2023-2024学年山东省日照市校际联考高二(上)月考数学试卷(8月份)

2023-2024学年山东省日照市校际联考高二（上）月考数学试卷（8月份）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{x|2x＜9}，则M∩N＝（）A．{1，3} B．{1，3，5} C．{1，3，5，7} D．{1，3，5，7，9}2．（5分）若命题“∃x∈R，使得x2+2ax+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．a≤﹣1或a≥1 C．﹣1≤a≤1 D．a＜﹣1或a＞13．（5分）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）4．（5分）函数f（x）＝的部分图象大致为（）A． B． C． D．​5．（5分）如图，在边长为2的等边△ABC中，点E为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则＝（）A． B． C． D．6．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为棱DD1的中点，则点A到平面A1B1E的距离为（）A． B． C． D．7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）＝f（x﹣3），且y＝f（x+3）为偶函数，若f（x）在（0，3）上单调递减，则下面结论正确的是（）A．f（﹣4.5）＜f（3.5）＜f（12.5） B．f（3.5）＜f（12.5）＜f（﹣4.5） C．f（12.5）＜f（3.5）＜f（﹣4.5） D．f（3.5）＜f（﹣4.5）＜f（12.5）8．（5分）已知，，，，则sin（α+β）的值为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知函数，则下列结论中正确的是（）A．函数f（x）有且仅有一个零点0 B．f（e）＝1 C．f（x）在（﹣∞，0）上单调递增 D．f（x）在（0，+∞）上单调递减（多选）10．（5分）下列命题中正确的是（）A．A∪B＝A是B⊆A的充分不必要条件 B．a＞b是的既不充分也不必要条件 C．m＝3是幂函数y＝（m2﹣2m﹣2）xm+1在（0，+∞）上是增函数的充分不必要条件 D．函数f（x）＝﹣x2+2mx在区间[1，3]上不单调的一个必要不充分条件是1≤m≤3（多选）11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列叙述正确的是（）A．若，，b＝5，则满足条件的三角形有且只有一个 B．若sin2B+sin2C＜sin2A，则△ABC为钝角三角形 C．若△ABC不是直角三角形，则tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC D．若，则△ABC为等腰三角形（多选）12．（5分）已知边长为a的菱形ABCD中，，将△ACD沿AC翻折，下列说法正确的是（）A．在翻折的过程中，直线AD、BC可能相互垂直 B．在翻折的过程中，三棱锥D﹣ABC体积最大值为 C．当BD＝a时，若M为线段BD上一动点，则AM+CM的最小值为 D．在翻折的过程中，三棱锥D﹣ABC表面积最大时，其内切球表面积为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知向量，，且，则实数m的值为．14．（5分）若，则＝．15．（5分）已知m、，则使函数f（x）＝x2+2mx+n2有两不相等的零点的概率为．16．（5分）四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AB＝2，，EF＝1，点P满足，则的最大值为．四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到g（x）的图象，求g（x）在上的值域．18．（12分）已知函数f（x）＝log2x，g（x）＝f（1﹣x）+f（1+x）．（1）判断函数g（x）的奇偶性并予以证明；（2）若存在x使得不等式g（x）≥m﹣1成立，求实数m的最大值．19．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，，AB＝2，．（1）求∠BAC；（2）若A，B，C，D四点共圆，求四边形ABCD面积的最大值．20．（12分）为了加强居民对电信诈骗的认识，提升自我防范的意识和能力，某社区开展了“远离电信诈骗，保护财产安全”宣传讲座．已知每位居民是否被骗相互独立，宣传前该社区每位居民每次接到诈骗电话被骗的概率为0.1．