考研数学（数学三）模拟试卷454

考研数学(数学三)模拟试卷454

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

1、设f(x),g(x)在(-00,+8)上有定义，且X=X1是f(x)的唯一间断点,X=X2是g(x)

的唯一间断点，则()

A、当X1=X2时，f(x)+g(x)必有唯一的间断点X=X］。

B、当X#X2时，f(x)+g(x)必有两个间断点X=X1与X=X2。

C、当X1=X2时，f(x)g(x)必有唯一间断点X=X］。

D、当X1,X2时，f(x)g(x)必有两个间断点X=X1与X=X2o

标准答案：B

知识点解析：令F(x)=f(x)+g(x),假设F(x)在X=X|处连续，由f(x)=F(x)—g(x)及己

知条件g(x)仅在X=X2处间断，其他点处均连续，于是推出f(x)在X=XI处连续，这

与已知条件矛盾，故F(x)在x=xi处间断。同理，推出F(x)在X=X2处亦间断。下面

n,#>o,

一一举出其他三个选项的反例：选项(A)的反例f(x)」T，zW0,g(x)=-f(x),而

f(x)+g(x)=0无间断点；选项(C)的反例与选项(A)的相同,此时f(x)g(x)=—1,无间

MH*>%(x)={°-%

断点；选项(D)的反例©*宅°，JNW-I啾X^JAO无间断

点。故选(B)。

2、设

Mcos4xck,/V=「(sin3x+cos4x)dx,P

.(Jsin3x-COB4X)(1X,

J-E+%-T则

有()

A、N<P<Mo

B、MVPVN。

C、P<M<No

D、N<M<Po

标准答案：C

知识点解析：根据奇、偶函数的运算法则及奇、偶函数在对称区间上的积分性质可

时=「5cos7dx=0,

1寸"1+哼x2

N=J.(sin%+cos4x)clx=coJxdx>0,

户=J(x2»in3x-cos4x)(k=-Icos4xdx<0,

知母-T因此P<MVN。故选(C)。

「dzJ/(x.y)dy

3、设函数f(x,y)连续，则二次积分勺：=()

(A)JdyP/(x,y)dxo(B)jdyI/(x,y)dxo

J。J,….i”

(D)J/yJ,/(x,y)dx

(C)(5上/(x,r)dxoo

A、

B、

C>

D、

标准答案：B

IT

知识点解析：根据已知可知积分区域为D={(x,y)I2<x<7t,sinx<y<l(,据此画

yy=«»u

1~~尸1

2

出积分区域的图形如图1所示：图।在区域D中最高点纵

坐标为y=l,最低点纵坐标为y=0,左边界方程为x=7t—siny,右边界方程为XF,

r<kf/(x.y)dy=fdyf/(x,y)dx

因此于a°if,故选(B)。

4、下列选项中正确的是()

(A)若lim皆=1,则•与工2有相同敛散性。

—b.«.|

(B)若正项级数£4收敛，则必有!叫";<io

(C)若正项级数.发散，则必有Q.>~

»•1n0

(D)正项级数£&a>0,6>0)的敛散性与a,6有关。

n«ln

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

可识点解析：比较电别法极限方式仅适合正项级数，故选项(A)不正确。由反例,

£斗收敛，但有lim区=I—二■发散，但有a.

n…71171+1°,故选项(B)和(C)均不止

确。在选项(D)中，当时1时，收敛性取决于供。=1时，收敛性取决于a,故选

①)。

5、设

2.J100-102-

，令岛=001R=010

2a2i-010-001-

则()

A、B=PJAP2O

B、B=P1AP2-1O

C、B=P2AP”

D、B=P2",APio

标准答案：B

知识点解析：将A的2,3两行对调，再将第1列的一2倍加到第3列得矩阵B,

1oonrio-21

B=001010

于是有-01o」LO0故选(B)。

6、已知三阶矩阵A的特征值为0,±1,则下列结论中不正确的是()

A、矩阵A是不可逆的＜：

B、矩阵A的主对角元素之和为0。

C、1和一1所对应的特征向量正交。

D、Ax=0的基础解系由一个向量构成。

标准答案：C

知识点解析：根据IAI=均入2入3=0，au+a22+a33=Q+入2+入3=0，可知选项(A)和选项

(B)正确；而入尸0是单根，因此(0E—A)x=一Ax=0只有一个线性无关的解向量，

即Ax=0的基础解系只由一个线性无关解向量构成，选项(D)也正确。故选(C)。

7、设(X,Y)服从D={(x,y)Ix2+y2&2}上的均匀分布,则()

