2023-2024学年山东省德州市高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年山东省德州市高一（下）期中数学试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．（5分）已知向量a→=(1，x)，b→=(2，1)，若A．12 B．2 C．−12．（5分）已知复数z满足z(1+3i)=4（i是虚数单位），则|A．2 B．4 C．8 D．163．（5分）已知0＜α＜β＜π2，且cos(α−β)=513，cos2β=4A．−3365 B．−1665 C．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，A=π3，sinC＝2sinB，则△A．32 B．332 C．95．（5分）若|a→+b→A．π6 B．π3 C．236．（5分）在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则∠MPN的余弦值是（）A．−105 B．−1010 C．7．（5分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理，设点O，G，H分别为三角形ABC的外心，重心，垂心，则（）A．AG→=13C．AG→=28．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=π3，sinBsinCsinAA．(25，12) B．[二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）（多选）9．（6分）设z为非零复数（i是虚数单位），下列命题正确的是（）A．若z＝|z|，则z为正实数 B．若z2∈R，则z∈R C．若z2+1＝0，则z＝±i D．若z+z=0，则（多选）10．（6分）下列命题中正确的是（）A．若a→，bB．若a→∥b→(C．若向量a→和b→，满足|a→|=1D．若向量a→=(−1，3)，b→=(3，0)，则a（多选）11．（6分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，以下命题中正确的是（）A．若a＝9，b＝10，A=π3B．若a2tanA=bC．若S△ABC＝b2sinB，则cosB的最小值为54D．若A=π3，BC=3三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．（5分）已知α∈(π2，π)，2sin2α＝cos2α﹣1，则tan2α13．（5分）若O为△ABC的外心，且2BO→=BA14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a（1+cosB）＝b（2﹣cosA），sinB＝cosAsinC，且AB→⋅AC→=16，则b＝；若在线段AB上存在动点P使得CP四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）已知θ为三角形的一个内角，i为虚数单位，复数z＝cosθ+isinθ，且z2+z在复平面上对应的点在实轴上．（1）求θ；（2）设2z，zi，1+z+z2在复平面上对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．16．（15分）已知平面上三点A，B，C，且A（0，4），B（k，﹣3），C（2，0）．（1）若A，B，C不构成三角形，求实数k应满足的条件；（2）若△ABC为钝角三角形，求k的取值范围．17．（15分）已知函数f(x)=sinx(sinx+3cosx)−1，x∈（1）若f(θ)=32−（2）若存在x∈[0，π2]，使等式[f（x）]2+f（x）+m18．（17分）如图所示，在扇形AOB中，∠AOB为锐角，四边形OMPN是平行四边形，点P在弧AB上，点M，N分别在线段OA，OB上，OP=23，OA→⋅OB→（1）当θ=π6时，求（2）请写出阴影部分的面积S关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，S取得最小值．19．（17分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinC−sinBcosB+cosA（1）若S△ABC=36c（2）若DC→=2BD

2023-2024学年山东省德州市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．（5分）已知向量a→=(1，x)，b→=(2，1)，若A．12 B．2 C．−1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】D【分析】利用向量垂直的坐标表示求解即得．【解答】解：向量a→=(1，x)，b→=(2，1)，由a→故选：D．2．（5分）已知复数z满足z(1+3i)=4（i是虚数单位），则|A．2 B．4 C．8 D．16【考点】复数的模；复数的运算．【答案】A【分析】化简复数z，可得z的模长．【解答】解：由题意，z=41+3i，则|z|＝|故选：A．3．（5分）已知0＜α＜β＜π2，且cos(α−β)=513，cos2β=4A．−3365 B．−1665 C．【考点】求两角和与差的三角函数值．【答案】A【分析】α+β＝（α﹣β）+2β，再利用两角和差公式即可得．【解答】解：0＜β＜π2，∴0＜2β＜π，又cos2β=3又0＜β＜α＜π2，∴0＜α−β＜π2，又∴cos（α+β）＝cos[（α﹣β）+2β]＝cos（α﹣β）cos2β−sin(α−β)sin2β=5故选：A．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，A=π3，sinC＝2sinB，则△A．32 B．332 C．9【考点】解三角形；正弦定理．【答案】B【分析】由题意及正弦定理可得c＝2b，再由余弦定理可得b，c的值，代入三角形的面积公式，可得该三角形的面积的大小．