2023-2024学年内蒙古兴安盟科右前旗二中高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年内蒙古兴安盟科右前旗二中高二（下）期末数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知等差数列{an}的通项公式an＝﹣3n+5，则它的公差为（）A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣52．（5分）若(x+2A．11 B．10 C．9 D．83．（5分）已知P(B)＞0，P(A)=23，P(AB)=A．56 B．12 C．144．（5分）学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3位同学分别到A，B，C三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（）A．70种 B．140种 C．420种 D．840种5．（5分）已知数列{an}是等比数列，若a2，a48是2x2﹣7x+6＝0的两个根，则a1•a2•a25•a48•a49的值为（）A．354 B．93 C．±96．（5分）若曲线y＝f（x）在某点（x0，f（x0））处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（）A．y=−1x B．y＝sinx C．y＝xex D．y＝x7．（5分）如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y＝f（x）的极值点；②1不是函数y＝f（x）的极值点；③y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零；④y＝f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增；其中正确命题的序号是（）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②8．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝﹣3，S6＝21，则等比数列的公比q等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．5二、多选题（每小题6分，共18分，选错得0分，部分选对得部分分）（多选）9．（6分）下列结论正确的是（）A．C7B．Anm=nAn−1m−1（m，nC．C5D．满足方程C16x2−x=C16（多选）10．（6分）在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1000名学生，某学科的期中考试成绩（百分制且卷面成绩均为整数）Z服从正态分布N（82.5，5.42），则（人数保留整数）（）参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）≈0.9973．A．年级平均成绩为82.5分 B．成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等 C．成绩不超过77分的人数少于150 D．超过99分的人数约为1（多选）11．（6分）A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有5%，4%，3%的人患了流感．假设这三个地区的人口数之比为4：9：7，则（）A．从三个地区中任选一人，此人未患流感的概率大于0.96 B．等可能从三个地区中选取一人，此人患流感的概率为0.05 C．从三个地区中任选一人，此人选自B地区且患流感的概率为0.017 D．从三个地区中任选一人，若此人患流感，则此人选自C地区的概率为3三、填空题（每小题5分，共15分）12．（5分）二项式(2x+1x)5的展开式中，x13．（5分）一批产品的二等品率为0.3，从这批产品中每次随机抽取一件，并有放回地抽取4次，用X表示抽到二等品的件数，则D[X]＝．14．（5分）在数列{an}中，已知a1=23四、解答题（共77分）15．（13分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．求：（1）X的分布；（2）X的期望与方差；（3）“所选3人中至多有1名女生”的概率．16．（15分）已知数列{an}的首项a1＝3，且满足an+1＝2an﹣1（n∈N*）．（1）求证：数列{an﹣1}为等比数列；（2）记bn＝log2（an﹣1），求数列{1bnbn+1}的前n17．（15分）某汽车驾驶学校在学员学习完毕后，对学员的驾驶技术进行9选3考试（即共9项测试，随机选取3项）考核，若全部过关，则颁发结业证；若不合格，则参加下期考核，直至合格为止，若学员小李抽到“移库”一项，则第一次合格的概率为12，第二次合格的概率为23，第三次合格的概率为（1）求小李第一次考试即通过的概率P1；（2）求小李参加考核的次数ξ的分布列及均值．18．（17分）已知Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn＝2an﹣1，n∈N*．数列{bn}是等差数列，且b1＝﹣a1，b2+b4＝﹣10．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an+bn}的前n项和Tn；（Ⅲ）设∁n＝a1•a3…a2n﹣1，且∁n＝4096，求n．19．（17分）已知函数f（x）＝x[1+（lnx）2]−ax22，（Ⅰ）若a＝2，求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在[1，+∞）上单调递减，求a的取值范围．

