2025-2026月考试卷8年级（数学）折叠问题与将军饮马问题（解析版）

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161．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD，若CD∥BE，71=43o，则72的度数()【答案】B【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的问题现对应角相等．利用AF∥BE,AD∥BC，得出74=71=43o，利用CD∥BE，得出74=76=43o，由折叠的性质，得75=76=43o，再利用平角的性质求解即可．六L1=L3,L3=L4．六L4=L6=43°,由折叠的性质，得L5=L6=43°,六L2=180°-L5-L6=180°-43°-43°=94°.点C对应点C,恰好落在边AB上，若CD=2，则CB长等于()【答案】CLABC=90°-60°=30°,LCAD=LC,AD=30°,CD=C,D=2，证明LB=LBAD=30°,可得DB=DA=4，进一步可得答案.对应点C,恰好落在边AB上，六AD=2CD=4，LB=LBAD=30°,3．如图，将一张等宽的纸条按图中方式折叠，若L1=52°,则L2的度数为()A．52°B．59°C．64°D．6【答案】C【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．如图，由平行线的性质可求得L1=L3，由折叠的性质可求得L4=L5，再由平行线的性质可求得L2．:L3=L1=52O，L2=L5，又由折叠的性质可知L4=L5，且L3+L4+L5=180O，:L2=64O，4．如图将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB,C,F的位置，若LEFC,＝105O，则LDFC,的度数为()【答案】B【分析】本题考查了翻折变化（轴对称）的性质及角的计算，解题关键是熟练掌变换的性质．由轴对称的性质可求出LEFC的度数，进而求得LEFC+LEFC,的度数，即可求解．【详解】解：由翻折知LEFC=LEFC,，且LEFC,＝105O:LEFC+LEFC,=105O+105O=2:LDFC,=LEFC+LEFC,-180O=210O-180O=30O．5．如图，把两条长边平行的纸条折叠，若L1=32O，则L2的度数为()【答案】C∴73=71=32o，L2=L4，丫L3+L1+L4=180°,∴L2=L4=180°-L1-L3=180°-32°-32°=116°,图4展开后得到的图案是()【答案】B7．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若7ABE=20o，则LDBC为()【分析】本题考查折叠的性质．根据BD、BE为折痕，可知BD、BE分别为LA,BC,LABA,的角平分线，由此即可求解．∴LABE=LA,BE=20o，LA,BD=LDBC，∴LA,BC_180°-LABA,_180-20°-20°_140°,丫LA,BD_LDBC_1LA,B2∴LDBC_1×140°_70°,28．如图，将长方形纸条折叠，AD∥BC．按如图折叠，LBGE=130o，则LEFC,=o．【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性根据平行线的性质得到∠DEG=∠BGE=130o，由折叠的性质得到LDEF=LGEFLDEG，即可通过平AB，CD．若CD∥BF，且CE丄DF，则LABF的大小为．【答案】67.5o/67.5度【分析】本题考查了平行线性质，折叠的性质，垂直定义，解题的关合折叠的性质推出LABF即可解答．:LDEC=LBCE=90o，:LFBC=180o-LBCD=180o-90o-45o=45o，【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，先根据平行线的性质求得LDEF的度数，再根据折叠求得LDEG的度数，最后根据平角的定义计算LAEG的大小．∴AD∥BC，∴LDEF=LGFE=56o，由折叠可得，LGEF=LDEF=56o，11．如图将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，点若LA9ED=76o，则LEFC=．【答案】128°【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，关键是由折叠的性质得到LAEF=LFEA,=76°+x°,由平行线的性质推出LGEF+LEFC=180°.