【解答】解：因为sinC＝2sinB，由正弦定理可得c＝2b，又因为a＝3，A=π3，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccos即9＝b2+4b2﹣2b•2bcosπ3整理可得5b2﹣2b2＝9，可得b=3，c＝23所以S△ABC=12bcsinA=1故选：B．5．（5分）若|a→+b→A．π6 B．π3 C．23【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．【答案】D【分析】根据平面向量的模长与夹角公式，求解即可．【解答】解：因为|a→+b→|＝|a→所以a→2+2a→•b→所以a→•b→=设a→−b→与b→的夹角为又因为θ∈[0，π]，所以θ=5π故选：D．6．（5分）在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则∠MPN的余弦值是（）A．−105 B．−1010 C．【考点】三角形中的几何计算；余弦定理．【答案】B【分析】以向量AC→、AB→为基底，表示出向量AM→，BN→，然后求出AM→【解答】解：根据题意，可得AM→=1因为|AC→|＝|AB→|＝2，且∠BAC＝90°，可得AC→所以AM→•BN→=（12AC→+12AB→）•（12AC→又因为|AM→|=22|AC→|=2所以cos＜AM→，BN→＞=AM故选：B．7．（5分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理，设点O，G，H分别为三角形ABC的外心，重心，垂心，则（）A．AG→=13C．AG→=2【考点】平面向量的基本定理；三角形五心．【答案】D【分析】由平面向量的线性运算计算即可求得．【解答】解：由题可得：GO→所以AG→故选：D．8．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=π3，sinBsinCsinAA．(25，12) B．[【考点】解三角形；正弦定理．【答案】A【分析】由题意及正弦定理可得csinC＝1，再由正弦定理可得c2a+3【解答】解：B=π3，sinBsinCsinA在锐角△ABC中，可得sinB＞0，sinA＞0，csinC＝1，则c2在锐角三角形中，0＜A＜π20＜C=2π3所以12＜sinA＜1，所以2＜sinA所以1sinA+32∈（2故选：A．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）（多选）9．（6分）设z为非零复数（i是虚数单位），下列命题正确的是（）A．若z＝|z|，则z为正实数 B．若z2∈R，则z∈R C．若z2+1＝0，则z＝±i D．若z+z=0，则【考点】复数的运算；虚数单位i、复数；共轭复数；复数的模．【答案】ACD【分析】根据已知条件，结合复数模公式，复数的四则运算，共轭复数的定义，即可求解．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R，且a，b不同时为0），z＝|z|，则a+bi=a则b＝0，a=a2+i2＝﹣1∈R，但z＝i∉R，故B错误；z2+1＝0，则z2＝﹣1，解得z＝±i，故C正确；z+z则a+bi+a﹣bi＝2a＝0，解得a＝0，a，b不同时为0，则b≠0，故z为纯虚数，故D正确．故选：ACD．（多选）10．（6分）下列命题中正确的是（）A．若a→，bB．若a→∥b→(C．若向量a→和b→，满足|a→|=1D．若向量a→=(−1，3)，b→=(3，0)，则a【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的数量投影；平面向量的概念与平面向量的模；平面向量的相等与共线．【答案】BC【分析】由单位向量的定义判定A；由共线向量定理判定B；由向量模的求法计算可判定C；由投影数量的定义式计算即可判断D．【解答】解：对于A，因为a→，b→是单位向量，所以对于B，由共线向量定理知，若a→∥b→(b→对于C，因为|a→|=1，|b→所以|a→−对于D，因为a→=(−1，3)，b→=(3，0)，所以a→在b故选：BC．（多选）11．（6分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，以下命题中正确的是（）A．若a＝9，b＝10，A=π3B．若a2tanA=bC．若S△ABC＝b2sinB，则cosB的最小值为54D．若A=π3，BC=3【考点】解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算．【答案】ABD【分析】A中，由三角形有两解的充要条件可得符合条件，判断出A的真假；B中，由正弦定理可得sin2A＝sin2B，即2A+2B＝π或2A＝2B，所以该三角形为等腰三角形或直角三角形，判断出B的真假；C中，由三角形的面积公式及余弦定理，基本不等式可得cosB的最小值，判断出C的真假；D中，由余弦定理和三角形面积公式，可得b，c的值，判断出D的真假．【解答】解：A中，因为bsinA＝10×32=53＜a＜B中，由正弦定理可得sin2AsinAcosA=sin2即sin2A＝sin2B，所以2A+2B＝π或2A＝2B，即A+B=π2或A＝B，所以该三角形为直角三角形或等腰三角形，所以C中，S△ABC＝b2sinB=12acsinB，所以b2=由余弦定理可得cosB=a2+c2−bD中，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2accosA，即3＝b2+c2﹣ac，而S△ABC=12bcsinA=12可得bc＝2，①，所以（b+c）2＝3+3bc＝9，即b+c＝3，②由①②可得b＝2，c＝1或b＝1，c＝2，所以符合条件的三角形有两个，所以D正确．故选：ABD．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．