2023-2024学年山西大学附中高三(上)第二次月考数学试卷(8月份)

2023-2024学年山西大学附中高三（上）第二次月考数学试卷（8月份）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．（5分）设集合A＝{x|2x+3＞0}，B＝{x|x2+4x﹣5＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣5，+∞） B．（﹣5，﹣） C．（﹣，1） D．（﹣，+∞）2．（5分）某中学举办以“喜迎二十大、永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲比赛，其中9人的比赛成绩依次为：83，85，87，87，88，88，91，93，97（单位：分），则这9人成绩的第80百分位数是（）A．87 B．91 C．93 D．953．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝6，S8＝18，则S12＝（）A．30 B．36 C．42 D．544．（5分）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句．诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤4，若将军从点A（3，1）处出发，河岸线所在直线方程为y＝﹣x﹣5，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（）A．10 B．9 C．8 D．75．（5分）如图，在△ABC中，设，，，，则＝（）A． B． C． D．6．（5分）对于函数y＝f（x），若存在f（x0）＝﹣f（﹣x0），则称点（x0，f（x0））与点（﹣x0，f（﹣x0））是函数的一对“隐对称点”．若m＞0时，函数的图象上恰有2对“隐对称点”，则实数m的取值范围为（）A． B．（1，+∞） C． D．（0，1）∪（1，+∞）7．（5分）已知P（2，4）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，则|AF|+9|BF|的最小值为（）A．24 B．28 C．30 D．328．（5分）已知实数x1，x2满足，，则＝（）A．1 B．2 C．4 D．8二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分.（多选）9．（5分）若复数z满足（﹣1+i）⋅z＝1+5i（i是虚数单位），则下列说法正确的是（）A．z的虚部为﹣3i B．z的模为 C．z的共轭复数为3﹣2i D．z在复平面内对应的点位于第四象限（多选）10．（5分）已知ω＞0，函数，下列选项正确的有（）A．若f（x）的最小正周期T＝2，则ω＝π B．当ω＝2时，函数f（x）的图像向右平移个单位长度后得到y＝cos2x的图象 C．当ω＝2时，为f（x）的一条对称轴 D．若f（x）在区间（0，π）上只有一个零点，则ω的取值范围是（多选）11．（5分）某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启．已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品；则这次抽中的概率为．记玩家第n次抽盲盒，抽中奖品的概率为Pn，则（）A．P2＝ B．数列{Pn}为等比数列 C．Pn D．当n≥2时，n越大，Pn越小（多选）12．（5分）如图，圆柱OO1的底面半径和母线长均为3，AB是底面直径，点C在圆O上且OC⊥AB，点E在母线BD上，BE＝2，点F是上底面的一个动点，则（）A．存在唯一的点F，使得 B．若AE⊥CF，则点F的轨迹长为4 C．若AF⊥FE，则四面体ACEF的外接球的表面积为40π D．若AF⊥FE，则点F的轨迹长为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.13．（5分）椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离是．14．（5分）已知函数f（x）＝cos2x+8cosx，则f（x）的最小值为．15．（5分）在如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1．若BD⊥AN，则λ的值为．16．