考研数学二（解答题）模拟试卷356

考研数学二(解答题)模拟试卷356

一、解答题(本题共小题，每题1.0分，共3分。)

..(OSZ-U

1、求极限：-IT。十ln(l一」丁

标准答案：

ln(l—x)=-x-y+o(/)；cosz=1-三+齐+o(j：4);ed=—弓+^j+o(z，)・

一=1

原式二lim—g----------=

1/•(一尹2)十°(/)

知识点解析：暂无解析

2、设y-ln(4%+l),求y00.

4

标准答案：y，=4i+1=4(4y+1)“，y"=42).(-1)(4X+1)2>yw,=43.(-1)(-

(R)(一1尸7(〃一］)!4"

y=--------------------------；------.

2)(4%+1尸，由归纳法得(4x4-D"

知识点解析：暂无解析

-I</l二^rdrdT"

3、证明方程lnx=eJo在(0，+s)内有且仅有两个根.

标准答案：I—业=2四令f(x)=Mx.尹2々，令f(x)W=o,

__Llimf(x)

得x=e,因为f'(e)=e1,所以F(e尸2々>0为f(x)的最大值，又因为….=-oo

如/(6=・8,所以f(x)=0在(0,+oo)内有且仅有两个实根.

知识点解析：暂无解析

4、设函数f(»,g(x)在［a,+8)上二阶可导,且满足条件f(a)=g(a),f(a)=g®,

f"(X)>g"(X)(X>a).记明!当田〉a时，

标准答案：令(p(%)=fa)-g(X)，显然(p(a)=(/(a)=0，(p"(X)>0(x>a).由

p(a)=。,j夕(a)=0,

l/(x)>0(x>0)，得Q，a)>o(%>a)；再由>0(">")，得收)

>0(x>a),即f(X)>g(X).

知识点解析：暂无解析

JC\+。1及+鬲/3=

Xj+a2M+<>2x3=Oz

JC\+。372+。；不=al

5、设有线性方程组Li+a—z+aHj=〃；⑴证明：当al，a2,a3,闻两两不

等时，此方程组无解；(2)设ai=a3=k,a2=a4=-k(k#))时，方程组有解0i=(一

1,1,1)T,02=(1，1，-1)T，写出此方程组的通解.

标准答案：(1)日时，增广矩阵的行列式是一个4阶范德蒙行列式，不等于零，故

r(')=4,而r“H3.故方程组无解；(2)r(A)=r(A)=2V3,方程组有无穷多解.导

出组A%=0的基础解系含3—r(A)=3—2=1个解向量.可取其基础解系为伙一的

=(-2,0,一2)二故此方程组的通解为为=仇+哪]-02)=(-1，1，11+«一

2,0,2)二

知识点解析：暂无解析

△—(2y+D”a

6^设函数y=y(x)满足V尸+1+o(Ax),且y(0)=0,求函数y=y(x).

由x三4-？1”-+o(Ax)得y=y(dzz)可导J：且"+字1=,

即¥一卷仔7,解得

dzX4-1x4-1

rfX/年“/_1_二1一卜言也C1

y=L——•e1Jdx+Cje=C(x4-1)——.

Jx+1Z

由丁(0)=0得。=?，故y=-T-X

标准答案：22

知识点解析：暂无解析

(-工，三)

7、设户y(x)是区间(一心兀)内过I的光滑曲线，当一兀VxVO时，曲线上

任一点处的法线都过原点，当OgxV兀时，函数y(x)满足y"+y+x=O。求函数y[x)的

表达式。

标准答案：由题意，当一兀VxVO时，法线均过原点，所以有’--7，得y2二一

x2+Co又,代入y?二一x2+C得C=7：2,从而有”+丫2=兀2。当OgxV兀

时，y''+y+x=O,得其对应齐次微分方程y''+y=O的通解为y*=Cicosx+C2sinxa设

其特解为y产Ax+B,则有O+Ax+B+x=O,得A=-l,B=0,故y[=-x是方程的特

解，因此y''+y+x=O的通解为尸Cicosx+Czsinx-x。因为y=y(x)是(一兀，兀)内的

光滑曲线，故y在x=0处连续且可导，所以由已知得yIx=o=兀，y'Ix=o=O，故得

V7T2-X2,-1T<X<0,

y=

ircosx+sinx-x,0W4<n。

Cl=n,C2=b所以

知识点解析：暂无解析

[/(u)dudZ=J/(£)(i-力市.

