北京市朝阳区2025-2026学年高三年级第二学期质量检测二数学试卷

北京市朝阳区2025-2026学年高三年级第二学期质量检测二数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x∣x>0}A．-1,+∞ B．-1,1 C．0,+∞2．已知复数z=1-2iA．3 B．5 C．3 D．53．在1+xA．6 B．15 C．20 D．354．已知双曲线y2a2-xA．14 B．12 C．2 D5．如图，在△ABC中，点M为线段BC的中点，CN=14CAA．-2 B．-14 C．146．设m∈R，则“sinm=0”是“函数y=cosA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．某圆锥的轴截面（通过轴的平面所得到的截面）是面积为43A．32π B．16π C．12π 8．某电子产品的电池健康度E随循环次数n衰减的函数模型为En=Ae-kn+30，其中A,k（参考数据：ln3≈1.10,A．120 B．150 C．170 D．1809．设函数fx=1x-k，A．0 B．1 C．2 D．310．在四面体OABC中，OA⊥BC，H∈平面ABC且OH①若OB⊥AC，则②若AB=AC，则③若OB=OC，则其中所有正确结论的序号是（）A．③ B．①③ C．①② D．①②③二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．顶点在原点，关于y轴对称，且过点2,1的抛物线的标准方程是．12．已知直线l：y=kx-1与圆C：x-213．已知函数fx=cosπx+π3．若对任意实数x都有f14．《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的数学典籍，书中记载了大数与大数进制，其中十个大数分别记为亿、兆，京、垓、秭、穰、沟、涧、正、载，大数进制中的“上数”进制为重进制（自乘）：“万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也”，即1亿=1万×1万=108，1兆=1亿×1亿=1016，1京=1兆×1兆=1032，以此类推．若按“上数”进制，记第n个大数（第1个为亿，第2个为兆，第3个为京，……，第10个为载）对应的数值为an，则lga15．已知函数fx①曲线y=h②当x∈0,1时，曲线y=③当x∈R时，④设正实数x1,x2,其中正确结论的序号是三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．在△ABC中，bcosC=-2，（1）求b的值；（2）已知△ABC的面积为815，求17．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，且DE⊥平面ABCD（1）求证：AC⊥（2）若AD=2，DE=1，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得多面体ABCDEF唯一确定，求平面条件①：FA=条件②：直线AF与平面ABCD所成角为π3条件③：△AFC的面积为2注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．2026年春季，北方进入花粉过敏高发期．某市疾控中心针对该市青少年春季花粉过敏情况开展专项调查．现从该市青少年中随机抽取2000人作为样本，统计样本中不同过敏程度的人数，得到下表：过敏程度无过敏轻度过敏中度过敏重度过敏极重度过敏城区a22018015050郊区500120807030用频率估计概率．（1）从该市青少年中随机抽取一人，估计此人春季花粉“无过敏”的概率；（2）从该市城区和郊区的青少年中各随机抽取2人，估计抽到的青少年中恰有一人春季花粉“无过敏”的概率；（3）该市疾控中心规定过敏程度评分如下表：过敏程度无过敏轻度过敏中度过敏重度过敏极重度过敏过敏程度评分01234该市疾控中心对该市A、B两个地区同步开展调查，已知A地区与B地区青少年人数之比为3：2，A地区青少年的过敏程度平均评分为1.2，B地区青少年的过敏程度平均评分为0.6．疾控中心对这两个地区的青少年开展专项过敏防护干预，干预后A地区青少年的过敏程度平均评分降低了p%，B地区青少年的过敏程度平均评分不变．记μ为干预后这两个地区青少年的过敏程度平均评分．若干预后μ19．已知椭圆E：x2a2（1）求椭圆E的方程；（2）设O为原点，点Ax1,y1,Bx2,y2分别为椭圆20．已知函数fx（1）当a=1时，求曲线y=f（2）当a=e-1e（3）当a≤2时，判断曲线y=f21．已知无穷数列an的各项均为正整数，无穷数列b①b1②b（1）若a1=2，（2）证明：b5（3）是否存在大于1的正整数n，使得bn

