考研数学二（解答题）模拟试卷110

考研数学二（解答题）模拟试卷110

一、解答题（本题共20题，每题1.0分，共20分。）

1、有30个零件，其中20个一等品，10个二等品，随机地取3个，安装在一台设

备上，若3个零件中有i（i=O,1,2,3）个二等品，则该设备的使用寿命（单位：年）

服从参数为入=i+l的指数分布，试求：（1）设备寿命超过1年的概率；（2）若已知在

该设备上的两个零件安装后使用寿命超过1年，则安装在该设备上的3个零件均为

二等品的概率.

标准答案：设Bi表示“3个零件中有i个是二等品”（i=0,1,2,3）,令A表示“设备

的寿命超过1年”，以X表示“设备的使用寿命”.

知识点解析：设备的使用寿命受所取零件中所含二等品的个数影响，所含二等品的

个数有四种情况，可以设Bi表示“3个零件中有i(i=0,1,2,3)个是二等品“，作为

完备事件组，利用全概率公式和贝叶斯公式计算所求概率.(1)

3

由全概率公式P(4)=

又尸(8。)=3=0.281,

同理可求P(5)=铸^=0.222,P(4)==0.222,P(生)=舁=0.275.

・CjoC*CJOp(A|

12-3

B0)=P{X>1>Bo}=fi^edx=e-.同理可求P(AIB))=e',P(AIB2)=e,P(AI

4234

B3)=e-.从而P(A)=0.281xe/+0.222xe-+0.222xe-+0.275xe--0.1495.(2)

P(AB3)

由贝叶斯公式，所求概率为P（B31A尸P（A）P(4)Y).034.

]jm[(I+%),-e」sinln(1+r)

2、求极限”3yi+xsinx-1

标准答案：

..[(1+x)**-e]sinln(1+x)[(1+4)+-e]sinx_】〔加(1•*)、-e

lim--------------

I

…/I+xsinx-1—x•sinx

—ln(l+x)-1

=2elim---------------------=2elimIM1+/=

X*-4)x

=2elim1，彳-

»«o2x

知识点解析：暂无解析

3、设丫=$布外,求y(n).

(1-cos2,2=_£冈

标准答案：y='2/4-(1-2COS2XCOS22X)=(1+COS4X),

知识点解析：暂无解析

4、证明：方程x'lnxgvO)在(0,+8)内有且仅有一个根.

标准答案：令f(x)=xa-lnx,f(x)在(0,+8)连续，因为f(l)=l>0,

，则所以f(x)在(0,+8)内至少有一个零点，即方程x'lnx在(0,+刃)内

至少有一个根.因为P(x尸axa/一彳V0,所以f(x)在(0,+00)内严格递减，故f(x)

在(0,+◎内有且仅有一个零点，从而方程x'llnx在(0,+8)内有且仅有一个根.

知识点解析：得无解析

sinx

5、已知x是政)的一个原函数，求"政姒.

(sin.；_xcos—_sinx_^==_=

标准答案：按题意：f(%)=l41-7,反3?(劝女分部积分%却⑨

=%¥(%)—3J/f(»dx=/cos%-%si”-3kxe0S%-si”)d%=x2cos/—xsinx-Sf/dsin/—

79

3cosx=%~cos%一/sin%—(3/sin%+3cos%)—3cos%+C=%cosx_4xsin%—6cosX+C.

知识点解析：暂无解析

6、己知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,C不全为零，矩阵

123-

8=246(A为常数)

L36A」(k为常数)，且AB=0,求线性方程组Ax=0的通解.

标准答案：由于AB=O,故r(A)+r(B)S3,又由a,b,c不全为零，可知

r(A)>l.当*9时,r(B)=2,于是r(A)=l；当k=9时,r(B)=l,于是r(A)=l或

3

A2=0和A6=0.

r(A)=2.对于k#9,由AB=O可得L3」由于n|二(1，2,3)7,

r)2=(3,6,线性无关，故T)i，r)2为Ax=0的一个基础解系，于是Ax=0的通解

为x=xir|i+c2T]2>其中c”C2为任意常数.对于k=9,分别就r(A)=2和r(A)=1进

A2-0,

行讨论.如果r(A)=2,则Ax=0的基础解系由一个向量构成.又因为b」所以

Ax=0的通解为x=C](l,2,3)T，其中CI为任意常数.如果r(A)=l,则Ax=0的基

础解系由两个向量构成.乂因为A的第一行为(a,b,c)且a,b,c不全为零，所

以Ax=0等价于ax]+bx2+cx3=0,不妨设时0,r)i=(-b,a,0)T,)]2=(一c,0,a)T

是Ax=0的两个线性无关的解，故Ax=0的通解为x=c4n4+c5r|5，其中C4,C5为任意

常数.

知识点解析：本题考查抽象齐次线性方程组的求解问题.主要是将矩阵方程转化成

线性方程组.并注意运用AB=O,则r(A)+r(B)Si.未知数的个数(n)一系数矩阵的

秩r(A尸基础解系解向量的个数.齐次线性方程组通解的结构，若Ax=0的系数矩

阵A的秩r(A)=r,则通解x=ki&i+...+k2及…

7、已知两个线性方程组

s

,X]+mx2-xj-x4-5,»X|+x2-2X4=-6,

(!)nx2-x3-2X4=-11,(II)4x|-x2--x4=1,

L-2〃=]-,b孙-X2・*3=3同解，求m,n,1.

