2023-2024学年山西省运城市稷山中学高一(上)学科素养数学试卷

2023-2024学年山西省运城市稷山中学高一（上）学科素养数学试卷一、单选题（本题共6小题，共30分）1．（5分）化简二次根式的结果为（）A． B． C． D．2．（5分）下列命题正确的有（）A．若a＞b，则 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a3＞b3，则a＞b3．（5分）将下列多项式因式分解，结果中不含因式（x+2）的是（）A．2x2+4x B．3x2﹣12 C．x2+x﹣6 D．（x﹣2）2+8（x﹣2）+164．（5分）如图，已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．85．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论错误的有（）个．①图中只有两对相似三角形；②BC•AC＝AB•CD；③若，AD＝8，则CD＝4．A．1个 B．2个 C．3个 D．0个（多选）6．（5分）下列结论正确的是（）A．设a＞0，则的最小值是 B．当x＞1时，的最小值是2 C．当x＞0时， D．当时，的最大值是1二、多选题（本题共2小题，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）7．（5分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为﹣1，4，且a＜0，那么满足ax2+bx+c＜0的x的取值有（）A．x＜﹣1 B．x＞4 C．x＝3 D．﹣1＜x＜4（多选）8．（5分）给出下列命题，其中正确的是（）A．三角形的重心到顶点与到对边中点的距离之比为1：2 B．等腰三角形的内心、重心和外心同在底边的高线上 C．已知△ABC的三边之比为3：4：5，且其外接圆半径R＝5，则△ABC的面积为48 D．△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，I为△ABC的内心，则三、填空题（本题共4小题，共20分）9．（5分）有下列各组关系或说法：①0∈N*；②；③π∈Q；④；⑤集合E是由所有平行四边形构成的集合，则某个正方形ABCD是集合E的元素．其中正确的个数是．10．（5分）若x+y+z＝6，xy+yz+zx＝11，xyz＝6，则＝．11．（5分）下面关于集合的表示正确的序号是．①{2，3}≠{3，2}；②{（x，y）|x+y＝1}＝{y|x+y＝1}；③{x|x＞1}＝{y|y＞1}；④{x|x＝2k+1，k∈Z}＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}．12．（5分）已知x1，x2是一元二次方程x2+mx+5＝0的两个实数根，若x1，x2满足x1＝2|x2|﹣3，则m＝．四、解答题（本题共3小题，共40分）13．（16分）解下列各题：（1）计算：（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2；（2）因式分解：3x2﹣6xy+3y2﹣27m2；（3）计算：；（4）计算：|x﹣3|+|3x+2|＜15．14．（12分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|m﹣2≤x≤2m+1}．（1）当m＝1时，求集合A∪B；（2）若A，B满足：①A∩B＝∅，②A∪B＝A，从①②中任选一个作为条件，求实数m的取值范围．15．（12分）某企业参加国际商品展览会，向主办方申请了400平方米的矩形展位，展位由展示区（图中阴影部分）和过道（图中空白部分）两部分组成，其中展示区左右两侧过道宽度都为2米，前方过道宽度为4米．后期将对展位进行装修，其中展示区的装修费为100元/平方米，过道的装修费为200元/平方米．记展位的一条边长为x米，整个展位的装修总费用为y元．（1）请写出装修总费用y关于边长x的表达式；（2）如何设计展位的边长使得装修总费用最低？并求出最低费用．

2023-2024学年山西省运城市稷山中学高一（上）学科素养数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共6小题，共30分）1．（5分）化简二次根式的结果为（）A． B． C． D．【考点】有理数指数幂及根式．【答案】A【分析】利用根式运算化简即可，注意二次根号下a的范围限制．【解答】解：因为﹣8a3≥0，所以a≤0，所以．故选：A．2．（5分）下列命题正确的有（）A．若a＞b，则 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a3＞b3，则a＞b【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式；命题的真假判断与应用．【答案】D【分析】对选项进行逐个验证，即可解出．