设LGEF=x°,由折叠的性质得到LAEF=LFEA,=76°+x°,则LAEF+LFEA,=76°+x°+76°+x°=180°+76°,求出x=52，由平行线的性质推出LGEF+LEFC=180°,即可得到LEFC=180°-52°=128°.设LGEF=x°,由折叠的性质得到LAEF=LFEA,=76°+x°,六LAEF+LFEA,=76°+x°+76°+x°=180°+76°,解得x=52，六LGEF+LEFC=180°,故答案为：128°.12．把一张长方形纸条按如图所示折叠后，若LAOB,=70°4,，则LBOG=．【答案】54°58,【分析】本题考查了翻折变换的性质，解题的关键是熟练掌握翻折不变性解决问题．根据翻折变换的性质可得LBOG=LB,OG，再根据平角等于180°即可求解．【详解】解：由翻折性质得，LBOG=LB,OG，丫LAOB,+LBOG+LB,OG=180°,故答案为：54°58,．13．如图，将一张长方形纸片ABCD如图（1）折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，如图（2再将LA折叠，使点A与点B重合，折痕为MN，如图（3如果AD=6cm,MD=1cm，那么长方形ABCD原来的长AB=cm．【答案】10由图可知，AM=AD-MD=6-1=5cm，∴AB=2AM=10cm，14．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F、C在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若LFEH+LEHG=118°,则LFPG的度数为．【答案】56°/56度根据四边形ABCD是长方形，可得AD∥BC，得LFEH=LBFE，LEHG=LCGH，所以可得ÐBFE+ÐCGH=ÐFEH+ÐEHG=118°,由折叠可得EF，GH分别是ÐBFP和ÐCGP的角平分线，可得\ÐFEH=ÐBFE，ÐEHG=ÐCGH，\ÐBFE+ÐCGH=ÐFEH+ÐEHG=118°,EF，GH分别是ÐBFP和ÐCGP的角平分线，\ÐPFE=ÐBFE，ÐPGH=ÐCGH，\ÐPFE+ÐPGH=ÐBFE+ÐCGH=118°,\ÐBFP+ÐCGP=2(ÐBFE+ÐCGH)=236°,\ÐPFG+ÐPGF=360o-(ÐBFP+ÐCGP)=360°-236°=124°,故答案为：56°.15．在VABC中，ÐC=90°,AC=6，BC=8，将VABC沿某条直线折叠，使三角形的顶点A与B重合，折痕为DE．(2)若ÐCAD:ÐBAD=4:7，求7B的度数．【答案】(1)14【分析】（1）根据折叠的性质，得DA=DB，再根据三角形的周长，解答即可．（2）根据ÐCAD:ÐBAD=4:7，不妨设ÐCAD=4x°,ÐBAD=7x°,根据折叠的性质，得7B=ÐBAD=7x°,根据ÐC=90°,利用三角形内角和定理列方程解答即可．【详解】（1）解：根据折叠的性质，得DA=DB，丫△ACD的周长是DA+DC+AC，∴△ACD的周长是DA+DC+AC=BD+DC+AC=BC+AC，（2）解：丫7CAD:7BAD=4:7，不妨设7CAD=4xo,7BAD=7xo，根据折叠的性质，得DA=DB，解得xo，故7B=35o．16．如图，在△ABC中，AB=AC，边AC的垂直平分线MN分别交AB，AC于点M，N，点D是边BC的中点，点P是MN上任意一点，连接PD，PC，若7A=50o，则当△PCD周长最小时，7CPD=()【答案】B【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练运用垂直平连接AP．根据MN垂直平分AC，推出PA=PC，7PAC=7PCA，所以PC+PD=PA+PD，当A、P、D在同一直线上时，PA+PD最小，最小值为AD．据此解答即可．【详解】解：如图，连接AP．丫MN垂直平分AC，:PA=PC，7PAC=7PCA，:PC+PD=PA+PD，当A、P、D在同一直线上时，PA+PD最小，最小值为AD．:LBAC=2LCAD，丫LCPD=LPAC+LPCA=2LCAD，:LCPD=LBAC=50°.17．如图，在Rt△ABC中，LC=90°,LA=30°,点N在边BC上，且BN=6，点M，P分别是边AB，AC上的动点，当PM+PN最小时，BM=5，则AB长为()【答案】D【分析】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．