2023-2024学年山西大学附中高一(上)第一次模块诊断数学试卷(10月份)

2023-2024学年山西大学附中高一（上）第一次模块诊断数学试卷（10月份）一．选择题：本小题8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{﹣1，0，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，1} D．{0}2．（3分）命题“∃x0＞0，﹣5x0+6＞0”的否定是（）A．∀x≤0，x2﹣5x+6≤0 B．∀x＞0，x2﹣5x+6≤0 C．∃x0≤R，﹣5x0+6≤0 D．∃x0＞0，﹣5x0+6≤03．（3分）设M＝2a（a﹣2）+7，N＝（a﹣2）（a﹣3），则M与N的大小关系是（）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定4．（3分）设全集U＝N*，集合A＝{2，3，4，6，9}，集合B＝{x|x＞4，x∈N*}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{6，9} B．{2，3} C．{2，3，4} D．{x|2≤x≤4}5．（3分）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言．此名言中的“积跬步”是“至千里”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．（3分）已知a＞b＞c＞0，则（）A．2a＜b+c B．a（b﹣c）＞b（a﹣c） C． D．（a﹣c）3＞（b﹣c）37．（3分）已知关于x的一元二次不等式x2﹣（a+1）x+a≤0的解中有且仅有4个正整数，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a＜﹣2 B．﹣3＜a≤﹣2 C．4＜a≤5 D．4≤a＜58．（3分）已知x＞0，y＞0且+＝1．若x+y＞m2+8m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．{m|m≥} B．{m|m≤﹣3} C．{m|m≥1} D．{m|﹣9＜m＜1}二．选择题：本小题4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分．（多选）9．（3分）已知集合A＝{﹣1，2，3}，B＝{x|﹣1≤x＜3}，则下列结论错误的是（）A．A∩B＝A B．A∪B＝B C．3⊆∁RB D．A∩（∁RB）＝∅（多选）10．（3分）在下列命题中，真命题有（）A．∃x∈R，x2+x+3＝0 B．是有理数 C．∃x，y∈Z，使3x﹣2y＝10 D．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0（多选）11．（3分）若a+b＝1（a＞0，b＞0），则下列结论正确的是（）A．ab的最小值为 B．a2+b2的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为（多选）12．（3分）已知不等式x2+ax+b＞0（a＞0）的解集是{x|x≠d}，则下列四个结论中正确的是（）A．a2＝4b B． C．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为（x1，x2），则x1x2＞0 D．若不等式x2+ax+b＜c的解集为（x1，x2），且|x1﹣x2|＝4，则c＝4三．填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）设集合A＝{0，﹣a}，B＝{1，a﹣2，2a﹣2}，若A⊆B，则a＝．14．（4分）已知﹣1≤a+b≤1，﹣1≤a﹣b≤1，求2a+3b的取值范围．15．（4分）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C＝，则经过h后池水中药品的浓度达到最大．16．（4分）若不等式＜0对一切x∈R都成立，则实数m的取值范围是．四．解答题：本题共4小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣12≤0}，B＝{x|a﹣1＜x＜3a+2}．（1）当a＝1时，求A∪B，A⋂（∁RB）；（2）若A⋂B＝B，求实数a的取值范围．18．（12分）（1）已知，求的最大值；（2）已知x＜3，求的最大值．19．（12分）已知关于x的不等式cx2+x+b＜0的解集为，关于x的不等式bx2+x+c＞0的解集为M，关于x的不等式x2+x＜a2﹣a的解集为N，且满足M∪（∁RN）＝R．（1）求集合M；（2）求实数a的取值范围．20．（12分）如图，计划依靠一面墙建一个植物角．墙长为18m．用栅栏围成四个相同的长方形区域种植若干种植物．（1）若每个长方形区域的面积为24m2，要使围成四个区域的栅栏总长度最小，每个长方形区域长和宽分别是多少米？并求栅栏总长度的最小值；（2）若每个长方形区域的长为xm（x＞2），宽为长的一半．每米栅栏价格为5元，区域的重建费用为每平方米10元．要使总费用不超过180元，求长方形区域的长x的取值范围．