2023-2024学年内蒙古兴安盟科右前旗二中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知等差数列{an}的通项公式an＝﹣3n+5，则它的公差为（）A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5【考点】等差数列的通项公式．【答案】B【分析】根据等差数列公差的定义求解．【解答】解：由题意得d＝an+1﹣an＝﹣3（n+1）+5﹣（﹣3n+5）＝﹣3．故选：B．2．（5分）若(x+2A．11 B．10 C．9 D．8【考点】二项式系数的性质．【答案】B【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得n的值．【解答】解：若(x+2x2故选：B．3．（5分）已知P(B)＞0，P(A)=23，P(AB)=A．56 B．12 C．14【考点】条件概率．【答案】B【分析】利用条件概率公式求解．【解答】解：∵P(B)＞0，P(A)=2∴P（BA）＝P（A）﹣P（AB）=2∴P（B|A）=P(故选：B．4．（5分）学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3位同学分别到A，B，C三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（）A．70种 B．140种 C．420种 D．840种【考点】计数原理的应用．【答案】C【分析】满足条件的事件是选出的3位同学中男女都有，包括两种情况，①一男两女，②一女两男，用组合数写出事件数，分别到A，B，C三地进行社会调查，有A3【解答】解：由题意，满足条件的事件是选出的3位同学中男女都有，包括两种情况，一是一男两女，二是一女两男，共有C41C52+C51C42＝70分别到A，B，C三地进行社会调查，有A3故共有70×6＝420种．故选：C．5．（5分）已知数列{an}是等比数列，若a2，a48是2x2﹣7x+6＝0的两个根，则a1•a2•a25•a48•a49的值为（）A．354 B．93 C．±9【考点】由等比数列中若干项求通项公式或其中的项．【答案】C【分析】根据一元二次方程，结合韦达定理得出a2+a48【解答】解：若a2，a48是2x2﹣7x+6＝0的两个根，则a2因为数列{an}是等比数列，a2∴a25=±3故选：C．6．（5分）若曲线y＝f（x）在某点（x0，f（x0））处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（）A．y=−1x B．y＝sinx C．y＝xex D．y＝x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】D【分析】对函数求导，然后判断该导数等于1是否有根即可．【解答】解：对于A，令y′=1x2=1得对于B，令y′＝cosx＝1得x＝2kπ，k∈Z，故B不符合题意；对于C，令y′＝（x+1）ex＝1，易知，x＝0是该方程的一个根，故C不符合题意；对于D，令y′=1+1x=1（x故选：D．7．（5分）如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y＝f（x）的极值点；②1不是函数y＝f（x）的极值点；③y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零；④y＝f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增；其中正确命题的序号是（）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②【考点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的极值．【答案】A【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【解答】解：根据导函数图象可知当x∈（﹣∞，﹣2）时，f'（x）＜0，在x∈（﹣2，+∞）时，f'（x）≥0；则函数y＝f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，故y＝f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增正确，即④正确；而在x＝﹣2处f'（﹣2）＝0，左侧单调递减，右侧单调递增，则﹣2是函数y＝f（x）的极小值点，故①正确；∵函数y＝f（x）在（﹣2，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递增；∴1不是函数y＝f（x）极值点，故②正确；∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0；∴y＝f（x）在x＝0处切线的斜率大于零，故③不正确．