作点N关于AC的对称点N,，作N,M丄AB于M，交AC于P，此时PN+PM=PN,+PM=MN,，根据垂线段最短，PM+PN,的最小值等于垂线段MN,的长，利用含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：如图所示，作点N关于AC的对称点N,，作N,M丄AB于M，交AC于P此时PN+PM最在Rt△ABC中，LC=90°,LA最小时，LCPQ的大小是．【答案】45°/45度【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，在AB上取一点Q,，使BQ,=BQ，连接PQ,，CQ,，过点C作CH丄AB于点H，交BD于点P,，过点P,作P,Q''丄BC于点Q,,，推出当PC+PQ最小时，点P，点Q分别位于点P,，点Q,,处，LCPQ的度数为LCP,Q,,的度数，再求出LCP,Q,,的度数即可解决问题．【详解】解：在AB上取一点Q,，使BQ,=BQ，连接PQ,，CQ,，过点C作CH丄AB于点H，交BD于点六当PC+PQ最小时，点P位于点P,处，点Q位于点Q,,处，LCPQ的度数为LCP,Q,,的度数，LP,Q,,C=90°,故答案为：45°.F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=6，则AB的长为【答案】8【分析】本题主要考查轴对称—最短路径，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，根据题意，作点E关于CD的对称点E,，连接PE,，当点E,，P，F三点共线，E,F丄AB时，EP+FP的值最小，由此【详解】解：如图所示，作点E关于CD的对称点E,，连接PE,，:EP+FP=PE,+PF≥E,F，当点E,，P，F三点共线，E,F丄:LB=60°,AB=BC=AC，:LFE,B=90°-LB=90°-60°=30°,:BE,=2BF，:BE,=2BF=12，:12=2CE+BE=2CE+4，解得，CE=4，:AB=BC=4+4=8，20．如图，在△ABC中，AB=AC，边AC的垂直平分线MN分别交AB,AC于点M,N，点D是BC边的中点，点P是MN上任意一点，连接PD，PC，若LA=40°,△PCD周长最小时，LCPD的度数为．【答案】40°/40度识点是解题的关键．连接AP得出AP=PC，LPAC=LPCA，得到PC+PD=PA+PD，当A,P,D在同一条直线上时，PA+PD最小，最小值为AD，即可求解．【详解】解：如图，连接AP，:AP=PC，:LPAC=LPCA，PC+PD=PA+PD，∴当A,P,D在同一条直线上时，PA+PD最小，即△CPD的周长最小，21．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM=CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，LMBN=度．【答案】30【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形外推出BM=HN，由BN+HN≥BH，可知B，N，H共线时，BM+BN=NH+BN值最小，求出此时LMBN【详解】解：如图1中，过点C作CH丄BC，使得CH=BC，连接NH，B六LHCN=LCAD=LBAM=30o，∴7ABM=∠H=7CBH=45o，∴7CBM=∠ABC-7ABM=15o，∴当BM+BN的值最小时，∠MBN=30o，22．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，LBCA=65o，AD连接BP，PQ，当BP+PQ的值最小时，LPBD的度数为．【答案】25o/25度【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂线段最短，三角形的内角和定理，根据等腰三出BP=CP，所以BP+PQ=CP+PQ，当BP+PQ的值最小时，即过点C作CQTAB交AD于点P，此时BP+PQ的值最小，根据三角形的内角和求出答案即可．【详解】解：如图，过点C作CQTAB，垂足为Q，丫AB=AC，ADTBC于点D，∴AD垂直平分BC，7ABC=7ACB=65o，∴7PBD=7PCD，23．如图，在四边形ABCD中，LB=LD=90o，LDAB=124o，M、N分别是边DC、BC上的动点，当△AMN的周长最小时，LMAN的度数是()A．70°B．68°C．58°D．56°【答案】B则当点M与点H重合，点N与点G重合时，△AMN的周长最小，则易得LMAN的大小．