（5分）函数f（x）、g（x）的定义域为R，g（x）的导函数g′（x）的定义域为R，若f（x）+g（4﹣x）＝4，f（x）﹣g（8﹣x）＝﹣8，g′（x）+g′（8﹣x）＝0，g（4）＝8，则的值为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝2Sn+3（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB＝+c．（1）求A；（2）若AD为△ABC的角平分线，AD＝2，且2sinB＝sinC，求△ABC的周长．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，侧面ABED与ACFD均为梯形，AB∥DE，AC∥DF，AB⊥BE，且平面ABED⊥平面ABC，AC⊥DE．已知AB＝BE＝AC＝1，DE＝DF＝2．（1）证明：平面ABED⊥平面ACFD；（2）求平面BEFC与平面FCAD的夹角的大小．20．（12分）设函数f（x）＝ex﹣ax，x≥0且a∈R．（1）求函数f（x）的单调性；（2）若f（x）≥x2+1恒成立，求实数a的取值范围．21．（12分）某校20名学生的数学成绩xi（i＝1，2，⋯，20）和知识竞赛成绩yi（i＝1，2，⋯，20）如下表：学生编号i12345678910数学成绩xi100999693908885838077知识竞赛成绩yi29016022020065709010060270学生编号i11121314151617181920数学成绩xi75747270686660503935知识竞赛成绩yi4535405025302015105计算可得数学成绩的平均值是，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，．（1）求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）．（2）设N∈N*，变量x和变量y的一组样本数据为{（xi，yi）|i＝1，2，⋯，N}，其中xi（i＝1，2，⋯，N）两两不相同，yi（i＝1，2，⋯，N）两两不相同．记xi在{xn|n＝1，2，⋯，N}中的排名是第Ri位，yi在{yn|n＝1，2，⋯，N}中的排名是第Si位，i＝1，2，⋯，N．定义变量x和变量y的“斯皮尔曼相关系数”（记为ρ）为变量x的排名和变量y的排名的样本相关系数．（i）记di＝Ri﹣Si，i＝1，2，⋯，N．证明：．（ii）用（i）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”（精确到0.01）．（3）比较（1）和（2）（ii）的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势．注：参考公式与参考数据．；；．22．（12分）双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为3，点在双曲线上．（1）求双曲线的标准方程；（2）A，B分别为双曲线的左，右顶点，若点P为直线上一点，直线PA与双曲线交于另一点M，直线PB与双曲线交于另一点N，求直线MN恒经过的定点坐标．

2023-2024学年山西大学附中高三（上）第二次月考数学试卷（8月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．（5分）设集合A＝{x|2x+3＞0}，B＝{x|x2+4x﹣5＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣5，+∞） B．（﹣5，﹣） C．（﹣，1） D．（﹣，+∞）【考点】交集及其运算．【答案】A【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出A与B的并集即可．【解答】解：由A中不等式解得：x＞﹣，即A＝（﹣，+∞），由B中不等式变形得：（x﹣1）（x+5）＜0，解得：﹣5＜x＜1，即B＝（﹣5，1），则A∪B＝（﹣5，+∞），故选：A．2．（5分）某中学举办以“喜迎二十大、永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲比赛，其中9人的比赛成绩依次为：83，85，87，87，88，88，91，93，97（单位：分），则这9人成绩的第80百分位数是（）A．87 B．91 C．93 D．95【考点】百分位数．【答案】C【分析】根据题意，由百分位数的计算公式，代入计算，即可得到结果．【解答】解：因为9×80%＝7.2，所以这9人成绩的第80百分位数是第8个数，即为93．故选：C．3．