中科大机械设备非平稳信号的故障诊断原理及应用讲义

1取故障信息的非平稳信号处理方法—Wigner-Ville时频分布、短时傅氏变换波、Laplace小波、Hermitian小波、BriefIntroductionThisbookexpoundstheemergenceandchequipment,physicalmeaningoforthogonalsignaldecompositionandengineeringbackground.Itcontainsnon-stationarysignalprocessingmethodsfromwhichthefaultinformationisextrpacketanalysis;Harmonicwavelet;Laplacewavelettheirbasicprinciplesandapplications.Theilluminationofsignalreprocessingtechniquesofwavfollowing:Waveletpacketsandautoregressivespectrumanalysis;Surffrequencybandenergyofwaveletpacketdecomposition;orbit;Geneticwaveletanalysis;Fuzzyclusmonitoringanddiagnosisnetworksystemofmechanitechniques.Practicalapplicationsofmonitoringanddiagnosisinindustrialenterprisesareenumerated.Thecontentsofthebookaresubstantialandadvancedwithdesirablepractmanyscientificandtechnicalworkerswhoundertakeconditionmonitoring,faultdiagmanagementandmaintenabookforundergraduatesandpostgraduatesofmechanicalmanuspecialtiesetc.incollegesanduniversities.2序的分析。本书作者承担并完成了三项国家自然科学基金项目，在此基础上取得了多项研究成果，3提取十分重要。S.G.Mallat在他的论文中多次强调正交作者们有幸承担国家自然科学基金项目“处理机械动态信息的模糊数学方法”（编号：5870235，1988—1989）、“机械故障瞬变信息独立化提取的应用研究”（编号：59275241，），41、汲取国内外在本领域的最新研究成果，总结作者们在非平稳信号处理研究和应用中的新2、从工程应用角度出发，介绍了小波变换等非平稳信号处理技术在故障诊断中的原理和应3、本书的结构编排合理，既有基本方法，又有综合方法，内容深入浅出，工九州工业大学丰田利夫教授和陈鹏教授的指导、交流和合作研究感到十分愉快并表示诚挚的谢52.1机械摩擦、松动故障特征和诊2.2主分量分析2.4正弦分量和有色噪声的合理4.1短时傅立叶变换4.2.1多分辨分析及其工程意义4.2.2正交小波基的构造与信息独立化的提取4.3小波包信号分解4.4.1轧钢机振动分析4.4.2大型矿山电铲提升系统振动分析64.4.3压缩机齿轮箱轴瓦监测诊断5.4.1谐波小波分解及时频剖面图在旋转机组振动5.4.2谐波小波轴心轨迹阵列的实现6.3.2大型水轮机轴系转动时一789Chapter1Outline1.1Non-stationaryproblemsinmechanicalmonitoringand1.2Non-stationarysig1.3Orthogonaldecompositionofsignalandindependentextractionofinformation1.4DevelopmentandstatusquoofapplicationsonwavelettechniquesiChapter2Principalcomponentsandautoregressivespectrumanalysisanditsapplication2.1Faultcharacteristicsofmechanicalfrictionandloosenessanddiagnosiscountermeasure2.2Principalcomponentanalys2.3Principalcomponentsandautoregressivespectrumanalysis2.4Reasonableestimationofsinusoidandcolorednoise2.5Engineeringapplications2.5.1Frictionfaultdiagnosisofturbo-generatorset2.5.2FrictionfaultdiagnosisoflargecentrifugalcompressorsetChapter3Wigner-Villedistributionanditsapplications3.1DefinitionofWigner-Villedist3.2MainPropertiesofWigner-Villedist3.3CalculationofWigner-Villed3.4CrossterminterferenceandsupChapter4Time-frequencyanalysisofnon-stationarysignalprocessinganditsapplications4.1ShorttimeFourier4.2.1Multi-resolutionanalysisanditsengineeri4.2.2Constructionoforthogonalwaveletbasisandindependentextractionofinformation4.3Waveletpacketsandsignalde4.4Engineeringapplications4.4.2Vibrationanalysisofliftingsystemoflargeelectricexcavator4.4.3MonitoringanddiagnosisofgearboxaxlebushofcompressorChapter5Principleofharmonicwaveletanditsengineeringapplications5.1Definitionandorthogonalityofharmonicwavelet5.2Newlandfastalgorithmandtime-frequencyprofileplot5.2.2Harmonicwavelettime-fr5.2.3Wavelettime-f5.3Harmonicwavelet5.4ApplicationexamplesofHarmonicwaveletforvibrationcharacteristicextractioninrotatingmachinery5.4.2HarmonicwaveletorbitanditsirregulChapter6CorrelationfilteringoffeaturewaveusingLaplacewavelet6.1Laplacewaveletanditscharacteristics6.1.1DefinitionofLaplacewavelet6.1.2CharacteristicsofLaplacewavelet6.2CorrelationfilteringbasedonLaplacewaveletbasisfunction6.2.1BasisfunctionlibraryofLaplacewavelet6.2.2Correlationfiltering6.3Applicationexamp6.3.1Modalparameterrecognitionofrotortest-bed6.3.2Extractionoffirstordernaturalfrequencyofrunningshaftoflargehydro-turbineset6.3.3Vibrationsignalrecognitionofinternal-combustionenginecylinderheadChapter7Matchingpursuitsignaldecompositionanditsapplications7.1Signalexpansionandinnerpr7.2Matchingpursuitsignalexpansion7.3Matchingpursuittime-frequencyrepresentationanddistribution7.4Impulseresponsefeatureextractionformechanicalsys7.5.1Freecross-termtime-frequencydis7.5.2FeatureextractionandfaultdiagnosisforreciprocatingmachineryChapter8Waveletpacketsandautoregressivespectrumanalysis8.2Engineeringappli8.2.1Non-stationaryrotating8.2.2EarlydiagnosisforlatentdefectsinChapter9Surveillanceoffrequencybandenergyofwaveletpacketdecomposition9.2Loosenessfaultdiagnosisofbearingbridgeofturbo-generatorset9.3Analysisofvibrationexcitedbysteaminhigh-pressureturbine9.3.1Vibrationmeasu9.3.2Siteanalysisa9.3.3MeasuresofvibrationreductionChapter10Waveletfractaltechniqueanditsapplicationfornon-stationaryfaultdiagnosis10.1Waveletanalysisandfractalfornon-stationaryfaultdiagnos10.2Principleofwaveletfractaltechnique10.3Calculationofboxdimensionofwaveletfractalforvibrationsignal10.3.1Genericalgorithmofboxdimensionofdiscretesignal10.3.2Disadvantageofgenericalgorithmofboxdimensionanditsimprovement10.3.3Empiricalformulaofscale-invariantregionofboxdimensionviawaveletfractal10.4MechanicalloosenessfaultanalysisusingwaveletfraChapter11Geneticwaveletanditsapplicationtointernalcombustionenginediagnosis11.3Foundationoffaultdiagnosisforinternalcombustion11.3.1Faulttypesoncomponentsofinternalcombusti11.3.2Formationofvibrationandnoiseininternalcombustionengine11.3.3Basicprincipleofvibrantdetectionofinternalcombustionengine11.3.4Experientialknowledgebaseonvibrationanalysisofinternalcombustionengine11.4ComputersimulationofgeneticwaveletandfaultdiagnosisofinternalcombustioneChapter12Fuzzyclusterdiagnosisnetworkbasedonwaveletpacketsanditsapplication12.1Featureextractionbasedonwavelet12.2Classificationonfuz12.2.1Classifiedprinciple12.2.2ConstructionoffuzzyclusterneuralnetworkbasedonwaveletpacketsChapter13Hermitiancontinuouswavelettransformandsignalsingularitydetection13.1Singularityinmecha13.2Basicprincipleofsignalsingularitydetectionusingwavelettransform13.2.1Definitionofsingulari13.2.2Convolutionrepresentationofwavelettransform13.2.3Relationamongextremepoints、overstepzeropointsofwavelettraandsingularityofsignal13.2.4Progressofwavelettransforminsingularitydetection13.3DefinitionandcharacteristicresearchonHermitianw13.3.1DefinitionofHermitianwavelet13.3.2CharacteristicresearchofHermitianwavelet13.4Hermitiancontinuouswavelettransformandtherepresentationofdecompositionresult13.4.1RealizationofHermitiancontinuouswavelettransform13.4.2Amplitudeplotandphaseplotofcontinuouswavelettransform13.5Analysisofsimulation13.5.1Singularitydetectionofquasi-impulsivesi13.5.2Singularitydetectionofsinewaveincludingslightquasi-impulsiv13.6Applicationexample–analysisofrubfaultofgearboxthrustpart13.6.3Analysisoffaultcausati13.6.4FaulteliminationanChapter14Applicationsofnon-stationarysignalprocessingtechnologyinonlinemonitoringanddiagnosissystem14.1NewdevelopmentofconditionMonitoringandfaultdiagnosissystem14.2PrincipleandcharacteristicofDM&RDS14.3ResearchanddevelopmentexamplesofDM&RDS–introductionofMDS314.3.1Overallsc14.3.2Samplingandmonitori14.3.4Softwareofanalysis14.4Successfulexa14.4.2Analysisoffaultcausati第一章概论矿山、石化、炼油、军工、建材等工矿企业中的机电设备高效、可靠、安全运行是至关重要机电设备的诊断过程基本上可分为三个步骤：第一是诊断信息获取；第二是故障特征提取；第三是状态识别和故障诊断。诊断过程的关键是从动态信号中提取故障特征，信号处理是特征提取最常用的方法。随着机电设备状态监测和故障诊断工作在我国国民经济各工矿企业中不断深入开展，所面临的监测诊断对象和问题日趋复杂和困难，其关键问题之一是如何对监测诊断中得到的机械动态信号的非平稳性进行有效的分析。所谓非平稳性，是指信号的统计工程中设备运行状态千变万化，存在着大量的非平稳动态信号。机械设备在运行过程中的多发故障，如剥落、摩擦、松动、爬行、冲击、裂纹、断裂、喘振、旋转失速、油膜涡动及油膜振荡等，当故障发生或发展时将导致动态信号非平稳性的出现。因此，非平稳性可表征某些故障的存在。工矿企业中有许多变工况机电设备，它们在运行过程中的转速、功率、负载等往往是变化的，如冶金轧机、矿山电铲、调速电机、破碎机、发动机、往复机械等，停机时转速、功率等工况是非平稳的。一些机电设备在运行中的阻尼、刚度、弹性力、驱动力的非线性及动态响应的非线性，反映在动态信号上具有非平稳性。即使稳态运行的旋转机械，当出现碰摩、冲击等故障时，其转子的阻尼、刚度、弹性力等都发生变化，呈现出非线性，振动信号变得非平稳。种种情况表明，从工程中获得的动态信号，它们的平稳性是相对正因为非平稳动态信号的统计特性与时间有关，所以对非平稳信号的处理必须同时进行时、频分析。在机电设备监测诊断中，目前通常采用基于平稳过程的经典信号处理方法，分别仅从时域或频域给出信号的统计平均结果，无法同时兼顾信号在时域和频域的全貌和局部号是平稳的并且都是由正弦波组成，例如机当然，根据傅立叶级数理论，任何信号（函数）可表示为不同频率的正弦波（三角函数）的迭加。一个非正弦或非平稳信号展成傅立叶级数时，将会出现许多正弦分量。例如对于矩形对于锯齿形函数x(t)=t+1，0<t<π,它的傅立叶级数是这些简单的例子表明不同的函数展成傅立叶级数时，就出现基频及其奇数倍、偶数倍的一系列的正弦函数，从数学的角度讲是完全正确的。但是，从工程的角度来讲，这一系列的正弦函数或在频谱中一系列的正弦分量就很难与实际工程背景联系起来。在机械监测诊断中就是当不平衡故障很严重时，机械转子在运行中与轴瓦发生碰撞和摩擦，原来因不平衡引起的正弦振动波形产生削顶而变成类似于梯形的波形，在碰撞过程中还发生摩擦，结果产弦分量为特征给出频域信息，也就是在频谱上出现该梯形波形为基频的谱峰以及一系列整数），完全不包含时域信息。要从这些基频及其谐波的谱峰以及许多杂乱谱峰中去查找故障频率是十分困难的，因为运行设备中几乎并不存在与这些谐波相对应的机械部件因故障在运行中产变成分，变换的频谱X(J)的任意频率值是由时间过程x(t)在整个时间历程上的贡献决定的；同理，过程x(t)在某一时刻的状态也是由频谱X(J)在整个频域上的贡献所决定的[2]。可见x(t)和X(J)分别是时域和频域的极端情况，x(t)中没有直接给出频率信息，而X(J)中没有直接给出时间信息。对于非平稳信号分析，我们关心的是要同时给出时间和频率的信息。显然，对于非平稳非正弦的机电设备动态信号必须寻找能够反映时域特征又能够反映频域特傅立叶变换是时域和频域的一种全局性的变换，不能同时进行时频分析。人们在傅立叶分析的基础上作了大量的研究，提出并发展了一系列新的信号分析理论，在非平稳信号处理述了当代非平稳信号处理的理论和技术：短时傅立叶变换、Cohen类时频分布、Wigner-Ville调频小波变换以及调幅—调频信号分析等等。使读者如同置身于美丽宽广的海滨，想象到深邃多彩的海底世界。本书所反映作者们的工作，只不过是海岸边拾到的几个贝壳而已，大量短时傅立叶变换是Gabor在傅立叶变换的基础上发展起来的一种时频分析方法[1][4]，他在“迄今为止，通信理论的基础一直是由信号分析的两种方法组成的：一这两种方法都是理想化的……。然而，我们每一天的经历——特别是我们的人们的语音信号是最典型的非平稳信号，对非平稳信号要进行时频分析自然是理所当然的了。所谓短时傅立叶变换，是用一个时间宽度很短的、可以在时间坐标上滑动的窗函数与信号相乘再来进行傅立叶变换。它具有明确的物理意义，可视为信号在分析时间t附近由时间窗限定的一小段信号的“局部频谱”，得到由时间t和频率f确定的二维时频分布。短时傅立叶变换是线性时频分布，没有二次型或双线性时频分布所固有的交叉项干涉。一旦窗函数选定后，时频分辨率就固定下来，缺乏细化功能。