【详解】解：如图，作点A关于CD、CB的对称点E、F，连接EF分别交CD、CB于点H、G，连接AH、AG、EM、FN，由对称性知：EM=AM，EH=AH，NF=NA，GF=GA，六AM+MN+NA=EM+MN+NF≥六LGAF=LGFA，LHEA=LHAE，六LAGH=2LGFA，LAHG=2LHEA丫LAGH+LAHG=2LGAF+2LHEA=2´56o=112o，【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，两点间线段答本题的关键要明确：涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本的周长最小时，LMAN的度数为()【答案】C【分析】本题考查轴对称的性质，线段垂直平分延长AB到A,使得BA,=AB，延长AD到A,,使得DA,,=AD，连接A,M，A''N，得出当A,、M、N、A''依次共线时，△AMN的周长最小为A,A''，此时，推出LAMN+LANM=2(LA,+LA,,)，进而得出LMAN的度【详解】解：如图，延长AB到A,使得BA,=AB，延长AD到A,,使得DA,,=AD，连接A,M，A''N，\MA=MA,，△AMN的周长=MA+NA+MN=MA,+NA''+MN≥A,A''，且当A,、M、N、A''依次共线时，△AMN的周长最小为A,A''，:LA,=LMAB,LA,,=LNAD，丫LAMN=LA,+LMAB=2LA,,LANM=LA,,+LNAD=2LA,,，:LAMN+LANM=2(LA,+LA,,)，:LA,+LA,,=180o-LBAD=50o，:LAMN+LANM=2×50o=100o，:LMAN=180o-100o=80o，边上的动点，当△DPQ的周长最小时，LPDQ的【答案】100【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的作出图形是解题的周长最小，根据三角形的内角和得到LEDF=140o，求得LE+LF=40o，根据等腰三角形的性质即可得【详解】解：作D关于AC的对称点E，作D关于AB的对称点F，连接EF交AC于P，交AB于Q，∴LBDF=90o-50o=40o，六LEDP=LE,LQDF=LF，六LCDP+LQDG=LE+LF=40°,故答案为：100．26．如图，已知7AOB=40o，P是LAOB内部一点，M和N分别为OA、OB上的点，当△PMN周长最小时，7MPN=．【答案】100o/100度【分析】分别作点P关于OA的对称点E，关于OB的对称点F，连接EF分别交OA、OB于点L、I，连接EM、FN、PE、PF，由EM=PM，FN=PN，可知当点M与点L重合，同时点N与点I重合时，PM+MN+PN=EF，此时△PMN的周长最小，连接OE、OF、OP，则OE=OF=OP，推导出7OPL=7OEL，7OPI=7OFI，则7MPN=7LPI=7OPL+7OPI=7OEL+7OFI，因为7EOF=27AOB=70o，所以7MPN=7OEL+7OFI=110o，于是得到问题的答案．【详解】解：分别作点P关于OA的对称点E，关于OB的对称点F，连接EF分别交OA、OB于点L、I，连接EM、FN、PE、PF，如图所示：六EM=PM，FN=PN，丫EM+MN+FH³EF，六PM+MN+PN³EF，六当点M与点L重合，同时点N与点I重合时，PM+MN+PN=EF，此时△PMN的周长最小，连接OE、OF、OP，则OE=OF=OP，如图所示：六LOPE=LOEP，LOPF=LOFP，丫LLPE=LLEP，LIPF=LIFP，六LOPE-LLPE=LOEP-LLEP，LOPF-LIPF=LOFP-LIFP，六LOPL=LOEL，LOPI=LOFI，六LMPN=LLPI=LOPL+LOPI=LOEL+LOFI，丫LEOA=LPOA，LFOB=LPOB，六LEOF=2LPOA+2LPOB=2LAOB=2´40°=80°,六LMPN=LOEL+LOFI=180°-LEOF=180°-80°=100°,故答案为：100°.角和定理等知识，掌握此类题型的解法，正确27．如图，LAOB=25°,点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记LMPQ=a，LPQN=β,当MP+PQ+QN最小时，则a与β的数量关系为．