【解答】解：选项A错误，如，a＝1，b＝﹣2；选项B错误，如，a＝1，b＝﹣3；选项C错误，如，a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3，选项D正确，因a3＞b3，故a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）＝（a﹣b）[（a﹣）2+]＞0，∵（a﹣）2+＞0，∴a＞b，故选：D．3．（5分）将下列多项式因式分解，结果中不含因式（x+2）的是（）A．2x2+4x B．3x2﹣12 C．x2+x﹣6 D．（x﹣2）2+8（x﹣2）+16【考点】因式分解定理．【答案】C【分析】利用提取公因式法判断A，利用公式法判断B，利用十字相乘法判断C、D．【解答】解：对于A，原式＝2x（x+2），不符合题意；对于B，原式＝3（x2﹣4）＝3（x+2）（x﹣2），不符合题意；对于C，原式＝（x﹣2）（x+3），符合题意；对于D，原式＝（x﹣2+4）2＝（x+2）2，不符合题意．故选：C．4．（5分）如图，已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【考点】其他不等式的解法；Venn图表达集合的关系及运算．【答案】C【分析】先解分式不等式化简集合B，然后利用集合运算表示阴影部分，最后写出所有的真子集即可求解．【解答】解：因为，所以∁UB＝{x|x≤﹣1或x＞2}，又A＝{1，2，3，4，5}，而图中阴影部分表示的集合为A∩（∁UB）＝{1，2，3，4，5}∩{x|x≤﹣1或x＞2}＝{3，4，5}，所以{3，4，5}的真子集为∅，{3}，{4}，{5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，共7个．故选：C．5．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论错误的有（）个．①图中只有两对相似三角形；②BC•AC＝AB•CD；③若，AD＝8，则CD＝4．A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【考点】解三角形；命题的真假判断与应用．【答案】A【分析】由图中的三个直角三角形判断相似即可判断①；利用面积法证明等式即可判断②；利用射影定理和勾股定理求边长即可判断③．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB于点D，则有△ACD∽△ABC∽△CBD，故①错误；由S△ABC＝，得BC⋅AC＝AB⋅CD，故②正确；由射影定理得，，解得BD＝2，在Rt△CDB中，＝＝4，故③正确，结论错误的有1个．故选：A．（多选）6．（5分）下列结论正确的是（）A．设a＞0，则的最小值是 B．当x＞1时，的最小值是2 C．当x＞0时， D．当时，的最大值是1【考点】基本不等式及其应用．【答案】CD【分析】运用基本不等式逐一判断即可．【解答】解：于选项A：∵不是定值，∴不是的最小值，故选项A错误；对于选项B：当x＞0时，由基本不等式可得，当且仅当，即x＝1时取等号，但x＞1，故取不到等号，故2不是的最小值，故选项B错误；对于选项C：当x＞0时，由基本不等式可得，当且仅当，即x＝1时，等号成立，故选项C正确；对于选项D：当，即5﹣4x＞0时，≤﹣2+3＝1，当且仅当，即x＝1时等号成立，故选项D正确．故选：CD．二、多选题（本题共2小题，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）7．（5分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为﹣1，4，且a＜0，那么满足ax2+bx+c＜0的x的取值有（）A．x＜﹣1 B．x＞4 C．x＝3 D．﹣1＜x＜4【考点】一元二次不等式及其应用；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【答案】AB【分析】根据一元二次不等式对应方程的根确定其解集即可．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为﹣1，4且a＜0，∴由ax2+bx+c＜0得：x＜﹣1或x＞4．故选：AB．（多选）8．（5分）给出下列命题，其中正确的是（）A．三角形的重心到顶点与到对边中点的距离之比为1：2 B．等腰三角形的内心、重心和外心同在底边的高线上 C．已知△ABC的三边之比为3：4：5，且其外接圆半径R＝5，则△ABC的面积为48 D．△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，I为△ABC的内心，则【考点】三角形五心；命题的真假判断与应用；正弦定理．【答案】BD【分析】根据重心的几何特征即可判断A；根据三角形内心、重心和外心的定义即可判断B；先利用勾股定理判断出函数为直角三角形，再根据其外接球的半径可求出三角形的边长，即可判断C；根据内心到三边的距离相等，结合正弦定理即可判断D．