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝6，S8＝18，则S12＝（）A．30 B．36 C．42 D．54【考点】等差数列的前n项和．【答案】B【分析】由已知结合等差数列的求和公式即可求解．【解答】解：等差数列{an}中，S4＝6，S8＝18，所以，解得a1＝，d＝，则S12＝12×+66×＝36．故选：B．4．（5分）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句．诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤4，若将军从点A（3，1）处出发，河岸线所在直线方程为y＝﹣x﹣5，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（）A．10 B．9 C．8 D．7【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程；根据实际问题选择函数类型．【答案】C【分析】首先利用对称关系求出点A关于直线y＝﹣x﹣5的对称点的坐标，进一步利用两点间的距离公式求出最小距离．【解答】解：设点A关于直线y＝﹣x﹣5的对称点坐标为B（a，b）故，解得，即对称点B（﹣6，﹣8），故原点到点B的距离d＝，所以最短距离为10﹣2＝8．故选：C．5．（5分）如图，在△ABC中，设，，，，则＝（）A． B． C． D．【考点】平面向量的基本定理；向量加减混合运算．【答案】C【分析】利用向量加减法的运算和数乘运算得出所求解的向量与已知向量之间的关系，注意运算的准确性和向量倍数关系的正确转化．【解答】解：因为，，所以，，又因为，所以，所以．故选：C．6．（5分）对于函数y＝f（x），若存在f（x0）＝﹣f（﹣x0），则称点（x0，f（x0））与点（﹣x0，f（﹣x0））是函数的一对“隐对称点”．若m＞0时，函数的图象上恰有2对“隐对称点”，则实数m的取值范围为（）A． B．（1，+∞） C． D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】函数与方程的综合运用．【答案】D【分析】由题意可得，函数f（x）＝﹣mx2﹣mx（x≤0）关于原点对称的函数g（x）＝mx2﹣mx与函数f（x）＝lnx（x＞0）的图象有两个交点，再次转化为与y＝m（x﹣1）的图象有2个交点，然后画出图象，根据图象即可求得答案．【解答】解：函数f（x）＝﹣mx2﹣mx（x≤0）关于原点对称的函数g（x）＝﹣f（﹣x）＝mx2﹣mx，x＞0，由题意可得，g（x）＝mx2﹣mx（x＞0）与f（x）＝lnx（x＞0）的图象有两个交点，即方程mx2﹣mx＝lnx（x＞0）有两个根，即有两个根，令，则，当0＜x＜e时，h′（x）＞0，当x＞e时，h′（x）＜0，所以h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，又y＝m（x﹣1）的图象恒过点（1，0），的图象也过点（1，0），因为h′（1）＝1，所以在x＝1处的切线方程为y＝x﹣1，由图可知，当0＜m＜1或m＞1时，与y＝m（x﹣1）的图象有2个交点，即mx2﹣mx＝lnx（x＞0）有两个根，所以实数m的取值范围为（0，1）∪（1，+∞）．故选：D．7．（5分）已知P（2，4）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，则|AF|+9|BF|的最小值为（）A．24 B．28 C．30 D．32【考点】抛物线的性质；直线与抛物线的综合．【答案】D【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1＞0＞y2，设直线l的方程为：x＝my+2，联立方程，利用根与系数的关系、利用抛物线的定义可得可得|AF|+2|BF|＝x1+2+9（x2+2），代入利用基本不等式即可求解．【解答】解：由题意可得p＝4，故抛物线C：y2＝8x，F（2，0），准线方程为x＝﹣2，设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1＞0＞y2，设直线l的方程为：my＝x﹣2，联立，可得y2﹣8my﹣16＝0，∴y1+y2＝8m，y1y2＝﹣16，x1x2＝（2+my1）（2+my2）＝m2y1y2+2m（y1+y2）+4＝4，则|AF|+9|BF|＝x1+2+9（x2+2）＝x1+9x2+20≥2+20＝32，当且仅当x1＝9x2且x1x2＝4时取等号，∴|AF|+9|BF|的最小值为32．故选：D．8．