2023-2024学年陕西省商洛市高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年陕西省商洛市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知向量a→=(−2，m+1)，b→=(1，3)A．﹣5 B．5 C．﹣7 D．72．（5分）已知复数z满足z−i=21−i，则A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i3．（5分）已知单位向量a→，b→满足|a→+2A．18 B．−18 C．−4．（5分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2c，sinA=3A．33 B．63 C．235．（5分）已知向量a→=(−1，2)，b→=(1，1)，则A．(15，15) B．(−6．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则异面直线AE与BD1所成角的余弦值为（）A．55 B．155 C．337．（5分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsinA+3acosB=0，b2＝3ac，则A．33 B．32 C．248．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB，M是AB的中点，N是棱B1C1上的动点，则直线MN与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值为（）A．12 B．22 C．32二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题绐出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.（多选）9．（6分）已知复数z=1+i，z为z的共轭复数，若zA．z0在复平面内对应的点位于x轴上 B．z0的实部为0 C．z0的虚部为﹣1 D．|z0|＝1（多选）10．（6分）Z国进口的天然气主要分为液化天然气和气态天然气两类.2023年Z国天然气进口11997吨，其中液化天然气进口7132吨，气态天然气进口4865吨．2023年Z国天然气及气态天然气进口来源分布及数据如图所示：下列结论正确的是（）A．2023年Z国从B国进口的液化天然气比从A国进口的多 B．2023年Z国没有从A国进口液化天然气 C．2023年Z国从C国进口的液化天然气一定比从D国进口的多 D．2023年Z国从B国进口的液化天然气一定比从D国进口的多（多选）11．（6分）在△ABC中，D是BC的中点，BC＝4，AD=11A．若AC=7，则AB=B．△ABC面积的最大值为211C．BA→D．若B＝2C，则AB＝3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．（5分）有一组样本数据为1，3，5，7，则它的方差为．13．（5分）已知a，b均为实数，（2+i）（1+ai）＝i（b+i），则ab＝．14．（5分）已知某圆台的母线长为3，下底面的半径为1，若球O与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则球O的表面积为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（5，2），点P满足AP→（1）当λ＝1，μ＝﹣1时，求点P的坐标；（2）若AP→⊥BC16．（15分）已知m∈R，复数z＝（m2﹣m﹣2）+（m2+3m+2）i．（1）若z为纯虚数，求|1（2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求整数m的值．17．（15分）在△ABC中，已知D为AB的中点，AC=23，CD＝2，∠ADC（1）求△ABC的面积；（2）求BC的长．18．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝4，E为BC的中点，F为PD的中点．（1）证明：EF∥平面PAB．（2）求点C到平面DEF的距离．19．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，E是PC的中点，点F在棱BP上，且EF⊥BP，四边形ABCD为正方形，PD＝CD＝2．（1）证明：BP⊥DF．（2）求三棱锥F﹣BDE的体积．（3）求二面角F﹣DE﹣B的余弦值．

2023-2024学年陕西省商洛市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知向量a→=(−2，m+1)，b→=(1，3)A．﹣5 B．5 C．﹣7 D．7【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【答案】C【分析】根据向量共线的坐标运算可得答案．【解答】解：因为a→∥b解得m＝﹣7．故选：C．2．（5分）已知复数z满足z−i=21−i，则A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【考点】复数的除法运算．【答案】A【分析】由题意可得z=2【解答】解：因为z−i=2所以z=2故选：A．3．（5分）已知单位向量a→，b→满足|a→+2A．18 B．−18 C．−【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的模．【答案】C【分析】运用数量积的定义，运算律，模长公式求解即可．【解答】解：已知单位向量a→，b→满足两边平方得到a→即1+4+4a即a→解得cos＜a故选：C．4．（5分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2c，sinA=3A．