2023-2024学年山西大学附中高一（上）第一次模块诊断数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一．选择题：本小题8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{﹣1，0，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，1} D．{0}【考点】交集及其运算．【答案】A【分析】直接利用交集运算的概念得答案．【解答】解：∵A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{﹣1，0，2}，∴A∩B＝{x|﹣1≤x≤1}∩{﹣1，0，2}＝{﹣1，0}．故选：A．2．（3分）命题“∃x0＞0，﹣5x0+6＞0”的否定是（）A．∀x≤0，x2﹣5x+6≤0 B．∀x＞0，x2﹣5x+6≤0 C．∃x0≤R，﹣5x0+6≤0 D．∃x0＞0，﹣5x0+6≤0【考点】特称命题的否定．【答案】B【分析】由特称命题的否定的定义即可得出结果．【解答】解：因为，所以其否定为∀x＞0，x2﹣5x+6≤0．故选：B．3．（3分）设M＝2a（a﹣2）+7，N＝（a﹣2）（a﹣3），则M与N的大小关系是（）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定【考点】不等式比较大小．【答案】A【分析】作差化简M﹣N＝a2+a+1，从而比较大小．【解答】解：∵M﹣N＝2a（a﹣2）+7﹣（a﹣2）（a﹣3）＝2a2﹣4a+7﹣（a2﹣5a+6）＝a2+a+1＝（a+）2+＞0，∴M＞N，故选：A．4．（3分）设全集U＝N*，集合A＝{2，3，4，6，9}，集合B＝{x|x＞4，x∈N*}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{6，9} B．{2，3} C．{2，3，4} D．{x|2≤x≤4}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【答案】C【分析】根据Venn图表示的集合计算．【解答】解：因为全集U＝N*，所以∁UB＝{x|x≤4，x∈N*}＝{1，2，3，4}，所以图中阴影部分表示A∩（∁UB）＝{2，3，4}．故选：C．5．（3分）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言．此名言中的“积跬步”是“至千里”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件．【答案】C【分析】根据充要条件的定义即可判断．【解答】解：由已知设“积跬步”为命题P，“至千里”为命题q，“故不积跬步，无以至千里”，即“若¬P，则¬q”，其逆否命题为“若q则P”，反之不成立，所以命题P是命题q的必要不充分条件，故选：C．6．（3分）已知a＞b＞c＞0，则（）A．2a＜b+c B．a（b﹣c）＞b（a﹣c） C． D．（a﹣c）3＞（b﹣c）3【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式．【答案】D【分析】结合不等式的性质，可判断选项A，C，D；取a＝3，b＝2，c＝1，可判断选项B．【解答】解：对于选项A，∵a＞b＞c＞0，∴a+a＞b+c，即2a＞b+c，故错误；对于选项B，当a＝3，b＝2，c＝1时，a（b﹣c）＜b（a﹣c），故错误；对于选项C，∵a＞b＞c＞0，∴a﹣c＞b﹣c＞0，∴，故错误；对于选项D，∵a＞b＞c＞0，∴a﹣c＞b﹣c＞0，∴（a﹣c）3＞（b﹣c）3，故正确；故选：D．7．（3分）已知关于x的一元二次不等式x2﹣（a+1）x+a≤0的解中有且仅有4个正整数，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a＜﹣2 B．﹣3＜a≤﹣2 C．4＜a≤5 D．4≤a＜5【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】D【分析】先求解不等式，根据解集中正整数的个数确定a的取值范围．【解答】解：由x2﹣（a+1）x+a≤0，得（x﹣a）（x﹣1）≤0，因为关于x的一元二次不等式x2﹣（a+1）x+a≤0的解集中有且仅有4个正整数，所以a＞1，不等式的解为1≤x≤a，且4≤a＜5，故选：D．8．（3分）已知x＞0，y＞0且+＝1．若x+y＞m2+8m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．