(2025年)《统计学原理》课后习题答案

(2025年)《统计学原理》课后习题答案一、统计调查与数据收集1.某制造企业计划开展产品质量满意度调查，需覆盖全国32个省级行政区的终端用户。现有三种调查方案：（1）全面普查；（2）简单随机抽样；（3）分层抽样（按经济发展水平将省份分为高、中、低三组）。请分析各方案的适用性并推荐最优方案。解答：（1）全面普查：需对所有终端用户逐一调查，优点是数据全面准确，但全国范围用户数量庞大（假设该企业终端用户超500万），调查成本（人力、时间、资金）极高，实施难度大，不适合质量满意度这类非关键属性的调查。（2）简单随机抽样：从全国用户中随机抽取样本，操作简便，理论上无偏。但未考虑地区间经济水平差异可能导致的满意度偏差（如高经济区用户对质量要求更高），样本可能过度集中或分散，代表性不足。（3）分层抽样：先按经济发展水平将省份分为高、中、低三层（如以人均GDP为分层标准，前10省为高层，中间12省为中层，后10省为低层），再在每层内按比例或按规模抽取样本。优点是通过分层控制了经济水平的影响，样本在各层内分布更均匀，能提高估计精度（分层抽样误差通常小于简单随机抽样）。例如，若高层用户占比25%、中层45%、低层30%，则按此比例分配样本量（假设总样本量2000，高层500、中层900、低层600），可更准确反映不同经济区的满意度差异。推荐分层抽样，因其在成本可控的前提下，通过分层设计有效提升了样本代表性和估计精度。二、数据整理与频数分布2.某班级40名学生《统计学原理》期末成绩（百分制）如下：78,85,62,91,73,88,79,65,82,76,93,80,71,68,89,77,84,70,69,81,95,74,83,66,72,87,63,90,75,86,64,92,67,78,85,61,94,79,82,76。要求：（1）编制等距分组频数分布表（组数5，组距10）；（2）计算各组的组中值和频率；（3）分析成绩分布特征。解答：（1）确定分组区间：最低分61，最高分95，全距=95-61=34。组数5，组距=34/5≈7（取整为10更合理，因成绩通常以10分为一档）。分组为：60-70（含60，不含70）、70-80、80-90、90-100。（2）频数统计：60-70分：61,62,63,64,65,66,67,68,69→9人70-80分：70,71,72,73,74,75,76,76,77,78,78,79,79→13人80-90分：80,81,82,82,83,84,85,85,86,87,88,89→12人90-100分：90,91,92,93,94,95→6人频数分布表：成绩分组频数（人）组中值频率（%）60-7096522.570-80137532.580-901285300合计40—100.0（3）分布特征分析：成绩呈单峰分布，峰值在70-80分组（频数13，频率32.5%），其次是80-90分组（30%），60-70分组（22.5%）和90-100分组（15%）。整体分布略向左偏（低分端频数略高于高分端），但偏态不显著，说明班级成绩整体集中在70-90分之间，中等水平学生占比较大，优秀（90分以上）和不及格（60分以下无）学生比例合理。三、集中趋势与离散程度3.某电商平台5月份A、B两款产品的日销量（单位：件）如下：A产品：120,135,118,142,128,130,125,138,122,145（10天数据）B产品：105,150,98,162,110,148,102,155,108,160（10天数据）要求：（1）计算两款产品日销量的均值、中位数、众数；（2）计算标准差和变异系数；（3）比较两款产品销量的稳定性。解答：（1）集中趋势指标计算：A产品数据排序：118,120,122,125,128,130,135,138,142,145均值=（118+120+…+145）/10=1303/10=130.3件中位数=（第5+第6个数）/2=（128+130）/2=129件无重复数据，众数不存在（或视为无）B产品数据排序：98,102,105,108,110,148,150,155,160,162均值=（98+102+…+162）/10=1308/10=130.8件中位数=（第5+第6个数）/2=（110+148）/2=129件无重复数据，众数不存在（2）离散程度指标计算：A产品标准差：方差=Σ（x-μ）²/n=[(118-130.3)²+(120-130.3)²+…+(145-130.3)²]/10计算得：(-12.3)²=151.29，(-10.3)²=106.09