2027届新高考数学热点精准复习离散型随机变量及其分布列与数字特征

2027届新高考数学热点精准复习离散型随机变量及其分布列与数字特征一、单项选择题1.已知随机变量X的分布列为基础过关X023Pm2m

解析

解析

3.设0<a<2,随机变量X的分布列为X0a2P

解析

4.已知X的分布列为

解析X-101P5.设x,y∈(0,1),已知随机变量的分布列如下,ξ012Pxyx

解析6.已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为:甲产业收益分布列收益X/亿元-102概率0.10.30.6乙产业收益分布列收益Y/亿元012概率0.30.40.3则下列说法正确的是(

)A.甲产业收益的期望大,风险高 B.甲产业收益的期望小,风险小C.乙产业收益的期望大,风险小 D.乙产业收益的期望小,风险高由题意可得E(X)=-1×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1,D(X)=(-1-1.1)2×0.1+(0-1.1)2×0.3+(2-1.1)2×0.6=1.29;E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1,D(Y)=(0-1)2×0.3+(1-1)2×0.4+(2-1)2×0.3=0.6,故E(X)>E(Y),D(X)>D(Y),即甲产业收益的期望大,风险高.故选A.解析二、多项选择题7.(2026·成都模拟)设离散型随机变量X的分布列如下表X01234P0.10.2m0.20.1若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则(

)A.m=0.4 B.E(X)=2,D(X)=1.2C.E(Y)=3,D(Y)=3.4 D.E(Y)=5,D(Y)=4.8由离散型随机变量X的分布列性质可得m=1-0.1-0.2-0.2-0.1=0.4,A正确;E(X)=0×0.1+1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2,D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.2+(2-2)2×0.4+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.1=1.2,B正确;由于Y=2X+1,故E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=4.8,C错误,D正确;故选ABD.解析8.(2026·张家口模拟)已知A,B两个沿海城市一天中受台风袭击的概率均为p,A市和B市每天是否受台风袭击互相独立,且两市一天中至少有一个受台风袭击的概率为0.51,若用X表示某天受台风袭击的城市个数,则(

)A.p=0.3 B.P(X=0)=0.49C.P(X=1)=0.36 D.D(X)=0.42对于A,由已知有1-(1-p)2=0.51,解得p=0.3

或p=1.7(舍去),故A正确;对于B,有P(X=0)=1-P(X≥1)=1-0.51=0.49,故B正确;对于C,P(X=1)=2p(1-p)=2×0.3×0.7=0.42,故C错误;对于D,P(X=2)=p2=0.09,D(X)=E(X2)-(E(X))2=(0.42×12+0.09×22)-(0.42×1+0.09×2)2=0.42,故D正确.解析三、填空题9.已知离散型随机变量X的分布列如下表,若离散型随机变量Y=2X+1,则P(Y≥5)=

.

X0123Pa5a

解析10.已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示.ξ-202Pab

11

解析11.已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p(0<p<1),发球次数为X,若X的均值E(X)>1.75,则p的取值范围为

.解析

四、解答题12.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数,求:

解(1)“所选3人中女生人数X≤1”的概率;(2)X的均值与方差.

解X012P

(1)求该名参赛者恰好答对两道题目的概率;

解(2)求该名参赛者最终累计得分的分布列和数学期望.

解

解X012345P14.(2024·北京高考)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况,从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份,记录并整理这些保单的索赔情况,获得数据如下表:素养提升索赔次数01234保单份数800100603010假设:一份保单的保费为0.4万元;前三次索赔时,保险公司每次赔偿0.8万元;第四次索赔时,保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率;

解(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.(ⅰ)记X为一份保单的毛利润,估计X的数学期望E(X);(ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(ⅰ)中E(X)估计值的大小.(结论不要求证明)

解(ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值比(ⅰ)中E(X)估计值大.证明如下:设调整保费后一份保单的毛利润(单位:万元)为Y,则对于索赔次数为0的保单,Y=0.4×(1-4%)=0.384,对于索赔次数为1的保单,Y=0.4×(1+20%)-0.8=-0.32,解对于索赔次数为2的保单,Y=-0.32-0.8=-1.12,对于索赔次数为3的保单,Y=-1.12-0.8=-1.92