2023-2024学年青海省西宁市城西区海湖中学高三(上)开学数学试卷(理科)

2023-2024学年青海省西宁市城西区海湖中学高三（上）开学数学试卷（理科）一、单选题（每小题5分，共60分）1．（5分）曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x2+y2＝1，则曲线C的方程为（）A． B． C． D．4x2+9y2＝12．（5分）圆的圆心坐标是（）A．（0，2） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0）3．（5分）椭圆（φ为参数）的离心率是（）A． B． C． D．4．（5分）已知点的极坐标为那么它的直角坐标为（）A． B． C． D．5．（5分）下列极坐标方程表示圆的是（）A．ρ＝4 B． C．ρsinθ＝1 D．ρ（sinθ+cosθ）＝16．（5分）圆的极坐标方程为ρ＝2（cosθ+sinθ），则该圆的圆心极坐标是（）A． B． C． D．7．（5分）曲线C的参数方程为（t为参数），则曲线C的普遍方程为（）A． B． C． D．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数，π≤α≤2π），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，当C1与C2有两个公共点时，实数t的取值范围为（）A． B． C． D．9．（5分）已知曲线M与曲线N：ρ＝5cosθ﹣5sinθ关于极轴对称，则曲线M的方程为（）A． B． C． D．10．（5分）极坐标方程ρ＝4cosθ化为直角坐标方程是（）A．（x﹣2）2+y2＝4 B．x2+y2＝4 C．x2+（y﹣2）2＝4 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝411．（5分）过椭圆C：（θ为参数）的右焦点F作直线l交C于M，N两点，|MF|＝m，|NF|＝n，则+的值为（）A． B． C． D．不能确定12．（5分）参数方程（t为参数）所表示的曲线是（）A． B． C． D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）参数方程（θ为参数，且θ∈R）化为普通方程是14．（5分）若点在参数方程（θ为参数）表示的曲线上，则θ＝．15．（5分）双曲线（φ是参数）的渐近线方程为．16．（5分）若圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣2ρsinθ+1＝0，则圆心C到直线y＝x的距离为．三、解答题（17题10分，其它各12分，共70分）17．（10分）将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程．（1）ρ＝4sinθ；（2）ρ＝sinθ+2cosθ．18．（12分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．19．（12分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．设点O为坐标原点，直线（参数t∈R）与曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝2sinθ（Ⅰ）求直线l与曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，证明：＝0．20．（12分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|的值．21．（12分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（）＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．22．（12分）已知曲线C1在平面直角坐标系中的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，有曲线C2：ρ＝2cosθ﹣4sinθ．（1）将C1的方程化为普通方程，并求出C2的平面直角坐标方程；（2）求曲线C1和C2两交点之间的距离．

2023-2024学年青海省西宁市城西区海湖中学高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分，共60分）1．（5分）曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x2+y2＝1，则曲线C的方程为（）A． B． C． D．4x2+9y2＝1【考点】平面直角坐标轴中的伸缩变换．【答案】A【分析】直角坐标系中的伸缩变换只要是利用变换前的关系式，变换关系，变换后的关系式，只要知道其中的两个变量就可以求出点三个变量．本题知道第二、第三个变量求第一个变量．【解答】解：曲线C经过伸缩变换①后，对应曲线的方程为：x′2+y′2＝1②，把①代入②得到：故选：A．2．（5分）圆的圆心坐标是（）A．（0，2） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0）【考点】圆的参数方程．【答案】A【分析】把圆的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为直角直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4，从而求得圆心坐标．【解答】解：∵圆，利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为直角直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4，故圆心坐标为（0，2），故选：A．3．（5分）椭圆（φ为参数）的离心率是（）A． B． C． D．【考点】椭圆的参数方程．【答案】C【分析】根据已知条件，先求出椭圆的方程，再结合离心率的定义，即可求解．