中科大机械设备非平稳信号的故障诊断原理及应用讲义03 Wigner-Ville 分布及其应用

第三章Wigner-Ville分布及其应用在机械诊断学领域，我们涉及的信号从统计意义上讲不仅仅是平稳的，常常要遇到非平稳瞬变和随时间变化明显的调制信号。这些信号的频率特征与时间有明显的依赖关系，提取和分析这些时变信息对机械诊断意义重大。Wigner-Ville分布可看作信号能量在联和频率域中的分布，是分析非平稳和时变信号的重要工具。它是由Wigner[1]在1932年提出的，最初用于量子力学的研究。1948年Ville[2]开始指出了Wigner-Ville分布中最主要的缺陷─交叉干扰项的存在。1980年Claasen和Mecklenbrăker在一篇连载发表的论文中[4，5，6]详尽论述了Wigner-Ville分布的概念、定义、性质以及数值计算等问题。Wigner-Ville分布不仅具有许多有用特性，而且与的时频表示相比，例如短时Fourier变换谱(spectrogram)和时换的平方），能更好地描述信号的时变特征[7]。因此，尽管受到交叉干扰项的制约，Wigner-Ville分布仍然得到了十分广泛的应用，如声频系统的描述和解释、地震勘探信号处理、生物信号表示以及时变信号滤波等等。本章阐述Wigner-Vil设x(t)为一连续时间信号，则称为信号x(t)的自Wigner-Ville分布(auto-WVD)。相应地，若y(t)为另一个连续时间信式中，x*(t)和y*(t)分别是x(t)和y(t)的复共轭。此外，WVD也可以从频域中计算。设X(⑴)和Y(⑴)分别是信号x(t)和y(t)的Fourier和Wigner-Ville分布有许多优良的特性，结合本书重点涉及的机械监测与故障诊(1)时移不变性：如果信号有一个时间移位t0,则它的WVD也有~x(t)=x(t_t0),则WVD~(t,ω)=WVDx(t_t0,ω)。x~即，若有x(t)=x(t)exp(jω0t),则WVD~(t,ω)=WVDx(t,ω_ω0)。x(3)时域有界性：如果信号在某个时间范围内是有界的，则它的WVD也在相同的时间范围内是有界的。即，当t∉[t1,t2]时，x(t)=0,则当t∉[t1,t2]时，也有WVDx(t,ω)=0。(4)频域有界性：如果信号在某个频率范围内是有界的，则它的WVD也在相同的频率范由上式可看出，WVDx(t,ω)中包含的能量等于原信号x(t)所具有的能量。由于Wigner-Ville分布具有上述性质，使其具有十分明确的物理意义，可以被看作是信在时域和频域中的分布，因此，作为一种十分有效的信号时频分析工具，Wigner-Ville进行加窗处理。经加窗处理后的WVD称为伪WVD(pseudo-WVD)。可见，对信号进行采样。对于有限带宽信号(即当ω>ω0时，X(ω)=0)，若信号的采样间隔为如果伪WVD的时间窗w(k)具有长度M＝2L－1，即当k≥L时，w(k)=0,并取单位采式中mπ/M为圆频率，p(k)=w(k)w*(k),w(k)是中心在n处的时间窗函数，可以是海宁Wigner-Ville分布可通过对每个固定的时刻n计算(3.3.2)式获得。对每一个固定的时刻由(3.3.2)式给出的DWVD对于频率变量的周期是π,与通常的离散Fourier变换的采样频率。此外，在计算DWVD时通常使用解析信号(analyticalsignal)。实号是一个复信号，实部与原信号相同，虚部是原信号的Hil使用原信号有两个原因：首先，使用解析信号可消除在零频率附近由于正负频率之间的相互干涉所造成的干扰分量；其次，如果我们仍按通常的Nyquist规则选取采样频率，由于解析信号频谱的单边性而不会在Wigner-Ville分布中产生频率折叠现象。计算解析信号的一种简便方法是利用快速Fourier变换，首先计算实信号x(n)的Fourier变换X(k)，然后按下式构造解析信号的Fourier变换Xa(k)，即再计算Xa(k)的Fourier逆变换，可得到信号x(n)的解析信号xa(n)。用xa(n)代替x(n)计算(3.3.2)式，即可得到解析信号的Wigner-Ville分布。Wigner-Ville分布不仅具有许多号含有多个成分时，信号的Wigner-Vill在无任何物理意义的振荡分量，它们提供了虚假的能量理解释。从数理意义上讲交叉项的存在是由于非线性变换而造成时间和频率干涉所致。以由两个信号构成的和信号x(t)=x1(t)+x2(t)为例，Wigner-Ville分布为x1(t,x2(t,x1,x2(t,项，即交叉项。