工程力学静力学和材料力学第4版－第6章+圆轴扭转

第6章圆轴扭转工程力学（静力学和材料力学）第二篇材料力学

杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion）。

本章主要分析圆轴扭转时横截面上的剪应力，以及两相邻横截面的相对扭转角，同时介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计方法。MeMe工程力学第6章圆轴扭转■圆轴扭转时的剪应力分析■圆杆扭转时的强度与刚度计算■

工程中承受扭转的圆轴■

扭矩与扭矩图■

小结与讨论■

剪应力互等定理工程力学第6章圆轴扭转■

工程中承受扭转的圆轴工程力学第6章圆轴扭转工程力学第6章圆轴扭转请判断哪一杆件将发生扭转？

连接汽轮机和发电机的传动轴将产生扭转。工程力学第6章圆轴扭转

火力发电系统中的受扭圆轴传动轴请判断哪些零件将发生扭转？传动轴将产生扭转工程力学第6章圆轴扭转工程力学第6章圆轴扭转

风力发电设备中的叶轮轴的轴主要承受扭转工程力学第6章圆轴扭转

变速装置的轴主要承受扭转请判断哪一杆件将发生扭转？

当两只手用力相等时，拧紧螺母的工具杆将产生扭转。工程力学第6章圆轴扭转

受扭圆轴的力学模型MeMe工程力学第6章圆轴扭转Charles-AugustindeCoulomb(1736-1806)

库伦最早关注了圆轴扭转问题。Coulomb是法国物理学家、力学家。他在摩擦学、电磁学、粘性流体等方面有重要贡献。扭转变形（twistdeformation）■扭矩与扭矩图工程力学第6章圆轴扭转★

外加扭转力偶矩与功率、转速之间的关系

工程力学第6章圆轴扭转★截面法确定圆轴横截面上的扭矩

★

扭矩图

★外加扭转力偶矩与功率、转速之间的关系

工程力学第6章圆轴扭转

作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴计算中，通常给出传动功率P和转速n，则传动轴所受的外加扭转力偶矩Me可用下式计算：

其中，P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。

如果功率P的单位用马力（1马力=735.5N•m/s），则工程力学第6章圆轴扭转★圆轴扭转时横截面上的内力分量

——扭矩

工程力学第6章圆轴扭转应用截面法：横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩,称为扭矩（twistmoment），用Mx表示。

MeMeMeMx工程力学第6章圆轴扭转扭矩的正负号规则+MeMxnMx

扭矩矢量与所在横截面的外法线方向一致时，扭矩为正。工程力学第6章圆轴扭转扭矩的正负号规则－MeMxnMx

扭矩矢量与所在横截面的外法线方向相反时，扭矩为负。工程力学第6章圆轴扭转扭矩的正负号规则+MeMxnMxMxMeMxnMeMe同一截面两侧的扭矩同为正。工程力学第6章圆轴扭转扭矩的正负号规则MeMe－MeMxnMx同一截面两侧的扭矩同为负。MxMeMxn工程力学第6章圆轴扭转★

扭矩图

工程力学第6章圆轴扭转

如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方向所有横截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在轴上的外力偶矩。MeMe工程力学第6章圆轴扭转

当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法确定各段横截面上的扭矩。Me1Me2Me3Me4Me5工程力学第6章圆轴扭转

扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭矩图(diagramoftorsionmoment)。

绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似。工程力学第6章圆轴扭转

确定约束力偶（必要时）；

根据圆轴上作用的外加力偶以及约束力偶，确定控制面，也就是扭矩图的分段点；

应用截面法，用假想截面从控制面处将圆轴截开，在截开的截面上，画出未知扭矩，并假设为正方向；对截开的部分圆轴建立平衡方程，确定控制面上的扭矩；

建立Mx－x坐标系，将所求得的扭矩值标在坐标系中，画出扭矩图。

绘制扭矩图的方法工程力学第6章圆轴扭转例题1

圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为N.m，尺寸单位为mm。

试：画出圆轴的扭矩图。BACD3153151116486150015002000工程力学第6章圆轴扭转解：1．确定控制面

外加力偶处截面A、B、C、D均为控制面。

2．应用截面法，由平衡方程确定各段圆轴内的扭矩。486nBACD3153151116486150015002000n315Mx1=-315Mx3=486n315315Mx2=-630工程力学第6章圆轴扭转3．建立Mx－x坐标系，画扭矩图

x轴平行于圆轴的轴线，Mx轴垂直于圆轴的轴线。

将所求得的各段的扭矩值，标在Mx－x坐标系中，得到相应的点，过这些点作x轴的平行线，即得到所需要的扭矩图。

315630Mx/N.mOx486630486315BACD3153151116486150015002000工程力学第6章圆轴扭转■剪应力互等定理工程力学第6章圆轴扭转zyxdxdydz

微元能不能平衡？

作用在左右两侧面上的剪应力乘以它们作用的面积，形成一对大小相等方向相反的力，这一对力组成一力偶，因而微元不能平衡。工程力学第6章圆轴扭转怎样才能平衡？zyxdxdydz

根据力偶只能与力偶平衡的理论，微元的上下表面也必然有剪应力存在，而且这一对剪应力乘以它们作用的面积，同样形成一对大小相等方向相反的力，组成一力偶，从而使微元保持平衡。

τ和τ′之间存在什么关系？工程力学第6章圆轴扭转哪些力互相平衡？zyxdxdydz

应力是内力在一点的集度，应力只有乘以它的的作用面积形成力，才能参与平衡。工程力学第6章圆轴扭转剪应力互等定理

在两个互相垂直的平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线，这就是剪应力互等定理或剪应力成对定理（pairingprincipleofshearstresses）。zyxdxdydz

工程力学第6章圆轴扭转■圆轴扭转时的剪应力分析工程力学第6章圆轴扭转

应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力分量——扭矩，但是不能确定横截面上各点剪应力的大小。为了确定横截面上各点的剪应力，在确定了扭矩后，还必须知道横截面上的剪应力是怎样分布的。工程力学第6章圆轴扭转应力分布应力公式变形应变分布平面假定物性关系静力方程确定横截面上剪应力的方法与过程工程力学第6章圆轴扭转★

平面假定★

变形协调方程★

物性关系——剪切胡克定律★

静力学方程★

圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式工程力学第6章圆轴扭转★

平面假定

工程力学第6章圆轴扭转

假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面，两相邻横截面刚性地相互转过一角度。这一假定称为平面假定。工程力学第6章圆轴扭转BAMeMe工程力学第6章圆轴扭转“刚性地转过一角度”，就是横截面上的直径在转动后依然保持为一直线。★

变形协调方程工程力学第6章圆轴扭转dxrOBACDC'D'Mx工程力学第6章圆轴扭转ABBAC'dxCDD'cdOdxcdabOc'd'dxrOBACDC'D'MxO

工程力学第6章圆轴扭转

若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱在dx长度上，所有圆柱的两端面均转过相同的角度d

AAaBBb半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同,半径越小者剪应变越小。BAC'dxCDD'cdOdxcdabOc'd'O

工程力学第6章圆轴扭转ABabBAC'dxCDD'cdOdxcdabOc'd'O

工程力学第6章圆轴扭转

设到轴线任意远

处的剪应变为

（

），则从图中可得到如下几何关系：

称为单位长度相对扭转角。ABab★物性关系——剪切胡克定律工程力学第6章圆轴扭转

O剪切胡克定律

当在弹性范围内加载时，剪应力与剪应变成正比:这种线性关系称为剪切胡克定律。比例常数G

称为材料的切变模量,或剪切弹性模量。工程力学第6章圆轴扭转工程力学第6章圆轴扭转rOOMx工程力学第6章圆轴扭转

剪应力沿横截面的半径呈线性分布，

方向垂直于半径，并与扭矩转向一致。Mx★

静力学方程工程力学第6章圆轴扭转工程力学第6章圆轴扭转OMx式中，

GIP—圆轴的扭转刚度。

IP—横截面的极惯性矩。工程力学第6章圆轴扭转★

圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式工程力学第6章圆轴扭转工程力学第6章圆轴扭转工程力学第6章圆轴扭转rOMx

圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式：最大剪应力Wp——

扭转截面模量。工程力学第6章圆轴扭转rOMx截面的极惯性矩与扭转截面模量

=d/D

对于直径为d

的实心圆截面

对于内、外直径分别为d和D的圆环截面工程力学第6章圆轴扭转■圆轴扭转时的强度与刚度计算工程力学第6章圆轴扭转★

圆轴扭转实验与破坏现象歼10曾经的发动机之殇（断轴事故至少19起）中国——俄罗斯进口的AL31F涡扇发动机AL31F涡扇发动机主轴扭断摘自航空工业出版社公开发行的《三型涡扇发动机故障模式与机理分析及预防技术》原因：缺少润滑导致发动机主轴过载引发空中停车甚至主轴拧断2015年飞机发动机停车事故坠毁的歼10战机国产航空发动机克服了主轴断裂问题当前国产大飞机C919发动机命名为

“CJ-1000A”新生产的歼-10C和歼-20均使用太行

发动机的改进型号，解决了上述问题大鹏一日同风起扶摇直上九万里

——李白《上李邕》工程力学第6章圆轴扭转工程力学第6章圆轴扭转

O

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p扭转实验：韧性材料屈服脆性断裂脆性材料工程力学第6章圆轴扭转★

圆轴扭转时的强度设计工程力学第6章圆轴扭转受扭圆轴的强度设计准则为了保证圆轴扭转时安全可靠地工作，必须将圆轴横截面上的最大剪应力

max限制在一定的数值以下，即：这一关系式称为受扭圆轴的强度设计准则，或称圆轴扭转的强度条件。工程力学第6章圆轴扭转[

]为许用剪应力受扭圆轴的强度设计准则对于等截面圆轴，最大剪应力发生在扭矩最大的横截面上的边缘各点；

对于变截面圆轴，如阶梯轴，最大剪应力不一定发生在扭矩最大的截面，这时需要根据扭矩Mx和相应扭转截面模量WP的数值综合考虑才能确定。工程力学第6章圆轴扭转已知：轴的传递功率P＝7.5kW,n=100r/min，最大剪应力不得超过40MPa，空心圆轴的内外直径之比

=0.5。二轴长度相同。例题2求:

实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。工程力学第6章圆轴扭转解：首先根据轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴工程力学第6章圆轴扭转解：对于空心轴，则有算得d2＝0.5D2=23mm工程力学第6章圆轴扭转确定实心轴与空心轴的重量之比空心轴D2＝46mmd2＝23mm

实心轴d1=45mm

在长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：工程力学第6章圆轴扭转实心圆轴所用材料要比空心圆轴多。★

圆轴扭转时的刚度计算工程力学第6章圆轴扭转受扭圆轴的相对扭转角

圆杆受扭矩作用时，dx微段的两截面绕轴线相对转动的角度称为相对扭转角沿轴线方向积分，得到dxrOBACDC'D'Mx工程力学第6章圆轴扭转ABBlA受扭圆轴的相对扭转角

对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面的相对扭转角为：MeMe工程力学第6章圆轴扭转BACDl1l2l3Me1Me2Me3Me4对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的阶梯状圆轴工程力学第6章圆轴扭转轴两端面的相对扭转角为：AxMeAlBMemx=Me/l

对于承受沿轴线方向均匀分布扭转力偶的圆轴，两端面的相对扭转角为：xOxMx(x)工程力学第6章圆轴扭转单位长度的相对扭转角

在很多情形下，两端面的相对扭矩角不能反映圆轴扭转变形的程度，因而更多采用单位长度扭转角表示圆轴的扭转变形，单位长度扭转角即扭转角的变化率。单位长度相对扭转角为：工程力学第6章圆轴扭转受扭圆轴的刚度设计准则