【解答】解：椭圆（φ为参数），则，故a2＝25，b2＝16，c2＝9，即a＝5，b＝4，c＝3，故该椭圆的离心率为．故选：C．4．（5分）已知点的极坐标为那么它的直角坐标为（）A． B． C． D．【考点】简单曲线的极坐标方程．【答案】C【分析】利用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ即可得出直角标准．【解答】解：点的极坐标为，可得它的直角坐标x＝2＝﹣1，y＝2＝．即．故选：C．5．（5分）下列极坐标方程表示圆的是（）A．ρ＝4 B． C．ρsinθ＝1 D．ρ（sinθ+cosθ）＝1【考点】简单曲线的极坐标方程．【答案】A【分析】根据已知条件，结合极坐标公式，即可求解．【解答】解：x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，对于A，ρ2＝16，即x2+y2＝16，故A正确；对于B，，表示y轴的非负半轴，故B错误；对于C，ρsinθ＝1，表示直线y＝1，故C错误；对于D，ρ（sinθ+cosθ）＝1，表示直线x+y﹣1＝0，故D错误．故选：A．6．（5分）圆的极坐标方程为ρ＝2（cosθ+sinθ），则该圆的圆心极坐标是（）A． B． C． D．【考点】简单曲线的极坐标方程．【答案】C【分析】利用极坐标方程转化为普通方程，求出圆的圆心坐标，然后求解极坐标即可．【解答】解：圆的极坐标方程为ρ＝2（cosθ+sinθ），即ρ2＝2ρ（cosθ+sinθ），可得直角坐标方程：x2+y2＝2x+2y，配方为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．则该圆的圆心（1，1），其极坐标是．故选：C．7．（5分）曲线C的参数方程为（t为参数），则曲线C的普遍方程为（）A． B． C． D．【考点】参数方程化成普通方程．【答案】B【分析】根据题意，由参数方程，消去参数变形可得答案．【解答】解：根据题意，曲线C的参数方程为消去t，得，即﹣＝1；故选：B．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数，π≤α≤2π），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，当C1与C2有两个公共点时，实数t的取值范围为（）A． B． C． D．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【答案】D【分析】求得曲线C1的普通方程、曲线C2的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求得t的取值范围．【解答】解：曲线C1的参数方程为（α为参数，π≤α≤2π），两边平方相加得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，所以C1表示圆心为（1，1），半径为1的圆的下半部分．，，ρcosθ+ρsinθ＝t，即x+y﹣t＝0，依题意，C1与C2有两个公共点，所以，，两边平方得4﹣4t+t2＜2．t2﹣4t+2＜0，解得，结合图象可知．故选：D．9．（5分）已知曲线M与曲线N：ρ＝5cosθ﹣5sinθ关于极轴对称，则曲线M的方程为（）A． B． C． D．【考点】简单曲线的极坐标方程．【答案】B【分析】化极坐标方程为直角坐标方程，求出对称曲线的方程，再化为极坐标方程．【解答】解：方程ρ＝5cosθ﹣5sinθ两边同乘以ρ，得ρ2＝5ρcosθ﹣5ρsinθ．∴x2+y2＝5x﹣5y．曲线关于极轴对称的曲线C的直角坐标方程为x2+y2＝5x+5y．∴ρ2＝5ρcosθ+5ρsinθ，即ρ＝5cosθ+5sinθ＝10cos（θ﹣）．故选：B．10．（5分）极坐标方程ρ＝4cosθ化为直角坐标方程是（）A．（x﹣2）2+y2＝4 B．x2+y2＝4 C．x2+（y﹣2）2＝4 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4【考点】简单曲线的极坐标方程．【答案】A【分析】先将原极坐标方程ρ＝4cosθ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断．【解答】解：将原极坐标方程ρ＝4cosθ，化为：ρ2＝4ρcosθ，化成直角坐标方程为：x2+y2﹣4x＝0，即y2+（x﹣2）2＝4．故选：A．11．（5分）过椭圆C：（θ为参数）的右焦点F作直线l交C于M，N两点，|MF|＝m，|NF|＝n，则+的值为（）A． B． C． D．不能确定【考点】椭圆的参数方程．【答案】B【分析】椭圆C：（θ为参数）的普通方程为，利用特殊位置进行求解即可．【解答】解：椭圆C：（θ为参数）的普通方程为，当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝1，代入，可得y＝±∴m＝n＝，∴+＝．故选：B．12．（5分）参数方程（t为参数）所表示的曲线是（）A． B． C． D．【考点】圆的参数方程．【答案】D【分析】根据可知x与y同号（t＝±1除外），将代入消掉参数t后即可判断．【解答】解：∵，∴x与y同号（t＝±1除外），将代入消掉参数t得：x2+y2＝1（xy≥0，x≠0）；故选：D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）参数方程（θ为参数，且θ∈R）化为普通方程是x2+y＝3【考点】参数方程化成普通方程．【答案】见试题解答内容【分析】由sin2θ+cos2θ＝1，得y﹣2+x2＝1，由此能求出普通方程．【解答】解：∵参数方程（θ为参数，且θ∈R），∴由sin2θ+cos2θ＝1，得y﹣2+x2＝1，∴参数方程（θ为参数，且θ∈R）化为普通方程是x2+y＝3．故答案为：x2+y＝3．14．（5分）若点在参数方程（θ为参数）表示的曲线上，则θ＝．【考点】参数方程化成普通方程．【答案】．【分析】将点代入参数方程，解方程即得解．【解答】解：点在参数方程（θ为参数）表示的曲线上，则，解得．