2025-2026月考试卷8年级（数学）中点模型之平行线夹中点模型、中垂线模型、三线合一模型（解析版）

）； 2 2 20 39 证明：∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°,∵D为B模型运用条件：当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。的度数为()A．30。B．45。D．75。【答案】C【分析】本题考查的是角平分线的判定，线LA+LACB=90。，LA=LACD，再证明CD是LACB的平分线，再进一步求解即可．【详解】解：连接CD， ∵LB=90。，∴LA+LACB=90o，∵DE垂直平分AC，∴DA=DC，∴LA=LACD， ∵DB=DE，LB=90。，DETAC，∴CD是7ACB的平分线，∴LACD=LBCD， 12AF，则△ABG的周长为()【答案】D【分析】该题主要考查了垂直平分线的性质和尺规作图，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．【详解】解：根据作图可得：GF垂直平分AC，则AG=CG，CF=AFAC=5，求△ACE的周长．【答案】【答案】6【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相先根据垂直平分线的性质得出AE=BE，进而根据三角形的周长公式【详解】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，∴AE=BE，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是．4848【答案】5【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识，把求EC+EF最小值转化为求BE+EF最小值是解题的关键；连接BE，过B作BG丄AC于G；由AD垂直平分BC，得AB=AC=10，BE=CE，【详解】解：如图，连接BE，过B作BG丄AC于G；当B、E、F三点共线，且BF丄AC即BF，BG重合时，BF最小，从而EC+EF最小，最小值为线段BG的长；例424-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，AC边的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，MD，NE的延长线交于点O，连接AD，AE，BO，CO．(1)若BC=12，求△ADE的周长；(2)若LBAC=110O，求LBOC的度数．【答案】(1)△ADE的周长为12；(2)LBOC的度数为140O．【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，四边形的内角和，等腰三角形的点的应用是解题的关键1）根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD,A=BC=122）连接AO，由四边形内角和可得LMON的度数，根据题意得LBOC=2LMON即可求解．【详解】（1）解：∵边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，于点N，E，:AD=BD,AE=CE,:△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=12；∵OM，ON分别垂直平分AB，AC，∴OB=OA，OC=OA，:LBOM=LAOM,LCON=LAON,∴LBOC=LBOM+LAOM+LAON+LCON=2LMON=2´70O=140O，∴LBOC的度数为140O．例524-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在△ABC中，PE是BC边的垂直平分线，过点P作AB、AC（或延长线）的垂线，垂足分别是M、N，且AP平分LBAC．求证：BM=CN．线的性质，角平分线的性质，全等三角形的如图，连接PB、PC，由题意得，PB=PC，PM=PN，证明Rt△PBM≌Rt△PCN(HL)，进而可得BM=CN．【详解】证明：如图，连接PB、PC，∵PE是BC边的垂直平分线，∴PB=PC，∵∵PM丄AB，PN丄AC，AP平分LBAC，∴PM=PN，∵PB=PC，PM=PN，∴Rt△PBM≌Rt△PCN(HL)，∴BM=CN．条件：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，结论：①AD为BC边上的中线（即BD=CD②AD为∠例12023上·河北沧州·八年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC,AD是高，下列结论不正确的是()A．LB与LBAD互余B．BD=CDC．LBAC=2LBADD．AB=2AD【答案】【答案】D【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，根据它的性质一一判断即可．【详解】解：A∵AD是高，∴LADB=90o，∴LB与LBAD互余，正确，故本选项不符合题意；C．∵△ABC中，AB=AC,AD是高，LBAD=LCAD，∴LBD．AB=2AD，无法证明，故本选项符合题意；故选：D．在边OB上，PM=PN，若MN=1，则OM的长为()【答案】DDOOP=6，由等腰三角形的性质可得MD过点D作DE丄AC，垂足为E，延长DE至点F，连接BF，若7ABF=27ADE,AB=12.5,S△ABD=75，则 DF=．【答案】24【分析】过点A作AGTBC于点G，过点B作BHTDF于点H，设7ABC=7ACB=a，根据三角形内角和定理求出7BDA的度数，7BDF的度数，于是求出LADE的度数，根据7ABF=27ADE即可求出7ABF的度数，根据周角的定义求出7DBF，于是可求出7BFD的度数，从而得出△BFD是等腰三角形，再证△DBH和△ACG全等得出DH=AG，根据△ABD的面积求出AG的长，于是得出DH的长，再根据等腰三角形三线合一即可求出DF的长．