答案解析部分1．【答案】A【知识点】并集及其运算【解析】【解答】解：因为N={x所以M∪N={x【分析】利用已知条件解不等式，从而得出集合N，再利用并集的运算法则，从而得出集合M∪2．【答案】B【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模【解析】【解答】解：因为z=所以z=-22【分析】利用复数的乘除法运算法则，从而得出复数z，再利用复数求模公式，从而得出复数z的模．3．【答案】C【知识点】二项式系数的性质【解析】【解答】解：根据二项式定理，

则(1+x)6的展开式的通项公式为：Tr+1因为展开式中第r+1项的系数就是二项式系数C则当r取0,1,2,3,4,5,6时，C6r分别等于所以C6可知最大系数为20.

故答案为：C.

【分析】利用二项式定理得出展开式的通项，再利用二项式系数的对称性，从而得出各项系数的最大值.4．【答案】C【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：因为双曲线方程为y2a2将直线4x+ay因为一条渐近线与该直线平行，所以它们的斜率相等，则-a=-4a，两边同乘解得a=2（a=-2舍去，因为a>0），

所以a=2.

故答案为：C.

5．【答案】A【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理【解析】【解答】解：∵M为BC中点，∴MC=又因为CN=∴MN=可得k1=-12，k2=14，∴k1k26．【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；含三角函数的复合函数的对称性【解析】【解答】解：∵函数y=cos2x的对称轴满足2m充分性：若sinm=0，

则必要性：取m=π2，是函数对称轴，

则“sinm=0”是“函数y=cos2x的图象关于直线x=m对称”的充分不必要条件7．【答案】D【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用【解析】【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，

由圆锥的轴截面是面积为43得该三角形面积为122r2×32所以，该圆锥的侧面积为πrl=8π.

故答案为：D.

8．【答案】B【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则【解析】【解答】解：由E0=100，得100=A由E100=80，得80=70e-100k+30当循环为n次时电池健康度为60，

可得60=70e所以57n100=37，两边取对数得则n1001.61-1.95=1.10-1.95，

则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加250-100=150.

故答案为：B.

【分析】利用指数式与对数式的互化公式、对数的运算法则得出电池健康度从80衰减到60的循环次数大约需要增加的次数.9．【答案】D【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系；函数极限【解析】【解答】解：（i）当x<0时，fx=1x-k，

代入方程fx=kx因此，当k<0且k≠-1时，

则当x<0时，关于x当k=-1时，则x<0有1个根；

当k=0时，仅存在根x=-1；

当k>0时，1k（ii）当x>0时，f(x)=ln⁡x+1-设gx=lnx-当k=0时，g(x)=lnx+2=0，

若k<0，g'(x)=当x→0+时，g(x)→-∞；当x→+∞当k>0时，x∈0,1k，

则g'(x)>0，

所以g则g(x)在x令h(k)=1-k-当0<k<1时，hk>0，方程当k=1时，hk=0，方程g当k>1时，hk<0综上所述：当k=-1时，x<0有1个根，x>0有1当k=0时，x<0有1个根，x>0有1当k=1时，x<0有1个根，x>0有1其余k均不满足条件，共3个符合的k.

故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用方程求根的方法和导数正负判断函数的单调性求最值的方法以及函数求极限的方法，从而得出满足条件的实数k的个数。10．【答案】B【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量垂直的坐标表示【解析】【解答】解：将H设为原点(0,0,0)，平面ABC为xy平面，由OH⊥平面ABC，得O(0,0,h)，A(x1因为OA⊥BC，所以x1x①因为OB⊥AC，所以x2x3-因此x1因为CH→·AB→=(xBH→·AC→=(x②因为AB=AC，所以化简得x22+y举反例：取A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0)，

满足AB=AC和③因为OB=OC，x22+又因为BH→·AB→=(所以BH→则BH→·AB综上所述，正确结论为①③.

