2023-2024学年辽宁省铁岭市昌图第一高级中学高二(上)月考数学试卷(9月份)

2023-2024学年辽宁省铁岭市昌图第一高级中学高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．（5分）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（）A． B． C． D．2．（5分）设x，y∈R，向量＝（x，1，1），＝（1，y，1），＝（2，﹣4，2），且⊥，∥，则|+|＝（）A． B． C．3 D．43．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＝﹣1“是“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直”的充要条件 B．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0 C．过（x1，y1），（x2，y2）两点的所有直线的方程为 D．直线ax+2y+6＝0与直线x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0互相平行，则a＝﹣14．（5分）下列命题正确的是（）A．||﹣||＜||是向量，不共线的充要条件 B．在空间四边形ABCD中，++＝0 C．在棱长为1的正四面体ABCD中，＝ D．设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若＝++，则P，A，B，C四点共面5．（5分）过点P（1，2）引一条直线，使它与点A（2，3）和点B（4，﹣5）的距离相等，那么这条直线的方程是（）A．4x+y﹣6＝0 B．3x+2y﹣7＝0或4x+y﹣6＝0 C．x+4y﹣6＝0 D．2x+3y﹣7＝0或x+4y﹣6＝06．（5分）已知定点P（﹣2，0）和直线l：（1+3λ）x+（3﹣2λ）y﹣（8+2λ）＝0（λ∈R），则点P到直线l的距离d的最大值为（）A．2 B． C．2 D．27．（5分）如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）A．AC1＝6 B．BD⊥平面ACC1 C．向量与的夹角是120° D．BD1与AC1所成角的余弦值为8．（5分）已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是，则的取值范围为（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。漏选得2分，错选0分）（多选）9．（5分）已知空间向量，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．与夹角的余弦值为（多选）10．（5分）下列说法错误的是（）A．直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直则a＝﹣1 B．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0 C．过（x1，y1）、（x2，y2）两点的所有直线的方程为 D．无论k为何值，直线kx+y+1＝2k必过定点（2，﹣1）（多选）11．（5分）对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是（）A．若，则，的夹角是钝角 B．若，，则 C．若，则 D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底（多选）12．（5分）已知直线l：2x+3y﹣12＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线m过AB的中点，若直线l，m及x轴围成的三角形面积为6，则直线m的方程可以为（）A．2x﹣3y＝0 B．2x+9y＝0 C．2x+9y﹣24＝0 D．2x+3y＝0三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．（5分）已知直线l过点P（2，﹣1），在x轴和y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为．14．（5分）已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），且k+与2﹣的夹角为钝角，则实数k的取值范围为．15．（5分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，点G为底面△ABC的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若，，，则＝．16．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝2，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到原点P．若光线QR经过△ABC的重心，则BP长为．​四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）若直线l过点P（﹣1，2），且与直线3x﹣4y+5＝0平行，求直线l的一般式方程；（2）若直线l过点Q（1，﹣2），且与直线3x﹣4y+5＝0垂直，求直线l的斜截式方程．18．（12分）已知向量＝（2，﹣3，﹣2），＝（﹣1，5，﹣3）．（1）当t+与3+2平行时，求实数t的值；（2）当+u与3+垂直时，求实数u的值．19．（12分）已知OA，OB，OC两两垂直，OA＝OC＝3，OB＝2，M为OB的中点，点N在AC上，AN＝2NC．