解答题（，总计5道小题）21．（2025南山区校级三模）观察图1，中的电动门，在水平下降过程中，可将其简化为图2中的矩形ABCD，已知AB＝3m，AD＝1m，此时该门与出入口OM宽度相同，离地高度为AO＝0.2m；若将其向上提升，则形状转变为平行四边形ABCD，见图3，此时，AB与水平线的夹角大小为60．（1）当电动门向上开启时，计算点C的运动轨迹长度；（2）如图4所示，，当一辆宽度为1.7m，、高度为1.6m的车辆从该入口驶入时，，车辆与BC之间必须维持0.4m的距离以确保安全。，在这种情况下，，该车是否能够顺利通过？？如果可以，，请给出具体的计算过程；；如果不可以，，请阐述具体原因。．依据（提供的资料：，≈3.14，各项数值均保留至0.1）3【知识点】轨迹问题；直角三角形实际应用（坡度与坡角）；如何判定平行四边形；如何判定矩形．菁优网版权所有【模块】平行四边形与多边形；直角三角形的求解及其实际应用．【结果为】（1）3.1m；（2），具体推导过程请参考，的详细解析．通过对【进行分析，将】（1）与CD，相连，可以推断出点C是由点C以点D为中心旋转60而产生的，，随后利用弧长计算公式求解即可；在OM中选取MK＝0.4m，KF＝1.7m，，通过作FGOM使其经过点F，，并分别与AB、AB相交于点H，和点G，。通过证明四边形AHFO为矩形，可以得到AH＝OF＝0.9m，∠AHG＝90，HF＝OA＝0.2m，，进而利用直角三角形的计算得出GH，，最后结合GH+HF＝1.559+0.2＝1.759m＞1.6m，完成求解．【计算】求解：（1）见图，接通CD，相交AB'在E，由题意可知，四边形ADCB为矩形，，且四边形AB'C'D为平行四边形，CD＝AB＝AB'＝DC'＝3，CD∥AB，C'D∥AB'，∠B'EC＝∠B'AB＝∠C'DC＝60，将点C以点D为中心旋转60后，所得的点为C'，即，C点所行经的轨迹长度是；60×π×3（2）在OM中选取MK＝0.4m，KF＝1.7m，，使其与FGOM在F，处相交，并分别与AB、AB'交于点H，和点G，车辆在与BC维持安全间隔0.4m的情况下，车辆的宽度是1.7m，OF＝31.70.4＝0.9m，ABMOM，AOOM，矩形，为四边形AHFOAH＝OF＝0.9m，∠AHG＝90，HF＝OA＝0.2m，，GH=0.9×tan60°=0.9×GH+HF＝1.559+0.2≈1.759m＞1.6m，车辆的高度是1.6m，车辆能够安全地行驶过．【解析】此题旨在测试对矩形判定与性质的掌握，以及直角三角形解法在实际中的运用，锐角三角函数值，以及弧长公式的计算等相关内容，通过绘制辅助线来构建直角三角形是突破本题的核心．22．（2025石家庄模考）见图1筒车作为中国古代的一种水力灌溉设备，其圆周上等距安装有多个接水桶．如图所示2，该筒车⊙O在逆时针方向上旋转，与水面的交点分别为A、B，且已知，筒车的中心轴O到水平水面的垂直距离OC数值为2m．AB=4计算筒车⊙O的半径；（1）（2）盛水桶P自勉强浮出水面起，旋转至距离水面最高的位置时，计算其移动的轨迹长度．【知识点】轨迹问题；垂径定理的实际运用．菁优网版权所有【模块】圆的基本定义与特性；逻辑推演能力．【正确选项】请参阅试题解析部分探讨【与】（1）的关联OA，通过运用勾股定理即可得出结论；通过锐角三角函数计算出∠COA＝60，，随后运用弧长计算公式即可得出结果．