2023-2024学年内蒙古通辽市科左中旗实验高级中学高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年内蒙古通辽市科左中旗实验高级中学高一（下）期末数学试卷一、单选题（每小题5分，共8题，合计40分）1．（5分）已知集合U＝{0，1，3，5，7，9}，A＝{1，3}，B＝{1，7}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，3，7} B．{5，9} C．{0，3，5，7，9} D．{0，5，9}2．（5分）复数z=−iA．−12i B．−13．（5分）命题“∃x＞0，x2+x﹣1＞0”的否定是（）A．∀x＞0，x2+x﹣1＞0 B．∀x＞0，x2+x﹣1≤0 C．∃x≤0，x2+x﹣1＞0 D．∃x≤0，x2+x﹣1≤04．（5分）幂函数f（x）的图象过点（2，2），则f（16）＝（）A．2 B．4 C．22 D．5．（5分）若正数x，y满足xy＝100，则x+y的最小值是（）A．10 B．20 C．100 D．2006．（5分）设a＝log2π，b＝log12π，c＝π﹣2，则a，b，cA．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a7．（5分）已知平面向量a→=(5，0)，b→=(2，−1)，则向量A．（2，﹣1） B．（5，0） C．(458．（5分）若cosα+sinαcosα=3，则A．﹣1 B．13 C．1 二、多选题（每小题5分，共4题，合计20分。全部答对得5分，部分答对得2分）（多选）9．（5分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A．圆柱的侧面积为4πR2 B．圆锥的侧面积为5πC．圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小（多选）10．（5分）下列结论正确的是（）A．若A（0，0），B（2，3），C（﹣4，﹣6），则A，B，C三点共线 B．若A（0，0），B（2，4），则线段AB的中点坐标为（1，2） C．模等于1个单位长度的向量称为单位向量 D．y＝2x3是幂函数（多选）11．（5分）设α是三角形的一个内角，下列选项中可能为负值的有（）A．sinα B．cosα C．tanα D．cosα+sinα（多选）12．（5分）下列各式中计算结果等于1的有（）A．sin2α+cos2α B．sinπC．log23•log32 D．lg2+lg5三、填空题（每小题5分，共4题，合计20分）13．（5分）已知圆锥的体积为33π（单位：cm3），且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是（单位：14．（5分）设f(x)=log3x，0＜x＜111+x，x≥115．（5分）某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生人．16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角的大小是．四、解答题（17题10分，18～22题各12分，合计70分）17．（10分）已知角α的终边经过点P（45，−（1）求cosα的值；（2）求sin(π2−α)18．（12分）已知向量a→=(2，−2)，|b（1）求|2a（2）若向量ka→+b→19．（12分）已知函数y＝Asin（ωx+φ）(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π（1）求这个函数的解析式；（2）求函数在区间[−π2，−20．（12分）已知△ABC的内角为A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且bcosA＝2ccosC﹣acosB．（1）求角C的大小；（2）若c＝2，b2+c2＝a2+4accosA，求△ABC的面积．21．（12分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝22．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求平面PCD和平面ABCD夹角的余弦值的大小．22．（12分）已知函数f(x)=23（1）求函数y＝f（x）的最小正周期；（2）将函数f（x）图象上所有的点向左平移π6个单位后，得到函数g（x）的图象，当x∈[0，π2]时，求函数

2023-2024学年内蒙古通辽市科左中旗实验高级中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分，共8题，合计40分）1．（5分）已知集合U＝{0，1，3，5，7，9}，A＝{1，3}，B＝{1，7}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，3，7} B．{5，9} C．{0，3，5，7，9} D．{0，5，9}【考点】交、并、补集的混合运算．【答案】D【分析】先求A∪B，再根据补集定义即可求解结论．【解答】解：∵集合U＝{0，1，3，5，7，9}，A＝{1，3}，B＝{1，7}，∴A∪B＝{1，3，7}，∴∁U（A∪B）＝{0，5，9}．故选：D．2．（5分）复数z=−iA．−12i B．−1【考点】复数的运算．【答案】B【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．【解答】解：z=−i则复数z=−i1−i的虚部为故选：B．3．（5分）命题“∃x＞0，x2+x﹣1＞0”的否定是（）A．∀x＞0，x2+x﹣1＞0 B．∀x＞0，x2+x﹣1≤0 C．