为了机械运动的稳定和工作精度，机械设计中要根据不同要求，对受扭圆轴的变形加以限制，亦即进行刚度设计。

扭转刚度设计是将单位长度上的相对扭转角限制在允许的范围内，即必须使构件满足刚度设计准则或称刚度条件：

对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，刚度设计准则：工程力学第6章圆轴扭转

[

]为单位长度上的许用相对扭转角受扭圆轴的刚度设计准则其中，[

]为单位长度上的许用相对扭转角，其数值根据轴的工作要求而定。例如，精密机械的轴[

]＝(0.25~0.5)(

)／m；

一般传动轴[

]＝(0.5~1.0)(

)／m；

刚度要求不高的轴[

]＝2（）／m。工程力学第6章圆轴扭转受扭圆轴的刚度设计准则

需要注意的是：刚度设计中要注意单位的一致性。上式不等号左边的单位为rad/m；而右边通常所用的单位为(

)／m。因此，在实际设计中，若不等式两边均采用rad／m，则必须在不等式右边乘以（π／180）；若两边均采用(

)／m，则必须在左边乘以（180／π）。工程力学第6章圆轴扭转

钢制空心圆轴的外直径D＝100mm，内直径d＝50mm。若要求轴在2m长度内的最大相对扭转角不超过1.5

，材料的剪切弹性模量G＝80.4GPa。例题3

1.求该轴所能承受的最大扭矩；

2.确定此时轴横截面上的最大剪应力。dBlAMeMeD工程力学第6章圆轴扭转例题5

解：1．确定轴所能承受的最大扭矩根据刚度设计准则许用单位长度上相对扭转角为空心圆轴截面的极惯性矩轴所能承受的最大扭矩为工程力学第6章圆轴扭转例题5轴所能承受的最大扭矩为＝9.688×103N·m＝9.688kN·m工程力学第6章圆轴扭转

解：2．确定此时轴横截面上的最大剪应力dBlAMeMeD=52628.7N·m＝52.63kN·m

工程力学第6章圆轴扭转■

小结与讨论工程力学第6章圆轴扭转★

圆轴扭转强度与刚度设计的一般过程★

扭转静不定问题概述★

矩形截面杆扭转时横截面上的剪应力工程力学第6章圆轴扭转★

圆轴扭转强度与刚度设计的一般过程工程力学第6章圆轴扭转圆轴扭转强度与刚度设计的一般过程

1.

确定外加力偶的力偶矩。

2.计算扭矩，画出扭矩图。

3.确定危险截面以及危险面上的扭矩数值。

4.计算危险截面上的最大剪应力或单位长度上的相对扭转角。

5.根据需要，应用强度设计准则与刚度设计准则对圆轴进行强度与刚度校核，设计轴的直径以及确定许用载荷。工程力学第6章圆轴扭转有些传动轴都是通过与之连接的零件或部件承受外力作用的。这时需要首先将作用在零件或部件上的力向轴线简化，得到轴的受力图。在这种情形下，圆轴将同时承受扭转与弯曲，而且弯曲可能是主要的。这一类圆轴的强度设计比较复杂。还有一些圆轴所受的外力(大小或方向)随着时间的改变而变化。这些问题将在以后的章节（第12、14章）中介绍。工程力学第6章圆轴扭转关于公式的应用条件

扭转剪应力公式是圆轴在弹性范围内导出的，其适用条件是：1.必须是圆轴，否则横截面将不再保持平面，变形协调公式将不再成立。工程力学第6章圆轴扭转关于公式的应用条件2.材料必须满足胡克定律，而且必须在弹性范围内加载，只有这样，剪应力和剪应变的正比关系才成立：才会得到剪应力沿半径方向线性分布的结论，才会得到反映