（5分）已知实数x1，x2满足，，则＝（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】利用导数研究函数的单调性；对数的运算性质．【答案】C【分析】由题意得，，即，构造函数f（x）＝xex，则f′（x）＝（x+1）ex，可得函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，则当x＞0时，f（x）＞0，当x＜0时，f（x）＜0，可得，结合题意，即可得出答案【解答】解：∵，，∴，，∴，令f（x）＝xex，则f′（x）＝（x+1）ex，由f′（x）＞0得x＞﹣1，由f′（x）＜0得x＜﹣1，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，当x＞0时，f（x）＞0，当x＜0时，f（x）＜0，∴，∵，∴．故选：C．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分.（多选）9．（5分）若复数z满足（﹣1+i）⋅z＝1+5i（i是虚数单位），则下列说法正确的是（）A．z的虚部为﹣3i B．z的模为 C．z的共轭复数为3﹣2i D．z在复平面内对应的点位于第四象限【考点】复数的运算．【答案】BD【分析】先根据复数的除法运算求出复数z，再根据虚部的定义，复数的模的计算公式，共轭复数的定义及复数的几何意义逐一判断即可．【解答】解：由（﹣1+i）⋅z＝1+5i，得，则z的虚部为﹣3，故A错误；z的模为，故B正确；z的共轭复数为2+3i，故C错误；z在复平面内对应的点为（2，﹣3），位于第四象限，故D正确．故选：BD．（多选）10．（5分）已知ω＞0，函数，下列选项正确的有（）A．若f（x）的最小正周期T＝2，则ω＝π B．当ω＝2时，函数f（x）的图像向右平移个单位长度后得到y＝cos2x的图象 C．当ω＝2时，为f（x）的一条对称轴 D．若f（x）在区间（0，π）上只有一个零点，则ω的取值范围是【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性；余弦函数的图象；余弦函数的对称性．【答案】AD【分析】A中，由函数的最小正周期，可得ω的值，判断A的真假；B中，由ω的值及函数平移，判断B的真假；C中，将x＝代入，可知不是函数的对称轴，判断C的真假；D中，由x的范围，可得ωx+的范围，再由函数的零点，可得ω的范围，判断D的真假．【解答】解：A中，函数的最小正周期T＝＝2，解得ω＝π，所以A正确；B中，ω＝2时，f（x）＝cos（2x+）向右平行移动个单位，可得y＝cos[2（x﹣）+]＝cos（2x﹣），所以B不正确；C中，ω＝2时，f（x）＝cos（2x+），由题意2•+＝≠kπ，k∈Z，所C不正确；D中，x∈（0，π）上只有一个零点，则ωx+∈（，ωπ+），由题意可得ωπ+∈（，π]，解得ω∈（，]．所以D正确．故选：AD．（多选）11．（5分）某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启．已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品；则这次抽中的概率为．记玩家第n次抽盲盒，抽中奖品的概率为Pn，则（）A．P2＝ B．数列{Pn}为等比数列 C．Pn D．当n≥2时，n越大，Pn越小【考点】概率的应用；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【答案】ABC【分析】根据题意，依次分析选项：对于A，求出P2的值，可得A正确，对于B，分析可得Pn＝Pn﹣1×+（1﹣Pn﹣1）×＝﹣Pn﹣1+，变形可得Pn＝﹣（Pn﹣1），由等比数列的定义可得B正确，对于C和D，由B的结论推出数列{Pn}的通项公式，由此分析可得C正确，D错误，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，P2＝P1×+（1﹣P1）×＝×+×＝，A正确；对于B，根据题意，Pn＝Pn﹣1×+（1﹣Pn﹣1）×＝﹣Pn﹣1+，变形可得Pn＝﹣（Pn﹣1），故数列{Pn}为等比数列，B正确；对于C，由B的结论，数列{Pn}为等比数列，其首项为P1＝﹣，公比为﹣，则Pn＝（﹣）×（﹣）n﹣1，变形可得Pn＝﹣×（﹣）n﹣1，当n为奇数时，Pn＝﹣×n﹣1＜＜，当n为偶数时，Pn＝+×n﹣1＜+×＝，综合可得：Pn＜，C正确；对于D，由C的结论，Pn＝﹣×（﹣）n﹣1，数列{Pn}为摆动数列，D错误；故选：ABC．（多选）12．