故选：A．8．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝﹣3，S6＝21，则等比数列的公比q等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．5【考点】由等比数列的前n项和求解数列．【答案】A【分析】根据题意，结合等比数列的前n项和公式求解即可．【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，由S3＝﹣3，S6＝21，得a4+a5+a6＝24，则a1所以q3＝﹣8，所以q＝﹣2．故选：A．二、多选题（每小题6分，共18分，选错得0分，部分选对得部分分）（多选）9．（6分）下列结论正确的是（）A．C7B．Anm=nAn−1m−1（m，nC．C5D．满足方程C16x2−x=C16【考点】排列及排列数公式；组合及组合数公式．【答案】BD【分析】根据组合数公式判断A、C，根据排列数公式判断B，由组合数的性质得到方程，求出x，再检验，即可判断D．【解答】解：对于A：C73=对于B：Anm=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅⋯⋅(n−m+1)所以Anm=nAn−1m−1（m，n为正整数且对于C：C52+所以C52+对于D：因为C16x2−x=C165x−5，所以x2﹣x＝5x解得x＝1或x＝5或x＝3或x＝﹣7经检验x＝1或x＝3符合题意，故满足方程C16x2−x=C165x−5的故选：BD．（多选）10．（6分）在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1000名学生，某学科的期中考试成绩（百分制且卷面成绩均为整数）Z服从正态分布N（82.5，5.42），则（人数保留整数）（）参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）≈0.9973．A．年级平均成绩为82.5分 B．成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等 C．成绩不超过77分的人数少于150 D．超过99分的人数约为1【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】ABD【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．【解答】解：由Z～N（82.5，5.42），可知μ＝82.5，σ＝5.4，所以平均分为μ＝82.5，故A正确；由于95+702=82.5，可知95，70关于根据正态分布的对称性可知，成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）的概率相等，进而人数相等，故B正确；P(Z≤77)≈P(Z≤μ−σ)=1−0.68272=0.15865P(Z≥99)≈P(Z≥μ+3σ)=1−0.9973所以超过99分的人数为1，故D正确．故选：ABD．（多选）11．（6分）A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有5%，4%，3%的人患了流感．假设这三个地区的人口数之比为4：9：7，则（）A．从三个地区中任选一人，此人未患流感的概率大于0.96 B．等可能从三个地区中选取一人，此人患流感的概率为0.05 C．从三个地区中任选一人，此人选自B地区且患流感的概率为0.017 D．从三个地区中任选一人，若此人患流感，则此人选自C地区的概率为3【考点】全概率公式．【答案】AD【分析】根据题意，算出此人来自于A、B、C地区的概率与以及他在某地区患流感的概率，利用全概率公式算出此人患流感的概率，由对立事件的概率公式判断出A项的正误；等可能从三个地区中选取一人，利用全概率公式算出此人患流感的概率，从而判断出B项的正误；由A项的分析得出此人来自于B地区且患流感的概率，判断出C项的正误；根据条件概率公式算出此人患流感且此人来自于C地区的概率，从而判断出D项的正误．【解答】解：记事件D：此人患了流感，事件E：此人来自A地区，事件F：此人来自B地区，事件G：此人来自C地区，由题意可得P(E)=420=0.2，P(F)=920=0.45，P(G)=720=0.35，P（D|E）＝0.05，P（D对于A，由全概率公式，可得：P（D）＝P（E）P（D|E）+P（F）P（D|F）+P（G）P（D|G）＝0.2×0.05+0.45×0.04+0.35×0.03＝0.0385．所以P(D)=1﹣P（D）＝1﹣0.0385＝0.9615＞0.96，故对于B，等可能从这三个地区中选取一个人，即P(E)=P(F)=P(G)=1则P（D）＝P（E）P（D|E）+P（F）P（D|F）+P（G）•P(D|G)=13×(0.05+0.04+0.03)=0.04对于C，由A项的结论，可知P（DF）＝P（F）P（D|F）＝0.45×0.04＝0.018，故C项错误；对于D，由条件概率公式，可得P（G|D）=P(DG)P(D)=故选：AD．三、填空题（每小题5分，共15分）12．（5分）二项式(2x+1x)5的展开式中，x【考点】二项式定理．