（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）若点P在线段BC上，设，当AP⊥MN时，求实数λ的值．20．（12分）等腰直角三角形ABC的直角顶点B和顶点A都在直线2x﹣y﹣3＝0上，顶点C的坐标是（﹣2，3），直线AC的倾斜角是钝角．（1）求直线BC，AC在x轴上的截距之和；（2）平行于AC的直线l与边AB，BC分别交于点D，E，若△BDE的面积等于，求直线l与两坐标轴围成的三角形的周长．21．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB＝3，AD＝2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．22．（12分）如图，PO是三棱锥P﹣ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．（1）证明：OE∥平面PAC；（2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C﹣AE﹣B的正弦值．

2023-2024学年辽宁省铁岭市昌图第一高级中学高二（上）月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．（5分）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（）A． B． C． D．【考点】直线的倾斜角．【答案】A【分析】由方向向量的坐标得出直线的斜率，再求倾斜角即可．【解答】解：由题意可得：直线l的斜率，即直线l的倾斜角为．故选：A．2．（5分）设x，y∈R，向量＝（x，1，1），＝（1，y，1），＝（2，﹣4，2），且⊥，∥，则|+|＝（）A． B． C．3 D．4【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【答案】C【分析】利用向量平行和向量垂直的性质列出方程组，求出x，y，再由平面向量坐标运算法则求出，由此能求出||．【解答】解：设x，y∈R，向量＝（x，1，1），＝（1，y，1），＝（2，﹣4，2），且⊥，∥，∴，解得x＝1，y＝﹣2，∴＝（1，1，1）+（1，﹣2，1）＝（2，﹣1，2），∴|+|＝．故选：C．3．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＝﹣1“是“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直”的充要条件 B．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0 C．过（x1，y1），（x2，y2）两点的所有直线的方程为 D．直线ax+2y+6＝0与直线x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0互相平行，则a＝﹣1【考点】命题的真假判断与应用；直线的两点式方程；直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系．【答案】D【分析】A选项，可根据两直线的垂直关系进行证明，但是在用斜率关系判定直线的垂直关系时，需要考虑斜率不存在的特殊情况；B选项是对直线的截距式方程进行考查，所以可以用直线的截距式方程定义进行求解但需要考直线在坐标轴上的截距为0的特殊情况；C选项主要考查直线的两点式方程定义，在定义中一定要注意条件x1≠x2，y1≠y2；D选项主要考查两直线平行的判定，所以可以根据两直线斜率相等进行判断．【解答】A选项：根据直线垂直的定义可知，①若两直线斜率都存在且不为0时，k1•k2＝﹣1⇔l1⊥l2，本题中当两直线斜率都存在且不为0，即a≠0时，，则当⇔a＝﹣1时，两直线垂直；②当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，两直线垂直，此时a＝0，故A错误；B选项：根据题意假设直线在x，y轴上的截距分别为a，b，则有①当a＝b＝0时，即直线经过原点，且过点（1，1），此时直线方程为x﹣y＝0；②当a＝b≠0时，则可设直线的截距式方程为，代入点（1，1）可得，直线方程为x+y﹣2＝0；故B错误；C选项：根据直线的两点式方程定义可知，若直线经过点（x1，y1），（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2时，可得直线的两点式方程为，但当①x1＝x2，y1≠y2时，直线方程为y＝y1；②x1≠x2，y1＝y2时，直线方程为x＝x1；故C错误；D选项：根据直线平行的判定可知，当两直线的斜率都不存在，或都存在且相等时，两直线平行；本题中，①当a＝0时直线ax+2y+6＝0斜率为0，直线x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0斜率为1，此时两直线不平行；②当a≠0时，，若两直线平行，则有，解之可得，a＝2，或a＝﹣1；故D选项正确．故选：D．4．（5分）下列命题正确的是（）A．||﹣||＜||是向量，不共线的充要条件 B．在空间四边形ABCD中，++＝0 C．在棱长为1的正四面体ABCD中，＝ D．设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若＝++，则P，A，B，C四点共面【考点】命题的真假判断与应用．【答案】B【分析】由向量共线和充分必要条件的定义可判断A；由向量的加减和数量积的定义可判断B；由向量数量积的定义计算可判断C；由四点共面的条件可判断D．