（5分）如图，圆柱OO1的底面半径和母线长均为3，AB是底面直径，点C在圆O上且OC⊥AB，点E在母线BD上，BE＝2，点F是上底面的一个动点，则（）A．存在唯一的点F，使得 B．若AE⊥CF，则点F的轨迹长为4 C．若AF⊥FE，则四面体ACEF的外接球的表面积为40π D．若AF⊥FE，则点F的轨迹长为【考点】球的体积和表面积．【答案】ACD【分析】对选项A：作E关于D点的对称点为E'，利用对称性与三点共线距离最短求解；对选项BD：建立空间直角坐标系，根据F满足的条件判断其轨迹，求其长度；对选项C：证明AE中点Q为四面体ACEF的外接球的球心即可．【解答】解：设E关于D点的对称点为E'，如图，则，所以，当且仅当A，F，E'三点共线时取等号，故存在唯一的点F，使得，故A正确；由题意知OC⊥AB，OO1⊥OC，OO1⊥AB，以O为坐标原点，以OC，OB，OO1为x，y，z轴的正方向，建建系如图，则A（0，﹣3，0），C（3，0，0），E（0，3，2），设F（x，y，3），则，对选项B：当AE⊥CF时，，∴y＝﹣1，所以点F的轨迹长为上底面圆O1的一条弦MN，O1到MN的距离为1，所以，故点F的轨迹长为，所以B错误；对选项D：当AF⊥FE时，，∴x2+y2＝6，所以点F的轨迹是以O1为圆心，为半径的圆，其轨迹长为，故D正确；对选项C：在△ACE中，，∴AC2+CE2＝AE2，∴△ACE为直角三角形，其外心为AE与OO1的交点Q，且，而，所以QF＝QE＝QC＝QA，所以Q为四面体ACEF的外接球的球心，球半径为，所以球的表面积为40π，故C正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.13．（5分）椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离是8．【考点】椭圆的性质．【答案】8．【分析】由椭圆方程求得a，再由已知结合椭圆定义求解．【解答】解：由椭圆，得a2＝25，即a＝5．由题意不妨设|PF1|＝2，由椭圆定义可知，|PF1|+|PF2|＝2a＝10，即|PF2|＝10﹣|PF1|＝10﹣2＝8．∴点P到另一个焦点的距离为8．故答案为：8．14．（5分）已知函数f（x）＝cos2x+8cosx，则f（x）的最小值为﹣7．【考点】三角函数的最值．【答案】﹣7．【分析】设t＝cosx，利用换元法，转化成二次函数求最值．【解答】解：f（x）＝cos2x+8cosx＝2cos2x+8cosx﹣1，设t＝cosx，y＝2t2+8t﹣1，t∈[﹣1，1]，由于﹣2∉[﹣1，1]，则y＝2t2+8t﹣1在[﹣1，1]上单调递增，t＝﹣1，即cosx＝﹣1，y取得最小值为﹣7．故答案为：﹣7．15．（5分）在如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1．若BD⊥AN，则λ的值为．【考点】棱柱的结构特征．【答案】．【分析】设，，，以构成空间的一个基底，根据BD⊥AN，可得，将分别用表示，再根据数量积得运算律即可得解．【解答】解：设，，，则构成空间的一个基底，设AB＝1，因为BD⊥AN，所以，因为，，所以，即，即，解得．故答案为：．16．（5分）函数f（x）、g（x）的定义域为R，g（x）的导函数g′（x）的定义域为R，若f（x）+g（4﹣x）＝4，f（x）﹣g（8﹣x）＝﹣8，g′（x）+g′（8﹣x）＝0，g（4）＝8，则的值为﹣26．【考点】导数的运算．【答案】﹣26．【分析】设h（x）＝g（x）﹣g（8﹣x），可得出h′（x）＝0，则h（x）＝c（c为常数），由h（4）＝0可得出g（8﹣x）＝g（x），再结合已知等式可推导出函数f（x）是周期为8的周期函数，计算出f（2）、f（4）、f（6）、f（8）的值，结合函数f（x）的周期性可求得f（2k）的值．【解答】解：设h（x）＝g（x）﹣g（8﹣x），则h′（x）＝g′（x）+g′（8﹣x）＝0，所以函数h（x）为常值函数，设h（x）＝g（x）﹣g（8﹣x）＝c（c为常数），又因为h（4）＝0，则g（x）﹣g（8﹣x）＝0，即g（8﹣x）＝g（x），所以函数g（x）的图象关于直线x＝4对称，则g（4+x）＝g（4﹣x），因为f（x）+g（4﹣x）＝4，f（x）﹣g（8﹣x）＝﹣8，且函数f（x）、g（x）的定义域为R，所以g（4﹣x）+g（8﹣x）＝12，所以g（﹣x）+g（4﹣x）＝12，则g（8﹣x）＝g（﹣x），所以g（x+8）＝g（x），所以，函数g（x）是周期为8的周期函数，因为f（x）﹣g（8﹣x）＝﹣8，则f（x）＝g（8﹣x）﹣8＝g（﹣x）﹣8，所以f（x+8）＝g（﹣x﹣