目前短时傅立叶变换发展成用自适应的方法对不同的信号段选择长度不一的合适窗函数，具有多分辨功能。可以说，短时傅立叶变换架起了从傅立叶变换到小波变换的桥梁。小波变换思想是由法国从事石油信号处理的工程师数都能够展成三角函数的无穷级数的思想，他认为“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源技工作者提出的，这是因为他们始终置身于探索自然奥秘的最前沿，能准确地探测到自然规小波变换从基函数角度出发，吸取傅立叶变换中的三角基（进行频率分析）与短时傅立叶变换中的时移窗函数的特点，形成振荡、衰减的基函数。它的定义域有限，故称为小波。间t相对应，尺度因子a与频率相对应。所以小波变换可用于时频分析，但我们应当这样来理解小波分析与时频分析之间的关系：时频分析中的时频平面(t,f)尺度平面(b,a)。它们之间有一定的区别：时频分析是在二维时频平面上(t,f)坐标处反映非平稳信号于时间t时刻信号的频率、幅值或能量；小波分析是在所谓的时间―尺度平面上反映信号所携带的信息的方式不同。小波变换以不同的尺度（分辨率）来观察信号，将信号分解到不同的频带中，既看到了信号的全貌，又看到了信号的细节，具有多分辨能力。应当注意到小波变换的多分辨率是低频段频率分辨率高而时间分辨率低，高频段频率分辨率低而时间如何提高小波分析中高频段信号的频率分辨率，这在许多工程应用中十分重要。小波包就是在这种需要下发展起来的[10][11]。小波包分析对小波变换中没有分解的高频段信号进行再础，小波包信号分解与重构也具有快速算法，工程实用性很强。小波变换和小波包分析已在小波变换和小波包分析为我们提供了时间―尺度分析方法，在工程应用中往往需要得到分析的结果，也就是对位于一定频带里的时域波形，进行再处理以获得所需要的时频信息。很有必要开展小波理论与其它信号处理方法相结合的研究并开发工程实用技术。本书介绍这小波理论提供了包括傅立叶分析所采用的三角基函数以外的多种小波基函数，基函数之丰富，简直不胜枚举，使小波分析充满了活力。大量的实例表明，不同类型的机械故障会在动态信号中反映出不同的特征波形，如旋转机械失衡振动的波形与正弦波有关；内燃机燃爆振动波形具有钟形包络的高频波；齿轮、轴承等机械零部件出现剥落、裂纹等故障，往复机械活塞、连杆、气阀磨损缺陷，它们在运行中产生冲击振动呈现接近单边振荡衰减波形，等等。我们提出“特征波形基函数信号分解”的概念，旨在灵活运用小波基函数去更好地处理信号，提取故障特征。用特定的基函数分解信号是为了获得具有不同物理意义的分类信息，故障诊断中信号分解的目的是为了识别故障，从本质上来讲是一个分类问题。分类正确与否给监测诊断造成困难。书中介绍了我们所作的一些探索，采用谐波小波分析诊断旋转机械故障特征波形[25][27][28]；对内燃机燃爆故障振动信号选用高斯类小波并利用基因算法优化小波参动特征波形、频率和阻尼特性[30]；采用匹配追踪(MatchingPursuits)方法实现信号特征的最佳动态信号中常常包含多种不同类型的状态特征信息，用某个固定类型的基函数分解信号而期望同时获取好的分类信息是困难的。可以说，融合表征各种不同类型机械状态特征波形的混我们知道傅立叶频谱对正弦频率有十分理想的定位能力，这是因为傅立叶变换中的基函数是具有正交性的三角函数系（正弦或余弦）。这种正交性是指三角函数系中任意两个不同积分不为零。显然，一个包含有正弦分量的信号x(t)的频谱，就是信号x(t)与三角基函数相乘再积分，借助正交性将正弦分量以频率、幅值和相位三个物理量表征出来，达到正弦分量在第二章里介绍的主分量分析，是对信号的自相关矩阵用正交矩阵进行变换，从而得到特征值和对应的特征向量，这些特征向量是正交和正规向量，它们就是主分量。通过主分量分析，就将n个线性相关的变量转换为m(m≤n)个线性独立的变量。进而由正交特征向量得到自回归特征向量谱并用对应的特征值加权求和，构成主分量自回归谱，达到合理地识别有了以上所述的正交和独立的体会，小波变换中的正交小波基函数使我们产生了强烈的只要具有振荡、紧支特性，满足允许条件的函数都可以作为小波基函数。因此，寻找具有优良特性的小波基函数就成为小波理论中的一个重要研究课题。在进行机电设备监测诊断时，我们总希望故障信息能够互不干扰地，也就是独立地被提取出来。为了达到这一目的，采用低通、高通滤波器系数；Daubechies提出选择低通滤波器H(ω)为三角多项式，用迭代算法构时域中光滑性好，频域中的滤波盒性好，且有锁定信号相位的能力，等等。正是由于这种正交性，正交小波变换能够将任意信号（平稳或非平稳）分解到各自独立的频带中，这种独立性归功于小波函数的正交性，Mallat在他的论文[9]中多次立的频带首尾相连，无冗余，无疏漏，从而形成了多分辨分析方法。到目前为止，无论何种正交性能优良的小波基函数，使分解频带之间毫不重叠是不可能的。如果要精确地给出这些频带之间的重叠量也是不容易的，但是能够借助于小波函数的正交性来控制它们，使这些重叠量减到最小。这些独立频带中的分解信号携带着机械设备运行时不同零部件的状态信息，正交性保证了这些状态信息也是无冗余、无疏漏，排除了干扰，浓缩了了监测诊断信息。正交小波变换和多分辨分析为机械监测诊断提供了有效的手段，正是这种理想的手段在机械设目前，在机电设备监测诊断中，运用得最广泛的非平稳动态信号分析方法是在工具和方法上有重大突破的小波技术。近年来，我国科技人员不断努力，取得了可喜的进展，文献[31]对这些方面作了介绍。例如，已成功研制开发出小波变换信号分析仪，填补了国内空白，具有国际先进水平[32]。在理论和应用研究的基础上，研制开发了普遍适用于机械设备在线和离线非平稳监测诊断的技术和装置并向生产实践推广，取得了经济效益，得到国家级科技进步奖励[26]。在深入的理论研究和广泛的工程应用基础上，许多优秀的专著面世[1,2,33,34,35,36,3小波技术已在工矿企业中为旋转机械、往复机械、齿轮轴承、破损泄漏、复合材料缺陷检测、加工表面粗糙度评定、结构优化设计、激光快速成型、高压输电线以及发电机匝间短路等状态监测与故障诊断做出了贡献。采用不同的小波基函数并与分形、模糊评判、神经网络、Kullback-Leibler信息量、自回归模型等方法相结合，解决了大量的工程实际问题。诊断出炼油厂重油催化烟气轮机磨片离合器的早期缺陷、石化厂压缩机流体激励故障、转子碰摩故障；诊断出柴油机气门间隙异常、漏气、弹簧断裂、三缸往复泵的泵阀密封胶圈损坏、喷油器针阀磨损等故障；诊断出多种机械设备的齿轮磨损、断齿、啮合异常、松动、不对中等故障，以及轴承内外圈和滚动体的剥落、点蚀、磨损、轴瓦裂纹等故障；诊断出挤压火箭管复合材料的脱层和断裂、薄板焊穿、铸件材质异常等缺陷。