8、设f(x)连续，证明：JoLJo」

标准答案：方法一

则F'(z)=f(x),于是[[j/(w)dudz=|F(z)d/,

令F(x)=

/(0(x—/)dr=xj/(z)dr-£z/(/)dz=xF(x)—jjdF(力

=xF(x)-/F(z)'+「F(Qdf=『F(z)山.

oJoJo

命题得证.

方法二因为《J[jdt=J/(u)du»

总>)Ld「

—Qdz三Co,取l=0得G=0,故

£[£/(M)dw]dr

知识点解析：暂无解析

工"，X>0

9

9、设丫=取)=z+1，(1)讨论f(力在％=0处的连续性；(2)f(%)在何

处取得极值？

标准答案：f(0+0)=

limx2x=e27=e2=e2/e°

x-01心x-啖0XX*0左/=

*-0=1,f(0)

=f(0-0)=】，由f(O)=f(O—0)=f(0+0)=l得f(K)在％=0处连续.(2)当匕>0时,

1

由fCc)=2px(l+ln%)=0得％=e；当％V0时,f(X)=l>0.当％vo时，f(x)>

0；当0V/〈e时，f（/|<0：当％〉e时，f（z）>o,则％=0为极大点,极大值为

.1、&

2极小值为/仁）=已）,

f（0）=1;7=e为极小值点,

知识点解析：暂无解析

,1dzZ

10、设2=丫n£—y2）,其中£可导，证明：工石+7持=7.

dz3z

22222

标准答案：37=2xy「(『一y2),^=f(x-y)-2yf(Z-y),则

十2言=2yff(x2-y2)+--/(xz-y?)-2yf\x2-y?)

二~/(x2-/)=2・

yy

知识点解析：暂无解析

II、设f(x)在⑶b]上连续，证明：Jabf(x)dxJxbf(y)dy=方a的心]2

标准答案：令F(x)=JaXf(t)dt,

则j/(x)djJf(y)dyjf(jc)[F(,b)—F(jr)]dr

=FS)1/(x)dx-J7<^F(x)dr=F(6)一，FG)dFa)

=尸⑹一｝尸Gr)“=｝产⑹=昂(/(工出了

知识点解析：暂无解析

12、设直线y=ax与抛物线y=x?所围成的图形的面积为Si，它们与直线x=l所围

成的图形面积为S2,并且aVl.试确定a的值，使5=5]+$2达到最小，并求出最

小值.

标准答案：当0<a<1时，如图2—1所示，S=S14-S2=foa（ax-x2）dx+Ja1（x2-ax）dx

521

=_/ax_x_\+/xax\

（T-T）0（T-T）.

a，a1

=T-T+T

5*=2a.//哈'又s1法卜则S（苗

2令S,=0,得。W"'〃/

slU=J--J-

是极小值，也是最小值，此时\&）6万2&36当g0时，如图2-2

=£(减--)&+/(-

(x2-ax)dx

a3a1

623

S，=_^_；=_J(Q2+])<0,

所示，222

故S单调减少，a=0时，S取最小值，此时5二3.综上所述，当”一万।时，S取最小

S上巨

值，此时6

知识点解析：暂无解析

(2,x<l

13、设有微分方程y，-2y=<p(c),其中(p(x)」°u>1，在(-8,y)求连续函数

y(x),使其在(-8,1)及(1,+◎内都满足所给的方程，且满足条件y(0)=0.