8）﹣8＝g（﹣x）﹣8＝f（x），所以函数f（x）是周期为8的周期函数，因为f（x）+g（4﹣x）＝4，则f（﹣x）+g（4+x）＝4，所以f（x）+g（4﹣x）＝f（﹣x）+g（4+x），故f（x）＝f（﹣x），所以函数f（x）为偶函数，因为g（4）＝8，所以，f（0）+g（4）＝f（0）+8＝4，故f（0）＝﹣4，在等式f（x）﹣g（8﹣x）＝﹣8中，令x＝4可得f（4）﹣g（4）＝f（4）﹣8＝﹣8，则f（4）＝0，在等式f（x）+g（4﹣x）＝4中，令x＝﹣2可得f（﹣2）+g（6）＝4，在等式f（x）﹣g（8﹣x）＝﹣8中，令x＝2可得f（2）﹣g（6）＝﹣8，所以f（﹣2）+f（2）＝﹣4，故2f（2）＝﹣4，则f（2）＝﹣2，所以f（8）＝f（0）＝﹣4，f（2）＝﹣2，f（4）＝0，f（6）＝f（﹣2）＝f（2）＝﹣2，因此f（2k）＝3[f（2）+f（4）+f（6）]+f（2）+f（4）＝3×（﹣2+0﹣2﹣4）﹣2+0＝﹣26．故答案为：﹣26．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝2Sn+3（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】（1）an＝3n．（2）Tn＝1﹣．【分析】（1）当n＝1时，可得a2＝2S1+3＝2a1+3，利用递推式求出等比数列{an}的公比，从而可求得a1，进而可得数列{an}的通项公式；（2）利用错位相减求和法求解即可．【解答】解：（1）当n＝1时，a2＝2S1+3＝2a1+3，当n≥2时，有：an+1＝2Sn+3，an＝2Sn﹣1+3，两式相减、化简得an+1＝3an，所以等比数列{an}的公比为3，所以a2＝3a1＝2a1+3，解得a1＝3，从而an＝3n．（2）由（1）得＝，所以Tn＝b1+b2+…+bn＝++…+①，Tn＝++…++①，①﹣②得Tn＝+++…+﹣＝﹣，所以Tn＝1﹣．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB＝+c．（1）求A；（2）若AD为△ABC的角平分线，AD＝2，且2sinB＝sinC，求△ABC的周长．【考点】正弦定理；余弦定理．【答案】（1）A＝π；（2）△ABC的周长为3+9．【分析】（1）由正弦定理及三角形的角的关系，可得A角的余弦值，再由A角的范围，可得A角的大小；（2）由角平分线的性质，由等面积法求出b，c的关系，再由题意可得b，c的关系，进而求出b，c的值，再由余弦定理可得a的大小，进而求出三角形的周长．【解答】解：（1）因为acosB＝+c，由正弦定理可得：2sinAcosB＝sinB+2sin（A+B）＝sinB+2sinBcosA+2sinAcosB，可得sinB+2sinBcosA＝0，又因为sinB≠0，可得cosA＝﹣，而A∈（0，π），解得A＝π；（2）因为AD为△ABC的角平分线，所以∠BAD＝∠CAD＝，所以AB•AC•sin∠BAC＝AC•AD•sin∠CAD+AB•AC•sin∠BAD，即bcsinπ＝b×2sin+c×2sin，可得bc＝2b+2c；①因为2sinB＝sinC，由正弦定理可得2b＝c，②，由①②可得b＝3，c＝6，由余弦定理可得a＝＝＝3，所以三角形的周长为：a+b+c＝3+3+6＝3+9．所以△ABC的周长为3+9．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，侧面ABED与ACFD均为梯形，AB∥DE，AC∥DF，AB⊥BE，且平面ABED⊥平面ABC，AC⊥DE．已知AB＝BE＝AC＝1，DE＝DF＝2．（1）证明：平面ABED⊥平面ACFD；（2）求平面BEFC与平面FCAD的夹角的大小．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直．【答案】（1）证明详情见解答．（2）．【分析】（1）由AB∥DE，AC⊥DE，得AC⊥AB，由平面ABED⊥平面ABC，结合面面垂直的性质定理可得AC⊥平面ABED，即可得出答案．（2）作DE中点M，连接AM，易知AB，AM，AC两两垂直，以，，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACFD的法向量为＝（x1，y1，z1），平面CBEF的法向量为＝（x2，y2，z2），设平面BEFC与平面FCAD的夹角为θ，则cosθ＝，即可得出答案．