【答案】β-a=50°【分析】本题主要考查了轴对称最短问题、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等知识点，灵活利用轴对称如图：过作M关于OB的对称点M,，N关于0A的对称点N,，连接N,M,交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，易知LOPM=LOPM,=LNPQ，LOQP=LAQN,=LAQN，再根据三角形的外角的【详解】解：如图：过作M关于OB的对称点M,，N关于0A的对称点N,，连接N,M,交OA于Q，交OB于P，则:β-a=50°.28．如图，△ABC中，LA=90°,LB=35°,D和E为AC边连接DG,GF,FE，设DG,EF的交点为O，当DG+GF+FE最小时，LFOG的度数为．【答案】110°【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质110°.作点D关于BC的对称点D,，作点E关于AB的对称点E,，由线段垂直平分线的性质和两点之间线段最短，可知当DG+GF+FE最小时，点E,、F、G、D,共线，根据三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，计算即可得LFOG的度数．【详解】解：如图1，作点D关于BC的对称点D,，连接D,G，DD,，则BC垂直平分DD,，D,G=DG，作点E关于AB的对称点E,，连接E,F，则AB垂直平分EE,，FE,=FE，当DG+GF+FE最小时，点E,、F、G、D,共线，如图2，∴LCDD,=90°-LC=LB=35°,设LAEF=a，LD,DG=β,则LE,=a，LD,=β,六LEFG=2a，LDGF=2β,丫LDOE=LFOG，1．将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，以AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B,、D,，若LB,AD,=26o，则LEAF的度数为()【答案】D【分析】本题考查折叠性质、正方形的性质，掌握折叠性质是解答的关键．由折叠性质得LBAE=LB,AE，LDAF=LD,AF，结合LDAD,+LBAB,-LB,AD,=LDAB求得LDAF+LBAE=58o，进而可求解．由折叠性质，得LBAE=LB,AE，LDAF=LD,AF，丫LDAD,+LBAB,-LB,AD,=LDAB，LB,AD,=26o，∴2LDAF+2LBAE-26o=90o，∴LDAF+LBAE=58o，∴LEAF=90o-(LDAF+LBAE)=32o，2．如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在四边形CDMN外点A,的位置，点B落在四边形CDMN内点B,的位置，若LD=90。，L2-L1=36o，则LC等于()【答案】D【分析】本题主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和定理，延长NB,交AD于点E，利用四边形的内角和定理得到：LC=270o-(LA+LB)，利用四边形的内角和定理，折叠的性质，三角形的内角和定理，等量代换的性质求得LA+LB的值，则结论可求．【详解】解：延长NB,交AD于点E，设A,B,交AD于点F，如图，:LC+LD+L2+LB,ED=360o，LA+LB+LD+LC=360o，:L2+LB,ED=LA+LB．由折叠的性质可得：LA+LB=LA,+LA,B,N．:LC=270o-(LA+LB)=270o-(L2+LB,ED)．丫LA,FM=LEFB,，:L1+LA,=LFEB,+LFB,E，丫LFEB,=180o-LB,ED，LFB,E=180o-LA,B,N，:L1+LA,=360o-LB,ED-LA,B,N．:LA,+LA,B,N=360o-LB,ED-L1，:LA+LB=360o-LB,ED-L1，:LA+LB=360o-LB,ED-(L2-36o)，:LA+LB=360o-(LB,ED+L2)+36o，:2(LA+LB)=396o，:LA+LB=198o，:LC=270o-198o=72o．