【详解】解：如图，过点A作AGTBC于点G，过点B作BHTDF于点H，∵∵AB=AC，∴∠ABC=LACB，设LABC=LACB=a，∵DE丄AC，∴LAED=90°,又∵LDCE=LACB=a，∴LBDE=90°-LDCE=90°-a，∵LABF=2LADE，∴LABFa∴LDBF=360°-LABF-LABC=360°-(360°-3a)-a=2a，在△BFD中，LBFD=180°-LBDF-LDBF=180°-(90°-a)-2a=90°-a，∴LBFD=LBDF，∴BF=BD，即△BFD是等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质得LDBHLDBFa=a在△DBH和△ACG中，LDBH=LACG=a，LBHD=LCGA=90°,DB=AC，∴△DBH≌△ACG(AAS)，∴DH=AG，【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内例42023上·新疆乌鲁木齐·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分LABC交AC于点E，过点E作．EF∥BC交AB于点F．(1)若LC=36°,求LBAD的度数．(2)求证：FB=FE．【答案】(1)【答案】(1)54°(2)见详解【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义和平行线的性质．（1）先根据等腰三角形三线合一的性质可得AD丄BC,LBAD=LCAD，根据三角形内角和定理求出LCAD的度数，即可知LBAD的度数2）根据角平分线的定义和平行线的性质即可证明FB=FE．:AD丄BC,LBAD=LCAD，:LADC=90o．丫LC=36o，:LCAD=180o-LADC-LC=180o-90o-36o=54o，:LBAD=54o；（2）∵BE平分LABC，:LABE=LCBE．丫EF∥BC，:LFEB=LCBE，:LABE=LFEB，:FB=FE．我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”构造全等；当然有时候也需要自己构造平行线的辅助线求解。条件：如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。结论：△CDE三△BFE。证明：∵AB//CD，∴∠C=∠FBE，∠D=∠BFE，例12023·成都市八年级课时练习）如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边于点E，Q为BC延长线上一点，取PA=CQ，连接PQ，交AC于点M，则EM的长为()【答案】【答案】B【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFM≌△QCM，推出FM=CM，推出MEAC即可．【详解】解：过【详解】解：过P作PF∥BC交AC于F，如图所示：∴∴LPFM=LQCM，LAPF=LB=60O，LAFP=LACB=60O，LA=60O，∴∴△APF是等边三角形，∴AP=PF=AF，【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的质等知识点的应用；添加恰当辅助线构造全等三例223-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知AP//BC，点E是DC的中点，且AD+BC=AB，求证：AE丄BE．【详解】解：延长AE、BC交于点M，如下图所示∵点E是DC的中点，∴DE=CE，∵AP//BC∴∠1=∠M∵∠BEA+∠BEM=180°∴∠BEA=∠BEM=90°∴AE丄BE【点睛】此题考的是全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义，掌握全等按AE，已知知AB=8，AD=5，BC=9，则AE的长为【答案】2【答案】25【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明全等三角延长AE交BC于F，由“ASA”可证△AED≌△FEC，可得AD=FC=5AE=EF，由勾股定理可求AF的长，即可求AE的长．【详解】解：延长AE交BC于F，如图，∵点E是CD的中点∴DE=CE，∵ADTAB，BC丄AB，∴LBAD=LABC=90O∴AD∥BC，∴LD=LC，∵LAED=LCEF，∴△AED≌△FEC(AAS)，∴AD=FC=5，AE=EF，∴BF=BC-FC=9-5=4，∴在Rt△ABF中，AF∴AEAF，故答案为：25．例42023下·辽宁沈阳·七年级校考期中）在数学综合实践课上，老师给出了下列问题．(1)探究结论：在图1中，l1∥l2，点P是两平行线之间的一点，则7P，LPAC，7PBD之间的关系是._______(2)应用结论在图2中，l1∥l2，PB平分7ABD，LPAC=30O，若△PAB为等腰三角形，求7P的度数_．(3)拓展延伸：在图3中，l1∥l2，点P是CD的中点，LPAC+LPBD=90O．试判断AB，AC，BD之间有【答案】(1)【答案】(1)LP=LPAC+LPBD(2)7P的度数为70O或80O(3)AB=AC+BD，理由见解析【分析】(1)作PE聂l1，根据平行线的判定与性质可得出LP=LPAC+LPBD．(2)分①当PB=AB时，②当PA=AB时，③当PA=PB时三种情况讨论即可．，∴LPAC=LAPE，LPBD=LBPE(两直线平行，内错角相等)，∵LAPB=LAPE+LBPE，∴LP=LPAC+LPBD；（2）∵PB平分LABD，如图2，∴LPAB=LPBD,①当PB=AB时，LPAB=LP=xo,∴LPBA=LPBD=180o-2xo,∵由(1)知LP=LPAC+LPBD，且LPAC=30o，综上可知：LP的度数为70o或80o．