（5分）已知α∈(π2，π)，2sin2α＝cos2α﹣1，则tan2α＝【考点】求二倍角的三角函数值．【答案】43【分析】利用同角关系即可得．【解答】解：∵sin22α+cos22α＝1，且cos2α＝1+2sin2α，则有5sin22α+4sin2α＝0，sin2α（5sin2α+4）＝0，∵α∈(π2，π)，∴2α∈（π，2π），∴sin2∴cos2α=−35，∴tan2故答案为：4313．（5分）若O为△ABC的外心，且2BO→=BA【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】0．【分析】由平面向量的线性运算计算可得O是AC的中点，结合条件可得B＝90°，再由平面向量的数量积运算计算即可．【解答】解：因为2BO所以BO→即OA→+OC→=0又因为O为△ABC的外心，所以△ABC是直角三角形，且B＝90°，所以AB→•BC故答案为：0．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a（1+cosB）＝b（2﹣cosA），sinB＝cosAsinC，且AB→⋅AC→=16，则b＝4；若在线段AB上存在动点P使得CP→=2x【考点】平面向量数量积的性质及其运算；正弦定理．【答案】4；32【分析】由正弦定理及向量数量积运算，化简sinB＝cosAsinC和AB→⋅AC→=16，联立即可求得b；再由余弦定理及已知条件，得bc=b2+c2−a22bc【解答】解：由sinB＝cosAsinC及正弦定理，可得cosA=sinBsinC又AB→⋅AC→=16，即联立①②可知，b2＝16，解得b＝4；由a（1+cosB）＝b（2﹣cosA）及正弦定理，可得sinA+sinAcosB＝2sinB﹣sinBcosA，即sin（A+B）＝2sinB﹣sinA，又A+B＝π﹣C，所以sin（A+B）＝sinC，由正弦定理，可得2b＝a+c，③由①及余弦定理的推论可知：bc=b2+c2−a22bc联立③④，结合b＝4，可得a＝3，c＝5，所以CP→又A，B，P三点共线，所以x2又1=x2+y3故xy的最大值为32故答案为：4；32四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）已知θ为三角形的一个内角，i为虚数单位，复数z＝cosθ+isinθ，且z2+z在复平面上对应的点在实轴上．（1）求θ；（2）设2z，zi，1+z+z2在复平面上对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．【答案】（1）θ=2π（2）1．【分析】（1）结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解；（2）结合复数的四则运算，复数的几何意义，求出点A，B，C，再结合两点之间的距离公式，向量的数量积运算，即可求解．【解答】解：（1）∵z2＝（cosθ+isinθ）2＝cos2θ+isin2θ，z2+z＝（cos2θ+cosθ）+i（sin2θ+sinθ），因为z2+z在复平面上对应的点在实轴上，所以sin2θ+sinθ＝2sinθcosθ+sinθ＝0，θ∈（0，π），因为sinθ＞0，所以2cosθ+1＝0，解得cosθ=−12，（2）由（1）知：sinθ=32，所以zi=(−12+所以1+z+z在复平面上对应的点分别为A(−1，3)，B(−3则|AC|=(−1−0)2CA→所以CA→所以S△ABC16．（15分）已知平面上三点A，B，C，且A（0，4），B（k，﹣3），C（2，0）．（1）若A，B，C不构成三角形，求实数k应满足的条件；（2）若△ABC为钝角三角形，求k的取值范围．【考点】平面向量数量积的性质及其运算；两点间的距离公式．【答案】（1）k=7（2）(−∞，−14)∪(−4，7【分析】（1）由题意知，A，B，C三点共线，利用向量共线的坐标关系即可求得k值；（2）分别根据角A，B，C为钝角，由相应向量的数量积小于零且向量不共线，列不等式即可解得k的范围．【解答】解：（1）由题可知，BC→=(2−k，3)，由A，B，C不构成三角形，可得A，B，C三点共线，则有﹣4（2﹣k）﹣2×3＝0，解得k=7（2）当C为钝角时，有AC→即2×（2﹣k）+3×（﹣4）＜0，解得k＞﹣4且k≠7当A为钝角时，AB→=(k，−7)，则有AB→⋅AC→＜0当B为钝角时，BA→=(−k，7)，则有BA→⋅BC→=(−k，7)⋅(2−k，3)＜0，即综上，k的取值范围是(−∞，−14)∪(−4，717．（15分）已知函数f(x)=sinx(sinx+3cosx)−1，x∈（1）若f(θ)=32−（2）若存在x∈[0，π2]，使等式[f（x）]2+f（x）+m【考点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的三角函数．【答案】（1）1或2+3（2）[−3【分析】（1）结合和差角公式，二倍角公式，辅助角公式进行化简，结合已知等式可求θ，结合和差角公式即可求解；（2）结合正弦函数及二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）f(x)=sinx(sinx+=3=sin(2x−π因为f(θ)=sin(2θ−π6)−因为0＜θ＜π所以2θ−π6=π3或2θ−π当θ=π4时，tan当θ=5π12时，（2）当x∈[0，π2]则−1≤sin(2x−π令t＝f（x），﹣1≤t≤1关于t的方程t2+t+m＝0在[−1，12]上有解，即﹣m＝t2+t根据二次函数的性质可知，−1由−14≤−m≤即实数m的取值范围是[−318．（17分）如图所示，在扇形AOB中，∠AOB为锐角，四边形OMPN是平行四边形，点P在弧AB上，点M，N分别在线段OA，OB上，OP=23，OA→⋅OB→（1）当θ=π6时，求（2）请写出阴影部分的面积S关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，S取得最小值．【考点】平面向量数量积的性质及其