∃x≤0，x2+x﹣1＞0 D．∃x≤0，x2+x﹣1≤0【考点】存在量词命题的否定．【答案】B【分析】由已知结合含有量词的命题的否定即可求解．【解答】解：根据含有量词的命题的否定可知，∃x＞0，x2+x﹣1＞0的否定∀x＞0，x2+x﹣1≤0．故选：B．4．（5分）幂函数f（x）的图象过点（2，2），则f（16）＝（）A．2 B．4 C．22 D．【考点】幂函数的概念．【答案】B【分析】利用待定系数法进行求解即可．【解答】解：设f（x）＝xα，∵f（x）的图象过点（2，2），∴f（2）＝2α=2则α=1则f（x）=xf（16）＝4，故选：B．5．（5分）若正数x，y满足xy＝100，则x+y的最小值是（）A．10 B．20 C．100 D．200【考点】基本不等式及其应用．【答案】B【分析】由已知结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为正数x，y满足xy＝100，所以x+y≥2xy=20，当且仅当x＝故x+y的最小值是20．故选：B．6．（5分）设a＝log2π，b＝log12π，c＝π﹣2，则a，b，cA．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【答案】C【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵a＝log2π＞log22＝1，b＝log12π＜log10＜c＝π﹣2＜π0＝1，∴a＞c＞b，故选：C．7．（5分）已知平面向量a→=(5，0)，b→=(2，−1)，则向量A．（2，﹣1） B．（5，0） C．(45【考点】平面向量的投影向量．【答案】A【分析】利用投影向量的定义求解即可．【解答】解：a→=(5，0)，则a→则向量a→−b|a故选：A．8．（5分）若cosα+sinαcosα=3，则A．﹣1 B．13 C．1 【考点】两角和与差的三角函数．【答案】B【分析】由已知等式，结合同角基本关系先求出tanα，然后结合两角差的正切公式即可求解．【解答】解：因为cosα+sinαcosα=3=1+tan所以tanα＝2，则tan(α−π故选：B．二、多选题（每小题5分，共4题，合计20分。全部答对得5分，部分答对得2分）（多选）9．（5分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A．圆柱的侧面积为4πR2 B．圆锥的侧面积为5πC．圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小【考点】球的体积和表面积．【答案】ABC【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式，体积公式逐项计算可得结论．【解答】解：对于A：圆柱的侧面积为2πR•2R＝4πR2，所以A选项正确．对于B：圆锥的侧面积为π⋅R⋅R2+(2R对于C：圆锥的体积为13πR2⋅2R=23πR3，圆柱的体积为球的体积为43πR对于D：球的表面积为4πR2，圆柱的表面积为2πR•2R+2πR2＝6πR2，圆锥的表面积为π⋅R⋅R2+(2R故选：ABC．（多选）10．（5分）下列结论正确的是（）A．若A（0，0），B（2，3），C（﹣4，﹣6），则A，B，C三点共线 B．若A（0，0），B（2，4），则线段AB的中点坐标为（1，2） C．模等于1个单位长度的向量称为单位向量 D．y＝2x3是幂函数【考点】平面向量的概念与平面向量的模；中点坐标公式；幂函数的概念．【答案】ABC【分析】直接利用向量的共线，中点坐标公式，单位向量的定义，幂函数的定义判断A、B、C、D的结论．【解答】解：对于A：由于A（0，0），B（2，3），C（﹣4，﹣6），所以AB→=(2，3)，AC→=(−4，−6)，故AC→=−2AB→，所以对于B：由于A（0，0），B（2，4），则线段AB的中点坐标为（0+22，0+4对于C：模长等于1个单位长度的向量称为单位向量，故C正确；对于D：函数y＝2x3由于系数不为1，故不是幂函数，故D错误．故选：ABC．（多选）11．（5分）设α是三角形的一个内角，下列选项中可能为负值的有（）A．sinα B．cosα C．tanα D．cosα+sinα【考点】三角函数值的符号．【答案】BCD【分析】由α是三角形的一个内角可得α的范围，即可得A、B、C选项，结合辅助角公式可得D．【解答】解：α是三角形的一个内角，故0＜α＜π，则sinα＞0，cosα可能小于0，tanα可能小于0，cosα+sinα=2则π4故选：BCD．（多选）12．（5分）下列各式中计算结果等于1的有（）A．sin2α+cos2α B．sinπC．log23•log32 D．lg2+lg5【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；对数的运算性质；运用诱导公式化简求值．【答案】ACD【分析】对于A，利用同角三角函数基本关系式即可求解；对于B，利用二倍角公式即可求解；对于C，利用换底公式即可求解；对于D，直接利用对数的运算的应用求出结果．【解答】解：对于A，sin2α+cos2α＝1，正确；对于B，sinπ4⋅cos对于C，log23•log32=lg3对于D，lg2+lg5＝lg10＝1，正确．故选：ACD．三、填空题（每小题5分，共4题，合计20分）13．（5分）已知圆锥的体积为33π（单位：cm3），且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是（单位：【考点】圆锥的体积．【答案】见试题解答内容【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由已知圆锥的体积公式求得l与r的关系，再由圆锥的侧面展开图是一个半圆，可得l与r的另一关系，联立两方程即可求得r．