标准答案：m,n,t分别在方程组(I)的各方程中，(II)的系数及常数项中无参

数，可先求出(D)的一个解(要求X2的值不为0!请读者思考为什么这样要求)，代

入(I)的方程，可分别求出m,n,t.求(II)的一个特解

「110-2.-6]「100-1,-2-

；10-I!-4

4-I-1-19I-*0I

L3-I-10：3JL001-2「5」得(-2,-4,-5,0)T是(□)的一

-2-4m+5=—5,

-4n+5=-11,

个解.将它代入(I)的方程:-5=1-，，得至I」m=2,n=4,t=6.

知识点解析：暂无解析

8、求证：当x>0时，(X2—l)lnxN(x—1)2.

标准答案：设f(x)=(x2—l)lnx—(x-1产，所以f(l)=0.又因为

f(x)=2xlnz-z+2-L

zf(l)=0,且

知识点解析：暂无解析

xsin2x

sirur

11、设f(x)=」+CO-工求h2兀f(x-7t)dx.

标准答案：J(产f(x-兀)dx=J(产f(x-7i)=J-Jf(x)dx

2

=「普J-dr+jsin2.rcLr=-arctan(cosj)+得/sinj?dLr

Jr1+COS,]JOr4J0

一尹"2fsin^=-f+|x2x|xf=-1+^

知识点解析：暂无解析

12、利用代换u二ycosx将微分方程y"cosx—2y，sinx+3ycosx=eX化简，并求出原方程

的通解.

标准答案：令ycosx=u,则y=usecx,从而

y，=u'secx+usecxlanx.y1-u,,secx+2u,secxtanx+usecxtan-x+useczx.代入原方程，贝I

4*e，

得u”+4u=ex.这是一个二阶常系数线性非齐次方程，其通解为u=5

I(产+Ccos2一

+Cicos2x+C2sin2x.代回到原未知函数，则有尸嬴+2C2sinx,其中

Ci，C2为任意常数.

知识点解析：暂无解析

ITe"dxdy

13、求1=。，其中D是由抛物线y2=x,直线x=0,y=1所围成.

标准答案：卜’"的原函数不是初等函数，故区积不出来，因此选先x后y的顺

序.积分区域D如图8.16,于是I=Jo1dxfoy2=fo1Io^dj^Jo1(yey-y)dy=.

知识点解析：暂无解析

14、计算竽业+J削：竽k.

标准答案：

小产《力产3则。尸&2,

11&Za2,g

所以

.力(¥取+£力竽iz=*¥业%=J：回:竽力=xdr=21112T

知识点解析：暂无解析

a2("2)2(a+4)2

b2(6+2)2(6+4>

(c+2)2(c+4)2

15、计算D=

标准答案：D=

a2(a+2)z(a+4〉a24a+48a+16a+1a+2

b2(6+2)2(6+4)2=b246+486+1632b264-16+2

c2(c+2>(r+4)z/4c+48c+16c+1c+2

a2a+111a

=32b26+1=32/b1=一321bb

c2c+111

知识点解析：暂无解析

16、求微分方程，祭一(g)=，的通解.

标准答案：这是y”=f(y,y')型的可降阶二阶方程，按典型步骤去做即可.命

也=电=助=曲益=力或

y，=p,有d?业drdydz力原方程化为

竭一"=心

邦-2….

p2=eH町|*2寸0-1引力+G|=，(，+G)・①

LJ」以下进行讨论.y三0显然是原方

程的一个解.以下设yM，于是式①可改写为

P=士，②

(1)当C]>0时，由式②

不可呼+小+净讣

士工+G=|

J1+

得⑵当Ci=O

时，由式②得±X+C2=一y"；(3)当C]<0时，由式②得

Larcsin，^

士z+G=-

)—Cy综合(1),(2),(3)便得原方程的通解.

知识点解析：暂无解析

17、设A为3阶矩阵，川，。2,a3是线性无关的3维列向量组，满足Aai=ai+(i2

+。3,Aa2=2a2+a3,Aa3=2a2+3ct3・(D求作矩阵B,使得A(ai，g,。3)=

(ai，a2,a3)B.(2)求A的特征值.(3)求作可逆矩阵P,使得P“AP为对角矩阵.

100-

122.

标准答案：(1)根据题意得，B=L13」(2)由于四，a2,a3线性无关，(ai，

a2，a3)是可逆矩阵,并且(ai，a，as)-,A(ai>a2,as)—B,因此A和B相似,特

■A-100'

-1A-2-2

征值相同.I九一BI="1-14-3J=(X-1)(X2-5X+4)=(X-l)2(X

-4).B的特征值为1,1,4.A的特征值也为1,1,4(3)先把B对角化.求出B

的属于1的两个无关的特征向量(1,一1,0)T,(0,2,-1)T；求出B的属于4的

■100-

D=-|2I,

-0-II-

\00-

&”田。=010.

一个特征向量(0，1,1)T.构造矩阵04」令P=(ai，a2,

a3)D=(aj—a2，2a?—a.v012+013),则p/AP=D"(ai,g,013)“A(a”012，a3)D=

100-

010.

D"BD=L。04」

知识点解析：暂无解析

18、用配方法