则LAB,D的度数是()2【答案】D【分析】连接BB,，过点B,作B,E丄BC于E，B,F丄AC于F，可得△ABB,是等边三角形，得出AB,=BB,，LB,BA=LB,AB=60o，运用HL可证得Rt△BB,E≌Rt△AB,F，得出LB,BE=LB,AF，再运用三【详解】解：如图，连接BB,，过点B,作B,E丄BC于E，B,F丄AC于F，则LCEB,=LCFB,=LBEB,=LAFB,=90o，:LBAB,=LBAD+LB,AD=60o，:△ABB,是等边三角形，丫B,C平分LACB，LACB=2a，:B,E=B,F，在Rt△BB,E和Rt△AB,F中，:Rt△BB,E≌Rt△AB,F(HL)，:LB,BE=LB,AF，:LB,BA+LB,BE=LB,AB+LB,AF，即LABC=LBAC，:LAB,D=90o-a，【点睛】本题考查了折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构C的值最小时，a，β之间的关系为()【答案】C【分析】本题考查的是轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，如图，过P作PH丄AC于H，作H1C12最小，再进一步求解即可.【详解】解：如图，过P作PH丄AC于H，作H关于AB的对称点Q，连接PQ，当C,P,Q三点共线时，PA+2PC最小，5．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在第三象限，△ABO是等边三角形，点E在线段OA上，且OE=6，点F是线段AB上的动点，点P是y轴负半轴上的动点，当EP+FP的值最小时，AF=7，则点A的坐标是()A．(-7,0)B．(-8,0)【答案】B作点E关于y轴的对称点E9，过点E9作E9F丄AB交y轴于点P，进而得出EP+FP的值最小的情况，然后【详解】作点E关于y轴的对称点E9，过点E9作E9F丄AB交y轴于点P的值最小时，LAEB的度数为()【答案】C【分析】过点B作BB,丄AD于点G，交AC于点B,，过点B,作B,F,丄AB于点F,，与AD交于点E,，连接BE,、B,E，证明AD垂直平分BB,，推出BE=BE,，由三角形三边关系可知，BE+EF=B,E+EF≥B,F≥B,F,，即BE+EF的值最小为B,F,，通过证明△ABE,≌△AB,E,，推出LAE,B=AE,B,，因此利用三角形外角的性质求出LAE,B,即可．【详解】解：过点B作BB,丄AD于点G，交AC于点B,，过点B,作B,F,丄AB于点F,，与AD交于点E,，连接BE,、B,E，如图：∴AD垂直平分BB,，在△ABE,和△AB,E,中，∴LAE,B=AE,B,，即当BE+EF的值最小时，LAEB的度数为120o．【点睛】本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出BE+EF取最小值时点E的位置．7．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD上的动点，沿AE、AF折叠，点B、D折叠后的对应点分别为B,、D,．若LB,AD,=a，则ÐEAF的度数为（用含α的式子表示【分析】本题考查折叠的性质，角的计算，列代数式，掌握折叠的性质，正方形的性质是解题的关键．根据翻折的性质可知LBAE=LB,AE,LDAF=LD,AF，分图①,图②两种情形分别求解．由翻折的性质可知：LBAE=LB,AE,LDAF=LD,AF，∴2LDAF+2LBAE=LDAB-LB,AD,，即2(LDAF+LBAE)=90O-a，解得LDAF+LBAE由翻折的性质可知：LBAE=LB,AE,LDAF=LD,AF，∴2LDAF+2LBAE=LDAB+LB,AD,，解得LDAF+LBAE8．如图，长方形ABCD中，点E为AD上一点，连接CE，将长方形ABCD沿着直线CE折叠，点D恰好落在AB的中点F上，点G为CF的中点；点P为线段CE上的动点，连接PF、PG，若AE=5、ED=13、AF=12，则PF+PG的最小值是．【答案】18接PH、FH，可得四边形ADHF是长方形，即得AD=HF=AE+ED=18，再根据折叠的性质可证△GCP≌△HCP(SAS)，得到PG=PH，即得到PF+PG=PF+PH≥FH=18，可知当F、P、H三点共线时，PE+PG的值最小，最小值为18，即可求解【详解】解：取CD的中点H，连接PH、FH，∴四边形ADHF是长方形，∴AD=HF=AE+ED=5+13=18，由折叠可知，CD=CF，ÐGCP=ÐHCP，在△GCP和△HCP中，∴PG=PH，∴PF+PG=PF+PH≥FH=18，∴当F、P、H三点共线时，PE+PG的值最小，最小值为18，9．如图，在VABC中，AB=BC=AC=2cm，点M、N分别在边AB,BC上，将VABC沿MN折叠，使点【答案】2【分析】本题考查了折叠的性质．由折叠的性质得NB=NB,，根据CN+NB,=CN+N【详解】解：由折叠的性质得NB=NB,，的值最小时，LAEB的度数为．【答案】125o【分析】过点B作BB,丄AD于点G，交AC于点B,，过点B,作B,F,丄AB于点F,，与AD交于点E,，连接BE,、B,E，证明AD垂直平分BB,，推出BE=BE,，由三角形三边关系可知，BE+EF=B,E+EF≥B,F≥B,F,，即BE+EF的值最小为B,F,，通过证明△ABE,≌△AB,E,，推出LAE,B=LAE,B,，因此利用三角形外角的性质求出LAE,B,即可．