（1）假设在宣传前某一天，该社区有3位居民各接到一次诈骗电话，求该社区这一天有人被电信诈骗的概率；（2）根据调查发现，居民每接受一次“防电诈”宣传，其被骗概率降低为原来的10%，假设该社区每天有10位居民接到诈骗电话，请问至少要进行多少次“防电诈”宣传，才能保证这10位居民都不会被骗？（我们把概率不超过0.01的事件称为小概率事件，认为在一次试验中小概率事件不会发生）（参考数据：lg11≈1.04，lg3≈0.477，，）21．（12分）已知平面四边形ABCD，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，现将△ABD沿BD边折起，使得平面ABD⊥平面BCD，此时AD⊥CD，点P为线段AD的中点，点M在线段CD上．（1）求证：BP⊥平面ACD；（2）若直线BM与平面ACD所成角的正弦值为，求二面角P﹣BM﹣D的平面角的余弦值．22．（12分）已知f1（x）＝|x﹣2a+1|，f2（x）＝|x﹣a|+1，x∈R．（1）若a＝3，求函数在x∈[3，5]上的最小值；（2）若|f1（x）﹣f2（x）|＝f2（x）﹣f1（x）对于任意的实数x∈R恒成立，求a的取值范围；（3）当0≤a≤6时，求函数在x∈[2，8]上的最小值．

2023-2024学年山东省日照市校际联考高二（上）月考数学试卷（8月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{x|2x＜9}，则M∩N＝（）A．{1，3} B．{1，3，5} C．{1，3，5，7} D．{1，3，5，7，9}【考点】交集及其运算．【答案】A【分析】先求出集合M，再利用集合的交集运算求解．【解答】解：N＝{x|2x＜9}＝{x|x}，又∵M＝{1，3，5，7，9}，∴M∩N＝{1，3}．故选：A．2．（5分）若命题“∃x∈R，使得x2+2ax+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．a≤﹣1或a≥1 C．﹣1≤a≤1 D．a＜﹣1或a＞1【考点】存在量词和特称命题；命题的真假判断与应用．【答案】C【分析】转化存在量词命题的否定为真命题，列式求解．【解答】解：命题“∃x∈R，使得x2+2ax+1＜0”是假命题，即“∀x∈R，x2+2ax+1≥0成立”是真命题，故Δ＝4a2﹣4≤0，解得﹣1≤a≤1．故选：C．3．（5分）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【考点】二分法的定义与应用．【答案】B【分析】，判断函数单调性，求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得出答案．【解答】解：令，因为函数在（0，+∞）上都是增函数，所以函数在（0，+∞）上是增函数，，所以函数在区间（1，2）上有唯一零点，所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（1，2）．故选：B．4．（5分）函数f（x）＝的部分图象大致为（）A． B． C． D．​【考点】函数的图象与图象的变换．【答案】C【分析】通过x的范围，判断函数值的范围，判断选项即可．【解答】解：当x∈（0，），f（x）＝＜0，判断选项A、B．当x∈（﹣，0），f（x）＝＞0，判断选项D．故选：C．5．（5分）如图，在边长为2的等边△ABC中，点E为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则＝（）A． B． C． D．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】B【分析】由已知把问题转化为与的数量积求解．【解答】解：在边长为2的等边△ABC中，点E为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则＝＝＝＝＝．故选：B．6．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为棱DD1的中点，则点A到平面A1B1E的距离为（）A． B． C． D．【考点】点、线、面间的距离计算．【答案】C【分析】过点A作AF⊥A1E于F，可得AF⊥平面A1B1E，即为所求距离．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1⊥平面AA1D1D，而A1B1⊂平面A1B1E，则平面A1B1E⊥平面AA1D1D，在平面AA1D1D内过点A作AF⊥A1E于F，连接AE，在△AA1E中，，，即，解得，因平面A1B1E⋂平面AA1D1D＝A1E，于是得AF⊥平面A1B1E，则AF的长即为点A到平面A1B1E的距离，点E为棱DD1的中点，所以点A到平面A1B1E的距离为．故选C．7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）＝f（x﹣3），且y＝f（x+3）为偶函数，若f（x）在（0，3）上单调递减，则下面结论正确的是（）A．