【分析】计算：（1）见图，接通OA，，AB=4，AC=2于Rt△ACO之内，OC＝2，AO2＝OC2+AC2，，AO=请回答：筒车⊙O的半径数值为4m；根据（1）可以推导出，（2）tan∠COA=∠COA＝60，盛水桶P自恰好浮出水面起，运动至距离水面最远的高点时，，其所经过的轨迹长度为．180-60【解析】此题旨在测试对轨迹，以及垂径定理之运用的理解，突破本题的核心在于熟练运用垂径定理．23．（2025双台子区校级二模）如图1所示，嘉嘉在利用桌上书架．在观察中注意到，若书架与桌面之间的夹角为∠AOB＝150，则，顶端边缘A距离桌面的垂直高度AC为11cm，，此时的使用体验并不理想．于是嘉嘉尝试改变书架与桌面的夹角进行研究，最终得出，当夹角变为∠AOB＝108且（点A与A相对应时），，使用舒适度得到了提升．（1）当书架进行旋转时，计算顶部边缘A点在A方向上移动的轨迹长度．（2）观察图2所示的平面几何图形，，假设嘉嘉的视点位于E位置．。当她的目光聚焦在书本上一个距离桌面高度为20cm的特定点F时，，其视线向下倾斜的俯角大小为18，，且眼睛距离桌面的垂直高度为EB＝25cm，。请计算此时眼睛到F点之间的距离，，也就是线段EF的长度．（，计算结果请保留至1cm；，相关参考数据见：sin18≈0.31，cos18≈0.95，tan18≈0.32）。【测评点】运动轨迹；直角三角形求解在仰角与俯角问题中的实际运用．菁优网版权所有【模块】直角三角形与等腰三角形；直观几何；实践应用．【结果】（1）；77π（2）EF的尺寸大约为16cm．．【通过】（1）基于平角的定义先行计算∠AOC＝30，，随后在Rt△ACO里，借助锐角三角函数定义确定AO的长度，，以此推导出AO的长度，，最后应用弧长计算公式得出结果；通过点F引出FMBC，FNBE，使其与点M、N，相接，由此可知四边形MBNF为一个矩形，∠FNE＝90，。在Rt△FEN内，通过对直角三角形进行计算即可求得结果．【分析】计算：（1）∠AOB＝150，∠AOC＝180∠AOB＝30，于Rt△ACO之内，AC＝11cm，AO＝2AC＝22cm，根据题目条件可知：AO＝AO＝22cm，∠AOB＝108，∠AOA＝150∠AOB＝42，从边缘A点至A所经过的路径长度为；42×π×22通过点F引出FMBC，FNBE，使其与点M、N，相交，由此可得四边形MBNF为矩形，∠FNE＝90，BN＝FM＝20cm，EN＝BEBN＝5cm，视线向下观察的俯角是18，∠EFN＝18，EF16（cm），=：EF的近似长度为16cm．．【解析】此题重点测试了关于轨迹，以及解直角三角形在仰角与俯角问题中的实际运用，要求能够灵活运用解直角三角形的方法、30而对直角三角形特性的深入理解则是突破本题的核心．24．（2024鲁山县第三次模拟考）桔槔在民间常被称作吊杆或称杆，见图1，为我国古代的一种农业工具，关于桔槔的记载最早出现在（《墨子·备城门》中），该设备是基于杠杆原理设计的取水装置．如图2所示为桔槔的结构图，OM为与水平地面垂直的支撑杆，AB为杠杆部分，其长度为AB＝5.4米，OA：OB＝2：1．假设点A处于最高位置，∠AOM＝127；若点A由最高点开始沿逆时针方向转动54.5直至降至最低点A1．（计算结果保留至0.1m；相关参考数值：sin37≈0.6，sin17.5≈0.3，tan37≈0.8）计算该时刻水桶B运行轨迹的长度；请计算此时水桶B被提升的高度．【测评点】运动轨迹；直角三角形求解的实际运用．菁优网版权所有【板块】直角三角形的求解与实际应用；计算能力．