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合线面垂直建系，从而得出点的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示、举反例的方法、从而逐项判断各结论，进而找出所有正确结论的序号.11．【答案】x【知识点】抛物线的标准方程【解析】【解答】解：根据抛物线关于y轴对称，且过的点2,1在第一象限，因此抛物线开口向上，

可设抛物线的标准方程为x2所以22=2p所以，抛物线的标准方程是x2=4y.

故答案为：x2=4y.

【12．【答案】2（答案不唯一）【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质【解析】【解答】解：因为圆C：(x-2)2+y2=1，因为直线l：y=k(又因为∠ACB为锐角，所以cos∠ACB>0，

设圆心C到直线则d=所以，圆的弦长AB=2在△ACB中，由余弦定理，得：A又因为∠ACB为锐角，所以cos∠ACB>0，可得AB2<CA将d=|k|k2+1代入d2>12，则k2k2+1>12，

【分析】先根据圆的标准方程确定圆C的圆心坐标和半径长，利用∠ACB为锐角得出cos∠ACB>0，再利用点到直线的距离公式和弦长公式以及余弦定理，从而得出k13．【答案】1【知识点】函数恒成立问题；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值【解析】【解答】解：已知函数f(x)=cosπx+π由此可知f(a)则该余弦函数的角频率ω=π，

根据最小正周期公式T=2π因为余弦函数相邻的最小值点与最大值点之间的水平距离为周期的一半，

所以T2=1，

则|a-b|【分析】由题意知fa是fx最小值、fb是最大值，利用该余弦函数的角频率和余弦型函数的最小正周期公式，从而得出余弦型函数的最小正周期，再利用余弦函数相邻的最小值点与最大值点之间的水平距离为周期的一半，从而得出14．【答案】128；7【知识点】指数函数单调性的应用；对数的性质与运算法则；等比数列的前n项和【解析】【解答】解：根据题意，第n个大数对应的数值为an①求lga5：a5②求最小正整数k，使得a1a1由108(2k-1)>101000，得因为26=64，27=128，所以，正整数k的最小值为7.

故答案为：128；7.

【分析】利用已知条件得出第n个大数对应的数值，再利用代入法和对数的运算法则，从而得出lga5的值；要求最小正整数k，则a1a2⋯a15．【答案】①②④【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；反射、平衡和旋转变换；函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】解：因为hx=x可得φx的定义域为R又因为φ-x=-x3+2026-x因为φx的图象向下平移2025个单位得到h所以，曲线y=hx的图象关于点0,-2025成中心对称图形，故令m=x21-x-x-则当x∈0,1时，曲线y=fx因为gx所以g=3x又因为g=3x所以g=6x当x<-1时，6x+1<0，此时因为f'所以gx,hx在R上单调递增，

所以gx只有唯一零点x2，且0<x2<1当x>0时，f'x>0，且所以，函数fx有唯一零点x1，且由②知，当x∈0,1时，曲线y=fx当x∈0,1时，

=x则曲线y=fx在曲线y=hx的下方，

所以x3<x1【分析】利用已知条件结合构造法，令φx=x3+2026x，再利用奇函数的图象的对称性和图象的平移变换，则判断出序号①；令mx=fx-g16．【答案】（1）解：因为bcosC=-2，csinB两式相除，得bcosCcsinB=-22则cosCsinC=-1515，

又因为因为sin2C+则bcosC=-2，所以b（2）解：因为△ABC的面积为815，所以又因为csinB=215，所以由（1）知，cosC由余弦定理，得c2解得c=4则△ABC的周长为a【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）由已知条件和正弦定理以及三角形中角的取值范围、同角三角函数基本关系式，从而得出cosC的值，进而得到b的值（2）根据已知条件和三角形面积公式，从而得出a的值，再由（1）得出角C的余弦值，利用余弦定理得出c的值，再根据三角形的周长公式，从而得到三角形△ABC的周长（1）bcosC=-2，csinB两式相除得bcosCcsinB=-即cosCsinC=-1515，又又sin2C+bcosC=-2，故b（2）△ABC的面积为815，即又csinB=215，所以由（1）知cos由余弦定理得c2解得c=4故△ABC的周长为a17．【答案】（1）证明：因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥又因为DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

