考研数学（数学一）模拟试卷566

考研数学（数学一）模拟试卷566

一、选择题（本题共7题，每题7.0分，共7分。）

1、设Mk=J。excosxdx(k=1,2,3),则有()

A、MI>M2»M3

B、M3>M2>M|

C、M2>M3>MI

D、M2>MI>M3

标准答案：D

知识点解析：根据积分区间的可加性,

Sw

而

e'cosxdx,Qexcosxdx>0,因此M2)M

5»

excosxdx=Af+*excosxd%+

1e'cosxdx

e'cosxdx+ey+lTcos(y+7r)dy

ex)cosxdx,

而回（ex

-ex+7I）cosxdx<0,因此MI>M3。因此M2>M】>M3，故本题选D。本题考查

定积分的比较。根据定积分的线性性质可以将M2和M3分别化为M2=MI+excos

xdx和M3=M|+,对于M3,可以利用公式cos（x+兀）=-cosx化简定积分。通过

比较被积函数在积分区间的正负比较Mk（k=1,2,3）的大小。

2、已知OVP(B)V1,且PKA1+A2)IB]=P(AiIBO+P(A2IB),则下列选项成

(A)P[(4+&)|。】=P(4庙)+-2历)

(B)P(A*+4/)=P(48)+P(48)

(C)P(A+4)=P(4|B)+P(4|8)

立的是().(D)P(8)=P(4)P(84)^P(A2)P(B\A2)

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

3、设A,B为三阶矩阵且A不可逆，又AB+2B=0且r(B)=2.则|A+4E|=().

A、8

B、16

C、2

D、0

标准答案：B

知识点解析:令B=(ai，。2，。3),由AB+2B=0得Acti=-2oti(i=L2,3),由

r(B)=2得入=一2至少为A的二重特征值，又由r(A)V3得入3=0，故入i=4=-2,

九3=0，A+4E的特征值为入[=入2=2,九3=4,故|A+4E|=16,应选(B).

4、设随机变量x的分布函数为F(x),则可以作出分布函数()

A^卜(ax)

B、F(X2+1)

C、F(x3-1)

D、F(|x|)

标准答案：C

知识点解析：函数F(x)可以作为分布函数的条件是：①F(x)单调不减；

②加/⑴=0,±1y⑴=%③F(X)右连续。A选项F(ax),当aVO时,三个条

件都不满足，故不是分布函数；B选项F(x2+1)不满足条件士吗二0'故不是分

布函数；C选项F(x3—1),同时满足三个条件，因此是分布函数；D选项F(|x|)不

满足条件士亭故不是分布函数。故选C。

5、

已知随机变wx与丫有相同的不为零的方差，则x与y相关系数等于1的充分必

要条件是[]

(A)cov(X4-y»X)=0.(B)cov(X4-y,n=0.

(c)cov(X4-y>x-y)=o.(D)COV(X-Y,X)=o.

A、

B、

c、

D、

标准答案：D

知识点解析：

【分析】由题设DX=DY>0,根据“对称性”知选项(A)、(B)不成立(否则(A)

正确必导致(B)正确)，(0是恒等式(ccv(X+Y,X-V)=DX-DY=0),故选择

(D).事实上，

_cov(X,Y)_cov(X,y)_cov(X,y)=]

p~VDXVDY~DX-cov(X,X)一

0cov(X,y)=cov(X,X)4=>cov(X,y)—cov(X,X)

=cov(x,y-x)=04=>cov(x-y,x)=o.

+21-

6、y=(/-l)arctan.r的渐近线的条数为().

A、2

B、3

C、4

D、5

标准答案：C

知识点解析：

由limy=­2・limy=2得y=一2与)二2为两条水平渐近线；

—b穴。—十»ItKK

由limy=8,limy=lim彳—=—«limy=8得z=—1与r=0为铅直渐近线；

itz-iLI十1Jarctaarx…0、

由!叫f=°得曲线没有斜渐近线•

故曲线共有4条渐近线，应选(C).

7、设A是mxn矩阵,则下列4个命题①若r(A尸m,则非齐次线性方程组Ax=b

必有解；②若r(A)=m,则齐次方程组Ax=O只有零解；③若r(A尸n,则非齐次线

性方程组Ax=b有唯一解；④若r(A户n,则齐次方程组Ax=O只有零解中正确的

是

A、①③

B、@@

C、②③

D、②④

标准答案：B

知识点解析：因为A是mxn矩阵，若](A尸m,说明A的彳型量组线性无关，那么

它的延伸组必线性无关,所以必有r(7)=m.从而「(A尸r(7),故线性方程组

Ax=bM有解，①正确.下面只需判断③或④正确即可.若r(A)=n,说明A的列

向量组线性无关，亦即Ax=O只有零解，所以④正确，故应选(B).当r(A)=m

时，必有如果m=n,则Ax=O只有零解，而m有可能是n+1,方程组Ax=b

可以无解.所以③不正确.