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则高为l2由V=13π∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，∴2πr＝πl，可得l＝2r，∴2r=r2+3r4，即故答案为：1．14．（5分）设f(x)=log3x，0＜x＜111+x，x≥1【考点】函数的值．【答案】﹣1．【分析】将x的值依次代入函数的解析式，即可求解．【解答】解：f(x)=lo则f（f（2））=f(1故答案为：﹣1．15．（5分）某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生人．【考点】分层随机抽样及其适用条件．【答案】1800．【分析】根据按比例分配的分层随机抽样的特点确定抽样的比例即可求解．【解答】解：由题意可知从三个年级中抽取的300人进行问卷调查，其中高三有120人，所以抽取的比例为120设该校共有n名学生，可得300n解得n＝1800人，即该校共有1800名学生．故答案为：1800．16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角的大小是．【考点】异面直线及其所成的角．【答案】见试题解答内容【分析】要求线线角，关键是作出线线角，利用平行关系可得线线角．故可求．【解答】解：连接AB1，∵E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，∴EF∥AB1∵AB∥CD∴∠B1AB为EF和CD所成的角，∵△ABB1中，AB＝AB1，AB⊥AB1，∴∠B1AB＝45°．∴EF和CD所成的角的大小是45°．故答案为：45°．四、解答题（17题10分，18～22题各12分，合计70分）17．（10分）已知角α的终边经过点P（45，−（1）求cosα的值；（2）求sin(π2−α)【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；任意角的三角函数的定义．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由两点间的距离公式求得点P到原点的距离，然后由余弦函数的定义进行解答；（2）由诱导公式和同角三角函数关系进行化简求值．【解答】解：（1）P点到原点O的距离r=由三角函数定义有cosα=x（2）sin(=cosα18．（12分）已知向量a→=(2，−2)，|b（1）求|2a（2）若向量ka→+b→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的模．【答案】（1）4；（2）−1+52或【分析】（1）由|2a（2）由已知得(ka【解答】解：（1）已知向量a→则a→又(2a则2a即2a则a→则|2a（2）由向量ka→+b→所以ka即8k﹣8k2+8﹣16k＝0，即k2+k﹣1＝0，解得k=−1+5219．（12分）已知函数y＝Asin（ωx+φ）(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π（1）求这个函数的解析式；（2）求函数在区间[−π2，−【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．【答案】（1）y=2sin(2x+π（2）x=−π12时，函数取得最大值0；【分析】（1）由函数图象观察可知A，求函数的周期，由周期求得ω，由点（π6，2）在函数图象上，结合φ的范围求得φ（2）由已知可求2x+π6∈[【解答】解：（1）由函数的部分图象知，最大值为2，最小值为﹣2，所以A＝2，又因为T4=π6−(−π12)，所以所以函数的解析式为y＝2sin（2x+φ）．因为函数的图象经过点(π所以2sin(π3+φ)=2又因为0＜φ＜π2，所以所以函数的解析式为y=2sin(2x+π（2）因为x∈[−π2，−当2x+π6=0当2x+π6=−20．（12分）已知△ABC的内角为A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且bcosA＝2ccosC﹣acosB．（1）求角C的大小；（2）若c＝2，b2+c2＝a2+4accosA，求△ABC的面积．【考点】解三角形．【答案】（1）π3（2）23【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算即可求解；（2）由题意和余弦定理可得a，b的关系，再次利用余弦定理求出a、b的值，结合三角形的面积公式计算即可求解．【解答】解：（1）bcosA＝2ccosC﹣acosB，由正弦定理得sinBcosA＝2sinCcosC﹣sinAcosB，即sinBcosA+sinAcosB＝2sinCcosC，得sin（A+B）＝2sinCcosC，即sinC＝2sinCcosC，又C∈（0，π），sinC＞0，所以1＝2cosC，即cosC=1所以C=π（2）由b2+c2＝a2+4accosA，即b2+c2﹣a2＝4accosA，由余弦定理得b2+c2﹣a2＝2bccosA，所以4accosA＝2bccosA，又cosA≠0，所以b＝2a，由（1）知，C=π由余弦定理得c2又c＝2，所以3a2＝4，由a＞0，解得a=2所以b=4故S△ABC21．（12分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝22．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求平面PCD和平面ABCD夹角的余弦值的大小．【考点】二面角