所以因为BF//DE，所以又因为BD∩DE=D，BD,DE⊂平面BDEF因为EF⊂平面BDEF，

所以AC（2）解：因为四边形ABCD为正方形，

且DE⊥平面ABCD,所以易得DA选条件①：以D为原点，分别以DA,DC,DE的方向为由AD=2,DE=1，

由EF//BD，设由FA=FC，得此时多面体并不唯一确定，因此条件①无效.选条件②：以D为原点，分别以DA,DC,DE的方向为由AD=2,DE=1，

由DE//BF，设F2,2,tt因为直线AF与平面ABCD所成角为π3，

易得平面ABCD的一法向量为n则sinπ3=cos〈设平面ABF的法向量n1=(x1,y1由法向量定义，得方程组：AB⋅n1=0⇒2y解得y1=0,z1=0求平面AEF的法向量n2因为向量AE=(-2,0,1)，AF由法向量定义，得方程组：AE⋅n2=0⇒-2x令x2=1，则z2=2，y2设平面夹角为θ，

则cosθ所以，平面ABF与平面AEF夹角的余弦值为1717选条件③：以D为原点，分别以DA,DC,DE的方向为x由AD=2,DE=1，

由DE//BF，设所以AC=(-2,2,0),因为cosθ=AC⋅所以S解得t=2设平面ABF的法向量n1=(x1,y1由法向量定义得方程组：AB⋅n1=0⇒2y解得y1=0,z1=0求平面AEF的法向量n2因为向量AE=(-2,0,1)，AF由法向量定义，得方程组：AE⋅n2=0⇒-2x令x2=1，则z2=2，y2设平面夹角为θ，

则cosθ所以，平面ABF与平面AEF夹角的余弦值为1717【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角【解析】【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理得出AC⊥平面BDEF，然后由线面垂直的定义得出线线垂直，即证出AC（2）利先得出DA,DC,DE两两垂直，以D为原点，DA,DC,DE分别为x,y,z轴建系，写出各顶点的坐标，由EF∥BD，设F2,2,t.在条件①中FA=FC对任意t恒成立，无法确定定点F，所以不可用；在条件②和条件③中，利用直线AF（1）因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥因为DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以因为BF//DE，所以B又BD∩DE=D，BD,DE因为EF⊂平面BDEF，所以AC（2）四边形ABCD为正方形，且DE⊥平面ABCD,所以易得DA选条件①以D为原点，分别以DA,DC,DE的方向为由AD=2,DE=1由EF//BD，设由FA=FC，得0此时多面体并不唯一确定，因此条件①无效.选条件②以D为原点，分别以DA,DC,DE由AD=2,DE=1由DE//BF，设F直线AF与平面ABCD所成角为π3，易得平面ABCD的一法向量为n故sinπ3=设平面ABF的法向量n1=(x1,y由法向量定义得方程组：AB⋅n1解得y1=0,z1=0求平面AEF的法向量n2向量AE=(-2,0,1)，AF由法向量定义得方程组：AE⋅n2令x2=1，则z2=2，设平面夹角为θ，则cosθ平面ABF与平面AEF夹角的余弦值为17选条件③以D为原点，分别以DA,DC,DE由AD=2,DE=1由DE//BF，设所以AC=(-2,2,0),cosθ=S解得t=2设平面ABF的法向量n1=(x1,y由法向量定义得方程组：AB⋅n1解得y1=0,z1=0求平面AEF的法向量n2向量AE=(-2,0,1)，AF由法向量定义得方程组：AE⋅n2令x2=1，则z2=2，设平面夹角为θ，则cosθ平面ABF与平面AEF夹角的余弦值为1718．【答案】（1）解：由题意，得a+220+180+150+50+500+120+80+70+30=2000，

