工程力学静力学和材料力学第4版－第10章+弯曲刚度

第10章弯曲刚度工程力学（静力学和材料力学）第二篇材料力学■

弯曲变形与位移的基本概念■

叠加法确定梁的挠度与转角

■

简单的静不定梁■

小结与讨论■

梁的刚度设计

■

小挠度微分方程及其积分工程力学第10章弯曲刚度■弯曲变形与位移的基本概念

工程力学第10章弯曲刚度★

梁弯曲后的挠度曲线★

挠度与转角的相互关系★

梁的挠度与转角工程力学第10章弯曲刚度★梁的位移与约束密切相关★梁的位移分析的工程意义★

梁弯曲后的挠度曲线工程力学第10章弯曲刚度xCx

在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线，这一曲线称为梁的挠度曲线（deflectioncurve）。

MeMe工程力学第10章弯曲刚度xxw(x)wMeMe弯曲后轴线的曲率中心O工程力学第10章弯曲刚度在平面弯曲的情形下，梁的轴线将弯曲成平面曲线。其曲率为梁在弯曲后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为位移(displacement)。

位移与变形有关，但不是同一概念。★

梁的挠度与转角工程力学第10章弯曲刚度梁的位移包括三部分：

横截面形心处的铅垂位移，称为挠度（deflection），用w表示；

变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转角（slope），用

表示；

横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平位移（horizontaldisplacement），用u表示。u工程力学第10章弯曲刚度C'弯曲后轴线的曲率中心MeMeCwC'弯曲后轴线的曲率中心MeMeCwxxw(x)wMeMe弯曲后轴线的曲率中心O工程力学第10章弯曲刚度

根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列关系：

xxw(x)wMeMe弯曲后轴线的曲率中心O工程力学第10章弯曲刚度

在Oxw坐标系中，挠度与转角存在下列关系：

在小变形条件下，挠度曲线较为平坦，即

很小，因而上式中tan

。于是有w＝

w（x），称为挠度方程（deflectionequation）。

xxw(x)wMeMe工程力学第10章弯曲刚度工程力学第10章弯曲刚度★梁的位移与约束密切相关

AB段：弯矩相同曲率处处对应相等挠度曲线相同

约束不同

梁的位移则不完全相同★

梁的位移分析的工程意义

工程力学第10章弯曲刚度

对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。AClBdaFP

例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。工程力学第10章弯曲刚度

另一方面，某些机械零件或部件，则要求有较大的位移，以减少机械运转时所产生的振动。汽车中的钣簧即为一例。这种情形下也需要研究位移。

此外，求解静不定梁，也必须考虑梁的位移以建立补充方程。工程力学第10章弯曲刚度■

梁的小挠度微分方程及其积分

工程力学第10章弯曲刚度★

小挠度微分方程

★

积分常数的确定－约束条件与连续条件

工程力学第10章弯曲刚度★

小挠度微分方程

工程力学第10章弯曲刚度力学中的曲率公式数学中的曲率公式工程力学第10章弯曲刚度小挠度情形下

对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐标的取向有关。工程力学第10章弯曲刚度xwOxwOMMMM工程力学第10章弯曲刚度

采用向下的w坐标系，有xwOMM工程力学第10章弯曲刚度

对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠度方程与转角方程。如果梁上的载荷是连续的，弯矩方程也是连续的，则有其中C、D为积分常数。

工程力学第10章弯曲刚度xBAFPCEIwO

如果梁上的载荷不连续，就要分段建立弯矩方程，代入微分方程后，分段积分。每增加一段就增加两个积分常数。工程力学第10章弯曲刚度★

积分常数的确定

——约束条件与连续条件

工程力学第10章弯曲刚度积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：

在固定铰支座和辊轴支座处，

约束条件为挠度等于零：w=0;w=0w=0xBAFPCEIwO工程力学第10章弯曲刚度

在固定端处，约束条件为

挠度和转角都等于零：w=0，θ＝0。w=0θ=0ABqlOxw工程力学第10章弯曲刚度积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：

连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线：因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：w1=w2，θ1＝θ2等等。w1=w2θ1=θ2BAFPCEIxwOw(x)连续,