二、填空题(本题共6题，每题7.0分，共6分。)

8、己知F=(x2+2)i+Qy2—l)j+(3z2—4)k,则在点(0,1,1)处的散度divF=

标准答案：10

知识点解析：设己知的向量场为F=Pi+Qj+Rk：则P=x?+2,Q=2y?-l,R=

divF3—=(2x+4y+6z)=10°

3z2—4,根据散度的计算公式，则有dx力也’0」用

本题考查散痰的计算。向量场A(x,y,z)=pi+Qj+Rk在点(x,y,z)处的散度为

dPdQdR

・・'+・・.+―'

divA=dxdydz,因比重点是计算三个偏导数。

9、

设为三阶相似矩阵，且|2E+A|=0以2=1,A,=-1为B的两个特征值，则行

列式|A+2ABi=.

标准答案：18

知识点解析：

【分析】由I2E+A1=0可确定4的一个特征值九，又A与B相似，因此久？，人也为A的两个特征

值，即A的三个特征值可全部求出.

【详解】由I2E+A|=(-1)3\-2E-A|=0,知I-2E-A|=0,尢=一2为A的一个特征值.

由A〜5,故A、B有相同特征值=-2,A,=lUj=-1.

--200-

且存在可逆阵P,使21物＞=010.

.00-1.

-200'

于是厂“E+2JJ)P=E+2P-'BP=E+2010

.00-1.

—300-

030

.00-1.

-300

从而|E+2B|=03=9.|A|=Ai=2.

00-1

故|A+2ABi=|A(E+2B)|=|A|.|E+2B|=2•9=18.

’二:商麻'；''•'•'■•：；丁：［■.；上,•...........:……・・二，注:•；•・；；米：\jU；；：：•二：

TffF注】1.若］溪+丛|=0»JU—b(.——A)|=(一6尸|—y-E-A=0,

3于是看卜系E-A卜0(设"0),从而；1=一点为4的一个特征值.

2.立理可得E+2B的代在值为一3,3,-1.所以|E4-2B|-(-3)X3X(-l>-9.

10、

设当7f+8时，有fix)*8,g(N)—8,且lim=人0</<+8,则lim吗［=___

^°g(x)fdng(工)

标准答案：1

知识点解析：

分析:注意到

ln/(x)..Fln/(j).'

hm——=lim7-T-T-l+l

Ing(x)i«Llng(M)」

=lim+1=1.

T。Ling(工)

11、设随机变量X,Y独立同分布N(p,a2),其联合密度函数f(x,y)在(2,2)处有

1

驻点，且f(0,0)=4”e［则(X,Y)服从的分布是.

标准答案：N(2,2；2,2；0).

知识点解析：由于X,Y独立同分布，故

1■,〔(*/尸]

/(%,?)=/x(X)=2e•

2"。而f(x,y)在(2,2)处有

驻点，可知产2.又

_]_1由题设1

2P2m2e*4n即

22

ae^=2e,得『=2.所以(X,Y)服从正态分布N(2,2；2,2；0).回

12、假设日标出现在射程之内的概率为0.7,这时射击命中目标的概率为0.6,

则在两次独立射击中至少有一次命中目标的概率a=.

标准答案：0.588.

知识点解析：设事件A表示“目标出现在射程内”，事件&表示“第i次命中目

标”(i=l,2),事件C表示“至少有一次击中目标”,则由条件知P(A)=0.7,P(BjI

A)=P(B2IA)=0.6.方法loa=P(C)=P(AC4-AC)=P(AC)=P(A)P(CI

A)=P(A)P|(BI+B2)IA]=P(A)[P(BiIA)+P(B2IA)—P(BiIA)P(B2I

A)]=0.7(0.6+0.6—Ci.6x0.6)=0.7x0.84=0.588.方法2。用/立事件,由

P(C)=*(>♦])]=P(CA)♦P(CA)=P(A)P(C\A)+P(A)P(C\A)

=0.3x1♦P(d)P(81瓦IA)=0.3+0.7xP(瓦】)P(瓦IA)

于=0.3+0.7x0,4x0.4=0.412.故

a=P(C)=1-P(C)=0.588

(jr2+y2+zz=a2,

13、设空间曲线L：lz-、=°，其中常数a>0.则空间第一型曲线积

$Tzds

分几=_____________.

J6y+z+1=0,

标准答案：1_5y_N_3=(?

知识点解析：平面x—y=0经过球面.x2+y?+z2=a2的中心，所以L是一个半径

为a的圆周.今建立它而参数方程.将L投影到xOz平面上去，为此，消去y,得

1=0,所以L在xOz平面上的投影是一个椭圆.引入此椭圆的参数方

—cos=asint

程：x=a,0SW2冗由于L在平面X—y=0匕所以L的参数方程

-icosGj=-71cost.z=asinf,04142x.