【正确选项】请参阅详细解析【探讨】（1）依据水桶B移动的轨迹为圆心角54.5度，且半径是1.8米的弧线，通过公式计算得出；（2）经由O构建EFOM，通过B建立BCEF在C，经由B1构造B1DEF在D，处于Rt△OBC之内且在Rt△OB1D之中，只需分别运用三角函数计算出BC与B1D的长度即可．【分析】计算：（1）AB＝5.4米，OA：OB＝2：1，OB＝1.8米，水桶B运行的轨迹是一段弧线，，其圆心角大小为54.5度，，且半径长度为1.8米l1.7（米）；=（2）经由O创建EFOM，经由B创建BCEF在C，经由B1创建B1DEF在D，∠AOM＝127，∠EOM＝90，∠AOE＝37，∠BOC＝∠AOE＝37，∠B1OD＝∠A1OE＝17.5，OB1＝OB＝1.8（米），于Rt△OBC内，BC＝sin∠OCB×OB＝sin37×OB≈0.6×1.8＝1.08（米），于Rt△OB1D内，B1D＝sin17.5×OB1≈0.3×1.8＝0.54（米），BC+B1D＝1.08+0.54≈1.6（米），此时水桶B向上提升的距离是1.6米．【解析】此题旨在测试对直角三角形实际应用的掌握，以及弧长计算公式等相关内容，准确理解题干要求，并通过建立直角三角形来突破解题难点．25．（2024遂平县一模）电动切割机凭借其出色的、精准度、高效性及便捷操作，已成为当代生产中至关重要的设备，图1展示了该电动切割机的几何简化模型，ON其中包含固定底座，切割圆盘⊙A且圆盘OM与摆臂在点P，处相切2图所示为切割机运行时的状态模型，此时切割圆盘⊙B与ON接触相切．设定切割圆盘的半径为30cm，且转轴OA的长度为60cm，∠MON＝90（在工作过程中，暂不考虑切割片的磨损情况）．计算图2内点B与OM之间的距离；计算砂轮在作业前后的，圆心A所经过的轨迹总长．（2）【测试要点】运动轨迹；勾股定理的实际运用；垂径定理；切线相关性质．菁优网版权所有【模块】圆相关计算；直角三角形的求解及其实际应用；计算能力；逻辑推理能力．【结果为】（1）点B与OM之间的长度是30cm；3（2）圆心A所经过的路径长度是10cm．【探讨】（1）经由点B绘制BQON，BCOM．从而AP＝BQ＝30cm，OA＝OB＝60cm．利用勾股定理可算出OQ的长度，依据∠BCO＝∠BQO＝∠MON＝90，可知四边形BCOQ是矩形．因此BC＝OQ＝30cm；3（2）于Rt△OQB内，，从而得出∠BOQ＝30，，以此类推∠AOP＝∠BOO＝30．则有∠AOB＝9060＝30．，因此圆心A所经过的路径长度为．sin∠BOQ=BQOB【计算】求：（1）经点B引BQON，BCOM，垂线，交点分别为Q，C．AP＝BQ＝30cm，OA＝OB＝60cm．根据勾股定理可知OQ30cm，=OB∠BCO＝∠BQO＝∠MON＝90，矩形．即为四边形BCOQBC＝OQ＝30cm，3B与OM之间的距离长度是30cm；3（2）处于Rt△OQB之内，，sin∠BOQ=∠BOQ＝30，以此类推可得∠AOP＝∠BOO＝30．∠AOB＝9060＝30．圆心A所经过的路径长度为．AB30π×60计算：圆心的A运动路径长度，结果为10cm．【解析】此题旨在测试对轨迹、勾股定理实践、垂径定理、以及切线特性的理解，突破口在于能否熟练且灵活地综合运用上述知识点．考点卡片1．全等三角形的性质及其判定方法（1）利用全等三角形的判定方法，可以有效地证明相应的边长与角度相等，这是应用其性质的关键手段．在进行三角形全等判定过程中，核心在于挑选最合适的判定准则．（2）在使用全等三角形判定定理的过程中，应留意三角形所共用的边与角，若情况需要，可通过绘制合理的辅助线来构建三角形．