33 B．63 C．23【考点】利用正弦定理解三角形；余弦定理．【答案】A【分析】由正弦定理可得a，c的关系，再由余弦定理可得cosB的值．【解答】解：因为b=2c，由正弦定理可得a=3c由余弦定理可得cosB=a故选：A．5．（5分）已知向量a→=(−1，2)，b→=(1，1)，则A．(15，15) B．(−【考点】平面向量的投影向量；平面向量数量积的坐标运算．【答案】D【分析】由投影向量的计算公式计算即可．【解答】解：由投影向量的公式可得b→在a→方向上的投影向量为：故选：D．6．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则异面直线AE与BD1所成角的余弦值为（）A．55 B．155 C．33【考点】异面直线及其所成的角．【答案】B【分析】取CC1的中点F，连接BF，D1F，EF，可得四边形ABFE为平行四边形，从而可得∠D1BF（或其补角）为异面直线AE与BD1所成的角，利用余弦定理求解即可．【解答】解：取CC1的中点F，连接BF，D1F，EF，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为a，因为AB＝CD＝EF，AB∥CD∥EF，所以四边形ABFE为平行四边形，所以BF∥AE，则∠D1BF（或其补角）为异面直线AE与BD1所成的角，BD在△BD1F中，由余弦定理得cos∠D故选：B．7．（5分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsinA+3acosB=0，b2＝3ac，则A．33 B．32 C．24【考点】解三角形；利用正弦定理解三角形；余弦定理．【答案】B【分析】先根据正弦定理化边为角，根据同角三角函数的基本关系得B=2π3，再利用余弦定理得（a+c）2＝4【解答】解：根据题意，由正弦定理可得：sinBsinA+3∵A∈（0，π），∴sinA≠0，∴sinB+3cosB=0，化简得∵B∈（0，π），∴B=2π∴由余弦定理，b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2+ac＝3ac，即（a+c）2＝4ac，∴ba+c故选：B．8．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB，M是AB的中点，N是棱B1C1上的动点，则直线MN与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值为（）A．12 B．22 C．32【考点】直线与平面所成的角．【答案】D【分析】根据题意，先画出图象，作MG⊥BC，然后由面面的垂直的性质可得MG⊥平面BCC1B1，进而可知∠MNG为直线MN与平面BCC1B1所成的角，当∠MNG取得最大值时，tan∠MNG=MGNG取得最大值，NG取得最小值，从而可得直线MN与平面BCC1B【解答】解：如图，作MG⊥BC，垂足为G，连接NG，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，因为平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，MG⊂平面ABC，MG⊥BC，所以MG⊥平面BCC1B1，故∠MNG为直线MN与平面BCC1B1所成的角，当∠MNG取得最大值时，tan∠MNG=MGNG取得最大值，不妨设AA1＝AB＝a，则MG=MBcosB=12a⋅32于是tan∠MNG=MG故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题绐出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.（多选）9．（6分）已知复数z=1+i，z为z的共轭复数，若zA．z0在复平面内对应的点位于x轴上 B．z0的实部为0 C．z0的虚部为﹣1 D．|z0|＝1【考点】复数的除法运算；复数对应复平面中的点；共轭复数．【答案】BCD【分析】由题意可得z=1−i，即可根据复数的除法求出z0【解答】解：因为z＝1+i，故z=1−i所以z0则z0在复平面内对应的点（0，﹣1）位于y轴上，z0的实部与虚部分别为0和﹣1，|z0|＝1，A错误，B，C，D正确．故选：BCD．（多选）10．（6分）Z国进口的天然气主要分为液化天然气和气态天然气两类.2023年Z国天然气进口11997吨，其中液化天然气进口7132吨，气态天然气进口4865吨．2023年Z国天然气及气态天然气进口来源分布及数据如图所示：下列结论正确的是（）A．2023年Z国从B国进口的液化天然气比从A国进口的多 B．2023年Z国没有从A国进口液化天然气 C．2023年Z国从C国进口的液化天然气一定比从D国进口的多 D．2023年Z国从B国进口的液化天然气一定比从D国进口的多【考点】扇形统计图．【答案】ABC【分析】由饼状统计图的实际含义逐一验算各个选项即可求解．【解答】解：对于选项A，2023年Z国从B国进口天然气2435吨，其中气态天然气1630吨，液化天然气805吨，所以2023年Z国从B国进口的液化天然气比从A国进口的多，故A正确；对于选项B，2023年Z国从A国进口天然气2480吨，全部为气态天然气，所以2023年Z国没有从A国进口液化天然气，故B正确；对于选项C，假设2023年Z国气态天然气其余部分全部来自C国，共4865﹣2480﹣1630﹣340＝415吨，则Z国从C国进口液化天然气2416﹣415＝2001吨，仍然大于从D国进口的天然气的总量，所以2023年Z国从C国进口的液化天然气一定比从D国进口的多，故C正确；对于选项D，2023年Z国从B国进口液化天然气2435﹣1630＝805吨，2023年Z国从D国进口的天然气总量为1666吨，若全部为液化天然气，则2023年Z国从B国进口的液化天然气比从D国进口的少，故D错误．故选：ABC．（多选）11．（6分）在△ABC中，D是BC的中点，BC＝4，AD=11A．