解得a=600，

从该市青少年中随机抽取一人，

估计此人春季花粉“无过敏”的概率为（2）解：利用频率估计概率，

该市城区青少年春季花粉“无过敏”的概率为600600+220+180+150+50=12

该市郊区青少年春季花粉“无过敏”的概率为500500+120+80+70+30=58，

各随机抽取2人，

抽到的城区青少年中恰有1人“无过敏”且郊区青少年两人均不是“无过敏”的概率为：

C21×12×1-12×C20×58（3）解：p的最小正整数值为6，理由如下：由题意，得μ=解得p≥则p的最小正整数值为6.【知识点】众数、中位数、平均数；互斥事件的概率加法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；古典概型及其概率计算公式【解析】【分析】（1）根据题意和表格中的数据，从而得出a的值，再利用古典概率公式，从而估计出此人春季花粉“无过敏”的概率.（2）由古典概率公式和二项分布求概率公式以及互斥事件加法求概率公式，从而估计出抽到的青少年中恰有一人春季花粉“无过敏”的概率.（3）利用已知条件和均值求解方法，从而列出关于p的不等式，进而求出p的取值范围，则得出p的最小正整数值．（1）由题意得a+220+180+150+50+500+120+80+70+30=2000解得a=600从该市青少年中随机抽取一人，估计此人春季花粉“无过敏”的概率为600+5002000（2）频率估计概率，该市城区青少年春季花粉“无过敏”的概率为600600+220+180+150+50该市郊区青少年春季花粉“无过敏”的概率为500500+120+80+70+30各随机抽取2人，抽到的城区青少年中恰有1人“无过敏”且郊区青少年两人均不是“无过敏”的概率为C2抽到的郊区青少年中恰有1人“无过敏”且城区青少年两人均不是“无过敏”的概率为C2估计抽到的青少年中恰有一人春季花粉“无过敏”的概率为9128（3）p的最小正整数值为6，理由如下：由题意得μ=解得p≥p的最小正整数值为6.19．【答案】（1）解：由题意，得：2a+2b=62c=23a2=b2（2）证明：设点Mx,y，

由向量关系OM⃗=12OA⃗+3要证点M在椭圆上，只需证x24+y2因为点A,B在椭圆上，

所以x同理可得x22+4y2接下来证明x1由题意，则x1=2y2⇒y2=x12​​，

代入点又因为点A满足x12+4y12=4，所以x22=4y则x2=-2y1，将x1=2因此x24+y2=1+0=1满足椭圆方程，

【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）根据题意，利用长轴长的定义和短轴长的定义以及焦距的定义，从而列出关于a,b,c的方程组，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出a，b，c（2）设点M(x,y)，利用已知条件和向量的坐标运算得出x、y与x1、y1、x2、y2​的关系，再利用两点A、B在椭圆E上，从而两点A，B满足椭圆方程，结合x1=2y（1）由题意得：2a+2b=62c=23a（2）设点Mx,y，由向量关系OM⃗=12OA要证点M在椭圆上，只需证x24+因为点A,B在椭圆上，故x同理x22+4y2接下来证明x1由题x1=2y2⇒y2=x12又点A满足x12+4y12=4，故x22=4y故x2=-2y1，将x1因此x24+y2=1+0=120．【答案】（1）解：当a=1时，fx=x-所以f'1=1+11所以，曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y（2）解：若a=e-1e，由f令y=x2-ax+1，

因为记两正根为x1,x当x∈0,x1，f'当x∈x1,x2，当x∈x2,+∞，f所以，函数fx=0至多三个零点，

因为f1=1-1所以，函数fx=0有三个零点，则fx所以，满足fx>0的x的取值范围为​​​​​（3）解：曲线y=fx假设曲线y=fx则x3,y3,x4则x3所以x3-1则2-1x3+1令t=x32-x3=-则2-2t-令ht=2-2因为t<1,a≤2，所以at<2，则h't>0则ht<h1=2-21-则曲线y=fx上不存在两个不同的点关于点【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；图形的对称性；函数的零点与方程根的关系【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，根据代入法得出切点坐标，则由点斜式方程得出曲线y=fx在点（2）利用a的值得出函数的解析式，再由判别式法和导数的正负判断函数fx的单调性结合f1e=0，f1=0，f（3）假设曲线y=fx上存在两个不同的点关于点1,0对称，则x3,y3,x4,y4关于点1,0对称，从而可得2-2x32-x