【解答】解：（1）证明：因为AB∥DE，AC⊥DE，所以AC⊥AB，又AC⊂平面ABC，平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，所以AC⊥平面ABED，又AC⊂平面ACFD，所以平面ABED⊥平面ACFD．（2）如图，作DE中点M，连接AM，易知AB，AM，AC两两垂直，以，，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（0，0，1），F（﹣1，1，2），所以（1，0，﹣1），，设平面ACFD的法向量为＝（x1，y1，z1），则，取x1＝1，则y1＝1，z1＝0，所以＝（1，1，0），设平面CBEF的法向量为＝（x2，y2，z2），则，取x2＝1，则y2＝0，z2＝1，所以＝（1，0，1），设平面BEFC与平面FCAD的夹角为θ，则，所以，所以平面BEFC与平面FCAD的角．20．（12分）设函数f（x）＝ex﹣ax，x≥0且a∈R．（1）求函数f（x）的单调性；（2）若f（x）≥x2+1恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值．【答案】（1）当a≤1时，f（x）在[0，+∞）上单调递增；当a＞1时，f（x）在[0，lna）上单调递减，在[0，lna）上单调递增．（2）（﹣∞，e﹣2]．【分析】（1）求导后分a≤1与a＞1两种情况讨论即可；（2）方法一：讨论当x＝0时成立，当x＞0时参变分离可得，再构造函数，x＞0，求导分析最小值即可；方法二：将题意转化为，再构造函数，求导分类讨论单调性与最大值即可．【解答】解：（1）f′（x）＝ex﹣a，x≥0，当a≤1时，f′（x）≥0恒成立，则f（x）在[0，+∞）上单调递增；当a＞1时，x∈[0，lna）时，f′（x）≤0，则f（x）在[0，lna）上单调递减；x∈（lna，+∞）时，f′（x）≥0，则f（x）在[0，lna）上单调递增．综上，当a≤1时，f（x）在[0，+∞）上单调递增；当a＞1时，f（x）在[0，lna）上单调递减，在[0，lna）上单调递增．（2）方法一：ex﹣ax≥x2+1在x≥0恒成立，则当x＝0时，1≥1，显然成立，符合题意；当x＞0时，得恒成立，即记，x＞0，，构造函数y＝ex﹣x﹣1，x＞0，则y′＝ex﹣1＞0，故y＝ex﹣x﹣1为增函数，则ex﹣x﹣1＞e0﹣0﹣1＝0．故ex﹣x﹣1＞0对任意x＞0恒成立，则g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，所以g（x）min＝g（1）＝e﹣2∴a≤e﹣2，即实数a的取值范围是（﹣∞，e﹣2]．方法二：在[0，+∞）上恒成立，即．记，x≥0，，当a≥1时，h（x）在（0，1）单增，在（1，+∞）单减，则，得a≤e﹣2，舍：当0＜a＜1时，h（x）在（0，1﹣a）单减，在（1﹣a，1）单增，在（1，+∞）单减，h（0）＝1，，得0＜a＜e﹣2；当a＝0时，h（x）在（0，+∞）单减，成立；当a＜0时，h（x）在（0，1）单减，在（1，1﹣a）单增，在（1﹣a，+∞）单减，h（0）＝1，，而e1﹣a≥1﹣a+1，显然成立．综上所述，a≤e﹣2，即实数a的取值范围是（﹣∞，e﹣2]．21．（12分）某校20名学生的数学成绩xi（i＝1，2，⋯，20）和知识竞赛成绩yi（i＝1，2，⋯，20）如下表：学生编号i12345678910数学成绩xi100999693908885838077知识竞赛成绩yi29016022020065709010060270学生编号i11121314151617181920数学成绩xi75747270686660503935知识竞赛成绩yi4535405025302015105计算可得数学成绩的平均值是，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，．（1）求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）．（2）设N∈N*，变量x和变量y的一组样本数据为{（xi，yi）|i＝1，2，⋯，N}，其中xi（i＝1，2，⋯，N）两两不相同，yi（i＝1，2，⋯，N）两两不相同．记xi在{xn|n＝1，2，⋯，N}中的排名是第Ri位，yi在{yn|n＝1，2，⋯，N}中的排名是第Si位，i＝1，2，⋯，N．定义变量x和变量y的“斯皮尔曼相关系数”（记为ρ）为变量x的排名和变量y的排名的样本相关系数．（i）记di＝Ri﹣Si，i＝1，2，⋯，N．证明：．（ii）用（i）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”（精确到0.01）．（3）比