标准答案：当XVI时，y12y=2的通解为产由y(o)=o得Ci=l,y=e?x-

1：当x>l时，y'-2y=0的通解为y=C2©2x,根据给定的条件，y(l+O)=C2e2=y(l-

0)=e2-l,解得C2=l-el,y=(1-e-2)e2x,补充定义丫⑴二三1，贝I」得在(心，+8)内连

feZx-1.141,

y(x)=(

续且满足微分方程的函数1(1-e)e>L

知识点解析：暂无解析

,,\]1]nx+.1-<].hmsc.

14、设函数人刃二12'工数列｛Xn｝满足"*7,证明L”存在，并求此

极限。

r⑺=<o

标准答案：令％，则xVl。于是f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,

+00)上单调递增,所以x=l是f(x)唯一的最小值点，且f(x)Nf(l尸1,从而有

f(x„)=1nx.+—^1lnxe<Inx,+<1矣lnx„+-

怎，再结合题目中的条件有乙所

以XnVXn+],且O〈Xn<e,即数列｛xj单调递增且有界。由单调有界准则可知，极

1nx

lilt

限一存在。令

,limxn=Q,则lim(lnx«+—^―)=Ina+，W1,而/(a)=Ina+~^1,所以Ina+-=lo

«x„+|(iaa

由前面讨论出的函数f(x)的性质可知四4="二L

知识点解析：暂无解析

将函数/J)In；-三在i-0处展开成仔勒级数.

15、

标准答案:

解:因为ln(1+--J"..I6(-I«IJ.

所以ln(I-X)»2■—(-1・1).

••I

故/(j-)Tln(14-j)—ln(l-r)='—--r"—>—

••)

\(一1)一+1.

M—一，

这即为/(.r)=ln1土三在/■。处I的泰勒级数.

I-X

知识点解析：暂无解析

..21+XSIUJT

lim-----------

L0°2c1

X-6XCOS-

16、求工

4H-----1---S・1TLZ

,im-T―r=2・

x2-2xcos一1-----cos-

标准答案：XX

知识点解析：暂无解析

17、三元二次型f=xTAX经过正交变换化为标准形了=乂十十一2J，且A*+2E的

非零特征值对应的特征向量为求此二次型。

标准答案：因为f=X「AX经过正交变换后的标准形为/=4+4一2尤,，所以矩阵A

的特征值为入1=入2=1,入3=2由|A|=九伍2入3=2得A*的特征值为阳=N2=-2,田=1,从而

A*+2E的特征值为0,0,3,即ai为A*+2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的

属于特征值九3二2的特征向量。

令A的属于特征值七="=1的特征向量为。=工』，因为A为实对称矩阵，所以

有a：a=0.即4+工3=0故矩阵A的属于儿=心=1的特征向量为

/=X~AX=-yx?—―^3—31I—.

知识点解析：暂无解析

已知二次型f(X1,X2,X3)=4X22-3X23+4XIX2-4XIX3+&X2X3•

18、写出二次型f的矩阵表达式；

02

/(阳，盯，/)=(孙，叼，/)24

标准答案：二次型f的矩阵表达式为-24

'02-2'

4=244.

其中1-24-3.

知识点解析：本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的方法，矩阵特征值、特

征向量的求法.先求出二次型f的矩阵A及A的特征值与特征向量，再将特征向

量正交单位化，求出正交矩阵，即可把f化为标准形.

19、用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵.

A-22

IAE-X|=-2A-4-4»(1-A)(6-A)(6+A),

标准答案：矩阵A的特征多项式为27A+3由

此得矩阵A的特征值为心=1,入2=6,入3=6.于是，二次型f可通过正交变换

x=Qy化为标准形f=y2i+6y22-6y23.对于特征值入尸1,由于

2

0»