因为交叉干扰项通常是振荡的，而且幅度可达自项的两倍[6]，造成信号的时频特征模糊不清，因此如何抑制交叉干扰项，对时频分析非常重要。当信号中含有N个成分时，交叉项的数目是N(N_1)/2。对于实际信号，交叉项可能会与自项混叠在一起，干扰模式更为复杂。为解决这一问题，专家学者们做了大量的工作。但不幸的是，迄今仍然没有找到能够完全消除交叉干扰项而又不损害Wigner-Ville分布有用原信号原信号x(n)滤波后信号y(n)时频分布在此，我们介绍一种简单、实用的方法。在机械故障诊断的应用中，我们重视的往往是某个特定频率分量随时间的变化情况，因此我们可利用数字滤波技术保留要观测的频率分量，滤除其它成分，使信号保持单一频率成分，可消除频率方向的交叉项。在时间方向，可选取短的时间窗，这样既可抑制时间方向的交叉项，又能提高时间分辨率。图3处理过程的流程图，在欲重点观察的频率附近，例如齿轮的啮合频率附近，选取滤波通带，用数字带通滤波滤除通带以外的频率成分，然后计算滤波信号的WVD。为了保证要重点观察的频率分量在滤波以后的特性保持不变，推荐采用以下非递归零相式中x(n)为原信号（输入）；y(n)为滤波后信号（输出）；K为滤波器长度，可以取40，其中fhc为带通滤波器上限截止频率，flc为下限截止频率，T为采样间隔。图3.4.2和图3.4.3给出了一个实例。信号x(t)是频1400Hz、调制频率为50Hz的调幅信号之和。从图3.4.2中x(t)的WVD可见在500Hz和成干扰之外并不携带任何有用信息，特别是当信号的频率结构复杂时干扰更为强烈，常常因此而得出错误的结论。然而，如果我们要分析1400Hz载波频率处的调制信息时，可在），某炼油化工厂一台前苏联制造的主风机，由同步电机拖动，风机本身运行状态良好，但传动齿轮箱产生异常振动。该齿轮箱输入轴工频为50H输入轴和输出轴端测量齿轮箱的振动信号并进行分析。图3.5.1是在齿动信号的频谱图，从图中可以看到1088Hz处有一非常突出的谱峰，并二倍频和三倍频分量。为确定齿轮箱发生异常振动的原因和缺陷的具体部位，对齿轮箱输入轴端振动信号进行了时频分析。为重点分析1088Hz的振动成分以及消除交叉干扰项（参见3.4节），在计算Wigner-Ville分布之前用数字带通滤波器将二倍频和三倍频等高频成分和低于1088Hz的低频成分滤掉。图3.5.2是该齿轮箱输入轴端振动的Wigner-Ville分布。从图中可见，该齿轮箱振动的时频分布具有十分明显的幅值调制现象（参见图3.4.3）,在频率轴上谱峰的出现是恒定的，表示了载波频率的大小为1088Hz；在时间轴上可清晰地观察到谱峰随时间有规律地波动，谱峰的波动在40毫秒的时间内经过了大约3个周期，它代表了调制频率的大小约为_3)=75Hz(3.5.1)该频率与齿轮箱输出轴的回转频率(72.5Hz)相吻合，表示齿轮振动受到输出轴转频的调制，即故障出现在输出轴齿轮上。为进一步证实该结论，对齿轮箱输出轴端振动信号也进行了时频分析，图3.5.3是齿轮箱输出轴端测量的振动Wigner-Ville分布，与图3.4.2所示的时频分布存在相同的幅值调制现象。可见，无论在输出轴端还是输入轴端振动的Wigner-Ville分布都能反映该故障。在随后的齿轮箱解体检查中发现，由于齿轮箱输入输出轴安装上的偏差使齿轮局部过载，引起齿轮啮合应力随输出轴的转动而呈周期性波动，已造成输出轴齿轮局部齿面出现严重的疲劳剥皮现象，检查结果与分析结果完全吻合。齿面修复后，齿轮振动的幅值调制现象随即消失。我们介绍了Wigner-Ville分布及其在机械监测和故障诊断中的应用。Wigner-Ville分布有许多优良的特性，而且与其他的时频表示相比，例如短时Fourier变换谱和时间尺度谱，能够更好地描述和刻画信号的时变特征，因而在众多领域中得到成功的应用。本章给出的应用实例表明Wigner-Ville分布用于机械状态监测和故障诊断是相当有效的，展现了在该领域的应用前景。更多的实例请参阅文献[9，10，11]。Wigner-Ville分布的主要缺点之一是交叉干扰项，它是制约Wigner-Ville分布广泛应用的主要障碍。为了消除和抑制交叉干扰项，我们介绍了一种简单方法。该方法应用数字带通滤波对信号进行预处理，将多频信号转换为单频信号，消除了交叉项，而且不损害Wigner-Ville分布的有用特性。4ClaasenTACMandMecklenbrăke