【解答】解：由||﹣||＜||，向量，可能共线，比如共线向量，的模分别是2，3，故A不正确；在空间四边形ABCD中，++＝（+）•﹣•﹣•＝•（﹣）+•（﹣）＝•+•＝0，故B正确；在棱长为1的正四面体ABCD中，＝1×1×cos120°＝﹣，故C错误；设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若＝++，由++1＝2≠1，可得P，A，B，C四点不共面，故D错误．故选：B．5．（5分）过点P（1，2）引一条直线，使它与点A（2，3）和点B（4，﹣5）的距离相等，那么这条直线的方程是（）A．4x+y﹣6＝0 B．3x+2y﹣7＝0或4x+y﹣6＝0 C．x+4y﹣6＝0 D．2x+3y﹣7＝0或x+4y﹣6＝0【考点】直线的两点式方程．【答案】B【分析】由题意得，所求直线经过线段AB的中点，或者所求的直线和线段AB平行，①当所求直线经过线段AB的中点时，由两点式求得直线的方程．②当所求的直线和线段AB平行时，利用点斜式求直线的方程．【解答】解：由题意得，所求直线经过线段AB的中点，或者所求的直线和线段AB平行，由中点公式可求线段AB的中点坐标为（3，﹣1），又直线过点P（1，2），∴当所求直线经过线段AB的中点时，由两点式得所求直线的方程为y﹣2﹣1﹣2＝x﹣13﹣1，即3x+2y﹣7＝0，当所求的直线和线段AB平行时，直线的斜率为3+52﹣4＝﹣4，由点斜式得y﹣2＝﹣4（x﹣1），即4x+y﹣6＝0，综上，所求直线的方程为3x+2y﹣7＝0或4x+y﹣6＝0．故选：B．6．（5分）已知定点P（﹣2，0）和直线l：（1+3λ）x+（3﹣2λ）y﹣（8+2λ）＝0（λ∈R），则点P到直线l的距离d的最大值为（）A．2 B． C．2 D．2【考点】点到直线的距离公式．【答案】D【分析】根据条件，得到直线l经过定点（2，2），再利用两点间的距离公式，求出距离的最大值．【解答】解：直线l：（1+3λ）x+（3﹣2λ）y﹣（8+2λ）＝0（λ∈R），整理得λ（3x﹣2y﹣2）+（x+3y﹣8）＝0，由，解得，故点P（﹣2，0）到直线l的距离的最大值为d＝．故选：D．7．（5分）如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）A．AC1＝6 B．BD⊥平面ACC1 C．向量与的夹角是120° D．BD1与AC1所成角的余弦值为【考点】异面直线及其所成的角；棱柱的结构特征．【答案】B【分析】直接利用向量的线性运算，向量的数量积，向量的模，向量的夹角运算判断A、B、C、D的结论．【解答】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，故＝2＝＝216，故，故A错误；对于B：根据角平分线定理，点A1在平面ABCD上的射影在AC上，由于四边形ABCD为菱形，故AC⊥BD，所以BD⊥平面AA1C1C，故B正确；对于C：由于△BCB1为等边三角形，所以向量与的夹角是60°，故C错误；对于D：利用，则，整理得：，由于＝＝72，所以＝，故D错误．故选：B．8．（5分）已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是，则的取值范围为（）A． B． C． D．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】B【分析】设外接球的球心为O，求得半径r＝1，由向量的线性运算及数量积运算可得•＝||2﹣1，由||的范围即可得解．【解答】解：设外接球的球心为O，半径为r，则r＝1+1+2＝1，因为•＝（+）•（+），且＝﹣，所以•＝（+）•（﹣）＝||2﹣||2＝||2﹣1，因为≤||≤1，所以≤||2≤1，所以﹣≤||2﹣1≤0，所以的取值范围是[﹣，0]．故选：B．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。漏选得2分，错选0分）（多选）9．（5分）已知空间向量，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．与夹角的余弦值为【考点】空间向量的数量积运算；共线向量与共面向量．【答案】BCD【分析】直接利用已知空间向量的坐标，利用平行向量、向量的模、垂直向量、向量的夹角公式对四个选项逐一判断即可．【解答】解：因为，，而，故A不正确；因为，，所以，故B正确；因为，故C正确；又，故D正确．故选：BCD．（多选）10．（5分）下列说法错误的是（）A．直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直则a＝﹣1 B．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0 C．过（x1，y1）、（x2，y2）两点的所有直线的方程为 D．无论k为何值，直线kx+y+1＝2k必过定点（2，﹣1）【考点】恒过定点的直线；命题的真假判断与应用；直线的两点式方程；直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【答案】AC【分析】A．利用直线互相垂直，可得a2﹣（﹣a）＝0，解得a，即可判断出结论．B．直线经过原点时，可得直线方程为：y＝x，即x﹣y＝0；直线不经过原点时，可设直线方程为：x+y＝a，把点（1，1）代入可得a，进而判断出正误．C．分类讨论：x1＝x2；y1＝y2；x1≠x2，y1≠y2，分别得出直线方程，即可判断出正误．D．直线kx+y+1＝2k化为：k（x﹣2）+y+1＝0，令，解出x，y，进而判断出直线所经过的定点，即可判断出正误．【解答】解：A．直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直，则a2﹣（﹣a）＝0，解得a＝0或﹣1，因此不正确．B．直线经过原点时，可得直线方程为：y＝x，即x﹣y＝0；直线不经过原点时，可设直线方程为：x+y＝a，把点（1，1）代入可得：1+1＝a，解得a＝2．