A、X与Y不相关，也不独立。

B、X与Y相互独立。

C、X与Y相关。

D、X与Y均服从均匀分布U(-a,a)o

标准答案：A

〃\/3，(*，)eD,

J\x,y)=ira

知识点解析：因为°，其他，由对称性E(X)=E(Y)=O,

E(XY)=Oo于是Cov(X,Y尸E(XY)—E(X)E(Y)=O,从而pxY=O，即X与Y不相

fxM=I

'*0,其他

-2d/一』,|xI<a,

=ira

0,其他，

关。又同理

2c____

xKh一寸、lyl<a,

A(r)=Ei

0,其他，故f(x,y)#fx(x)fY(y)，即X与Y不独立，故

选(A)。

8、设X|,X2，…，Xn独立同分布，且Xi(i=l,2,…，n)服从参数为入的指数分

布，则下列各式成立的是()(其中①(x)表示标准正态分布的分布函数)

A£%-n

―Wx

IJn

EM-人(£x-n

(C)limPl-l(D)limP*

於x=K)0Wx

Jn\

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：根据列维―林德伯格中心极限定理有:

“Ek-n

0(z)=limPWx

n

故选(A)。

二、填空题(本题共6题，每题L0分，共6分。)

9、设f(x)为可导的偶函数，满足…/=2,则曲线y=f(x)在点(一1,f(—1))处

的切线方程为。

标准答案：y=4(x+l)

知识点解析：因为!”/=2,所以㈣1coM)二0,即

lim/*(cosx)=/(1)=O0

因为/(G为偶函数，可得/(-I)=0。根据1加«噌=2可得

Ix*

-〃1).竺安」=/([)・-4-=2

Icos<_]?/，可得「(1尸一4,

因为f(x)为偶函数，所以r(x)为奇函数，则「(1尸一『(一|尸一4,切线方程为

y=4(x+l)o

J£J.A

lim-(e-+2e"+•••+ne-)

10、m=o

标准答案：1

知识点解析：结合定积分的极限定义式

】im1(e'+2e7+•••+ne7)=lim\£ie*"

in—/广

=lim-=fx^dx=1o

nj.]nJQ

d2z

11、设函数z=z(x,y)具有二阶连续的偏导数，满足布效=x+y,z(x,0)=0,z(0,

y)=y2，则z(x,y)=________。

标准答案：z(x,y)=N'+^^+y2

必

知识点解析：因为"ay=x+y,对x积分可得

斤=yx+q+C(y).

令#=0可得擀=。(>)，又因为“。⑺=/，对7求导或端力=2九可得C(y)=2九

那么

dx12c

再对y积分可得

z(*,y)=y*2y♦yxy2+y2♦C(x),

令y=0可得z(*0)=0=C(x),则

2

z(%,y)=yxy+yx/+/o

12、设f(x)二如'+T+">o),则以)的不可导点为。

标准答案：x=3

/(x)=lim(1"+3"+K")，=max13tx|=

知识点解析：原函数可叱为‘7

显然函数f(x)在点x=3处不可导。

13、设A,B均为三阶矩阵，将A的第一行加到第二行得到A],将B的第二列和

10I-

020

第三列交换得到Bi，若A|B产b0-3」，则AB=o

110'

-1-i2

标准答案：3-3°

知识点解析：由题设可知,A1=E12(1)A,BI=BE23,所以A]BI=E12(1)ABE23,从

101]

=%(T)o20

-30-3-1

"11O'

=-1-12o

—1—i1•3・30.

而AB二E|2'(1)AIBIE23=E12(-|)A]BIE23

14、设二维随机变量(X.Y)服从二维正态分布N(L-2；a2,o2；0),则P{XYV

2-2X+Y)=o

1

标准答案：妻

知识点解析：由题可得X〜N(l,o2),Y〜N(—2,o2),从而P{XYV2-

2X+Y)=P{X(Y+2)<Y+2}=P{X<1,Y>-2}+P{X>l,YV—2},因为p=0,所

以X,Y相互独立，因比上式二P{XV1}P{Y>—2}+P{X>1}P{YV-2}二2。

三、解答题（本题共9题，每题分，共9分。）

limX，~

15、求极限+4）°

标准答案：根据等价无穷小替换公式,

../_(sinx)1

lini-z"―/~

I*ln(1+x)

xln-#-1

rsinx..Binx

lim------,—=litn------：

60

知识点解析：暂无解析

16、设z=/（ay）,其中f（u）具有二阶连续导数，f（o尸？（0尸0,且

力取1dzc------r

于力T,戒…求

标准答案：+/）,其中f（u）具有二阶连续导数，

匹=/----—,如-----1—

衣G7与7"77，

有『7=3+F，即『⑹一f（u）二U。求解

-uu

该二阶微分方程可得，f（u）=Cie+C2e-u,将f（O）=f（0）=0代入上式。可解得

G=T,故/（u）=-%・♦#-%

知识点解析：暂无解析

TT

17、证明不等式3xVtanx+2sinx,xG(O,2)。

IT

标准答案：设f(x)=tanx+2sinx—3x,x6(0,2),plif(x)=sec2x+2cosx_3,f'(x)