{m|m≥} B．{m|m≤﹣3} C．{m|m≥1} D．{m|﹣9＜m＜1}【考点】基本不等式及其应用；函数恒成立问题．【答案】D【分析】由已知不等式恒成立转化为求x+y的最小值，利用乘1法结合基本不等式可求．【解答】解：因为x＞0，y＞0且+＝1，所以x+y＝（x+y）（）＝5+≥5+4＝9，当且且+＝1即x＝3，y＝6时取等号，若x+y＞m2+8m恒成立，则9＞m2+8m，解得﹣9＜m＜1．故选：D．二．选择题：本小题4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分．（多选）9．（3分）已知集合A＝{﹣1，2，3}，B＝{x|﹣1≤x＜3}，则下列结论错误的是（）A．A∩B＝A B．A∪B＝B C．3⊆∁RB D．A∩（∁RB）＝∅【考点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算；交、并、补集的混合运算．【答案】ABCD【分析】根据集合间的计算结果，及元素与集合的关系分别判断各选项．【解答】解：由A＝{﹣1，2，3}，B＝{x|﹣1≤x＜3}，得A∩B＝{﹣1，2}≠A，A选项错误；A∪B＝{x|﹣1≤x≤3}≠B，B选项错误；∁RB＝{x＜﹣1或x≥3}，3∈∁RB，元素与集合间的关系为属于与不属于关系，无包含关系，C选项错误；A∩（∁RB）＝{3}，故D错误．故选：ABCD．（多选）10．（3分）在下列命题中，真命题有（）A．∃x∈R，x2+x+3＝0 B．是有理数 C．∃x，y∈Z，使3x﹣2y＝10 D．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0【考点】存在量词和特称命题；命题的真假判断与应用；全称量词和全称命题．【答案】BC【分析】直接利用关系式的变换判定A和B，利用赋值法的应用判定C和D的正误．【解答】解：由于，故A错误；由于x为有理数，所以也为有理数，故B正确；当x＝70，y＝100时，3x﹣2y＝10，故选项C正确；当x＝1时，x3﹣x2+1＞0，故D错误．故选：BC．（多选）11．（3分）若a+b＝1（a＞0，b＞0），则下列结论正确的是（）A．ab的最小值为 B．a2+b2的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为【考点】基本不等式及其应用．【答案】BCD【分析】对于A，利用基本不等式分析判断，对于B，由于a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，再结合基本不等式分析判断，对于C，对平方后利用基本不等式分析判断，对于D，由化简后利用基本不等式判断．【解答】解：由正实数a，b满足a+b＝1，则，当且仅当时，等号成立，所以ab的最大值为，故A选项错误；由，当且仅当时，等号成立，所以a2+b2的最小值为，故B选项正确．由，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故C选项正确；由，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，故D选项正确．故选：BCD．（多选）12．（3分）已知不等式x2+ax+b＞0（a＞0）的解集是{x|x≠d}，则下列四个结论中正确的是（）A．a2＝4b B． C．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为（x1，x2），则x1x2＞0 D．若不等式x2+ax+b＜c的解集为（x1，x2），且|x1﹣x2|＝4，则c＝4【考点】命题的真假判断与应用；一元二次不等式及其应用．【答案】ABD【分析】根据题意，依次分析选项，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，不等式x2+ax+b＞0（a＞0）的解集是{x|x≠d}，即方程x2+ax+b＝0有两个相等的根x＝d，必有Δ＝a2﹣4b＝0，即a2＝4b，A正确；对于B，由A的结论，a2＝4b，则a2+＝a2+≥4，当且仅当a2＝2时等号成立，B正确；对于C，若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为（x1，x2），即方程x2+ax﹣b＝0的两个根为x1、x2，则有x1x2＝﹣b＝﹣＜0，C错误；对于D，若不等式x2+ax+b＜c的解集为（x1，x2），即方程x2+ax+b＝c的两个根为x1、x2，若|x1﹣x2|＝4，则有（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝a2﹣4（b﹣c）＝a2﹣4b+4c＝16，解可得c＝4，D正确；故选：ABD．三．