f（﹣4.5）＜f（3.5）＜f（12.5） B．f（3.5）＜f（12.5）＜f（﹣4.5） C．f（12.5）＜f（3.5）＜f（﹣4.5） D．f（3.5）＜f（﹣4.5）＜f（12.5）【考点】抽象函数及其应用．【答案】D【分析】由周期函数的定义可得f（x）的最小正周期为6，由偶函数的定义可得f（x）的图象关于直线x＝3对称，进而得到f（x）为偶函数，结合单调性，可得所求结论．【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）＝f（x﹣3），可得f（x+6）＝f（x），即f（x）的最小正周期为6；y＝f（x+3）为偶函数，即为f（﹣x+3）＝f（x+3），即为f（﹣x）＝f（x+6），则f（﹣4.5）＝f（6﹣4.5）＝f（1.5），f（12.5）＝f（12.5﹣12）＝f（0.5），f（3.5）＝f（﹣2.5）＝f（2.5），由f（x）在（0，3）上单调递减，且0.5＜1.5＜2.5，则f（0.5）＞f（1.5）＞f（2.5），即有f（12.5）＞f（﹣4.5）＞f（3.5），故选：D．8．（5分）已知，，，，则sin（α+β）的值为（）A． B． C． D．【考点】两角和与差的三角函数．【答案】C【分析】根据同角关系，结合三角函数的性质可得，，即可根据和差角公式求解．【解答】解：＝，因为，所以，因为，当在第二象限时，由于，又y＝cosx在上递减，且，不符合题意．所以在第三象限，因为，所以．因为，所以，则．因为，所以．所以，即．故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）已知函数，则下列结论中正确的是（）A．函数f（x）有且仅有一个零点0 B．f（e）＝1 C．f（x）在（﹣∞，0）上单调递增 D．f（x）在（0，+∞）上单调递减【考点】分段函数的应用；函数单调性的性质与判断．【答案】BC【分析】根据分段函数解析式，结合对数函数性质判断单调性和零点．【解答】解：由函数，可得f（x）有两个零点0、1，故A错误；由于f（e）＝|lne|＝1，故B正确；当x≤0时f（x）＝x，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，故C正确；当x＞0时，所以f（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，故D错误．故选：BC．（多选）10．（5分）下列命题中正确的是（）A．A∪B＝A是B⊆A的充分不必要条件 B．a＞b是的既不充分也不必要条件 C．m＝3是幂函数y＝（m2﹣2m﹣2）xm+1在（0，+∞）上是增函数的充分不必要条件 D．函数f（x）＝﹣x2+2mx在区间[1，3]上不单调的一个必要不充分条件是1≤m≤3【考点】幂函数的性质；充分条件与必要条件；命题的真假判断与应用；二次函数的性质与图象．【答案】BD【分析】根据集合间的关系可判断选项A；由特殊值法可判断不等式求解选项B；根据幂函数的性质即可判断选项C；根据二次函数的单调性即可判断选项D．【解答】解：对于A，A∪B＝A，则B⊆A，反之，若B⊆A，则A∪B＝A，所以A∪B＝A是B⊆A的充要条件，选项A错误；对于B，a＞b不能得到，比如a＝1，b＝﹣1，而也不能得到a＞b，比如a＝﹣1，b＝1，所以a＞b是的的既不充分也不必要条件，选项B正确；对于C，若幂函数y＝（m2﹣2m﹣2）xm+1在（0，+∞）上是增函数，则需要，解得m＝3，所以m＝3是幂函数y＝（m2﹣2m﹣2）xm+1在（0，+∞）上是增函数的充要条件，选项C错误；对于D，函数f（x）＝﹣x2+2mx在区间[1，3]上不单调，则需要x＝m∈（1，3），所以1≤m≤3是m∈（1，3）的一个必要不充分条件，选项D正确．故选：BD．（多选）11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列叙述正确的是（）A．若，，b＝5，则满足条件的三角形有且只有一个 B．若sin2B+sin2C＜sin2A，则△ABC为钝角三角形 C．若△ABC不是直角三角形，则tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC D．若，则△ABC为等腰三角形【考点】解三角形；命题的真假判断与应用；两角和与差的三角函数；正弦定理．【答案】ABC【分析】A选项，根据b＞c⋅sinB得到满足条件的三角形只有一个；B选项，由正弦定理和余弦定理得到cosA＜0，B正确；C选项，利用tanA＝﹣tan（B+C）化简得到答案；D选项，变形得到acosA＝bcosB，由余弦定理和倍角公式得到sin2A＝sin2B，从而得到A＝B或．