工程力学静力学和材料力学第4版－第8章+梁的弯曲（2）－与应力分析相关的截面几何性质

第8章梁的弯曲（2）——与应力分析相关的截面几何性质工程力学（静力学和材料力学）第二篇材料力学

实际构件的承载能力与变形形式有关，不同变形形式下的承载能力，不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

金茂大厦工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同的几何量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同的几何量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。FNxyOzyOzxMz工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何量，包括形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等。工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

一张打印纸的思考！——首先是几何性质的问题；——其次是平衡的稳定性问题。工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

静矩、形心及其相互关系

惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径

惯性矩与惯性积的移轴定理

主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩

惯性矩与惯性积的转轴的概念

工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

小结与讨论■

静矩、形心及其相互关系工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质zyOdAy——图形对于y

轴的静矩——图形对于

z

轴的静矩

静矩z工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质AzyOzCCyC分力之矩之和合力之矩

静矩与形心坐标的关系——合力之矩定理zyOdAyz工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

已知静矩，可以确定图形的形心坐标

已知图形的形心坐标，可以确定静矩

静矩与形心坐标的关系工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

如果轴通过图形形心，则图形对这一轴的静矩等于零。

如果图形对轴的静矩等于零，则这一轴通过图形形心。

静矩与形心坐标的关系工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质对于组合图形

组合图形的形心坐标5027030300工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质例题3

已知：图形尺寸如图所示。求：图形的形心5027030300工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质解：1．将所给图形分解为简单图形的组合C1ⅠⅡC25027030300工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质C1ⅠⅡC22.建立初始坐标，确定形心位置yzyC150C5027030300工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质■

惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径

工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质——图形对y轴的惯性矩——图形对z轴的惯性矩——图形对yz轴的惯性积——图形对O点的极惯性矩——图形对y轴的惯性半径——图形对z轴的惯性半径zyOdAyzrA工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质＞0＞0或＞0＞0

＜0

惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径zyOdAyzrA工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径zyOdAyzrA工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质已知：圆截面直径d求：Iy，Iz，

IPdrdrdA例题1解：取圆环微元面积yzC工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质已知：矩形截面b×h求：Iy，IzCyzbhdA解：取图示的微元面积例题2ydyzdz工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质已知：矩形截面b×h求：Iy，Iz解：取平行于z轴的微元面积例题2CyzbhydydA工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质已知：矩形截面b×h求：Iy，Iz解：取平行于y轴的微元面积例题2CyzbhzdzdA工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质■

惯性矩与惯性积的移轴定理工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

组合图形的惯性矩5027030300yz

bahRCyz

C工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

怎样利用简单图形的惯性矩确定组合图形的惯性矩5027030300yz

CyCCzyC2z2C1z1工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

移轴定理（parallel-axistheorem）是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。

惯性矩与惯性积的移轴定理工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质AzyOdAyzz1y1O´y1=y＋az1=z＋b

已知：

Iy，Iz，Iyz求：

Iy1，Iz1，Iy1z1y1z1ab

惯性矩与惯性积的移轴定理工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质y1=y＋az1=z＋b

惯性矩与惯性积的移轴定理AzyOdAyzz1y1O´y1z1ab工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质如果y、z轴通过图形形心，

惯性矩与惯性积的移轴定理zyCz1y1O´ab0000工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。

a、b同号时abA为正；异号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。

惯性矩与惯性积的移轴定理

a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，由此确定其正负号。工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

惯性矩与惯性积的转轴的概念

工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

所谓转轴是坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。

惯性矩与惯性积的转轴的概念工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

惯性矩与惯性积的转轴公式已知：Iy，Iz，Iyz,α求：

Iy1，Iz1，Iy1z1zyOz1y1αα工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质zyOz1y1ααy1z1yz工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质zyOz1y1αα工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质dAyzzyO工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质zyOzyOzyOzyOzyOzyOzyOdAzyyzzyOdA工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩

工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质zyOz0y0α0α0

如果图形对于过一点的一对坐标轴的惯性积等于零，则称这一对坐标轴为过这一点的主轴（principalaxes）。图形对于主轴的惯性矩称为主惯性矩（principalmomentofinertiaofanarea）。因为惯性积是对一对坐标轴而言的，所以，主轴总是成对出现的。工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

可以证明，图形对于过一点不同坐标轴的惯性矩各不相同，而对于主轴的惯性矩是这些惯性矩的极大值和极小值。

z0y0α0α0zyO工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

需要特别注意的是：

●图形对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴；

●主轴都是成对的；

●

图形对于主轴的惯性矩是图形对过同一点所有轴的惯性矩的极大值和极小值。工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的Iy惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质zyCz0y0α0α0

图形对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩，简称为形心主矩。

工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。zyCz0y0α0α0工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

主轴的方向角以及主惯性矩可以通过初始坐标轴的惯性矩和惯性积确定:

主轴与形心主轴,主惯性矩与形心主惯性矩zyCz0y0α0α0工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

有对称轴截面的惯性主轴zyCdAy-zIyz=(yizidA-yizidA)=0

当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。dAyz工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形心的主轴之惯性矩。为此，必须首先确定图形的形心以及形心主轴的位置。

组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

因为组合图形都是由一些简单的图形（例如矩形、正方形、圆形等）所组成，所以在确定其形心、形心主轴以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的几何性质以及移轴和转轴方法。工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质

将组合图形分解为若干简单图形，并确定组合图形的形心位置。

以形心为坐标原点，设Oyz坐标系，y、z轴一般与简单图形的形心主轴平行。确定简单图形对自身形心轴的惯性矩，利用移轴定理（必要时用转轴定理）确定各个简单图形对y、z轴的惯性矩和惯性积，相加（空洞时则减）后便得到整个图形的Iy、Iz和Iyz。

计算形心主惯性矩Iy0和Iz0。

确定形心主轴的位置，即形心主轴与z轴的夹角。

组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法工程力学

第8章与应力分析相关的截面几何性质例题4

已知：图形尺寸如图所示。

求：图形的形心主惯性矩5027030