（3）AB、AC、BD的关系为AB=AC+BD，延长AP交直线l2于F点，如图3，由(1)得LAPB=LPAC+LPBD=90o，∵l1∥l2，∴LACP=LPDE，LCAP=LPFD，【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及等腰三角形的性质，学会添加常用12024·广东广州·中考真题）如图，在△ABC中，7A=90分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为()D．62【答案】C【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相解题关键．连接AD，根据等腰直角三角形的性质以及AE=CF得出△ADE≌△CDF，将四边形AEDF的面积转化为三角形ADC的面积再进行求解．又∵S△ABC22023上·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，I是三角形角平分线的交点，连接AI，BI，BO，点O为三边垂直平分线交点，若7AOB=14A．160o【答案】D【答案】D连接连接CO，根据三角形内角和定理求出LOAB+LOBA，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC，OB=OC，进而得到LOCA=LOAC，LOCB=LOBC，求出LCAB+LCBA，根据角平分线的定义、三角∴∴LOCA=LOAC，LOCB=LOBC，∴LOCA+LOCB=70o，∴LCAB+LCBA=180o-70o=110o，∵AI平分LBAC，BI平分LABC，324-25八年级上·天津河东·期中）如图，在△ABC中，已知BC=13，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于()【答案】【答案】B【分析】本题考查的是线段垂直平分线，熟练掌握垂直平分线的性质与线段的等量周长即求各边长的和，利用线段的垂直平分线得到线段相等，进行等【详解】解：∵在△ABC中，BC=13，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，142023上·山西吕梁·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC的2长为半径画弧两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AC=18，BD=5，则AD的长为()【答案】C【答案】C【分析】本题考查垂直平分线的知识，掌握垂直平分AC=AD+DC，即可．【详解】由题意得，MN是BC的垂直平分线，∴BD=DC，52023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=8，点D在AC边的垂直平分线上，△BCD的周长为15，则BC的长为().【答案】【答案】C【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，根据相等垂直【详解】解：∵点D在AC边的垂直平分线上，∴AD=CD，62023上·湖南娄底·八年级统考阶段练习）如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，连接OB、OC,OD垂直平分AB，若LOBC=LOCB，OC=4，则点A、O之间的距离为()【答案】A【分析】本题考查了垂直平分线的性质和等角对等边，解题的关键是熟练掌握垂直【详解】解：连接OA，如图所示：丫OD垂直平分AB，:OA=OB，丫LOBC=LOCB,OC=4，:OB=OC=4，:OA=OC=4，故选：A．72023上·湖南衡阳·八年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC,AD丄BC，且BC=6，则BD长为()【答案】【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得BDBC．【详解】解：∵AB=AC,AD丄BC，∴BDBC．故选：B．82023上·湖南岳阳·八年级校考期中）如图，AC，AD分别为△ABE的中线和高，AC=AE，AD=5，A．5D．20【答案】D【答案】D【分析】本题考查了三角形的高与中线的定义与性质，，：，：：S△ABEBE×AD故选：D．923-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，A则BD的长为()A．2cmB．2.5cmC．3cmD．4cm【答案】【答案】A1023-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在VABC中，AB=AC，边AC的垂直平分线MN分别交AB、AC于点M、N，点D是边BC的中点，点P是MN上任意一点，连接PD、PC，若ÐB=a，ÐCPD=β,【答案】180【答案】180°-2a【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、轴对称的性质及三角形内角和，熟练轴对称的性质是解题的关键；连接AD，AP，AD与MN交于点H，连接CH，由题意易得需满足点A、P、D三点共线，即为线段AD的长，然后问题可求解．【详解】解：连接AD，AP，AD与MN交于点H，连接CH，如图所示：∵AB=AC，边AC的垂直平分线MN分别交AB、AC于点M、N，点D是边BC的中点，∴AD丄BC,AP=CP，AH=CH，LACB=LB=a，∴LCAD=90o-LACD=90o-a，∴要使△PCD的周长为最小值，则需满足PC+PD为最小，即AP+PD为最小，那么只需满足点A、P、D三点共线，即为线段AD的长，此时点P与点H故答案为180o-2a．1124-25八年级上·河南周口·期中）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线DE分别交AC,AB于点E，点D，若点F是直线DE上一动点，点G是直线BC上的一动点，S△ABC=20，BC=10，则GF+CF的最小值【答案】4【答案】4【分析】此题考查了垂直平分线的性质、轴对称的连接AF,过点A作AH丄BC于点H，求出AH=4，证明GF+CF=GF+AF≥AG，当且仅当A共线时，GF+CF=AG，则当点G运动到点H时，根据垂线段最短，则AG取得最小值，此时AG=AH=4,据此即可求出答案．