2．关于等腰三角形的特性（1）关于等腰三角形的定义若一个三角形拥有两条长度相等的边，则称其为等腰三角形．（2）关于等腰三角形的特性等腰三角形的两个腰长度相同在等腰三角形中，两个底角的大小是相等的．【，这在几何学中被简称为：等边对等角】在等腰三角形中，顶角的角平分线、底边的中线、以及底边上的高彼此重叠．【呈现出三线合一的状态】（3）在等腰；底边上的高；底边上的中线；顶角平分线．在上述四个要素中，若随机选取其中两个作为已知条件，则能推导出其余两个要素作为结论．3．等边三角形的特征及其判定方法（1）等边三角形在几何图形中具有极高的特殊性，其独特的内角特征为相关的角度运算提供了基础，其边与角的特性使得证明、线段或角度相等变得更加简便．由于等边三角形也属于特殊的等腰三角形，因此它同样拥有“三线合一”的特点，在处理相关题目时，应灵活挖掘图形中隐藏的已知条件并广泛运用．（2）等边三角形具备如下特点：：三条边长度均相同、拥有三根对称轴、通过作一条边上的高，能将原三角形分割成包含30角的直角三角形、若将三条边的中点相连，则可将该三角形划分为四个完全相同的较小等边三角形等．（3）判定等边三角形的难度最高，实际操作中应重点分析已知条件的特性，从而选择合适的判定途径，通常而言，若基于普通三角形，可利用三边均等来证明、或利用三个内角均等来证明；若已知是等腰三角形，则应尝试寻找一个60的角进行判定．一个内角为30度的直角三角形4．（1）关于30度角直角三角形的特性：在直角三角形里，，30角面对的直角边长度为斜边长的一半．（2）该结论基于等边三角形的特性得出，展现了直角三角形的特点，在处理直角三角形的计算时，通常利用它来确定边长或角度的大小．（3）请留意：此特性仅适用于具有特定角度的直角三角形（30）这一专项定理，对于普通直角三角形或非直角三角形均不适用；在实际运用，时，需留意准确识别30角对应的直角边，，并明确斜边．5．毕达哥拉斯定理（1）勾股定理：对于所有直角三角形而言，其两条直角边的平方和始终等于斜边的平方．已知一个直角三角形的两条直角边长度分别为a，b，，其斜边长度为c，，则a2+b2＝c2．（2）若要运用勾股定理，必须确保该三角形为直角三角形．（3）针对勾股定理公式a2+b2＝c2，其变形形式包括：a，b和c．=c2鉴于a2+b2＝c2＞a2，，由此可知c＞a，。依照同样的逻辑c＞b，，也就是说，在直角三角形中，斜边的长度必然超过任何一条直角边．。6．利用勾股定理进行求解（1）面对形状不规则的几何图形时，一般通过绘制辅助线来构造出直角三角形．（2）在利用勾股定理处理现实场景问题时，将其与方程相结合是极为普遍的解题手段，其核心在于将题目条件转化为勾股定理这一数学模型，绘制出精准的几何草图．并深刻把握数形结合这一思想的实践运用．（3）主流的类别：勾股定理在几何领域的使用：通过勾股定理计算几何图形的面积及相关线段的长度．基于勾股定理推导出的结论是：若在直角三角形的三条边上分别向外构建正多边形，那么构建在斜边上的多边形面积，等于构建在两条直角边上的多边形面积之和．利用勾股定理处理实际场景：通过构建勾股定理数学模型来化解现实生活中的具体问题．在数轴中运用勾股定理来呈现无理数：通过勾股定理，将某个无理数转化为一个直角三角形的斜边，且该三角形的两条直角边均为正整数．7．等腰直角三角形（1）若一个直角三角形的两条直角边长度相同，则称其为等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形属于一种特殊的三角形，它不仅拥有通用三角形的特性，同时兼具等腰三角形与直角三角形的各项特点．