此外，小波技术在其它工业领域里发挥了积极的作用：提高了核电站检测跌落零件报警准确率；提出了表面粗糙度评定新方法；加工过程中识别钻削工具的磨损率达81~96%；在激光快速成型先进制造中，比传统方法更好地提取出层析图像边缘轮廓；在流程工业的控制中，采用紧支集二次样条小波，有效地判定半间歇共聚反应过程操作的正常与故障过程；正确判别出“永久性”和“瞬时性”不同类型的超高压线路单相接地故障；实现发电机定子绕组匝间短路故障诊断；利用小波变换在奇异性检测中的优越性，引入到结构优化设计算法中，取得了满意的效果。还有许多生动的实例，限于篇幅，不能一一枚举。这些工程实践使我们看到小波技术在机械监测诊断中的应3)信息敏感性。小波分析提供了任意分辨率的时间－尺度分析视窗，是时频局部化的有力工具。因此，对于短暂、微弱、低信噪比等工程及生物信号，利用小波分析进行信息提取4)信息再提取。小波技术是时频局部化的有力工具，严格地讲，它为我们提供了任意分辨率的时间尺度信息，而不是某一时刻的频率值。在小波分析提取时间尺度信息后进行再处5)运用综合性。迅速发展的小波理论和技术对许多学科和应用领域产生了巨大的影响，同时也使小波分析渗透、融合到其它方法和技术中。其中模糊数学、神经网络、分形(fractal)分析、聚类分析、遗传优化等方法与小波技术以不同的方式相结合，形成小波神经网络、小波模糊神经网络、小波模糊聚类神经网络、基因小波分析、小波分形分析等方法，都很有特小波逐浪高，应用前景好。我们高兴地看到小波研究和应用如雨后春笋，充满生机。鉴于目前小波理论尚有待进一步完善，作为工具的分析软件还不丰富，应用领域还应扩大，小波分析的真正高潮尚未到来[41]。进一步深入研究和应用小波技术是时不我待的迫切任务。在这一过程中应当注意到以下几方面:有自己的结构和特性，分析的效果也有所不同。用一种小波基为手段去分析不同的问题不是对称性等。这些性质与时频局部化、奇异性检测、锁定相位、分解与重构精度等直接有关。为了提高光滑性必须增加支集长度，从而增加计算量。此外，它不具备严格的对称性，在奇可进行连续小波变换。但它属于非正交、冗余小波，为提高分析精度，通常取调制频率ω大交小波，在频域有很好的滤波盒性，对旋转机械监测诊断已显示出它的优势，但谐波小波在数，对齿轮、滚动轴承因缺陷在运行中产生的冲击响应以及旋转机械转子碰摩、汽（气）流完全振荡性，常用于信号分析和奇异信号的检测和定位；变换为实数，对信号滤波无相移，通过小波变换得到的幅图、相图可敏感地识别信号的奇异4)重视将小波技术应用到工程实际中。小波分析是一门新的交叉学科，对它进行理论研究、仿真计算、实验分析都是很重要的，目前在高校、研究所开展得比较好。但是应该走出我们欣喜地看到小波热潮已掀起了千重浪，小波分析的高潮即将到来。“长风破浪1张贤达，保铮.非平稳信2杨福生.小波变换的工程分析与应用.北京：科学出版社3VilleJ.Theorieeta4GaborD.Theoryofcommunication.Jsignalscatteringinmultilayeredmedia.Geophysics,theoryandcomplexwaves.Geophysics,197AGrossmannandJMolert.Decompositionofhard8赵松年，熊小芸.子波变换与子波分析.北京：9Mallat,SG.Atheoryformultiresolutionsignaldecomposition:ThewaveletrepresenTransactionsonPatternpackets.ProceedingsoftheConferenceetal.Time-frequency(sfmachinery.InternationalJournalofPlantEngin16赵纪元,何正嘉等.小波包—自回归谱分析及在振动诊断中的应用.振动工程学报,1995,8(3):17HeZhengjia,etal.Wavelettransformdiagnosisofmachinery.ChineseJournalofMechanicalEngineering(anddiagnosis.ProceedingsofTheIEEEInternationalConf20訾艳阳，何正嘉，张周锁.小波分形技术及其在机械设备非平稳故障诊断中的应用.西安交通大学21ZhaoJiyuan,HeZhengjia,etal.Fuzzyclusterneuralnetworkbasedonwapplication.InternationalJournalofPla22赵纪元，何正嘉等.小波包模糊聚类诊断网络建立及应用.西安24何正嘉.机械监测诊断中的小波应用技术.设备管理&维修，1925何正嘉.机械监测诊断中的小波应用技术（续）.设备管理&维修，1926何正嘉，訾艳阳，张周锁等.大型机械设备变工况非平稳动态分析与27赵纪元.基于小波理论、神经网络的实用诊断技术研究.西安交通大学博士学位论文，128高强，何正嘉.谐波小波及其时频剖面图在旋转机械诊断30訾艳阳.基于非平稳信号特征31何正嘉.我国小波技术的应用现状与进展.振动工程学报,2000,13(32秦树人,汤宝平,徐铭陶等.工程信号小波变换分析仪系统的研究.中国机械工程,1999,10(4):33刘贵忠，邸双亮.小波分析及其应用.西安：西安电子科技大34秦前清，杨宗凯.实用小波分析.西安：西安电子科技大35崔锦泰著，程正兴译.小波分析导论.西安：西安交通大36张贤达.现代信号处理.北京：清华大37程正兴.小波分析算法与应用.西安：西安交通大38杨福生.小波变换的工程分析与应用.北京：科39李建平，唐远英.小波分析方法的应用.重庆：重庆大40彭玉华.小波变换与工程应用.北京：科学出版社，241李建平,张万萍,陈廷槐等.小波分析的一些有前景的应用领域.重庆大学学报,1999,242于开平,邹经湘,杨炳渊.小波函数的性质及其应用.哈尔滨工业大第二章主分量自回归谱分析与应用高速化和连续化并成为厂矿企业中生产的关键。目前，人们致力提高诸如透平、压缩机之类的旋转机械的效率，其中一种有效的方法是减小转动部件与静止部件、密封之间的间隙。这样，在机组运行过程就会因振动造成轻则碰摩，重则大面积摩擦的故障。此外，由于机械设计不周、制造及装配不当、零部件失效、热变形不匀等等，旋转机械中的摩擦故障是经常发生的。从力学角度讲，摩擦现象会增大机械系统的阻尼，改变机械系统约束部位从而改变系统的刚度。在旋转激振力的作用下将导致振动中产生非平稳、非线性成分。由于连续运行中激振力的作用或装配不善、紧力不足，机械部件的松动也是旋转机械中常见的一种故障，这类故障在静止部件，如基础、垫块、瓦座等，更为常见。旋转机械在转子不平衡力的作用下所产生周期性振动中，因松动致使支撑、约束不断变化而使松动零部件之间产生相对运动和人们长期的实践和大量的试验表明，机械设备因摩擦产生的振动会在一定频带内出现近除了包含一定带宽的噪声分量以外，还包含与旋转频率有关的正弦分量。