本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义角形三边关系等知识点，解题的关键是找出BE+EF取最小值时点E的位置．【详解】解：过点B作BB,丄AD于点G，交AC于点B,，过点B,作B,F,丄AB于点F,，与AD交于点E,，连接BE,、B,E，:LAGB=LAGB,=90o，:BG=B,G，AB=AB,，:AD垂直平分BB,，:BE=B,E，:EF+BE=EF+B,E，:当点E在点E,处时，EF+BE最小，:LAE,B=LAE,B,，QB,F,丄AB，:LAF,B,=90o，:LAE,B=125o，即当BE+EF的值最小时，LAEB的度数为125o.11．如图，钝角VABC中，LABC=50o，BD平分ÐABC，点M是BD上一定点，点P，Q分别是射线BA，BC上的动点，当VPMQ周长最小时，LPMQ=．【答案】80。【分析】作点M关于AB的对称点M1，作点M关于BC的对称点M2，连接QM、PM、M1M2，如图所示，PM12【详解】解：作点M关于AB的对称点M1，作点M关于BC的对称点M2，连接QM、PM、M1M2，如图由对称性质可知，QM=QM2，PM=PM1，PM12\LCBD=LABD=25o，连接BM1、BM2，如图所示：由对称性可知LCBD=LM2BC=\LM1BM2=100o，则LBM1M2=LBM2M=40o，丫MM2\LBM2M=90o-25o=65o，则LMM2Q=LBM2M-LBM2M1=25o，2，PM=PM1，\由三角形外角的性质可得LMQP=LMM2Q+LQMM2=50o，同理可得LMPM1=LMM1P+LPMM1=50o\在△PQM中，由三角形内角和定理可知LPMQ=180o-LMP【点睛】本题考查动点最值问题求角度，涉及和定理、三角形外角性质等知识，熟练掌握动点最值问题的解法12．如图，在△ABC中，LC=80o，AC=6，BC=8，D为BC的中点，点E为△ABC内一动点，且DEBC，若点F为DE中点，则当AE+BF的和最小时，7EAC的度数为°.【答案】50M，连接EM，证明△BDF≌△EDM)SAS(，则BF=EM，故有AE+BF=AE+EM³AM，当点A、E、M三点共线时AE+BF最小，且为AM的长，最后证明△ACM是等腰三角形即可，熟练掌握知识点的应用是【详解】解：如图，取BD中点M，连接EM，丫点F为DE中点，DEBC，∴DF=EF=2，∴DM=DF=2，DB=DE=4，丫7BDF=7EDM，∴BF=EM，∴AE+BF=AE+EM³AM，∴当点A、E、M三点共线时AE+BF最小，且为AM的长，∴7AMC=7MAC，又LC=80O，故答案为：50．(1)如图①,四边形纸片ABCD中，AB∥DC,BC∥AD，E是线段DC上一点，将纸片ABCD沿BE折叠，：；(2)【深入探究】如图②,小明将纸片换成一张长方形纸片ABCD，点E，F分别是线段AD,BC上的点，他先将纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为点A,,B,，A,B,与线段AD交于点G，H是线段DC上一点，再将纸片沿GH折叠，点D的对应点为点D,，使得点B,恰好在GD,上，测得LEFB,=62O，试求LDGH的(2)17O【分析】（1）(Ⅰ)直接根据折叠的性质，得到LCBE=LC,BE即可；（聂）由平行的性质可求出LABC=80O，由折叠的性质可知：LCBE=LC,BE=20O，LC,=LBEC=LC,EB，即可求出L1，由三角形内角和求出LC,EB，即可求出L2．（2）由折叠的性质可知:LA,=LA=90O，LA,B,F=LB=90O，LD=LD,=90O，LBFE=LEFB,=62O，LAEF=LA,EF，LDGH=LHGD,，又由平行的性质可知LAEF=LA,EF=180O-LBFE=118O，LGEF=LBFE=62O，进而可求出LA,EG，由三角形内角和求出LA,GE，由对顶角相等得出LDGD,=LA,GE=34O，进一步即可求出LDGH．【详解】（1）解：（1）(Ⅰ)由折叠的性质可知：LCBE=LC,BE，故答案为：LCBE=LC,BE（答案不唯一∴LABC+LC=180O，由折叠的性质可知：LCBE=LC,BE=20O，LC,=LC=100O，LBEC=LC,EB，∴L1=LABC-LCBE-LC,BE=80o-20o-20o=40o．