【解答】解：对于A，由正弦定理可得＝，因为，，b＝5，所以c⋅sinB＝3，可得csinB＜b，且b＞c，所以满足条件的三角形只有一个，故A正确；对于B，sin2B+sin2C＜sin2A，由正弦定理可得：，A为钝角，故B正确；对于C，因为△ABC不是直角三角形，所以tanA，tanB，tanC均有意义，又A＝π﹣（B+C），所以，所以tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC，故C正确；对于D，由余弦定理可得：•2bccosA＝•2accosB，即acosA＝bcosB，由正余弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，则sin2A＝sin2B，所以A＝B或，故D错误．故选：ABC．（多选）12．（5分）已知边长为a的菱形ABCD中，，将△ACD沿AC翻折，下列说法正确的是（）A．在翻折的过程中，直线AD、BC可能相互垂直 B．在翻折的过程中，三棱锥D﹣ABC体积最大值为 C．当BD＝a时，若M为线段BD上一动点，则AM+CM的最小值为 D．在翻折的过程中，三棱锥D﹣ABC表面积最大时，其内切球表面积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；命题的真假判断与应用；三角形中的几何计算．【答案】ACD【分析】取BD＝a，取BC的中点G，连接AG、DG，证明BC⊥平面ADG，再利用线面垂直的性质可判断A；求出三棱锥D﹣ABC高的最大值，结合锥体体积公式可判断B；将△DAB、△DCB展开在同一平面内，当A、M、C三点共线时，AM+CM取最小值，求解最小值可判断C；求出三棱锥D﹣ABC表面积的最大值，利用等体积法求出此时三棱锥D﹣ABC的内切球半径，利用球的表面积公式可判断D．【解答】解：如图，在翻折过程中构成四面体D﹣ABC，△ADC和△ABC是正三角形，取AC中点O，连接BO、DO，对于A，，则在翻折过程中，BD的范围是，当BD＝a时，D﹣ABC是正四面体，取BC的中点G，连接AG、DG，∵△ABC、△BCD均为等边三角形，∴BC⊥AG，DG⊥BC，∵AG⋂DG＝G，AG、DG⊂平面ADG，∴BC⊥平面ADG，而AD⊂平面ADG，则AD⊥BC，故A正确；对于B，三棱锥D﹣ABC的底面积是定值，∵△ABC、△ACD均为等边三角形，O为AC的中点，∴AC⊥BO，AC⊥DO，∵BO⋂DO＝O，BO、DO⊂平面BOD，∴AC⊥平面BDO，而AC⊂平面ABC，则平面ABC⊥平面BOD，过D在平面BDO内作DD′⊥直线BO于D′，∵平面ABC⊥平面BOD，平面ABC∩平面BOD＝BO，DD′⊥BO，DD′⊂平面BDO，∴DD′⊥平面ABC，则有，当且仅当点D′与点O重合时取“＝”，因此，，故B错误；对于C，当BD＝a时，三棱锥D﹣ABC为正四面体，将△DAB、△DCB展开在同一平面内，显然四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，当A、M、C三点共线时，此时M为BD、AC的中点，可得，则AM+CM取得最小值，故C正确；对于D，三棱锥D﹣ABC中，，而S△ABD＝S△CBD，即三棱锥D﹣ABC的表面积，而在翻折过程中，∠BCD的范围是，，当且仅当时取“＝”，因此三棱锥D﹣ABC的表面积的最大值为，此时，等腰△BOD的底边BD上的高，，从而得，设三棱锥D﹣ABC内切球半径为r，设三棱锥D﹣ABC的表面积为S，由得，S取最大值时的，此球的表面积为，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知向量，，且，则实数m的值为﹣3．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；向量相等与共线．【答案】﹣3．【分析】根据平面向量平行的坐标公式，即可求解．【解答】解：因为，，且，所以2×（﹣6）﹣4m＝0，解得m＝﹣3．故答案为：﹣3．14．（5分）若，则＝．【考点】二倍角的三角函数．【答案】．【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式结合弦化切化简所求代数式，可得结果．【解答】解：因为，则tanα≠0，＝．故答案为：．15．（5分）已知m、，则使函数f（x）＝x2+2mx+n2有两不相等的零点的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式；对数的运算性质．【答案】．【分析】比较lg2+lg5、log43、、tan1的大小，分析可知m、n均为正数，由函数f（x）有两不相等的零点，可得出Δ＞0，可得出m＞n，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率．