机械零部件出现松动现象时，设备在运行中必然伴随着不同程度的摩擦。在这种情况下，一定带宽的噪声分量快速傅立叶变换(FFT)频谱及时间序列自回归(AR)频谱是傅立叶变换频谱，也是将时域信号分解为一定数量的正弦分量。如果时域信号仅由正弦分量组成，则用这些方法进行频率分析是很有效的。然而，当时域信号不光由正弦分量组成，还一种新的分析方法，称为主分量自回归谱(PrincipalComponentsandAutoregressive分量分析是时域正交分析方法，通过正交变换，能将时域信号中的线性相关变为线性独立；自回归谱是频域分析方法，它对短时记录的数据有效，频率分辨率高，抗干扰能力强，有助从上面的分析可看到，机械摩擦故障和松动故障有一共同特点，就是都具有摩擦现象，即在振动信号中都具有噪声分量，如何区分这两类故障是我们关心的问题。如果在旋转机械中只发生了摩擦故障，就相当于振动系统增加了阻尼，抑制了系统的振动。此时，系统振动信号中有色噪声分量的能量增加而正弦及其谐波分量的幅值减少。若松动故障发生，那么有色噪声将随松动零部件之间的摩擦而产生，系统的阻尼有所增加，但由于松动给机械系统增加了振动的空间，将使旋转机械振动中的正弦及其谐波分量的幅值不至于因摩擦阻尼的存在而有所减少。因此，有色噪声能量的存在以及正弦及其谐波分量的幅值是否减少，是区别摩擦故障和松动故障的主要特征。也就是说，与正常运行工况相比，有色噪声能量增加，同时正弦及其谐波分量幅值减小，可判断出现了摩擦故障；若有色噪声能量有所增加，而正弦及其谐波分量的幅值无明显减小，则可判断发生了松动故障。后面的故障事例很好地说明了这设有n个不完全独立的变量xi，i=1,2,…,n,可找到m个线性独立的变量yi,X=BY(2.2.1)其中X=[X1X2…Xn]T，Y=[Y1Y2…Yn]T。Xi，Yi分别是变量xi，yi的数据向量。矩阵B是n×n维变换矩阵。求数学期望E(XXT)=BE(YYT)BT即Rx=BRyBT(2.2.2)当变换矩阵B是正交矩阵时，矩阵Ry中除主对角线上诸元素（相当于主分量y1,y2,…,yn的1B2…Bn](2.2.4)BiTBj(2.2.5)特征向量Bi的系数是Wi，有在n个主分量中，选取m≤n个主分量，这时经过特征抽取后保留下来的信息量η为对于实信号x(t)的离散数据x1,x2,…,xN，可构成n×(N_n)维矩阵X具有最大滞后(n_1)的自相关矩阵Rx为通过向前、向后形式构成滞后为S自相关矩阵Rx为矩阵中各元素rij为显然，Rx为实对称矩阵，可采用QL算法计算Rx矩阵的全部特征值λi和特征向量Bi[5]。x(k)=φ1x(k_1)+φ2x(k_2)+…+φMx(k_M)+a(k)(2.3.1)i=1,2,…,M，是自回归模型AR(M)的系数，M是模型的阶数，a(k)是时刻t时的白噪声，它的均值为零，方差为σ，即a(k)~NID(0,σ)。每一个特征向量Bi=[bi(1)bi(2)…bi(n)]T，可建立自回归模型AR(Mi)如下(k_2)+…+φiMibi(k_Mi)+ai(k)(2.3.2)i）、阶数Mi和相应的预报误差Ei[6]。再分别计算每个模型对应的自回归功率谱，得到对应于特征向量Bi的特征向量谱Si(f)式(2.3.3)中，Δt是时间序列{x(k)}的采样间隔，j=、_1，分母的计算可借助文献[7]的快速由于时域中所有的特征向量都是正规和正交的，见式(2.2.5)和(2.2.6)，所以每个特征谱Si(f)要用对应的特征值λi加权。再对加权后的特征谱求和，便得到所要求的主分量自回归功率谱估计S(f)SiSi(2.3.4)这里m是所选取的主分量的数目，m≤n。式(2.3.4)正交分解的基础上综合时域特征值λi和频域特征向量谱Si(J)的分析方法。正是这种正交分f(Hz)f(Hz)f(Hz)f(Hz)功率谱很接近，表明PCAS对正弦过程和有色噪声过程都有较好的谱估计。由运行过程中因摩擦、松动故障产生的振动信号里包含有正弦分量和有色噪声成分，用PCAS象。发电机两轴承（3#轴瓦和4#轴瓦）分别装有垂直和水平方向的涡流传感器，测试并记录高温而失效，导致漏氢。风扇座套与端盖接触的原因是前次大修时，端盖与发电机壳体之间的衬垫少加，使端盖靠近风扇座套。加之运行中电机转子和静子磁力中心对正的影响，因此3—电机轴；4—电机端盖图2.5.对发电机进行修复，排除漏氢故障，并进行动平衡。开车后记录下发电机转子轴振动信垂直和水平方向轴振动信号作常规谱分析。图2.5.3中瓦垂直方向轴振动FFT谱c）和（d）分别是修前、修后3#轴瓦水平方向轴振动FFT谱。方向轴振动自回归谱c）和（d）分别是修前、修后3#轴瓦水平方向轴振动自回归谱。谱分别是修前、修后3#轴瓦垂直方向轴振动PCAS谱c）和（d）分别是修前、修后3#轴瓦故障在由涡流传感器拾取的轴振动信号的PCAS功率谱上，以有地表现出来。为简便起见，可用PCAS谱中0~250Hz频带与250Hz~500Hz频带谱线下的面积比值，作为反映摩擦故障的特征参数。设0~250Hz频带谱线下面积为F1，250Hz~频带谱线下面积为F2，令比值K=F1/F2。由图2.5.5计算结果a）图修前垂直方向比值Ka=2.04b）图修后垂直方向比值Kb=1.29c）图修前水平方向比值Kc=2.01d）图修后水平方向比值Kd=1.34。比值K还可通过计算机自学习或进行模糊识别，判定出频率分量及频带范围的变化积比值的阈值K，以便在诊断中做出有无摩擦故障的判别。回归谱的结果基本相同。这些频率分量可提分析对振动信号中的正弦分量和有色噪声的估计均有效，可用于对旋转机械运行中发生的摩有自行研制的计算机监测诊断系统，可对涡流传感器拾取的轴振动信号进行在线数据采集和运行中机组的高压缸轴向位移突然增大，表明高压缸发生了严重故障。计算机监测诊断状态之前轴承A和B处垂直方向振动信号的主分量自回归谱S(f)(PSD)。可以看到转速工频f1（225Hz）及其谐波2f1、3f1和4f1分量的幅值很显著，在0Hz到1000Hz频带范围内（这f1的幅值最高，表明高压缸转子失衡。二倍频2f1的幅值也相当高，主要表明高压缸转子轴中注出的频率值分别为f1/4和f1/2。这是由于失衡、不对中等原因引起转子称和非线性的弹性恢复力，在这种情况下，转轴将产生分母为偶数的分谐波振动。所有这些主分量自回归谱，显而易见，频率f1、2f1、3f1和4f1的幅值比图2.5.7和图2.5.9中对应分的噪声成份水平高得多。这些增加的有色噪声成份对机械故障诊断来说是很重要的特征，从由停机检修后知道，CO2压缩机组的高压缸内三、四段之间和四段“O”型密封环老化变质，其中三、四段之间的“O”型密封环至此，高压缸内的摩擦故障发生的原因就清楚了。首先，失状况逐渐恶化；第二，密封环老化变质并在不良的运行状况下被损坏根据转子动力学理论，转子强迫旋转振动的振幅与阻尼有关，现以简例作定性说明。