若AC=7，则AB=B．△ABC面积的最大值为211C．BA→D．若B＝2C，则AB＝3【考点】解三角形．【答案】BCD【分析】根据勾股定理可判定A；根据三角形面积公式可判定B；根据向量运算可判定C；结合正余弦定理可判定D．【解答】解：在△ACD中，AC2+CD2＝AD2，所以C=π2，AB=A当AD⊥BC时，AD最大，所以△ABC面积的最大值为12BC⋅AD=211BA→⋅CA在△ABC中，可得ACsin2C=ABsinC，得AC＝2在△ACD中，可得cosC=AC2在△ABD中，可得cos2C=AB2+BD2−AD22AB⋅BD=可得AB2−7=8AB⋅74AB2−8AB−4AB，整理得AB2故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．（5分）有一组样本数据为1，3，5，7，则它的方差为．【考点】方差．【答案】5．【分析】首先计算出这组数据的平均数，结合方差公式即可得解．【解答】解：这组数据的平均数为1+3+5+74这组数据的方差为14故答案为：5．13．（5分）已知a，b均为实数，（2+i）（1+ai）＝i（b+i），则ab＝．【考点】复数的乘法及乘方运算．【答案】21．【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可．【解答】解：由（2+i）（1+ai）＝i（b+i）可得到2+2ai+i﹣a＝﹣1+bi，故2﹣a＝﹣1，2a+1＝b，求得a＝3，b＝7，所以ab＝21．故答案为：21．14．（5分）已知某圆台的母线长为3，下底面的半径为1，若球O与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则球O的表面积为．【考点】球的表面积．【答案】8π．【分析】把空间问题降维，转化在轴截面中进行研究，需要理解轴截面的概念，利用等面积法及勾股定理建立等式求解．【解答】解：如图所示：在轴截面梯形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝2BF＝2，设球O的半径为r，EF＝2OE＝2OM＝2r．S梯形ABCD解得：CD＝4，因为BC2＝（2r）2+（CE﹣BF）2，所以r2＝2，所以球O的表面积为4πr2＝8π．故答案为：8π．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（5，2），点P满足AP→（1）当λ＝1，μ＝﹣1时，求点P的坐标；（2）若AP→⊥BC【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】（1）（﹣2，2）；（2）﹣11．【分析】（1）由坐标运算得出点P的坐标；（2）由向量垂直的坐标表示得出λμ【解答】解：（1）因为点A（1，1），B（2，3），C（5，2），所以AB→由点P满足AP→可得AP→当λ＝1，μ＝﹣1时，AP→又OP→所以点P的坐标为（﹣2，2）；（2）由点B（2，3），C（5，2），可得BC→因为AP→=(λ+4μ，2λ+μ)，且所以AP→整理得λμ16．（15分）已知m∈R，复数z＝（m2﹣m﹣2）+（m2+3m+2）i．（1）若z为纯虚数，求|1（2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求整数m的值．【考点】复数对应复平面中的点；纯虚数．【答案】（1）5；（2）0和1．【分析】（1）由z为纯虚数，求出m的值，从而得到复数z，求解|1（2）z在复平面内对应的点位于第二象限，求出m的取值范围，进而得到整数m的值即可．【解答】解：（1）由于复数z＝（m2﹣m﹣2）+（m2+3m+2）i为纯虚数，所以m2−m−2=0m此时z＝12i，|1（2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，则m2−m−2＜0m故整数m的值有0，1．17．（15分）在△ABC中，已知D为AB的中点，AC=23，CD＝2，∠ADC（1）求△ABC的面积；（2）求BC的长．【考点】解三角形．【答案】（1）43（2）27【分析】（1）S△ABC＝S△ADC+S△DBC，又因为D为AB的中点，可得S△ADC＝S△DBC，根据余弦定理可求出AD的长，进而求出S△ADC的大小，所以即可求出△ABC的面积；（2）根据余弦定理可求出BC的长．【解答】解：（1）根据题意可知S△ABC＝S△ADC+S△DBC，又因为D为AB的中点，可得S△ADC＝S△DBC，AC=23，CD＝2，∠ADC根据余弦定理AC2＝AD2+DC2﹣2AD•DC•cos∠ADC，代入已知条件得(23解得AD＝4，因为AC2+CD2＝AD2，所以可得△ADC是直角三角形，且AB＝8，所以S△ADC=12CD•AC=12×因为D为AB的中点，所以S△ABC＝2S△ACD＝43；（2）由第一问可知∠A＝30°，AB＝8，根据余弦定理可知BC2＝AC2+AB2﹣2AC•AB•cos∠A，代入得BC所以可得BC=2718．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝4，E为BC的中点，F为PD的中点．（1）证明：EF∥平面PAB．（2）求点C到平面DEF的距离．【考点】空间中点到平面的距离；直线与平面平行．【答案】（1）证明见解析；（2）43【分析】（1）取AP中点M，连接MF，BM，由四边形BEFM为平行四边形，则BM∥EF，所以EF∥平面PAB；（2）根据等体积法VF﹣CDE＝VC﹣DEF，可求点C到平面DEF的距离．【解答】解：（1）证明：取AP中点M，连接MF，BM，由F为PD的中点，则FM=1而E为BC的中点，所以FM＝BE，FM∥BE，所以四边形BEFM为平行四边形，则BM∥EF，又BM⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB；（2）因为FM∥AD，AD⊂平面AB