【解答】解：因为lg2+lg5＝1，0＜log43＜log44＝1，，，，所以，因为m、，则m、n均为正数，以（m，n）为一个样本点，因为函数f（x）＝x2+2mx+n2有两个不相等的零点，则Δ＝4m2﹣4n2＞0，可得m＞n，所有的基本事件有：（lg2+lg5，lg2+lg5）、（lg2+lg5，log43）、、（lg2+lg5，tan1）、（log43，lg2+lg5）、（log43，log43）、、（log43，tan1）、、、、、（tan1，lg2+lg5）、（tan1，log43）、、（tan1，tan1），共16个基本事件，其中，满足函数f（x）有两个不等的零点的基本事件有：、、、（tan1，lg2+lg5）、（tan1，log43）、（lg2+lg5，log43），共6个基本事件，故所求概率为．故答案为：．16．（5分）四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AB＝2，，EF＝1，点P满足，则的最大值为1．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】1．【分析】利用平面向量的线性表示、平面向量的数量积公式以及余弦的二倍角公式即可解决问题．【解答】解：如图所示：因为，，又点F是CD的中点，所以，所以，＝，又因为，所以PA⊥PB，又因为点E是AB的中点，所以，因为，所以＝1，所以，即，所以，所以＝＝，所以当2＝0，即＝0时，cos2有最大值1，即有最大值为1．故答案为：1．四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到g（x）的图象，求g（x）在上的值域．【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】（1）．（2）[﹣2，1]．【分析】（1）根据图象可由周期得ω＝2，进而代入最低点即可求解，（2）根据平移和伸缩变换可得，进而由整体法利用正弦函数的定义域和值域，即可求解函数的最值．【解答】解：（1）由图象知A＝2，，即T＝π，又ω＞0，∴，∴ω＝2．则f（x）＝2sin（2x+φ），又函数过点，所以，所以，k∈Z，解得，k∈Z．又，所以，即．（2）若将f（x）的图象向左平移个单位，得到的图象．再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到g（x）的图象即的图象．当，则，，则当或时，函数g（x）取得最大值，最大值．当时，函数g（x）取得最小值，最小值为．即g（x）在上的值域为[﹣2，1]．18．（12分）已知函数f（x）＝log2x，g（x）＝f（1﹣x）+f（1+x）．（1）判断函数g（x）的奇偶性并予以证明；（2）若存在x使得不等式g（x）≥m﹣1成立，求实数m的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质与判断．【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）1．【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义判断并证明即可；（2）转化问题为g（x）max≥m﹣1，进而根据函数g（x）的单调性求解即可．【解答】解：（1）函数g（x）为偶函数，证明如下：g（x）＝f（1﹣x）+f（1+x）＝log2（1﹣x）+log2（1+x），由，解得﹣1＜x＜1，∴g（x）的定义域为（﹣1，1），关于原点对称，∵g（﹣x）＝log2（1+x）+log2（1﹣x）＝g（x），∴g（x）为偶函数．（2）若存在x使得不等式g（x）≥m﹣1成立，∴g（x）max≥m﹣1，而，x∈（﹣1，1），∵函数y＝1﹣x2在（﹣1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，∴函数g（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，∴g（x）max＝g（0）＝0，∴m﹣1≤0，即m≤1，∴实数m的最大值为1．19．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，，AB＝2，．（1）求∠BAC；（2）若A，B，C，D四点共圆，求四边形ABCD面积的最大值．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由题意利用正弦定理可求sin∠ACB的值，结合∠ACB∈（0，π），可求，进而利用三角形内角和定理即可求解∠BAC的值；（2）由题意利用四点共圆的性质可求∠D，在△ACD中，由余弦定理，基本不等式可求得AD•CD≤1，进而利用三角形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得，所以，又∠ACB∈（0，π），所以，则；（2）因为A，B，C，D四点共圆，所以D+B＝π，，在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cosD，即3＝AD2+CD2+AD•CD≥3AD•CD，化简得AD•CD≤1，当且仅当AD＝CD＝1时取等号，所以△ACD的面积，又，则四边形ABCD的面积，故四边形ABCD面积的最大值为．