考研数学二（解答题）模拟试卷43

考研数学二（解答题）模拟试卷43

一、解答题（本题共20题，每题1.0分，共20分。）

1、

12、jr4-1—2..11

hm——r=-z

标准答案：才+1Z

知识点解析：暂无解析

limcosqcos工・・・8§W

2、求极限：…24

标准答案：当x=0,原式=1；

介■•-TJCXX

Lsm—cos-ycos—•••cos

当/W0时，原式=lim——————2-----2r

Q.•

2sm》X

知识点解析:暂无解析

,x.I20

3、设f(x)=V0求Jf(x)dx

J#+CQ0

标准答案：I-COD+1+CX<0

知识点解析：暂无解析

（后））的随机变量，求2=I

4、设X和Y是相互独立的且均服从正态分布N（0,

X-YI的数学期望。

(6))的随机变

标准答案：由于X和Y是相互独立的且均服从正态分布N(0,

量，所以T=X—Y服从N(0,1),其概率密度为

/(<)=7_e2,-8<1<+8.

v2ir

故£(Z)=E(|x-y])=E(|T|)==正「心4市二疗.

知识点解析：本题考查独立条件下正态分布的性质及其函数的期望的计算.需要先

判断X-Y的概率分布，然后再选择恰当的公式计算.

9T-1=KJ

标准答案:x-a2a

知识点解析：暂无解析

标准答案：利用定积分的分段积分法与推广的牛顿-莱布尼兹公式得

+-^-arctan(^tanx)

=­arctan(72tanx)

1TT1

=■•—一方…勾—"年卜胃arctan

&2

知识点解析：暂无解析

xcosx-sinx八

---------------,x<0,

A,x=0,

ln(1+x)-x1.

7、已知f(x)」?+T**>在(-8,+00)存在原函数，求常数A以及

f(x)的原函数.

标准答案：易求得

1_.

..〃、..In(1+«)-«1洛必达法则1+x1

lim/(x)=lim--------r2-----+—............lim——-------+—=n0,

一/I.#22i.2x2

c、,,xcoax-sinx洛必达法则..-xsinx.

hm/(x)=lim--------：............................lim---------=0.

I>-I-x27-2x仅当人=0时

f(X)在X=0连续.于是f(X)在(一8,十8)连续，从而存在原函数.当A/)时X=0是

f(x)的第一类间断点，从而f(x)在(-8,+00)不存在原函数.因此求得A=0.下求

f(x)的原函数.被积函数是分段定义的连续函数，它存在原函数，也是分段定义

的.由于原函数必是连续的，我们先分段求出原困数，然后把它们连续地粘合在一

起，就构成一个整体的原函数.当xVO时，

g)d-=J/g-j8inzd(l)=萼

当x>0时,

ff(x)dx=JF"：：)7♦yjdx=J[In(1+x)-xjd(-A.)+y-x

=±[x.ln(1+x)]“十岛

.ln(1+x).,、1_

=1------------------ln(z1+x)+—x+C

Xtz2取C1=O,随之取

C2=l,于是当x-0一时与x-o+时Jf(x)dx的极限同为1,这样就得到f(x)的一个原

81IU八

——，X<0,

F(x)=■i,x=0,

Cln(1+x)[八.、Ic

2------------------ln(1+x)+-T-X,x>0..

函数l*2因此Jf(x)dx=F(x)十C,其中

C为任意常数.

知识点解析：暂无解析

sin2nx

8、证明：Jo"sin#

标准答案：使用和差化积公式.由于sin2nx=sin2x-5in2x+sin4x-sin4x+...+sin(2n-

2)x-sin(2n-2)x+sin2nx=sin2x+2cos3xsinx+2cos5xsinx+...+2cos(2n-3)xsinx+2cos(2n-

l)xsinx,所以I=2fo7I[cosx+cos3x+cos5x+...+cos(2n-l)x]dx=0.

知识点解析：暂无解析

9、求证方程x+p+qcosx=0恰有一个实根，其中p,q为常数，且0<qVl.

、：lim/(x)8,lim/(x)

标准答案：令f(x)=x+p+qcosx,注意i-8—+8=+oo,而

f(x)=l—qsinx>0.

知识点解析：暂无解析

---Inx-Jl=0

10、证明方程©在(0,+8)内至少有两人实根.

标准答案：令,"c则f(x)在(0,+8)内连续，因为

lim/(x)=lim(三一Inx-Jl\=+8,

lim/(x)=limInx-72j=lim--Inxj-J2

令

£=lim(L-ln-</?=lim】+旬门L&~=+oo.y-

io八&tI—♦et又〃e)=-&<°故由

零点定理，f(x)=O在(0,e)与(e,+oo)内至少各有一个实根,即f(x)=O在(0,+oo)内

至少有两个实根.

知识点解析：暂无解析

11、设取)，g(X)在⑶b]上连续，在(a,b)内二阶可导，f(a)=f(b)=O,f+(a)f-

(b)>0,且以%)翔(后卬b]),gz，(x)/O(a<<b),证明：存在乐(a,b),使得

肋二&X

弁⑷Z(e).