LC,EB=180o-LC,-LC,BE=180o-100o-20o=60o，∴LBEC=LC,EB=60o，∴L2=180o-LBEC-LC,EB=180o-60o-60o=60o．（2）由折叠的性质可知:LA,=LA=90o，LA,B,F=LB=90o，LD=LD,=90o，LBFE=LEFB,=62o，LAEF=LA,EF，LDGH=LHGD,丫LA=LB=LC=LD=90o，∴AD∥BC，AB∥CD，∴LAEF=LA,EF=180o-LBFE=118o，LGEF=LBFE=62o，∴LA,EG=LAEF-LGEF=118o-62o=56o，∴LA,GE=180o-LA,-LA,EG=180o-90o-56o=34o，∴LDGD,=LA,GE=34o，丫LDGD,=LDGH+LHGD,，【点睛】本题主要考查了平行的性质，折叠的性质，对顶角相等以及三角形内角14．利用折纸可以作出角平分线，如图1，OC即为ÐAOB的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A,，点B落在点B,，连接OA,．(1)如图2，若点B,恰好落在OA,上，且LAOC=32o，求LBOD的度数．(2)如图3，当点B,在ÐCOA'的内部时，连接OB,，若ÐAOC=44o，ÐBOD=61o，求LA,OB,的度数．（1）由折叠得出LAOC=LA,OC，LBOD=LB,OD，由平角的性质可得LAOC+LA,OC+LBOD+LB,OD=180o，再由LAOC=32o，即可求解；（2）同（1）的方法求出LA,OD，再由LA,OB,=LB,OD-LA,OD即可求解．【详解】（1）解：由题意知LAOC=LA,OC，LBOD=LB,OD，丫LAOC+LA,OC+LBOD+LB,OD=180o，LAOC=32o，（2）由题意知LAOC=LA,OC，LBOD=LB,OD，丫LAOC+LA,OC+LA,OD+LBOD=180o，LAOC=44o，LBOD=61o，:LA,OD=180o-2×44o-61o=31o，:LA,OB,=LB,OD-LA,OD=30o．(1)如图2，将纸片沿BM折叠，使AB落在边BC上，则LMBC=O；(2)如图3，将纸片沿BM，BN折叠，使AB，BC的对应边A,B，BC,重合，求LMBN的度数；(3)如图4，将纸片沿PM，PN折叠，使PB，PC的对应边PB,，PC,重合，求LBPM+LCPN的度数；【答案】(1)45（1）由折叠知LABM=LA,BM，再根据LABC=90o即可求解；（2）由折叠知LABM=LA,BM，LCBN=LC,BN，再根据LABC=90o即可求解；（3）由折叠知LBPM=LB,PM，LCPN=LC,PN，再根据LBPC=180o即可求解．【详解】（1）解：由折叠知∠ABM=∠CBM，由题意得：LABC=90o:LMBC=45o；（2）由折叠可知：LABM=LMBA,,LCBN=LC,BN，丫LABM+LMBA,+LCBN+LC,BN=90o，:2LMBA,+2LC,BN=90o，:2(LMBA,+LC,BN)=90o，:LMBA,+LC,BN=45o，丫LMBN=LMBA,+LC,BN，:LMBN=45o；（3）由折叠知：LBPM=LB,PM，LCPN=LC,PN，丫LBPC=2LBPM+2LNPC=180o:2(LBPM+LNPC)=180o:LBPM+LNPC=90o．【问题情境】如图1，在△ABC中，AB>AC，怎样判断ÐC与ÐB的大小关系呢?解答：将边AC折叠，使AC落在边AB上，点C的对应点为C,，折痕与BC交于点D．由折叠可得LAC,D=LC．又丫LAC,D>LB，:LC>LB；（1）若LCAB=60o，LC=80o，求LC,DB的度数；（2）若LC=2LB，判断AC，AB与CD之间的数量关系，并说明理由；【变式探究】（3）如图2，在Rt△ABC中，LBAC=90o，LB=30o，AD是△ABC的角平分线．设【思维拓展】（4）在△ABC中，AB=AC，LBAC=100o，D是边BC上的动点，连接AD，将△ABD沿AD折叠，得到△AED，且点E在直线BC的下方，AE与边BC交于点M．继续将AC向下折叠，使边AC与AE重合，折痕为AF（F在边CM上），连接EF．若△DEF是等腰三角形，请直接写出ÐBAD的度数．【答案】（1）LC,DB=40o2）AC+CD=AB，理由见解析3）BD=3a-b4）当△DEF是等腰三角形时，ÐBAD的度数为10o或25o或40o．【分析】（1）先求出LB=40o，将AC沿AD折叠，点C落在AB上，点C的对应点为C,，则LAC,D=LC=80o，再根据LAC,D=LB+LC,DB可得出LC,DB的度数；（2）将边AC沿AD折叠，点