【答案】80．【分析】求出展开式的通项公式，然后令x的指数为2即可求解．【解答】解：展开式的通项公式为Tr+1=C5令5−3r2=2，解得r＝2，则x2项的系数为故答案为：80．13．（5分）一批产品的二等品率为0.3，从这批产品中每次随机抽取一件，并有放回地抽取4次，用X表示抽到二等品的件数，则D[X]＝．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】0.84．【分析】利用二项分布的方差公式计算即得．【解答】解：依题意，X～（4，0.3），所以D[X]＝4×0.3×0.7＝0.84．故答案为：0.84．14．（5分）在数列{an}中，已知a1=23【考点】数列递推式．【答案】见试题解答内容【分析】推出数列是等差数列，求出通项公式，然后求解即可．【解答】解：在数列{an}中，已知a1当m＝1时，an+1＝an+a1＝an+2则an＝a1+（n﹣1）×2所以an故答案为：23四、解答题（共77分）15．（13分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．求：（1）X的分布；（2）X的期望与方差；（3）“所选3人中至多有1名女生”的概率．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列．【答案】（1）分布列见解析；（2）E(X)=1，D(X)=2（3）45【分析】（1）由题意X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列；（2）由X的分布列能求出X的均值E（X）和方差D（X）；（3）“所选3人中至多有1名女生”的概率p＝p（X＝0）+P（X＝1），由此能求出结果．【解答】解：（1）由题意可得：X可取0，1，2，则P（X＝0）=C43C63=15，P（X所以X的分布列如下：X012P153515（2）由（1）可得，E(X)=0×15+1×（3）由（1）可知“所选3人中至多有1名女生”的概率为：P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=116．（15分）已知数列{an}的首项a1＝3，且满足an+1＝2an﹣1（n∈N*）．（1）求证：数列{an﹣1}为等比数列；（2）记bn＝log2（an﹣1），求数列{1bnbn+1}的前n【考点】裂项相消法；等比数列的概念与判定；等比数列的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）Sn【分析】（1）由等比数列的定义即可求证，（2）由裂项相消法求和，即可求解Sn【解答】证明：（1）由an+1得：an+1又a1﹣1＝2，所以{an﹣1}是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）知，an−1=2×2n−1=2n，所以bn所以1bSn＝b1+b2+b3+⋯+bn=1−1当n∈N*时，Sn=1−117．（15分）某汽车驾驶学校在学员学习完毕后，对学员的驾驶技术进行9选3考试（即共9项测试，随机选取3项）考核，若全部过关，则颁发结业证；若不合格，则参加下期考核，直至合格为止，若学员小李抽到“移库”一项，则第一次合格的概率为12，第二次合格的概率为23，第三次合格的概率为（1）求小李第一次考试即通过的概率P1；（2）求小李参加考核的次数ξ的分布列及均值．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】（1）56（2）分布列见解析，E（ξ）=961【分析】（1）分求出小李没有抽到“移库”和抽到“移库”一项且通过的概率，相加即可；（2）根据题意可能为1，2，3，4，分别求其概率，即可得其分布列．【解答】解：（1）根据题意小李第一次考试即通过包括：①小李没有抽到“移库”一项，②抽到“移库”一项且通过，所以P1（2）根据题意小李参加考核的次数ξ可能为1，2，3，4，则P(ξ=1)=PP(ξ=2)=(1−5P(ξ=3)=(1−5P(ξ=4)=1−5所以ξ分布列为：ξ1234P5642774051810则E（ξ）=1×518．（17分）已知Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn＝2an﹣1，n∈N*．数列{bn}是等差数列，且b1＝﹣a1，b2+b4＝﹣10．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an+bn}的前n项和Tn；（Ⅲ）设∁n＝a1•a3…a2n﹣1，且∁n＝4096，求n．【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】（Ⅰ）an＝2n﹣1，bn＝1﹣2n；（Ⅱ）Tn＝2n﹣n2﹣1；（Ⅲ）n＝4．【分析】（Ⅰ）先由数列{an}的前n项和Sn和通项an的关系式求出相邻项之间的关系，判断出数列{an}的类型，再利用等比数列和等差数列的通项公式即可求解；（Ⅱ）利用等比数列和等差数列的求和公式即可求解；（Ⅲ）由等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，化简整理，解方程可得所求值．【解答】解：（Ⅰ）当n＝1时，S1＝2a1﹣1＝a1得a1