，(-8.3)²=68.89，(-5.3)²=28.09，(-2.3)²=5.29，(-0.3)²=0.09，4.7²=22.09，7.7²=59.29，11.7²=136.89，14.7²=216.09Σ=151.29+106.09+68.89+28.09+5.29+0.09+22.09+59.29+136.89+216.09=794.1方差=794.1/10=79.41，标准差=√79.41≈8.91件B产品标准差：方差=Σ（x-μ）²/n=[(98-130.8)²+(102-130.8)²+…+(162-130.8)²]/10计算得：(-32.8)²=1075.84，(-28.8)²=829.44，(-25.8)²=665.64，(-22.8)²=519.84，(-20.8)²=432.64，17.2²=295.84，19.2²=368.64，24.2²=585.64，29.2²=852.64，31.2²=973.44Σ=1075.84+829.44=1905.28+665.64=2570.92+519.84=3090.76+432.64=3523.4+295.84=3819.24+368.64=4187.88+585.64=4773.52+852.64=5626.16+973.44=6599.6方差=6599.6/10=659.96，标准差=√659.96≈25.69件变异系数（CV）=标准差/均值A产品CV=8.91/130.3≈6.84%B产品CV=25.69/130.8≈19.64%（3）稳定性比较：A产品的标准差（8.91）和变异系数（6.84%）均远小于B产品（25.69，19.64%），说明A产品日销量的波动更小，稳定性显著高于B产品。尽管两者均值和中位数接近，但B产品存在极端值（如98件和162件），导致离散程度大，销量不稳定。四、抽样推断与区间估计4.某城市拟估计居民家庭月均用电量（单位：度），随机抽取200户家庭调查，得到样本均值=285度，样本标准差=45度。要求在95%置信水平下（Z=1.96），估计总体均值的置信区间，并解释其含义。解答：已知n=200（大样本，可用Z分布），x̄=285，s=45，置信水平95%对应Zα/2=1.96。标准误（SE）=s/√n=45/√200≈45/14.14≈3.18度置信区间=x̄±Zα/2×SE=285±1.96×3.18≈285±6.23即置信区间为（278.77，291.23）度。含义：在95%的置信水平下，该城市所有居民家庭月均用电量的真实值有95%的概率落在278.77度至291.23度之间。若重复抽样100次，约95次的置信区间会包含总体均值。五、相关与回归分析5.某企业收集了2023年1-12月广告投入（x，万元）与销售额（y，万元）的月度数据，计算得：Σx=600，Σy=4800，Σxy=252000，Σx²=32000，Σy²=2000000，n=12。要求：（1）计算相关系数并判断相关程度；（2）建立一元线性回归方程；（3）解释回归系数的经济意义；（4）若2025年1月广告投入80万元，预测销售额（假设模型有效）。解答：（1）相关系数r计算：r=[nΣxyΣxΣy]/√[nΣx²-(Σx)²][nΣy²-(Σy)²]分子=12×252000600×4800=30240002880000=144000分母=√[(12×32000-600²)(12×2000000-4800²)]计算第一部分：12×32000=384000-360000=24000第二部分：12×2000000=24000000-23040000=960000分母=√(24000×960000)=√(23040000000)=151986.84（近似值）r=144000/151986.84≈0.947相关系数r≈0.947，接近1，说明广告投入与销售额高度正相关。（2）回归方程y=a+bxb=[nΣxyΣxΣy]/[nΣx²-(Σx)²]=144000/24000=6a=ȳbx̄=(4800/12)6×(600/12)=4006×50=400-300=100回归方程：y=100+6x（3）回归系数b=6表示广告投入每增加1万元，销售额平均增加6万元，反映了广告投入对销售额的边际贡献。（4）当x=80万元时，预测销售额y=100+6×80=100+480=580万元。六、假设检验基础6.某食品厂宣称其生产的饼干每袋平均重量为250克，标准差5克。质检部门随机抽取100袋，测得样本均值248.5克。要求在α=0.05水平下，检验该厂宣称是否成立（双侧检验）。解答：（1）建立假设：