标准答案：设P+(a)>0,f-(b)>0,由F+(a)>0,存在如6(a,b),使得敢i)>

f(a)=O；由？_(6)>0,存在X2®a,b),使得f(Q)<f(b)=O,因为f(%i)f(X2)V0,

/(x)

所以由零点定理,存在c£(a,b),使得f(c)=O.令卜(劝=晨］),显然h(%)在［a,

b］上连续，由h(a)=h(c)=h(b)=O,存在言E(a,c),^G(c,b),使得h汽i)=h汽2)

=0,

/("gG)-/(Z)g'(N)、,、/，(&)/&)­)=0,

而，(N)所以＜”,

"(&)晨&)-八&)/(&)=0.

令中(%)=?(»g(%)—f(x)gk)，(PC0=(PC2)=0，由罗尔定理，存在自日$，及)U(a,

/<g)_r(e)

b),使得0(9=0,而(p'(x)=f"(劝ga)-f(x)g〃Cc)，所以g("g⑷

知识点解析：暂无解析

,J]一汽的------

12、求1=〃，其中D为y=/l7,y=%及％=0所同成区域.

标准答案：区域D如图8.15.被积函数只含y,先对％积分，虽然积分区域要分

\-y2dy

块，但计算较简单.若先对y积分，则求积分要费点

功夫.选择先对为积分，将D分块:

(”)|0W”W%Wy}U{(f)IA''2

D=*,0,0Wxw/l-y1.

2

于是/=J^dyJJ\-y2dx+J(dyj-'-/l-ydx

-尸75+L(1->2)dy

J01方

图8.15

知识点解析：暂无解析

13、求微分方程yy”=y,满足初始条件y（0尸y，（0尸1的特解.

/）您yp您="或p（y理一/>）=0.

标准答案：令y'=P，则y”="，代入原方程得"打〃1打,当

p=oIbJ,y=1为原方程的解；当p邦时，由

半一=0得半_J_p=o,解得片CeJ快=Gy,…

打打>由丫①尸丫，⑼=1得C[=],于是

力「4-<b

x

小，解得》=GeJ=C2e,由y（0）=l得C2=l，所以原方程的特解为y=e、.

知识点解析：暂无解析

______dx______

14、(2—JC)>/\—X

标准答案：

f______dx______=_j*______d(l-z)______=-2j______d(1一工)_______

J(2—才)八一工J[1-F(1—x)]>/l—x」[14-(1-x)]2—z

=_2J-n小-(，/1n—r?)—2=_2arctan>/\—i+C.

知识点解析：暂无解析

小1

15、设人=1°,a=f1l为A的特征向量.（1）求a,b及A的所有特征值

与特征向量.（2）A可否对角化?若可对角化，求可逆矩阵P,使得P」AP为对角矩

阵.

0A=3,

2,即+2=A,

；2+//=久.解得a=l,b

标准答案：（1）由八。=急得11

A-20-1

0A-2-1

=1,1=3.由I入E—AI=-1-1久—]=入口一2)(入-3)=0得入i=

0,入2=2,入3=3.（2）因为A的特征值都是单值，所以A可相似对角化.将入］=0

代入QE—A）X=0得入1=0对应的线性无关特征向量为ai=将入2=2代

入口E—A）X=0得入2=2对应的线性无关特征向量为a2=

;1).

（入E—A）X=0得入3=3对应的线性无关特征向量为（X3=9々p=

7-1-1h/000

-111020

201,则P/AP=003

知识点解析：暂无解析

设二维非零向量a不是二阶方阵A的特征向量.

16、证明a,Aa线性无关；

标准答案：若a,Aa线性相关,则存在不全为零的数ki，k2,使得kia+k2Aa=0,

可设k2¥0,所以Aa=,矛盾，所以a,Aa线性无关.

知识点解析：暂无解析

17、若A2(x+Aa-6a=0,求A的特征值，讨论A可否对角化；

标准答案：由A2(x+Aa-6a=0,得(A2+A-6E)a=0,因为期0,所以r(A2+A-6E)<2,

从而IA2+A-6EI=0,即I3E+AI.I2E-AI=0,则I3E+AI=0或I2E-AI

=0.若I3E+AI和,则3E+A可逆，由(3E+A)(2E-A)a=0,得(2E-A)a=0,即

Aa=2a,矛盾；若I2E-AI翔，则2E-A可逆，由(2E-A)(3E+A)a=0,得

(3E+A)a=0,即Aa=-3a,矛盾，所以有I3E+AI=0且I2E-AI=0,于是二阶矩阵

A有两个特征值-3,2,故A可对角化.

知识点解析：暂无解析

fdx.

18、求不定积分Jx

|写)工=一jln2i-d(y)=一宇+2]竽业

一必_2卜皿出口=—此一陋+2|■与

XJXxJC