转子在运行时，一方面绕着自身轴线旋转，同时转子自身又以复杂的方式绕着轴承的几何轴线作涡旋运动。最常见和简单的情况是同步涡动，即转子涡旋运动频率等于它的旋转频率，这时振幅a可表示为这里e是转子质心的偏心率，η=J/Jn，J是转子旋转频率，Jn是转子横向振动的自然频如果在机械设备中发生摩擦现象，阻尼比ξ必然增加。由式(2.5.1)可知，阻尼比增加则振幅a减小。另一方面，摩擦吸收转子的动能并抑制其振动。因此，高压缸中摩擦阻尼增大使转子振动频率J1、2J1、3J1和4J1的幅值减小，用PCAS方法得到的结果，将图2.5.在PCAS分析的基础上，可建立摩擦故障诊断判据。工频J内的有色噪声是识别摩擦故障的明显特征，设a1是工频J1的幅值，c是0Hz至500Hz频带内有色噪声的平均值，即PCAS谱线下面积的积分中值。计算谱线下面积时，删去工频J1及其整数谐波和分数谐波的幅值，因为它们不代表噪声成份。特征参数u可表示为u=a1/c(2.5.2)对于建立诊断判据，模糊数学方法是理想的工具。一个模糊集合完全由隶属函数确定，隶属函数是清晰函数[13]，借助隶属函数可得到合理的诊断判据。属于模糊集合A的程度大，因此可用偏小型（戒上型）函数来描述。选用负指数函数来表示μA(u)，有这里μA(u)的取值范围为0<μA(u)≤1。常数b可根据式（2.5.2）选定，即根据机组大量已知的正常运行状况的a1和c计算出u，通过式（2.5.3）尽量客观地给出μA(u)值。因为是正常运行状况，此时的μA(u)应当很小，或接近于零，根据这一条件可得到b值。对于高压缸正常运行状况，b=1.5。uμA(u)无有无有>0.5，表明u属于模糊集合A，意味高压缸存在有严重的摩擦故障，μA(u)值越接近1.0，说从上面的诊断实例可看到，旋转机械摩擦故障将产生一定带宽的有色噪声，主分量自回通过上面的理论和实例分析，我们看到主分量分析对信号自相关函数的正交分解，为独1SmithDM.Recognitionofthecausesofrotorvibrationinturbo-machinery,Proc.OfSecondI2刘士学等.透平压缩机振动.北京：机械工业出版社3米切尔J.S.机械故障的4PassamanteAandKennedyMmaximumentropytechnique,DigitalSignalProcessi5郭富英等.FORTRAN6BarrodaleI,etal.Computationalexperienced12金定安.CO2压缩机高压缸转子损坏及现场修复小结，大化肥第四届机泵年会，泸州，1989年12月13ZimmermannHJ.Fuzzysettheoryandi第三章Wigner-Ville分布及其应用在机械诊断学领域，我们涉及的信号从统计意义上讲不仅仅是平稳的，常常要遇到非平稳瞬变和随时间变化明显的调制信号。这些信号的频率特征与时间有明显的依赖关系，提取和分析这些时变信息对机械诊断意义重大。Wigner-Ville分布可看作信号能量在联和频率域中的分布，是分析非平稳和时变信号的重要工具。它是由Wigner[1]在1932年提出的，最初用于量子力学的研究。1948年Ville[2]开始指出了Wigner-Ville分布中最主要的缺陷─交叉干扰项的存在。1980年Claasen和Mecklenbrăker在一篇连载发表的论文中[4，5，6]详尽论述了Wigner-Ville分布的概念、定义、性质以及数值计算等问题。Wigner-Ville分布不仅具有许多有用特性，而且与的时频表示相比，例如短时Fourier变换谱(spectrogram)和时换的平方），能更好地描述信号的时变特征[7]。因此，尽管受到交叉干扰项的制约，Wigner-Ville分布仍然得到了十分广泛的应用，如声频系统的描述和解释、地震勘探信号处理、生物信号表示以及时变信号滤波等等。本章阐述Wigner-Vil设x(t)为一连续时间信号，则称为信号x(t)的自Wigner-Ville分布(auto-WVD)。相应地，若y(t)为另一个连续时间信式中，x*(t)和y*(t)分别是x(t)和y(t)的复共轭。此外，WVD也可以从频域中计算。设X(⑴)和Y(⑴)分别是信号x(t)和y(t)的Fourier和Wigner-Ville分布有许多优良的特性，结合本书重点涉及的机械监测与故障诊(1)时移不变性：如果信号有一个时间移位t0,则它的WVD也有~x(t)=x(t_t0),则WVD~(t,ω)=WVDx(t_t0,ω)。x~即，若有x(t)=x(t)exp(jω0t),则WVD~(t,ω)=WVDx(t,ω_ω0)。x(3)时域有界性：如果信号在某个时间范围内是有界的，则它的WVD也在相同的时间范围内是有界的。即，当t∉[t1,t2]时，x(t)=0,则当t∉[t1,t2]时，也有WVDx(t,ω)=0。(4)频域有界性：如果信号在某个频率范围内是有界的，则它的WVD也在相同的频率范由上式可看出，WVDx(t,ω)中包含的能量等于原信号x(t)所具有的能量。由于Wigner-Ville分布具有上述性质，使其具有十分明确的物理意义，可以被看作是信在时域和频域中的分布，因此，作为一种十分有效的信号时频分析工具，Wigner-Ville进行加窗处理。经加窗处理后的WVD称为伪WVD(pseudo-WVD)。可见，对信号进行采样。对于有限带宽信号(即当ω>ω0时，X(ω)=0)，若信号的采样间隔为如果伪WVD的时间窗w(k)具有长度M＝2L－1，即当k≥L时，w(k)=0,并取单位采式中mπ/M为圆频率，p(k)=w(k)w*(k),w(k)是中心在n处的时间窗函数，可以是海宁Wigner-Ville分布可通过对每个固定的时刻n计算(3.3.2)式获得。对每一个固定的时刻由(3.3.2)式给出的DWVD对于频率变量的周期是π,与通常的离散Fourier变换的采样频率。此外，在计算DWVD时通常使用解析信号(analyticalsignal)。实号是一个复信号，实部与原信号相同，虚部是原信号的Hil使用原信号有两个原因：首先，使用解析信号可消除在零频率附近由于正负频率之间的相互干涉所造成的干扰分量；其次，如果我们仍按通常的Nyquist规则选取采样频率，由于解析信号频谱的单边性而不会在Wigner-Ville分布中产生频率折叠现象。计算解析信号的一种简便方法是利用快速Fourier变换，首先计算实信号x(n)的Fourier变换X(k)，然后按下式构造解析信号的Fourier变换Xa(k)，即再计算Xa(k)的Fourier逆变换，可得到信号x(n)的解析信号xa(n)。用xa(n)代替x(n)计算(3.3.2)式，即可得到解析信号的Wigner-Ville分布。Wigner-Ville分布不仅具有许多号含有多个成分时，信号的Wigner-Vill在无任何物理意义的振荡分量，它们提供了虚假的能量理解释。