(x)连续工程力学第10章弯曲刚度积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。例题1

求：梁的弯曲挠度与转角方程，以及最大挠度和最大转角。

已知：左端固定、右端自由的悬臂梁承受均布载荷。均布载荷集度为q

，梁的弯曲刚度为EI、长度为l。q、EI、l均已知。ABql工程力学第10章弯曲刚度

解：1．建立Oxw坐标系

建立Oxw坐标系。因为梁上作用有连续分布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即无需分段。

2．建立梁的弯矩方程OxwBAql工程力学第10章弯曲刚度考察坐标为x的截面上的弯矩解：2．建立梁的弯矩方程M（x）FQx得到弯矩方程：

将坐标为x的截面处右侧的载荷，向截面的左侧简化，qOxwBAll－xBqxAwq工程力学第10章弯曲刚度3．

建立微分方程并积分

解：2．建立梁的弯矩方程将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得

OxwBAl工程力学第10章弯曲刚度3．

建立微分方程并积分积分后，得到

OxwBAl工程力学第10章弯曲刚度

4．

利用约束条件确定积分常数固定端处的约束条件为：

OxwBAl工程力学第10章弯曲刚度5．

确定挠度与转角方程工程力学第10章弯曲刚度6．

确定最大挠度与最大转角将x=l，分别代入挠度方程与转角方程，得到：

wmaxOxwBAl工程力学第10章弯曲刚度例题2

求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。

已知：简支梁受力如图所示。FP、EI、l均为已知。xBAFPCEIwO工程力学第10章弯曲刚度xBAFPCEIwO

解：1．

确定梁约束力

首先，应用静力学方法求得梁在支承A、C二处的约束力分别如图中所示。工程力学第10章弯曲刚度需要分为AB和BC两段建立弯矩方程。2．

分段建立梁的弯矩方程工程力学第10章弯曲刚度xBAFPCEIwOAB段

BC段

解：3．

将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分AB段

BC段

工程力学第10章弯曲刚度xBAFPCEIwO积分后，得

其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和AB段与BC段梁交界处的连续条件确定。解：3．

将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分工程力学第10章弯曲刚度解：4．

利用约束条件和连续条件确定积分常数

在支座A、C两处挠度应为零，即x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即

x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，

1=

2w1=w2θ1=θ2w=0w=0xBAFPCEIwO工程力学第10章弯曲刚度解：4．

利用约束条件和连续条件确定积分常数x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，

1=

2D1＝D2=0工程力学第10章弯曲刚度解：5．

确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角

将所得的积分常数代入后,得到梁的转角和挠度方程为：

AB段

BC段

据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为

工程力学第10章弯曲刚度

确定约束力,判断是否需要分段以及分几段

分段建立挠度微分方程

微分方程的积分

利用约束条件和连续条件确定积分常数

确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角积分法小结

分段写出弯矩方程工程力学第10章弯曲刚度M0ACBll1、有几个约束力？怎样确定这些约束力？3、怎样利用约束条件和连续条件确定积分常数？2、应用小挠度微分方程确定梁的挠度方程，需要分成几段积分？思考问题工程力学第10章弯曲刚度■叠加法确定梁的挠度与转角

工程力学第10章弯曲刚度

在很多工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表(P198表10-1)。

基于位移与力的线性关系，采用叠加法（superpositionmethod）由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。工程力学第10章弯曲刚度★

叠加法应用于多个载荷作用的情形★

叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形工程力学第10章弯曲刚度

★

叠加法应用于多个载荷作用的情形工程力学第10章弯曲刚度

当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。

★

叠加法应用于多个载荷作用的情形工程力学第10章弯曲刚度

已知：简支梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。

求：C截面的挠度wC；B截面的转角

B。例题3BAFP=qlxOwCEIl/2l/2qM=ql2工程力学第10章弯曲刚度解：1.将梁上的载荷变为三种简单的情形。BAFP=qlxOwCEIl/2l/2qM=ql2wC1

B1

B2wC2

B3xBAOwCEIl/2l/2qxBAFP=qlOwCEIl/2l/2BAxOwCEIl/2l/2M=ql2wC3工程力学第10章弯曲刚度解：2.由挠度表查得三种情形下C截面的挠度和B截面的转角。wC1

B1

B2wC2

B3xBAOwCEIl/2l/2qxBAFP=qlOwCEIl/2l/2BAxOwCEIl/2l/2M=ql2wC3工程力学第10章弯曲刚度3.应用叠加法

★

叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形工程力学第10章弯曲刚度

对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可以将间断性分布载荷，变为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加法。

★

叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形工程力学第10章弯曲刚度qCxOwABEIl/2l/2

已知：悬臂梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。

求：C截面的挠度wC和转角

C。例题4qCxOwABEIl/2l/2wC工程力学第10章弯曲刚度解：1.首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形

为了利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。

qqqCxOwABEIl/2l/2工程力学第10章弯曲刚度两种情形下自由端的挠度和转角分别为

解：2．再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起的挠度和转角

wC2wB2qqCxOwABEIl/2l/2BqCxOwAEIl/2l/2wC1qCxOwABEIl/2l/2工程力学第10章弯曲刚度解：3．将简单载荷作用的结果叠加

qCxOwABEIl/2l/2wC工程力学第10章弯曲刚度

补充★

逐段刚化法——叠加法的另一种形式工程力学第10章弯曲刚度

★

逐段刚化法——叠加法的另一种形式

逐段钢化法是将梁分成几段，在计算其中一段的变形时，把另外部分看做刚体，被刚化的梁段只有刚性位移而无变形。工程力学第10章弯曲刚度ql/2ql/2l/2ACBl/2l/2ACB