为x=&&于是ds=

y(^^sinr)+(一新©+(08»02&=。曲，所以婷山=j；亨cos?他=#

三、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)

14、

已知九・(刈="7+•",,/；(*)=xe-+xe-2\y；(x)=K"+e"，+是某二阶线性

常系数微分方程

/+py'+”=/(«)

的三个特解.

(I)求这个方程.

(D)设y=y(x)是该方程满足/(0)=0,/(0)=0的特解.求.

标准答案：

【分析与求解】(I)由线性方程解的叠加原理=

xxeu

力(*)=<(*)-71*(4)=e”,y2()=y；(*)-Ti(z)=

均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的•于是相应的特征方程为

(A+2)a=0,即AJ+4A+4=0,

原方程为/+4/+4y=/(%).(*

又<(%)=n"是它的特解，求导得

/'(幻=e-(l-%),炉气幻=e-(«-2).

代入方程(*)得

e-(x-2)+4e-,(l-x)+4%e-g=/(%),

=/(x)=(x+2)e-

n原方程为y*+4/+4y=(x+2)e".

(fl)方程的通解为

/=Ce"+C/e2a+xes

对VG，G均有

limy(x)=0,lim/*(«)=0・

JB-♦*4—♦-

不必由初值来定c\,G，直接将方程两边积分得

J**/(x)dx+4j**/(x)dx+4j**y(x)dx=+2)e-ck,

y'(z)♦+4(y(x)dx=J(x+2)e-*dx

J=/Jo(%+2)1&=-(x+2)de'4

=-±(x+2)e-2

404J0244

知识点解析：暂无解析

15、

设L"I。，"2,其中小'V)具有二阶连续偏导数，求露.

标准答案：

【分析】这是求抽象函数及复合函数的导数,求导过程按复合函数求导.

【详解】•=广|^(2x—>)+/‘2品(ysinz)=2f\+yco&xf\

矗=款人十»的厂2)

=2(f.(2H-3)+/*i2~<ysinx))+co&xf\+(/*n.(2N-y)

+f%g(ysinx))_ycosx

dy

=-2/*n+(2sinx-ycosx)f*l2+ysirurcosa:77+cos”/%.

：【呼注】应注意求二阶导致时还是在求发合函数，因此还是应该按原发合函数求导法则进行运算.

.*■••一--、，，..一.

如菠瓦偏柝］葡无廨桥................................................................

16、设X］,X2，…Xn是来自总体x的样本，x的分布密度为f(x,e)=

f兹"0<X<1

始其他，试用矩估计法估计总体参数o.

，

E(X)=|■由z,8)dx=£x«x*'dx=屋"

标准答案：'"=4'',3=4"'"当

知识点解析：暂无解析

17、若函数f(%)在［0,1］上连续,在(0,1)内具有二阶导数，f(o)=f(i)=o,r(%)<

o,且政)在［o,i］上的最大值为M.求证：(i)f(x)>o(庐o,I))；(n)v自然数

M

n,存在唯一的加€(0,I),使得

3

标准答案：(I)由题设条件及罗尔定理，G(0,1),f(a)a=0.由r(X)<0(ZG(0,

1))=敢)在(0，1)、

>f'(a)=0,0<x<a,

=/'(刀)=0,x=a,

</7a)=0,a<%<1

=/(x)在［0,。］在，在

n/(x)>/(0)=0(0<xa).

/(x)>/(l)=0(ax<1)

=/(x)>0(xe(0,1)).

M

(口)由题设知存在XM&O，1)使得f(XM)=M>0.要证?⑴一〃(0,1)存在零点

O(/(*)-也)，

''’在(0,1)存在零点.对n=l,2,3,…引入辅助函数Fn=f(%)—

MM_

%,"国①在［0,1］连续,在(0,I)可导，要证Pn(X)=(力一〃在［0，1卢零点，

只需在［0,1］中找两点,Fn(x)的函数值相等.Fn(O)=f(O)=O.再找尺。)在(0,D的

一个零点.因

F")=/(瓶)=M(1-?)>0,F.(l)=/(1)-1=--<0,

=存在自向加，1)使得Fn&)=0.在［0,&］U［0,1］上对Fn(x)用罗尔定理n存

M

在沏€(0,*)U(0,1),F，n(Xn)=O,即F(Xn)=7.

知识点解析：暂无解析

已知随机变斌X的概率密度函数为/(z)=4/6・，>,(-8<]<+8),且有£(乂)=2。(乂),

试求：

(I)常数A,B的曲

(II)E(X2+eX)的值；

(W)Y=&|X-1|的分布函数F(y).

标准答案：

・

分析/(x)=Ae*(B2=Ae/♦医=ACKF呼'，

可以将fM看成正态分布N怎,管)的概率密度函数.

解(I)X-N(3¥)^E(X)=2D(X)得到E(X)=,=2D(X)=1,

即B=2.

而人3=志’就有.=总、