具体表现为：两个锐角的度数均为45，斜边上的中线、角平分线、以及斜边上的高，这三条线重合，等腰直角三角形中，斜边上的高等于其外接圆半径的长度R，且该高同时也是内切圆的直径（由于等腰直角三角形的两个锐角均是45，且高线与斜边相互垂直，因此分出的两个小三角形同样是等腰直角三角形，由此可得两腰长度相等）；（3）假设等腰直角三角形的内切圆半径为r＝1，，那么其外接圆的半径则为R1，，由此可得r：R＝1：1．=28．关于三角形中位线的定理（1）关于三角形中位线的定理：连接三角形两边中点的线段与第三边，平行，且其长度为第三边的一半．（2）几何表述方式：如图，所示，D、E点均位于AB、AC的正中心DE∥BC，DEBC．=9．如何判定一个四边形是平行四边形（1）若一个四边形的两组对边均互相平行，则该四边形为平行四边形．符号语言：AB∥DC，AD∥BC四边行ABCD为平行四边形．（2）若一个四边形的两组对边均相等，则该四边形为平行四边形．符号语言：AB＝DC，AD＝BC四边行ABCD是平行四边形．（3）若四边形有一组对边既平行又相等，则该四边形为平行四边形．用符号语言表示：AB∥DC，AB＝DC四边形ABCD为平行四边形．（4）若一个四边形的两组对角均分别相等，则该四边形为平行四边形．用符号语言表示：∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB四边形ABCD为平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：OA＝OC，OB＝OD四边行ABCD是平行四边形．10．关于菱形特性的描述（1）关于菱形的特性菱形具备平行四边形的所有特性；菱形的所有四边长度均相同；菱形的两条对角线彼此垂直，，且每条对角线都能将一组对角平分；菱形属于轴对称图形，，其对称轴共有2条，，即两条对角线所在的直线．（2）如何计算菱形面积运用平行四边形面积的计算公式．两条对角线长度）的积的一半即为菱形的面积ab．（a、b=11．关于矩形的特性（1）矩形的含义：若一个平行四边形包含一个直角，则该图形为矩形．（2）关于矩形的特性矩形具备平行四边形的所有性质；矩形：的四个内角均为直角；相邻边：相互垂直；矩形的两条对角线：长度相等；矩形既属于轴对称图形，也属于中心对称图形．，其对称轴共有2条，，具体为连接每组对边中点的直线；，而两条对角线的交点即为其对称中心．（3）基于矩形的特性，能推导出直角三角形的一项关键结论，即直角三角形中，斜边上的中线长度为斜边长的一半．12．如何判定一个四边形是矩形（1）如何判定矩形：矩形的定义：若平行四边形中有一个内角为直角，则该平行四边形即为矩形；若一个四边形中包含三个直角，则该四边形为矩形；若平行四边形的对角线长度相等，则该图形为矩形（；或者，若一个四边形的对角线既互相平分又长度相等，则该四边形是矩形）（2）验证某个四边形为矩形，如果已知条件涉及该四边形的对角线，一般通过证明其两条对角线长度相等来实现．当题目中给出多个直角或垂直关系时，，通常利用具有三个直角的四边形即为矩形的特性来判定矩形．13．关于正方形的特性（1）关于正方形的定义：若一个平行四边形具备一个直角且相邻两边长度相等，则该图形被定义为正方形．（2）关于正方形的特性正方形具有四边等长，且四个内角均为直角；的特点正方形的两条对角线长度一致，，且彼此垂直且平分，，同时每条对角线都能将一组对角平分；正方形同时具备、四边形、、平行四边形、、矩形以及．