考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷36

考研数学二(解答题)高频考点模拟试

卷36

一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)

[im[sinx-sin(sinx)]sinz

1、求2J

标准答案：

[sinz-sin(sinx)]sirLrHm[sinr-sin(sinx)]sinz

lim44

L0xsinx

知识点解析：暂无解析

2、设y=ln(3+7x-6x2),求产).

标准答案：先分解y=ln[3-2x)(l+3x)=ln(3-2x)+ln(l+3x)y(n-|ln(3-

2x)](n)+[ln(l+3x)](n\然后利用[ln(ax+b)]S)的公式得

y_-_+一

(3-2z)a(1+3x)n

(3-2x)n(1+3x)"

知识点解析：利用对数函数性质将函数y分解为形如ln(ax+b)的对数函数之和，再

用|ln(ax+b#n)的公式即可得结果.

3、f(x,y)=x3+y3—3xy的极小值.

/'r=-3y=0,

H

标准答案：由/1=39-31=0・得仪，丫尸(0,0),(x,y)=(l,1).fxx"=6x,fxy=

一3,fyy”=6y。当(x,y)=(0,0)时，A=0,B二一3,C=0,因为AC—B?VO,所以

(0，0)不是极值点：当(x,y)=(l,1)时，A=6,B=-3,C=6,因为AC—B2>。且

A>0,所以(1,1)为极小值点，极小值为f(l,1尸一1.

知识点解析：暂无解析

9设f（x）在［0,:］上具有连续的二阶导数，且『（o）=o.证明：存在或n，（DG（O,

2~2

）,使得尸nsin2^r（co）.

［0，费］上连续,在（0,3）

标准答案：因f（x）和g（x）=cos2x在L2」'Z,内可导，且g，（x）=（cos

2x）=-2sin2x和，工6（°,万）’故由柯西中值定理知，存在"（叫）使得

若）-〃。）一3,

g（f）-g（o）"⑷

/（"。）一人）①

-2-2sin2。w

因/Cr）在［o,周上具有连续的二阶导数,故存在w£（0,手）•使得

./建）=/（。）+八。）尹华（1）'.

再由r（o）=0知

，传）-〃0）="（加.

②

由①式和②式知

sin2eV3③

取它?则西（0展），且③式可以写成

f（E）—■yi/sin2甘"（3）,

其中3,中we）.

知识点解析：暂无解析

1

2

5、证明：x-2x<ln(l+x)<x(Vx>0)

,IJK

标准答案：(I)令F(x)=x-ln(l+x)n，(*)1+x1+x>°(x>0).又

171

F(0)=0,F(x)在［0,+oo)连续一F(x)在［0,+oo)F(x)>F(0)=0(>0).(口)令

G(x)=ln(l+x)-x2,则故G(x)在［0,+oo)f,即有G(x)>G(O)=O.

知识点解析：暂无解析

6、若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，则AB是反对称矩阵的充要条件是

AB=BA.

标准答案：因为AT=A,BT=-B,那么(AB)T=BTAT=-BA.若AB是反对称矩阵，

则(AB)T=-AB,从而AB=BA.反之，若AB=BA,则(AB)T=-BA=-AB,即AB是反

对称矩阵.

知识点解析：暂无解析

7、设四，…，an为n个m维向量，且ml,…，齿线性相关.

标准答案：向量组四，…，an线性相关的充分必要条件是方程组Xg+…+乂必尸0

有非零解，因为方程组x[a]+…以世行。中变量有n个，约束条件最多有m个且

mlai+...+xnan=O一定有自由变量，即方程组有非零解，故向量组a1，…，c如线性

相关.

知识点解析：暂无解析

8、设A为nxm矩阵，B为mxn矩阵(m>n),且AB二E.证明：B的列向量组线性

无关.

标准答案：首先r(B)Smin{m,n}=n,由人8=£得r[AB)=n,Wr(AB)<f(B),所以

r(B)>n,从而r(B)=n,于是B的列向量组线性无关.

知识点解析：暂无解析

9、设A是n阶矩阵，九是A的特征值，其对应的特征向量为X,证明：入2是

的特征值，X为特征向量.若A?有特征值入，其对应的特征向量为X,X是否一

定为A的特征向量?说明理由.

标准答案：由AX=X得A2X=A(AX)=A(XX)=XAX=X2X可知X2是A2的特征值，X

(01)

为特征向量.若A^XMX,其中A』0o/,A2=o,A?的特征值为九=0,©X=

(J,显然A2x=0X,但AX=C0m卜叫即X不是A的特征向量，因此结

论未必成立.

知识点解析：暂无解析

10、设有4阶方阵A满足条件|3E+A|=0,AAT=2E,|A|<0,其中E是4阶单位矩

阵.求方阵A的伴随矩阵A*的一个特征值.

标准答案：由|3E+A|=0,得九=一3为A的特征值.由AAT=2E,|A|<0,得|A|二一

⑷=2

4,则A*的一个特征值为23・

知识点解析：暂无解析

11、设f(x)在⑶+8)上连续,在(a,+8)内可导，且r(x)>k>0(k为常数)，又f(a)

<0,证明方程f(x)=0在内有唯一的实根.

标准答案：在区间卜"一"户T上对f(x)应用拉格朗日中值定理，有

f(Q-早)半/'(打，fw(a，a—普4)，

k

Vf卜vK1由于f(a)VO,F(x)>k>0,所

以

=0-

由零点定理知mfw(a,a-罕)，使/(f)=0-再由/'(2>0知,/U)在卜.a-平］上是单调增加的,故方程

/(x)=U在内有唯一的实根.

知识点解析：暂无解析

12、设大1、猫分别为n阶实对称矩阵A的最小和最大特征值，Xi、Xn分别为对应

AXxGRnxy：Q

于初和储的特征向量，记-'求三元函数f(x］,

X2，X3)=3xJ+2x22+3x32+2xiX3在XJ+X22+X32=l条件下的最大及最小值，并求出最

大值点及最小值点.

标准答案：f的最小值/^=f(0,1,0)=2,f的最大值二

偿°T)

知识点解析：暂无解析

设奇函数f(x)在［-1,1］上二阶可导，且f(l)=l,证明：

13、存在乐(0,1),使得「©)=1：

标准答案：令h(x)=f(x).x,因为f(x)在［-1,1］上为奇函数，所以f(0)=0,从而

h(O)=O,h(l)=O,由罗尔定理,存在旦(0,1),使得孑(9-0,而h，(x)-r(x)-l,故

氏(0,1),使得rq=l.

知识点解析：暂无解析

14、存在收(-1，1)，使得r'(n)+r(n)=L

标准答案：令(p(x尸eXf(x)-l］,因为f(x)为奇函数,所以r(x)为偶函数,由门9=1

得r(-9=i.因为9(七)=(p/)，所以存