【详解】解：连接AF,过点A作AH丄BC于点H，解得AH=4，∵AC的垂直平分线DE分别交AC,AB于点E，点D，∴当点G运动到点H时，根据垂线段最短，则AG取得最小值，此时AG=AH=4,1224-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC上一点，BE交AD于点F，7CAD=7BFD，BF=7，CE=5，则EF=．【答案】2【答案】2【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，准确证∵DG=DF，LBDF=LCDG，BD=CD，∵LCAD=LBFD，LBFD=LAFE，∴LCAD=LBFD=LAFE=LG，1324-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，AB∥CD，点E是边AD上的点，BE平分LABC，CE平【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的“三线合一”等知识点，根据LEBCLABC,LECBLBCD、LABC+LBCD=180o即可判断④；延长BE交CD延长线于F，可推出△BCF是等腰三角形，证△ABE丝△FDE即可判断②③；根据AD≠BC即可判断①;【详解】解：∵BE平分LABC，CE平分LBCD，∴LEBC=LABC,LECB=LBCD，∴LEBC+LECB=90o如图，延长BE交CD延长线于F，∵CE平分LBCD，∴LBCE=LFCE，∴LBEC=LFEC=90o，∴△BEC≌△FEC，∴LABE=LF，∵LAEB=LFED，1424-25八年级上·上海·期中）如图，已知AB∥CD，BE平分LABC，点E为AD中点，如果AB=3，【答案】4△ABE≌△DFE(ASA)可得AB=DF，然后根据平行线的性质和等角对等边得到∴LBAE=LADF，LABE=LEFD，又∵LBEA=LFED，∵BE平分LABC，∴LABE=LCBE，∴∴LCBE=LF，∴CD=BC-AB，1524-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，一条笔直的街道两侧的便道m∥n，嘉嘉和淇淇分别在便道m，n上以相同的速度散步，步行相同时间后嘉嘉从点A走到点B，同时淇淇逆向而行从点C走到点D，\LBAE=LDCE第一步LAEB=LCED第三步\EB=ED第五步(2)嘉嘉的结论EB=ED正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由．【答案】【答案】(1)三(2)正确，见解析【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形的全等判定，解题关键在于理解并应用（1）LAEB和LCED并不是对顶角，也不是由平行线产生的同位角或内错角．因此，没有直接的几何性质（2）利用平行线的性质及线段中点的性质，来证明三【详解】（【详解】（1）解：7AEB=7CE∴7BAE=7DCE．由题意，得AB=CD．又∵AC的中点为E，\EB=ED．16.（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在VABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点(2)设直线DM，EN交于点O，判断点O是否在BC的垂直平分线上．【答案】【答案】(1)11(2)点O在BC的垂直平分线上．理由：如图，连接OA，OB，OC，∵OM是AB的垂直平分线，ON是AC的垂直平分线，1724-25八年级上·山东潍坊·期中）如图，在△ABC中，AB>BC．(2)在（1）的条件下，若7EAC=64O，7C=27B，求LB的度数．【分析】本题主要考查了作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，三角形内角和定（2）解：由（1）可知，EA=EB，∴7BAE=7B，1823-24八年级上·上海·期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D的直线交AB于E，交AC的延长线于F，且BE=CF．求证：AE=AF．【分析】过点C作CG∥AB交EF于G，利用“角边角”证明△CDG≌△BDE，则CG=BE=CF，推出7F=7AEF，再根据等角对等边可得AE=AF．【详解】证明：过点C作CG∥AB交EF于G，∴∴LAEF=LCGF，LB=LDCG，:CD=BD∴LF=LCGF，∴LF=LAEF，【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅1924-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）四边形ABCD中，点E为线段BC的中点．(1)AB∥CD，AE平分LDAB．①如图1，若AB=CD，LB=90。，则LADE= ;②如图2，若AB≠CD，求证：DE平分LADC；(2)AB和CD不平行时，AE丄DE，求证：【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质（1）①根据平行线的性质，证明△ABE≌△DCE(SAS)，得到AE=DE，LBAE=LCDE，再根据等边对等角的性质以及角平分线的定义，得出LBAE=LEAD=LADE=LCDE，即可求出LADE的度数；②延长AE交DC的延长线于点F，证明△ABE≌△FCE(AAS)，AE=EF，根据等边对等角的性质以及角平分线的定义，得到LEAD=LF，进而得到AD=FD，再结合等腰三角形三线合一的性质证明即可；（2）延长AE至点G，使得AE=EG，证明△ABE≌质，得到AD=DG，最后利用三角形的三边关系证明即可．\LBAD+LADC=180o，LB+LC=180o\LC=90o=LB，\BE=CE，\