综上可得满足条件的直线方程为：x+y﹣2＝0或x﹣y＝0，因此正确．C．过（x1，y1）、（x2，y2）两点的所有直线的方程为：x1＝x2时，直线方程为x＝x1；y1＝y2时，直线方程为：y＝y1；x1≠x2，y1≠y2时，直线方程为：＝，因此不正确．D．直线kx+y+1＝2k化为：k（x﹣2）+y+1＝0，令，解得，无论k为何值，直线kx+y+1＝2k必过定点（2，﹣1），因此正确．故选：AC．（多选）11．（5分）对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是（）A．若，则，的夹角是钝角 B．若，，则 C．若，则 D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；命题的真假判断与应用．【答案】BD【分析】根据题意，对选项中的命题进行分析与判断，即可得出正确的答案．【解答】解：对于A，若，则，的夹角θ满足cosθ＜0，所以θ是钝角或θ＝π，所以选项A错误；对于B，因为•＝﹣1﹣2+3＝0，所以⊥，选项B正确；对于C，根据向量的数量积定义知，•＝•时，＝不一定成立，选项C错误；对于D，因为≠λ+μ，所以向量、、不共面，，，可以作为空间中的一组基底，选项D正确．故选：BD．（多选）12．（5分）已知直线l：2x+3y﹣12＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线m过AB的中点，若直线l，m及x轴围成的三角形面积为6，则直线m的方程可以为（）A．2x﹣3y＝0 B．2x+9y＝0 C．2x+9y﹣24＝0 D．2x+3y＝0【考点】直线的一般式方程与直线的性质；直线的截距式方程．【答案】AC【分析】由中点坐标公式可求得AB中点P（3，2），设直线m与x轴交点为C（t，0），利用三角形面积可求得t，由此确定C点坐标，从而确定直线m的斜率，由直线点斜式可求得结果．【解答】解：直线l：2x+3y﹣12＝0中，分别令x＝0，y＝0可得：A（6，0），B（0，4），∴AB中点为P（3，2）；设直线m与x轴交点为C（t，0），则直线l，m及x轴围成的三角形面积，解得：t＝0或t＝12，即C（0，0）或C（12，0），∴或，∴直线m方程为：或，即2x﹣3y＝0或2x+9y﹣24＝0．故选：AC．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．（5分）已知直线l过点P（2，﹣1），在x轴和y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为x+2y＝0或x﹣y﹣3＝0．【考点】直线的截距式方程．【答案】x+2y＝0或x﹣y﹣3＝0．【分析】考虑直线l是否经过原点，若不经过原点，利用直线的截距式方程求解；若经过原点，利用直线的点斜式方程写出即可．【解答】解：若直线l经过原点，则其斜率为，故其方程为：，即x+2y＝0，若直线l不经过原点，设其方程为，又其过点（2，﹣1），则，解得a＝3，故直线l方程为：，整理可得：x﹣y﹣3＝0，综上所述，满足题意的直线方程为：x+2y＝0或x﹣y﹣3＝0．故答案为：x+2y＝0或x﹣y﹣3＝0．14．（5分）已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），且k+与2﹣的夹角为钝角，则实数k的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，）．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【答案】（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，）．【分析】由题意利用两个向量的数量积公式求得，再两个向量共线的性质，两个向量的夹角公式，求得k的范围．【解答】解：∵向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），∴•＝﹣1，且、不平行．∵k+与2﹣的夹角为钝角，设k+与2﹣的夹角为θ，k+与2﹣不共线且cosθ＜0，即≠，且（k+）•（2﹣）＜0，即k≠﹣2，且2k+（2﹣k）•﹣＜0．即k≠﹣，且4k﹣（2﹣k）﹣5＜0，求得k＜，且k≠﹣2．则实数k的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，）．15．（5分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，点G为底面△ABC的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若，，，则＝．【考点】平面向量的基本定理．【答案】．【分析】利用空间向量的线性运算，将四点共面的向量条件表示出来，然后加以化简，得到系数k，m，n的关系，化简求值即可．【解答】解：由题意可知，，因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数λ，μ，使，所以，所以，所以，故．故答案为：．16．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝2，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到原点P．若光线QR经过△ABC的重心，则BP长为．​【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【答案】【分析】建立平面直角坐标系，将问题转化平面解析几何进行研究，先求出直线BC的方程和△ABC重心的坐标，然后利用入射光线和反射光线之间的关系进行求解即可．