故答案为：．15．（5分）双曲线（φ是参数）的渐近线方程为x±y＝0．【考点】参数方程化成普通方程．【答案】见试题解答内容【分析】由sec2φ＝1+tan2φ，求出双曲线的直角坐标方程为y2﹣x2＝1，由此能求出该双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线（φ是参数），sec2φ＝1+tan2φ，∴双曲线的直角坐标方程为y2﹣x2＝1，∴双曲线（φ是参数）的渐近线方程为x±y＝0．故答案为：x±y＝0．16．（5分）若圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣2ρsinθ+1＝0，则圆心C到直线y＝x的距离为．【考点】点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程．【答案】．【分析】将极坐标方程转化为普通方程得到圆心为C（2，1），再根据点到直线的距离公式得到答案．【解答】解：圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣2ρsinθ+1＝0，即x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，圆心为C（2，1），圆心C到直线y﹣x＝0的距离为．故答案为：．三、解答题（17题10分，其它各12分，共70分）17．（10分）将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程．（1）ρ＝4sinθ；（2）ρ＝sinθ+2cosθ．【考点】简单曲线的极坐标方程．【答案】（1）x2+（y﹣2）2＝4；（2）；【分析】由极坐标与直角坐标之间的转化关系求解即可．【解答】解：ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，（1）ρ＝4sinθ，则ρ2＝4ρsinθ，即x2+y2＝4y，故x2+（y﹣2）2＝4；（2）ρ＝sinθ+2cosθ，则ρ2＝ρsinθ+2ρcosθ，x2+y2＝2x+y，即．18．（12分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【答案】见试题解答内容【分析】（I）消参数即可得到普通方程，根据极坐标的几何意义即可得出P的直角坐标；（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程得出A，B对应的参数，利用参数得几何意义得出|PA|+|PB|．【解答】解：（Ⅰ），y＝sin＝，∴P的直角坐标为；由得cosφ＝，sinφ＝．∴曲线C的普通方程为．（Ⅱ）将代入得t2+2t﹣8＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝﹣2，t1t2＝﹣8，∵P点在直线l上，∴|PA|+|PB|＝|t1|+|t2|＝|t1﹣t2|＝＝6．19．（12分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．设点O为坐标原点，直线（参数t∈R）与曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝2sinθ（Ⅰ）求直线l与曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，证明：＝0．【考点】直线的参数方程；数量积判断两个平面向量的垂直关系；简单曲线的极坐标方程．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）由直线l的参数方程用代入法消去t得普通方程，曲线C的极坐标方程两边同乘ρ得曲线C的普通方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得x2﹣4x﹣4＝0，求出x1•x2和y1y2的值，代入＝x1x2+y1y2进行运算．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t得普通方程为y＝2x+2．由曲线C的极坐标方程两边同乘ρ得曲线C的普通方程为x2＝2y．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得x2﹣4x﹣4＝0，∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣4，∴y1y2＝，∴＝x1x2+y1y2＝0．20．（12分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）直接把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入极坐标方程可得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）化直线的参数方程为普通方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式求|AB|的值．【解答】解：（Ⅰ）由ρsin2θ＝4cosθ，得（ρsinθ）2＝4ρcosθ，即y2＝4x，∴曲线C的直角坐标系方程为y2＝4x；（Ⅱ）由，得直线l的直角坐标方程为y＝x﹣1，代入曲线y2＝4x，得x2﹣6x+1＝0，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），∴x1+x2＝6，x1x2＝1，则＝＝＝＝8，即|AB|的值为8．21．（12分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（）＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；简单曲线的极坐标方程．【答案】见试题解答内容【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开曲线C的极坐标方