从数理意义上讲交叉项的存在是由于非线性变换而造成时间和频率干涉所致。以由两个信号构成的和信号x(t)=x1(t)+x2(t)为例，Wigner-Ville分布为x1(t,x2(t,x1,x2(t,项，即交叉项。因为交叉干扰项通常是振荡的，而且幅度可达自项的两倍[6]，造成信号的时频特征模糊不清，因此如何抑制交叉干扰项，对时频分析非常重要。当信号中含有N个成分时，交叉项的数目是N(N_1)/2。对于实际信号，交叉项可能会与自项混叠在一起，干扰模式更为复杂。为解决这一问题，专家学者们做了大量的工作。但不幸的是，迄今仍然没有找到能够完全消除交叉干扰项而又不损害Wigner-Ville分布有用原信号原信号x(n)滤波后信号y(n)时频分布在此，我们介绍一种简单、实用的方法。在机械故障诊断的应用中，我们重视的往往是某个特定频率分量随时间的变化情况，因此我们可利用数字滤波技术保留要观测的频率分量，滤除其它成分，使信号保持单一频率成分，可消除频率方向的交叉项。在时间方向，可选取短的时间窗，这样既可抑制时间方向的交叉项，又能提高时间分辨率。图3处理过程的流程图，在欲重点观察的频率附近，例如齿轮的啮合频率附近，选取滤波通带，用数字带通滤波滤除通带以外的频率成分，然后计算滤波信号的WVD。为了保证要重点观察的频率分量在滤波以后的特性保持不变，推荐采用以下非递归零相式中x(n)为原信号（输入）；y(n)为滤波后信号（输出）；K为滤波器长度，可以取40，60，100等；bk(k=0,±1,±2,...,±K)为滤波器系数，由下式确定=b-k=(sin2πkfhcT-sin(2πkflcT)/kπ(3.4.2)其中fhc为带通滤波器上限截止频率，flc为下限截止频率，T为采样间隔。图3.4.2和图3.4.3给出了一个实例。信号x(t)是频1400Hz、调制频率为50Hz的调幅信号之和。从图3.4.2中x(t)的WVD可见在500Hz和成干扰之外并不携带任何有用信息，特别是当信号的频率结构复杂时干扰更为强烈，常常因此而得出错误的结论。然而，如果我们要分析1400Hz载波频率处的调制信息时，可在），某炼油化工厂一台前苏联制造的主风机，由同步电机拖动，风机本身运行状态良好，但传动齿轮箱产生异常振动。该齿轮箱输入轴工频为50H输入轴和输出轴端测量齿轮箱的振动信号并进行分析。图3.5.1是在齿动信号的频谱图，从图中可以看到1088Hz处有一非常突出的谱峰，并二倍频和三倍频分量。为确定齿轮箱发生异常振动的原因和缺陷的具体部位，对齿轮箱输入轴端振动信号进行了时频分析。为重点分析1088Hz的振动成分以及消除交叉干扰项（参见3.4节），在计算Wigner-Ville分布之前用数字带通滤波器将二倍频和三倍频等高频成分和低于1088Hz的低频成分滤掉。图3.5.2是该齿轮箱输入轴端振动的Wigner-Ville分布。从图中可见，该齿轮箱振动的时频分布具有十分明显的幅值调制现象（参见图3.4.3）,在频率轴上谱峰的出现是恒定的，表示了载波频率的大小为1088Hz；在时间轴上可清晰地观察到谱峰随时间有规律地波动，谱峰的波动在40毫秒的时间内经过了大约3个周期，它代表了调制频率的大小约为_3)=75Hz(3.5.1)该频率与齿轮箱输出轴的回转频率(72.5Hz)相吻合，表示齿轮振动受到输出轴转频的调制，即故障出现在输出轴齿轮上。为进一步证实该结论，对齿轮箱输出轴端振动信号也进行了时频分析，图3.5.3是齿轮箱输出轴端测量的振动Wigner-Ville分布，与图3.4.2所示的时频分布存在相同的幅值调制现象。可见，无论在输出轴端还是输入轴端振动的Wigner-Ville分布都能反映该故障。在随后的齿轮箱解体检查中发现，由于齿轮箱输入输出轴安装上的偏差使齿轮局部过载，引起齿轮啮合应力随输出轴的转动而呈周期性波动，已造成输出轴齿轮局部齿面出现严重的疲劳剥皮现象，检查结果与分析结果完全吻合。齿面修复后，齿轮振动的幅值调制现象随即消失。我们介绍了Wigner-Ville分布及其在机械监测和故障诊断中的应用。Wigner-Ville分布有许多优良的特性，而且与其他的时频表示相比，例如短时Fourier变换谱和时间尺度谱，能够更好地描述和刻画信号的时变特征，因而在众多领域中得到成功的应用。本章给出的应用实例表明Wigner-Ville分布用于机械状态监测和故障诊断是相当有效的，展现了在该领域的应用前景。更多的实例请参阅文献[9，10，11]。Wigner-Ville分布的主要缺点之一是交叉干扰项，它是制约Wigner-Ville分布广泛应用的主要障碍。为了消除和抑制交叉干扰项，我们介绍了一种简单方法。该方法应用数字带通滤波对信号进行预处理，将多频信号转换为单频信号，消除了交叉项，而且不损害Wigner-Ville分布的有用特性。4ClaasenTACMandMecklenbrăke5ClaasenTACMandMecklenb6ClaasenTACMandMecklenbră7ShieQandDapangC.Jointti8CohenL.Time-frequencyanalysis.New）：11孟庆丰，何正嘉，赵纪元.调制信号的）：第四章非平稳信号处理方法的时频分析及应用众所周知，任何信号可表示为不同频率的正弦波的迭加，经典的傅立叶分析能够完美地提供了平均的频谱系数，这些系数只与频率有关，而与时间无关。传统谱分析要求所分析的随机过程是平稳的，即过程的统计特性不随时间的推移而改变。然而，许多随机过程从本质上来讲是非平稳的，例如记录下来的语音或音乐的声压信号；振动中的冲击响应信号；机组启、停机信号等等。当然，非平稳信号的谱密度也可以用传统的谱分析方法来计算，可是所为基函数ej2πft(ej2πft=cos2πft+jsin2πft)去变换信号x(t)，得到其频谱X(f)，即X(f)=x(t)e_j2πftdt=x(t)(ej2πft)∗dt(4.1)这里∗表示共轭，j=_1。这一变换建立了一个从时域到频域的通道。频谱X(f)显示了用时间信息。为了克服傅立叶变换不能同时进行时频分析的不足，对于非平稳、非正弦的机电设备动态信号的分析，必须寻找既能够反映时域特征又能够反映频域特征的新方法，才能提供故障特征全貌，正确有效地进行故障诊断。作为非平稳时频分析比较有效的方法除了第三时窗来进行傅里叶变换，从而实现了在时间域和频率域上都具有较好局部性的分析方法，这设h(t)是中心位于τ宽度有限的时窗函数，x(t)是通过h(t)所观察到的平稳信号。由加窗信号x(t)h*(t_τ)的傅立叶变换便产生短时傅里叶变换这一变换将信号x(t)影射到时频二维平面(τ,f)上。这里h(t_τ)ej2πft是STFT的基函数。参数f可视为傅立叶变换中的频率，傅立叶变换中的许多性质都可应用于短时傅立叶变换。这里，窗函数h(t)的选取是关键。由于高斯函数的傅立叶变换仍然是高斯函数，因