【解答】解：以直线AB为x轴，直线BC为y轴，建立平面直角坐标系，则B（2，0），C（0，2），直线BC的方程为x+y﹣2＝0，△ABC的重心，设M，N分别是点P关于直线BC和y轴的对称点，P（a，0），则M（2，2﹣a），N（﹣a，0），由光的反射原理可知，M，Q，R，N四点共线，所以kMN＝kNG，即，解得，所以BP＝．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）若直线l过点P（﹣1，2），且与直线3x﹣4y+5＝0平行，求直线l的一般式方程；（2）若直线l过点Q（1，﹣2），且与直线3x﹣4y+5＝0垂直，求直线l的斜截式方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．【答案】（1）3x﹣4y+11＝0；（2）．【分析】（1）由题可设直线方程为3x﹣4y+m＝0，进而即得；（2）设直线方程为4x+3y+n＝0，把点坐标代入即得．【解答】解：（1）因为与直线3x﹣4y+5＝0平行，设直线方程为：3x﹣4y+m＝0，将P（﹣1，2）代入方程，得m＝11，所以直线方程为3x﹣4y+11＝0；（2）因为与直线3x﹣4y+5＝0垂直，设直线方程为：4x+3y+n＝0，将Q（1，﹣2）代入方程，得n＝2，所以直线方程为4x+3y+2＝0．即直线l的斜截式方程为．18．（12分）已知向量＝（2，﹣3，﹣2），＝（﹣1，5，﹣3）．（1）当t+与3+2平行时，求实数t的值；（2）当+u与3+垂直时，求实数u的值．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）先求得t+与3+2的坐标，再根据两个向量平行的条件，求得t的值．（2）先求得+u与3+的坐标，再根据两个向量垂直的条件，求得实数u的值．【解答】解：（1）由题意可得t+＝（2t﹣1，5﹣3t，﹣3﹣2t），3+2＝（4，1，﹣12），由t+与3+2平行，可得，解得t＝．（2）由于+u＝（2﹣u，5u﹣3，﹣3u﹣2），3+＝（5，﹣4，﹣9），由ta+b与3a+2b垂直，可得5（2﹣u）﹣4（5u﹣3）+9（3u+2）＝0，解得u＝﹣20．19．（12分）已知OA，OB，OC两两垂直，OA＝OC＝3，OB＝2，M为OB的中点，点N在AC上，AN＝2NC．（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）若点P在线段BC上，设，当AP⊥MN时，求实数λ的值．【考点】直线与平面垂直．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出MN的长．（Ⅱ）B（0，2，0），设P（x，y，z），由设，得：P（0，，），由此能求出λ的值．【解答】解：（Ⅰ）OA，OB，OC两两垂直，OA＝OC＝3，OB＝2，M为OB的中点，点N在AC上，AN＝2NC．以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，则M（0，1，0），A（3，0，0），C（0，0，3），N（1，0，2），∴MN的长|MN|＝＝．（Ⅱ）B（0，2，0），设P（x，y，z），由设，得：P（0，，），＝（﹣3，，），＝（1，﹣1，2），∵AP⊥MN，∴＝﹣3﹣+＝0，解得λ＝．20．（12分）等腰直角三角形ABC的直角顶点B和顶点A都在直线2x﹣y﹣3＝0上，顶点C的坐标是（﹣2，3），直线AC的倾斜角是钝角．（1）求直线BC，AC在x轴上的截距之和；（2）平行于AC的直线l与边AB，BC分别交于点D，E，若△BDE的面积等于，求直线l与两坐标轴围成的三角形的周长．【考点】直线的截距式方程．【答案】（1）3；（2）．【分析】（1）设A（a，2a﹣3），由|AB|＝|BC|知点A到直线BC的距离等于点C到直线AB的距离，可求得a，即可求解；（2）设直线l的方程为3x+y+m＝0，求出△ABC的面积，进一步求得m，即可求解．【解答】解：（1）根据题意，因为直线AB的方程为2x﹣y﹣3＝0，所以直线BC的斜率为，直线BC的方程为，变形可得x+2y﹣4＝0，令y＝0，得x＝4，所以直线BC在x轴上的截距为4，设A（a，2a﹣3），由于|AB|＝|BC|，则点A到直线BC的距离等于点C到直线AB的距离，即，解得a＝0或a＝4，又直线AC的倾斜角为钝角，所以a＝0，即A（0，﹣3），所以直线AC的方程为3x+y+3＝0，令y＝0，得x＝﹣1，所以直线AC在x轴上的截距为﹣1，所以直线BC、AC在x轴上的截距之和为3．（2）设直线l的方程为3x+y+m＝0，BC的方程为x+2y﹣4＝0且顶点B在直线2x﹣y﹣3＝0上，则，解可得B（2，1），则|BC|＝＝2，△ABC的面积为，而△BDE的面积为，所以点B到直线AC的距离是点B到直线l的距离的2倍，即，解得m＝﹣2或m＝﹣12，因为直线l与边AB，BC分别交于点D，E，所以m＝﹣2，即直线l的方程为3x+y﹣2＝0，所求三角形的周长为2+＝．21．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB＝3，AD＝2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．【考点】二面角的平面角及求法；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，结合∠EBC＝120°求得∠CBP＝30°；（Ⅱ）法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEHC为菱形，取AG中点M，连接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠EMC为所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AG﹣C的大小．法二、以B为坐标原点，分别以BE