C1q2l/4wC1工程力学第10章弯曲刚度ql/2l/2ACBwC2

C2ql/2l/2l/2ACB

C1q2l/4wC1工程力学第10章弯曲刚度■

简单的静不定梁

工程力学第10章弯曲刚度工程力学第10章弯曲刚度

ABlMAFAyFAx

ABlMAFAyFAxFB静定系统未知力个数（3）=

平衡方程数（3）超静定系统未知力个数（4）>平衡方程数（3）多余约束qq

ABlMAFAyFAx

ABlMAFAyFAxFB静定系统超静定系统辩证关系矛盾：

多余约束使结构由静定可解

变为超静定不可解解矛盾：多余约束对变形起限制作用变形与受力密切相关的寻找：补充方程

qq

需要综合考察平衡、变形和物理三方面力的平衡方程几何方程（变形协调条件

）物理方程（力与变形）力的补充方程基本思路

ABl静定基：q相当系统：原超静定系统相当系统

ABqFB

ABqMA解除超静定结构的多余约束后得到的静定结构。在静定基上加上外载荷以及多余约束力，这样的系统成为原超静定系统的相当系统。几何方程（变形协调条件）？求:

梁的约束力。已知：A端固定、B端铰支梁的弯曲刚度为EI，长度为l。FB

ABqlMAFAy解：1.列平衡方程2.列变形协调方程

FAy+FB－ql=0MA+FBl－ql2/2=0wB=wB(q)+wB(FB)=0

ABqlMAFAywB(q)wB(FBy)FB

ABlMAFAy3.列物理方程wB(q)=ql4/(48EI)wB(FB)=-FBl3/(3EI)4.解得FB=3ql/8,MA=－ql2/8（逆时针）FAy=5ql/8,FAxFAxFAxFAx=0FAx=0,■

梁的刚度设计

工程力学第10章弯曲刚度★

梁的刚度设计准则

工程力学第10章弯曲刚度

对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角(或者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，即满足弯曲刚度条件：上述二式中,

w

为许用挠度，

为许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。工程力学第10章弯曲刚度

已知：钢制圆轴，左端受力为FP，FP＝20kN，a＝l

m，l＝2m，E=206GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承B处的许用转角

θ

=0.5°。

试：根据刚度要求确定该轴的直径d。例题5AClBdaFP工程力学第10章弯曲刚度解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。

1．查表确定B处的转角由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为AClBdaFP工程力学第10章弯曲刚度1．查表确定B处的转角

由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为2．根据刚度设计准则确定轴的直径根据设计要求，有

AClBdaFP工程力学第10章弯曲刚度2．根据刚度设计准则确定轴的直径

根据设计要求，有

其中，

的单位为rad（弧度），而

θ

的单位为（°）（度），考虑单位的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径

AClBdaFP工程力学第10章弯曲刚度■

小结与讨论工程力学第10章弯曲刚度★

关于变形和位移的相依关系

★

关于梁的连续光滑曲线

★

关于求解静不定问题的讨论

★

关于静不定结构特性的讨论★

提高弯曲刚度的途径

工程力学第10章弯曲刚度★

关于变形和位移的相依关系

工程力学第10章弯曲刚度

本章不是研究梁的变形，

而是研究梁由于弯曲变形而产生的位移。

梁的位移与变形有关，但不是同一个概念，不能相互混淆。工程力学第10章弯曲刚度MMMMMM工程力学第10章弯曲刚度MM工程力学第10章弯曲刚度

梁每个微段变形累积，使梁的截面产生位移。二梁的受力(包括载荷与约束力)是否相同？二梁的弯矩是否相同？二梁的变形是否相同？二梁的位移是否相同？

正确回答这些问题，有利于理解位移与变形之间的相互关系。CAl/2Bl/2FPEICFP/2Al/2Bl/2EI工程力学第10章弯曲刚度●

BC段有没有变形？有没有位移？

没有变形为什么会有位移？FPABC●

有位移不一定有变形。●

有变形不一定有位移。工程力学第10章弯曲刚度★

关于梁的连续光滑曲线

工程力学第10章弯曲刚度●由弯矩M

的实际方向确定轴线的凹凸性。●

由约束性质以及挠度曲线连续光滑的特点确定挠度曲线的大致形状及位置。工程力学第10章弯曲刚度

试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状CDAlBllM0M0工程力学第10章弯曲刚度CDAlBllM0M0CDAlBllM0M0CDAlBllM0M0CDAlBllM0M0（4）（3）（2）（1）工程力学第10章弯曲刚度★

关于求解静不定问题的讨论

工程力学第10章弯曲刚度静定系统的选取与变形协调条件的建立1.解除一端的固定端约束，使结构变成静定的悬臂梁MBMAMBABqlMAql/2ql/2ABqlMAql/2MBql/2工程力学第10章弯曲刚度2.解除两端的固定端约束，使结构变成静定的简支梁MBMAlABqMBMAMBABqlMAql/2ql/2ql/2ql/2静定系统的选取与变形协调条件的建立工程力学第10章弯曲刚度利用对称性FQc=0再利用对称性

c=0横截面C

处两侧梁的相互约束称为内约束FQCFQCMCMCl/2AqCBl/2qC3.将梁从对称面处截开，使梁变成两个悬臂梁静定系统的选取与变形协调条件的建立MBMAMBABqlMAql/2ql/2工程力学第10章弯曲刚度★

关于静不定结构特性的讨论工程力学第10章弯曲刚度

在静不定结构