填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）设集合A＝{0，﹣a}，B＝{1，a﹣2，2a﹣2}，若A⊆B，则a＝1．【考点】集合的包含关系判断及应用．【答案】见试题解答内容【分析】根据包含关系分a﹣2＝0和2a﹣2＝0两种情况讨论，运算求解即可．【解答】解：因为A⊆B，若a﹣2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，﹣2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a﹣2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，﹣1}，B＝{1，﹣1，0}，符合题意；综上所述：a＝1．故答案为：1．14．（4分）已知﹣1≤a+b≤1，﹣1≤a﹣b≤1，求2a+3b的取值范围[﹣3，3]．【考点】等式与不等式的性质．【答案】[﹣3，3]．【分析】利用待定系数法设2a+3b＝λ（a+b）+μ（a﹣b），得到方程组，解出λ，μ，再根据不等式基本性质即可得到答案．【解答】解：设2a+3b＝λ（a+b）+μ（a﹣b），则，解得，故，由﹣1≤a+b≤1，故，由﹣1≤a﹣b≤1，故，所以2a+3b∈[﹣3，3]．故答案为：[﹣3，3]．15．（4分）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C＝，则经过2h后池水中药品的浓度达到最大．【考点】基本不等式及其应用．【答案】见试题解答内容【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：C＝＝＝5，当且仅当t＝，t＝2时取等号．因此经过2h后池水中药品的浓度达到最大．故答案为：2．16．（4分）若不等式＜0对一切x∈R都成立，则实数m的取值范围是（﹣4，0]．【考点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其应用．【答案】见试题解答内容【分析】由分子恒大于0，得到分母恒小于0【解答】解：∵x2﹣8x+20＝（x﹣4）2+4≥4＞0，∴mx2﹣mx﹣1＜0，当m＝0时，mx2﹣mx﹣1＝﹣1＜0，不等式成立；设y＝mx2﹣mx﹣1，当m≠0时函数y为二次函数，y要恒小于0，抛物线开口向下且与x轴没有交点，即要m＜0且Δ＜0，得到：综上得到﹣4＜m≤0，故答案为：（﹣4，0]．四．解答题：本题共4小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣12≤0}，B＝{x|a﹣1＜x＜3a+2}．（1）当a＝1时，求A∪B，A⋂（∁RB）；（2）若A⋂B＝B，求实数a的取值范围．【考点】一元二次不等式及其应用；集合的包含关系判断及应用．【答案】（1）A∪B＝{x|﹣2≤x≤6}，A∩（∁RB）＝{x|﹣2≤x≤0或5≤x≤6}；（2）（﹣∞，﹣]∪[﹣1，]．【分析】（1）当a＝1时，求出集合B，并求出集合A，利用并集的定义可求出集合A∪B，利用补集和交集的定义可求出集合A⋂（∁RB）；（2）分析可知B⊆A，分B＝∅、B≠∅两种情况讨论，根据B⊆A列出关于实数a的不等式（组），综合可得出实数a的取值范围．【解答】解：（1）解不等式x2﹣4x﹣12≤0，得﹣2≤x≤6，即A＝{x|﹣2≤x≤6}．当a＝1时，B＝{x|0＜x＜5}，所以A∪B＝{x|﹣2≤x≤6}，又∁RB＝{x|x≤0或x≥5}，所以A∩（∁RB）＝{x|﹣2≤x≤0或5≤x≤6}．（2）由（1）知，A＝{x|﹣2≤x≤6}，由A⋂B＝B，得B⊆A．当a﹣1≥3a+2，即时，B＝∅，满足B⊆A，因此；当a﹣1＜3a+2，即时，B≠∅，则，解得，因此．则或，所以实数a的取值范围（﹣∞，﹣]∪[﹣1，]．18．（12分）（1）已知，求的最大值；（2）已知x＜3，求的最大值．【考点】基本不等式及其应用．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）（2）利用配凑法，结合均值不等式求解即可．【解答】解：（1）由，得1﹣2x＞0，则由基本不等式得，当且仅当2x＝1﹣2x，即时取等号，所以当时，取得最大值．（2）由x＜3，得，由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，故，所以当时，取得最大值．19．（12分）已知关于x的不等式cx2+x+b＜0的解集为，关于x的不等式bx2+x+c＞0的解集为M，关于x的不等式x2+x＜a2﹣a的解集为N，且满足M∪（∁RN）＝R．（1）求集合M；（2）求实数a的取值范围．【考点】一元二次不等式及其应用；交、并、补集的混合运算．【答案】（1）{x|﹣1＜x＜2}．（2）{a|0≤a≤1}．【分析】（1）由一元二次不等式的解法得出b，c后求解，（2）分类讨论解不等式后由集合间关系列式求解．【解答】解：（1）因为不等式cx2+x+b＜0的解集为，所