20．（12分）为了加强居民对电信诈骗的认识，提升自我防范的意识和能力，某社区开展了“远离电信诈骗，保护财产安全”宣传讲座．已知每位居民是否被骗相互独立，宣传前该社区每位居民每次接到诈骗电话被骗的概率为0.1．（1）假设在宣传前某一天，该社区有3位居民各接到一次诈骗电话，求该社区这一天有人被电信诈骗的概率；（2）根据调查发现，居民每接受一次“防电诈”宣传，其被骗概率降低为原来的10%，假设该社区每天有10位居民接到诈骗电话，请问至少要进行多少次“防电诈”宣传，才能保证这10位居民都不会被骗？（我们把概率不超过0.01的事件称为小概率事件，认为在一次试验中小概率事件不会发生）（参考数据：lg11≈1.04，lg3≈0.477，，）【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【答案】（1）0.271；（2）2次．【分析】（1）用概率乘法即可得出被电信诈骗的概率；（2）求出宣传k次之后每个人每次接到电话被骗的概率为P，10位居民有人被骗，则P（B）＝1﹣（1﹣P）10≤0.01，解不等式可得0.1k+1≤0.0014，再由函数的单调性即可得出结论．【解答】解：（1）记事件A：该社区这一天有人被骗，则P（A）＝1﹣0.93＝1﹣0.729＝0.271，所以该社区这一天有人被电信诈骗的概率为0.271；（2）设宣传k次之后每个人每次接到电话被骗的概率为P＝0.1×0.1k＝0.1k+1，事件B：10位居民有人被骗，则P（B）＝1﹣（1﹣P）10≤0.01，即（1﹣0.1k+1）10≥0.99，所以所以，所以，所以0.1k+1≤1﹣0.9986＝0.0014又函数y＝0.1x+1在R上单调递减，当x＝1时，0.12＝0.01＞0.0014；当x＝2时，0.13＝0.001＜0.0014，所以k≥2，即至少要宣传2次才能保证这10位居民都不会被骗．21．（12分）已知平面四边形ABCD，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，现将△ABD沿BD边折起，使得平面ABD⊥平面BCD，此时AD⊥CD，点P为线段AD的中点，点M在线段CD上．（1）求证：BP⊥平面ACD；（2）若直线BM与平面ACD所成角的正弦值为，求二面角P﹣BM﹣D的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）由题意得BP⊥AD，取BD的中点E，则AE⊥BD，因为平面ABD⊥平面BCD，所以AE⊥平面BCD，AE⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面ABD，从而CD⊥BP，利用线面垂直的判定定理可得结论；（2）由BP⊥平面ACD，故∠BMP为BM与平面ACD所成的角，可求得BM，由题意可得M为线段CD的中点，取ED的中点为O，则PO∥AE，所以PO⊥平面BCD，则PO⊥BM，过点P作PG⊥BM，垂足为G，则BM⊥OG，所以∠PGO为二面角P﹣BM﹣D的平面角，求解即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，又∵P为AD的中点，∴BP⊥AD．取BD的中点E，连接AE，AB＝AD，则AE⊥BD，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AE⊂平面ABD，∴AE⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AE⊥CD，∵AD⊥CD，AD∩AE＝A，AE，AD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD，而BP⊂平面ABD，则CD⊥BP，又∵CD⋂AD＝D，CD，AD⊂平面ACD，∴BP⊥平面ACD；（2）解：由（1）知，BP⊥平面ACD，则∠BMP为BM与平面ACD所成的角，∴，得，又CD⊥平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CD⊥BD，而BD＝2，∠BCD＝30°，得，∴，即M为线段CD的中点．取ED的中点为O，连接PO，∵P为线段AD的中点，∴PO∥AE，得，又AE⊥平面BCD，∴PO⊥平面BCD，而BM⊂平面BCD，则PO⊥BM．过点P作PG⊥BM，垂足为G，连接OG，∵PO⋂PG＝P，PO，PG⊂平面POG，∴BM⊥平面POG．而OG⊂平面POG，则BM⊥OG，∴∠PGO为二面角P﹣BM﹣D的平面角．在等边三角形ABD中，，由（1）知，BP⊥平面ACD，PM⊂平面ACD，∴BP⊥PM．