菱形的所有特性。正方形被两条对角线分割成四个完全相同的等腰直角三角形，，与此同时，，正方形本身属于轴对称图形，，共具备四条对称轴．。14．关于弦与直径的垂直关系定理（1）关于垂径的定理直径若与弦垂直，则该弦被平分，，且弦所对应的两段弧也被平分．（2）关于垂径定理的推论若直径）垂直于且平分非直径的弦（，则该直径1：必将弦，所对的两段弧．平分。可得出结论2：圆心一定在弦的垂直平分线上，，且该平分线将弦对应的两段弧等分．可得出结论：3：垂直平分某条弦的直径，不仅平分该弦所对应的弧，，同时也平分该弦所对的另一侧弧．15．利用垂径定理进行求解，垂径定理在实际中应用极多，：典型的包括由（1）可推导出：：若一条直径）垂直于弦，且平分该弦（，则该直径同时平分弦所对的两段弧．。（2）通过将垂径定理与勾股定理相融合，建立起直角三角形，能够用来求解弦的长度、圆的半径、以及弦心距等相关数值．针对此类题目，通常采用建立方程的手段，这种利用代数手段处理几何问题的“几何代数化”数学思想，是必须熟练掌握的．16．圆心角、弧、弦三者之间的联系（1）定理：在同一个圆或半径相同的两个圆中，大小相同的圆心角所对应的弧长度相等，且对应的弦长也相等．（2）推论：对于同一个圆或半径相等的两个圆，若其圆心角、弧长、弦长在三组量中有一组相等，则其余两组对应的量也均相等．阐述：单条弦所关联的两段弧，分别被定义为优弧，与劣弧，，而在此定理及相关推论里，所提及的弧均统一指代为优弧或劣弧．准确把握并运用圆心角、弧、弦这三者之间的关联这三者的联系可以概括为：：在同一个圆或半径相等的圆中，，圆心角的大小一致，则对应的弧长相等，且对应的弦长也相等，这三者之间满足知一推二的关系，只要其中一项相等，另外两项必然也相等．其本质在于圆具有旋转不变性，也就是说：圆在绕心旋转任何角度后，其形状与初始状态完全重叠．（4）在实际运用该定理处理相关问题之际，可以依照实际情况，选取其中适用的部分．17．关于圆周角的定理（1）关于圆周角的定义：：若一个角的顶点位于圆周上，，且两条边均与圆相交，则该角被称为圆周角。．请留意：圆周角需同时具备以下两项要素：顶点位于圆周之上．两条边均与圆有交点，这两个条件缺之不可．（2）圆周角定理：指在同一个圆或半径相等的两个圆中，由相同弧或相等弧所对的圆周角大小相等，且其度数均为该弧所对圆心角的一半．可推导出：半圆（或者直径）所对应的圆周角为直角，90，而圆周角为直角时，其所对的弦即为直径．（3）在处理圆的相关题目时，经常需要通过绘制辅助线，来构造直径对应的圆周角，这一基础技巧必须熟练掌握．（4）提示：：在将圆周角转换为圆心角时，可以通过绘制半径来构建等腰三角形，．进而借助等腰三角形顶角与底角之间的数量关系完成转换。．若要实现圆周角与圆周角的相互转化，则可将圆心角作为中间桥梁。．该定理生效的前提是这两个角必须是对同一条弧而言的，，在实际应用中务必留意此前提条件，，避免将针对不同弧的圆周角与圆心角误认为是对同一条弧的对应关系。．18．三角形的外心及其外接圆（1）外接圆：若一个圆能同时通过三角形的所有三个顶点，则该圆被定义为这个三角形的外接圆．（2）外心：三角形三条边的垂直平分线共同交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心，被定义为三角形的外心．（3）定义阐述：即阐述三角形的三个顶点均位于圆周上，，或该圆通过三角形的所有顶点．锐角三角形的外心位于三角形内部；直角三角形的外心处于其斜边的中点位置；钝角三角形的外心则