JL

=2sec2xtanx_2sinx=2sinx(sec3—1),由于当xW(O,2)时sinx>0,sec3x—1>0»

IT

则f(x)>0,函数r(x)=sec2x+2cosx-3为增函数，且F(0)=0,因此x€(0,委)时,

f(x)=sec2x+2cosx—3>0,进一步得函数f(O)为增函数，由于f(0)=0,因此

ITF

f(x)=tanx+2sinx—3x>f(0)=0,x€(0,2),即不等式3x<lanx+2sinx,xG(0,2)成

立。

知识点解析：暂无解析

ffxr+e…]dxdy

18、计算二重积分，，其中D是由直线y=l、曲线y=x2(x20)以

及y轴所围成的区域。

标准答案：积分区域D如图1所示，混适合先y后x,适合先x后y,

则该积分分为两部分计算。

+e'r，]dxd>=j[xe-<,-12)2dxdy+Jxe->Idxdy,

D

卜・(D&dy==J\1-x2)e-(,-p,2xdx

=-y/\l-x2)e-(,-p)2d(l-?)

f=1-?；Jle"也=[-4。

一•一-2JQ44e

同理,=(e'dyj/dx=9匕

D

1rHe-Z"+e”〕<Mr=卜9

故

图I

知识点解析：暂无解析

19、求事级数^^_____0+1的收敛域与和函数。

lim*5nTT

标准答案：^H+i=1,故该级数的收敛半径为r=l,收敛区间为(一1,1),

x=±l时，该级数变为常数项级数

i(-D0给=i(…ay;产=i(…2一£/

7Z|n+I“1九十'Ae|n>l"T'

显然,£(-1尸2发散,力仁与条件收敛，故£(-1)•暮发散，则收敛域为(-1,1)。

t=i(.］尸26+2=1/=£(-1)廿-i

n+1.・in+1nB।aa।nT1

记S1G)=t(-1)2,则

■・1

2

St(X)=£(-1)?/=-2%£(-1)•产=e(-1,1)。

n«l»»0I+4

记另■)=£等”,则

⑷=i

逐项求导可得

小(加，=用俳叼=E［自叫

=£(7廿=尚，……)。

222

故XS2(X)=J-■^----(k=ln(l+x)-x+Co

令x=0,可得。=0,故SzG)=皿1+j)一”'#0；z=0时,Sz(0)=0。故

故原

知识点解析：暂无解析

4x,+3X2+5z)-x4=-I,

3xj+x2+4X3+2X4=0,

20、已知线性方程组+3%+6.=I有无穷多解，求a,b的值并求其

通解。

111

435

42

b」，增广矩阵为

标准答案：山题设可知线性方程组的系数矩阵为A」。13

0

1」对增广矩阵作初等行变换

方程有无穷多

解，则r(A)=r(A,b)<3,所以a=2,b=-3o卜.面求线性方程组的通解，将增广矩

阵化为行最简形。

1133y°一010-4-

0-11040

(小)

00-19j-300-19-3

0:0-1L0o

00000-

10014I-41

0-104\0

00-19i-3

-0000i0-

从而原方程组可化为

齐次线性

方程组所对应的基础解系为9(一14,4,9,1)T,特解为/=(-4,0,3,0)T,从

而通解为x=n*+k备k为任意常数。

知识点解析：暂无解析

2

21、设二次型xT「i0r2-X3+8XiX2+2bxiX3+2cx2X3,实对称矩阵A满足

00o

-10i-

AB=O,其中B=(I)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的

正交变换：(D)判断矩阵A与B是否合同，并说明理由。

a4b'

42c

标准答案：(I)二次型对应的实对称矩阵为A=)c-1」，因为AB=O,所以

。+6=0.0=-1,

从而4+c=0,解得6=1,

6-1=0,c=—4O下面求A的特征值

A41-4-1

I入E-A|=—4A-24=A(A-6)(4+6),

-14A♦1A的特征值为0,6,—6。

当儿=0时，求解线性方程组(0E—A)x=0,解得四=(1,0,1)T；当入=6时，求解线

性方程组(6E—A)x=0,解得(12=(—1,-2,1儿当入=-6时，求解线性方程阻

(-6E—A)X=O,解得(X3=(—1,1，1)T。下将(XI，C12，013单位化

“介瓢血二岛+必=岛亡。

0

令Q=他，氏)，4=6

则二次型在

11

万

一

一

百

2—

QO

岳

=-万

111

正交变换乂=(^的标准形为f=6y22—6y32,其中姬石5」(n)矩阵

A与B不合同。因为r(A)=2,r(B)=l,由合同的必要条件可知矩阵A与B不合

同。

知识点解析：暂无解析

22、已知随机变量X的概率密度为fx(x)=联。(H)求a；(口)令Y=max{X,

X2),试求Y的概率密度函数。

t3

Ioedx=1可得ax1，解得a=-7=0

标准答案：(I)根据f6(口)当y<0时,