【解答】解：对A，重心到顶点与对边中点的距离之比为2：1，故A错误；对B，等腰三角形底边中线，底边高，顶角角平分线，三线合一，故等腰三角形的内心，重心和外心同在底边的高线上，故B正确；对C，设三边长为3k、4k、5k，则（3k）2+（4k）2＝（5k）2，则这个三角形为直角三角形，则外接圆半径，故k＝2，，故C错误；对D，因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，所以∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，内心是三条角平分线的交点，内心到三边的距离相等，因此，故D正确．故选：BD．三、填空题（本题共4小题，共20分）9．（5分）有下列各组关系或说法：①0∈N*；②；③π∈Q；④；⑤集合E是由所有平行四边形构成的集合，则某个正方形ABCD是集合E的元素．其中正确的个数是2．【考点】元素与集合关系的判断．【答案】2．【分析】借助集合的概念及数集的特点进行判断．【解答】解：N*表示正整数集，故①错误；Q表示有理数集，故②正确，③错误；R表示实数集，为实数，故④错误；所有正方形都是平行四边形，因此某一个特殊的正方形ABCD可以作为集合E的元素，故⑤正确．故答案为：2．10．（5分）若x+y+z＝6，xy+yz+zx＝11，xyz＝6，则＝．【考点】基本不等式及其应用；对数的运算性质．【答案】．【分析】对目标式通分，结合三元平方和公式求值即可．【解答】解：根据三元平方公式，得．故答案为：．11．（5分）下面关于集合的表示正确的序号是③④．①{2，3}≠{3，2}；②{（x，y）|x+y＝1}＝{y|x+y＝1}；③{x|x＞1}＝{y|y＞1}；④{x|x＝2k+1，k∈Z}＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}．【考点】集合的相等．【答案】③④．【分析】根据集合的表示方法与集合的性质，判断正确的序号．【解答】解：∵集合中的元素具有无序性，∴{2，3}＝{3，2}，∴①不成立；∵{（x，y）|x+y＝1}是点集，而{y|x+y＝1}不是点集，∴②不成立；∵{x|x＞1}与{y|y＞1}都表示大于1的实数组成的集合，∴③成立；∵{x|x＝2k+1，k∈Z}与{x|x＝2k﹣1，k∈Z}都表示奇数组成的集合，∴④成立．故答案为：③④．12．（5分）已知x1，x2是一元二次方程x2+mx+5＝0的两个实数根，若x1，x2满足x1＝2|x2|﹣3，则m＝．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【答案】．【分析】由根与系数的关系知x1，x2同号，分x1，x2都为负数和都为正数两种类型讨论，利用根与系数的关系和已知条件，解方程并检验即可．【解答】解：因为一元二次方程x2+mx+5＝0有两个实数根x1，x2，所以Δ＝m2﹣4×5≥0，即m2≥20．由一元二次方程根与系数关系，可得x1+x2＝﹣m，x1x2＝5＞0，则x1，x2同号．①当x1，x2都为负数时，可得，解得，所以（﹣2m+3）（m﹣3）＝5，即2m2﹣9m+14＝0，此时Δ＝92﹣4×2×14＜0，方程无解；②当x1，x2都为正数时，可得，解得，所以，即2m2﹣3m﹣54＝0，解得m1＝6或．因为x1，x2都为正数，则﹣m＞0，即m＜0，所以．综上，．故答案为：四、解答题（本题共3小题，共40分）13．（16分）解下列各题：（1）计算：（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2；（2）因式分解：3x2﹣6xy+3y2﹣27m2；（3）计算：；（4）计算：|x﹣3|+|3x+2|＜15．【考点】有理数指数幂及根式；绝对值不等式的解法；因式分解定理．【答案】（1）﹣7xy；（2）3（x﹣y+3m）（x﹣y﹣3m）；（3）；（4）．【分析】（1）利用多项式的运算化简；（2）先提公因数，再利用平方差公式因式分解；（3）利用根式的运算化简；（4）利用零点分段，去绝对值化为普通不等式求解．【解答】解：（1）（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2＝x2﹣4xy+4y2﹣x2﹣3xy﹣4y2＝﹣7xy；（2）原式＝3（x2﹣2xy+y2﹣9m2）＝3[（x﹣y）2﹣（3m）2]＝3（x﹣y+3m）（x﹣y﹣3m）；（3）；（4）因为所以或或解得3≤x＜4或或，综上可得，即原不等式的解集为．14．（12分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|m﹣2≤x≤2m+1}．（1）当m＝1时，求集合A∪B；（2）若A，B满足：①A∩B＝∅，②A∪B＝A，从①②中任选一个作为条件，求实数m的取值范围．【考点】并集及其运算．【答案】（1）A∪B＝{x|﹣2＜x≤3}；（2）选①，；选②，．【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案．（2）选择条件后，根据集合B是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得m的取值范围．【解答】解：（1）当m＝1时，求集合B＝{x|﹣1≤x≤3}，A∪B＝{x|﹣2＜x≤3}．（2）若选择条件①，A∩B＝∅，当B＝∅时，m﹣2＞2m+1，解得m＜﹣3